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人教版2024—2025学年八年级下册期末模拟考情速递卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若 ，则 的值为（　　）
A．1 B．-1 C．-7 D．7
2．已知一次函数，y的值随x的增大而减小，则点所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．估计的结果应在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
4．如图，四边形中，为对角线，，，E，F分别是边，的中点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，点，，若N是x轴上使得的值最大的点，则的长为（　　）
A． B． C．8 D．6
6．如图，，在此基础上用尺规作出正方形，下面说法不正确的是（　　）
A．弧③的半径长等于弧①的半径长
B．弧②的半径长等于弧①的半径长
C．弧②的半径长小于弧①的半径长
D．弧②的半径长等于弧③的半径长
7．下列命题是假命题的为（　　）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
8．在四边形中，，当满足下列哪个条件时，可以得出四边形是平行四边形（　　）
A． B．
C． D．
9．下列计算正确的是（　　）
A．－＝ B．＋＝
C．＝× D．÷＝4
10．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F，若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为（　　）m．
A．3100 B．4600 C．3000 D．3600
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在一次函数y＝x+2的图象上，到x轴距离等于0.5的点的坐标是
　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，3），（3，3），若直线y＝kx与线段AB有公共点，则k的取值范围为　 　．
13．晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐三项成绩（百分制）依次分别是90分，95分，90分．小桐这学期的体育成绩是　 　．
14．如图，平行四边形的顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标为　 　．
15．如图，在中，，是边上的中线，若，，则的长度为　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且．在平面直角坐标系内存在点C，使得以A，B，M，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为　 　．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注.某校计划将这种学习方式应用到教育教学中，从各年级共1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备数量情况进行了调查，并绘制出如下的统计图1和图2.
根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　 　，图1中　 　；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数：
18．已知一次函数 的图象经过点 和 .
（1）求该函数的表达式；
（2）若点 是 轴上一点，且 的面积为10，求点 的坐标.
19．如图，在 中， 是AD的中点，延长BC到点 ，使 ，连结DE，CF
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形.
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长.
20．某大型小区为积极响应政府提出的“绿色发展·低碳出行”号召决定购置一批质量好的供小区使用的共享单车，购买3辆男式单车与5辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需1591元.
（1）求男式单车和女式单车的单价：
（2）该社区要求男式单车比女式单车多40辆，两种单车至少需要220辆，购置两种单车的费用不超过41500元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？
21．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使AE＝GE，连接CG，CF.
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）只需添加一个条件，即 ▲
，可使四边形CGEF为矩形，请加以证明.
22．一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P（-3，2），与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求k的值及点A、B的坐标；
（2）已知点C（-1，0），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
23．随着国家人口政策的调整，我市的小学生人数增速较快.某小学为了缓解学生用餐拥挤，计划购进某种餐桌、餐椅这是某商场给出的报价表：
　 零售价（元/张） 成套售价（元/套）
餐桌 400
餐椅
若以零售价购入餐桌和餐椅，且用750元购进的餐桌数量与用400元购进的餐椅数量相同.
（1）求每张餐桌和餐椅的零售价.
（2）采购人员计划购进餐椅的数量是餐桌数量的6倍还多10张，且餐桌和餐椅的总数量不少于220张.如果成套购买可享受该商场的成套售价（一张餐桌和四张餐椅配成一套），采购人员决定先成套购买，其余餐椅以零售价购入.设购进餐桌的数量为 （张），总价为 （元），求关于 的函数关系式，并求出总价最低时的进货方案.
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴、轴分别交于点，、，，与双曲线交于点，，的面积为．
（1）求与的值；
（2）点在线段上，过点作轴，垂足为点，以为对角线作正方形，如果点恰好落在上述双曲线上，求点的坐标．
25．已知：如图，是等边三角形，点D在边上，且是等边三角形，边与交于点O．过点E作，分别与线段相交于点F、G、H，联结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，如果，求证：四边形是菱形．
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人教版2024—2025学年八年级下册期末模拟考情速递卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若 ，则 的值为（　　）
A．1 B．-1 C．-7 D．7
【答案】D
【解析】【解答】由题意，得： ，
解得 ；
所以x-y=4-（-3）=7；
故答案为：D．
【分析】首先根据非负数的性质，可列方程组求出x、y的值，进而可求出x-y的值．
2．已知一次函数，y的值随x的增大而减小，则点所在象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】【解答】∵一次函数，y的值随x的增大而减小
∴ m+1＜0
∴ m＜-1
∴ -m＞1，
∴ 点P（-m，m）在第四象限
故答案为D
【分析】本题考查一次函数的图象性质与系数的关系和点与坐标的关系。一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0， y的值随x的增大而增大；当k＜0， y的值随x的增大而减小；第一象限的点坐标（+，+），第二象限的点坐标（-，+），第三象限的点坐标（-，-），第四象限的点坐标（+，-）
3．估计的结果应在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【解析】【解答】
=
=3+
∵
∴
故答案为C
【分析】本题考查根式的计算和估值。求出算式的值，找出与的两个整数，则可知算式的取值范围。
4．如图，四边形中，为对角线，，，E，F分别是边，的中点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：取BD的中点H，连接EH，FH，
∵点E、F分别是AD，BC的中点，
∴EH、FH分别是 △ ABD和 △ BCD的中位线，
∴EH=，FH=，
∴FH-EH＜EF≤FH+EH，
即0.4＜EF≤2.4.
故答案为：A。
【分析】取BD的中点H，连接EH，FH，先根据三角形中位线定理，求得EH和FH的长度，然后根据三角形三边之间的关系，求得EF的取值范围。
5．如图，点，，若N是x轴上使得的值最大的点，则的长为（　　）
A． B． C．8 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：连接AB并延长，交x轴于点N，此时的值最大，
设直线AB的解析式为y=kx+b，则：，
∴，
∴直线AB的解析式为y=，
令y=0，则，
∴x=8，
即点N的坐标为（8，0），
∴ON=8。
故答案为：D。
【分析】根据三角形三边之间的关系，可得连接AB并延长，交x轴于点N，此时的值最大，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出直线AB与x轴的交点，从而求得此时点N的坐标，即可求得ON的长度。
6．如图，，在此基础上用尺规作出正方形，下面说法不正确的是（　　）
A．弧③的半径长等于弧①的半径长
B．弧②的半径长等于弧①的半径长
C．弧②的半径长小于弧①的半径长
D．弧②的半径长等于弧③的半径长
【答案】C
【解析】【解答】解：首先以0点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OM于点A，交0N于点B，得到弧①；再分别以点A和点B为圆心，以OA的长为半径作弧，两弧相交于点C，得到弧②和弧③，所以可得弧①②③都是相等的。
A： 弧③的半径长等于弧①的半径长 ，所以A正确；
B： 弧②的半径长等于弧①的半径长 ，所以B正确；
C： 弧②的半径长小于弧①的半径长 ，所以C不正确；
D： 弧②的半径长等于弧③的半径长 ，所以D正确。
故答案为：C。
【分析】首先根据正方形的判定，得出弧①②③都正确，然后分别判断各选项即可得出答案。
7．下列命题是假命题的为（　　）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
【答案】D
【解析】【解答】解：A.对角线相等的菱形是正方形，故A是真命题，不符合题意；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，故B是真命题，不符合题意；
C.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故C是真命题，不符合题意；
D.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D是假命题，符合题意；
故答案为：D.
【分析】正方形的判定定理：1、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
2、邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形；
3、有一组邻边相等的矩形是正方形 ；
4、有一个内角是直角的菱形是正方形；
5、对角线相等的菱形是正方形；
6、对角线互相垂直的矩形是正方形；
7、有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形.
8．在四边形中，，当满足下列哪个条件时，可以得出四边形是平行四边形（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
，
，，故选项D不能得出四边形是平行四边形；
当时 ，
，，故选项A不能得出四边形是平行四边形；
当时，
，，故选项B不能得出四边形是平行四边形；
当时，
，故选项C可以得出四边形是平行四边形.
故答案为：C.
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
9．下列计算正确的是（　　）
A．－＝ B．＋＝
C．＝× D．÷＝4
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，故此选项正确，符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选型错误，不符合题意；
C、，故此选型错误，不符合题意；
D、，故此选型错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】二次根式的加减法就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数完全相同的二次根式，据此可判断A选项；二次根式的加减法就是合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是把二次根式化为最简二次根式后，被开方数完全相同的二次根式，合并的时候只把系数相加减，二次根号部分不变，但不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断B选项；由(a、b都是非负数)可判断C选项；由(a≥0，b＞0)即可判断D选项.
10．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F，若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为（　　）m．
A．3100 B．4600 C．3000 D．3600
【答案】B
【解析】【解答】连接GC，
∵四边形ABCD为正方形，
所以AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
∵∠CDB=45°，GE⊥DC，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DE=GE．
在△AGD和△GDC中，
，
∴△AGD≌△GDC（SAS）
∴AG=CG，
在矩形GECF中，EF=CG，
∴EF=AG．
∵BA+AD+DE+EF-BA-AG-GE，
=AD=1500m．
∵小敏共走了3100m，
∴小聪行走的路程为3100+1500=4600（m），
故答案为：B．
【分析】连接CG，由正方形的对称性，易知AG=CG，由正方形的对角线互相平分一组对角，GE⊥DC，易得DE=GE．在矩形GECF中，EF=CG．要计算小聪走的路程，只要得到小聪比小敏多走了多少就行．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在一次函数y＝x+2的图象上，到x轴距离等于0.5的点的坐标是
　 　．
【答案】(﹣1.5，0.5)或(﹣2.5，﹣0.5)
【解析】【解答】解：∵当y＝0.5时，x+2＝0.5，解得x＝﹣1.5；
当y＝﹣0.5时，x+2＝﹣0.5，解得x＝﹣2.5，
∴此时点的坐标为（﹣1.5，0.5）或（﹣2.5，﹣0.5）．
故答案为：（﹣1.5，0.5）或（﹣2.5，﹣0.5）．
【分析】先求出x+2＝0.5，再求出x+2＝﹣0.5，最后求点的坐标即可。
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，3），（3，3），若直线y＝kx与线段AB有公共点，则k的取值范围为　 　．
【答案】1≤k≤3
【解析】【解答】解：把（1，3）代入y=kx，得k=3．
把（3，3）代入y=kx，得3k=3，解得k=1．
故k的取值范围为1≤k≤3．
故答案是：1≤k≤3．
【分析】将点（1，3），（3，3）分别代入y＝kx求出k的值，即可得到k的取值范围。
13．晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐三项成绩（百分制）依次分别是90分，95分，90分．小桐这学期的体育成绩是　 　．
【答案】91.5
【解析】【解答】解：小桐这学期的体育成绩是
90×20%＋95×30%＋90×50%＝91.5（分），
故答案为：91.5分．
【分析】本题考查理解加权平均数的概念及识记加权平均数的计算公式
14．如图，平行四边形的顶点，，的坐标分别为，，，则顶点的坐标为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC = OA=3，
∴点C的横坐标为1，
∵BC//x轴，
∴B，C两点的纵坐标相同，都为3，
∴点C的坐标为(1，3)，
故答案为：(1，3).
【分析】根据平行四边形的性质求出BC = OA=3，再求出B，C两点的纵坐标相同，都为3，最后求点的坐标即可。
15．如图，在中，，是边上的中线，若，，则的长度为　 　．
【答案】13
【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=5，AD=，
∴CD=
∵点D是BC的中点，
∴BC=2CD=12，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴AB=
故第1空答案为：13.
【分析】首先在Rt△ACD中，根据勾股定理求得CD=6，从而得出BC=12，然后Rt△ABC中，根据勾股定理求得AB的畅即可。
16．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且．在平面直角坐标系内存在点C，使得以A，B，M，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为　 　．
【答案】或或
【解析】【解答】解：∵函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，
当时，，
∴，
∵，且点M位于y轴正半轴，
∴，
∴
当时，，解得，
∴，
以A，B，M，C为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
如图所示：
①，为边，
∴，，
∵，，，
∴线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段，
则点的对应点为点，点的对应点为点C，
∴；
②，为边，
∴，，
∵，，，
∴线段向右平移3个单位，再向下平移6个单位得到线段，
则点的对应点为点，点的对应点为点C，
∴；
③，为边，
∴，，
∵，，，
∴线段向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到线段，
则点的对应点为点，点的对应点为点，
∴．
综上所述，满足条件的点C的坐标为或或．
【分析】分类讨论，结合函数图象，计算求解即可。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注.某校计划将这种学习方式应用到教育教学中，从各年级共1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备数量情况进行了调查，并绘制出如下的统计图1和图2.
根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　 　，图1中　 　；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数：
【答案】（1）50；32
（2）解：
=3.2(台)，
答：本次调查获取的样本数据的平均数是3.2台.
【解析】【解答】解：（1）人，，
.
故答案为：50，32；
【分析】（1）利用家庭拥有2台移动设备的人数除以所占的比例可得总人数，利用家庭拥有4台移动设备的人数除以总人数可得m的值；
（2）根据台数乘以对应的人数求出总台数，然后除以总人数可得平均数.
18．已知一次函数 的图象经过点 和 .
（1）求该函数的表达式；
（2）若点 是 轴上一点，且 的面积为10，求点 的坐标.
【答案】（1）解：∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点A（ 2， 4）和B（2，0），
进而得
，
解得k＝1，b＝ 2，
∴该函数的表达式：y＝x 2
（2）解：∵点P是x轴上一点，
∴设P（x，0），
∴BP＝|x 2|，
∵△ABP的面积为10，
∴ ×4×|x 2|＝10，
∴|x 2|＝5，
∴x 2＝5或x 2＝ 5，
解得x1＝ 3或x2＝7，
∴点P的坐标（ 3，0）或（7，0）.
【解析】【分析】（1）将A（-2，-4）、B（2，0）代入y＝kx＋b中求出k、b的值，进而可得函数的表达式；
（2）设P（x，0），则BP＝|x-2|，根据三角形的面积公式可得x的值，据此可得点P的坐标.
19．如图，在 中， 是AD的中点，延长BC到点 ，使 ，连结DE，CF
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形.
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长.
【答案】（1）证明：在 中， ，且 .
∵F是AD的中点，
∴ .
又∵ ，
∴DF=CE
∵DF//CE，
∴四边形CEDF是平行四边形.
（2）解：如图，过点D作DH⊥BE于点H.
在 ABCD中，
∵∠B=60°，
AB//DC，
∴∠B=∠DCE，
∴∠DCE=60°.
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴
在 中， ，则 .
∴在Rt 中，根据勾股定理知，
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得出AD∥BC ，DF=CE ，结合线段中点的定义和CE= BC，求出DF=CE，利用一组对边平行且相等的四边形是四边形即可证出结果；
(2)过点D作DH⊥BE于点H，根据平行线的性质求出∠DCE=60°，根据含30°角的直角三角形的性质求出CH和DH长，然后根据平行四边形的对比相等和线段的和差关系求出EH长，最后在Rt 中，根据勾股定理求DE长即可.
20．某大型小区为积极响应政府提出的“绿色发展·低碳出行”号召决定购置一批质量好的供小区使用的共享单车，购买3辆男式单车与5辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需1591元.
（1）求男式单车和女式单车的单价：
（2）该社区要求男式单车比女式单车多40辆，两种单车至少需要220辆，购置两种单车的费用不超过41500元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？
【答案】（1）解：设男式单车单价为x元，女式单车的单价为y元
可列方程组 ，解得：
答：男式单车单价为215元，女式单车的单价为129元；
（2）解：设购买女式单车为m辆，男式单车 辆
解得：
所以，女士单车可以购买方案为90、91、92、93、94、95辆，男士单车对应购买方案为130、131、132、133、134、135辆
设所需要的费用为y元
.
答：当m取90时，所需要的费用最低，为39560元.
【解析】【分析】（1）由“3×男式单车的单价=5×女式单的单价，5×男式单车的单价+4×女式单的单价=1591”，据此设未知数，列方程组，然后求出方程组的解即可；
（2）此题的等量关系为：男式单车的数量=女式单车的数量+40；不等关系为：两种单车至少需要220辆，购置两种单车的费用不超过41500元，据此设未知数，列不等式组，然后求出不等式组的整数解，即可求出购车方案；然后列出y与m之间的函数解析式，利用一次函数的性质，可求出最低费用.
21．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使AE＝GE，连接CG，CF.
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）只需添加一个条件，即 ▲
，可使四边形CGEF为矩形，请加以证明.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵点E、F分别为OB、OD的中点，
∴EO＝ OB，FO＝ OD，
∴OE＝OF，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（SAS）；
（2）解：AC＝2AB；证明如下：
由（1）得：∠AEO＝∠CFO，
∴AE//CF，
∵EA＝EG，OA＝OC，
∴EO是△AGC的中位线，
∴EO//GC，
∴四边形CGEF是平行四边形，
∵AC＝2AB，AC＝2AO，
∴AB＝AO，
∵E是OB的中点，
∴AE⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
∴平行四边形CGEF是矩形，
故答案为：AC＝2AB.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得OB＝OD，OA＝OC，结合线段中点的概念可得OE＝OF，然后证明△AEO≌△CFO；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEO＝∠CFO，推出AE//CF，由中位线的性质可得EO//GC，则四边形CGEF是平行四边形，根据AC＝2AB，AC＝2AO可得AB＝AO，由等腰三角形的性质可得AE⊥OB，据此解答.
22．一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P（-3，2），与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求k的值及点A、B的坐标；
（2）已知点C（-1，0），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
【答案】（1）解：将P（3，2）代入
得：
函数表达式：，
令y=0，x=3，令x=0，y=1，
∴与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，1）；
（2）D（4，1）或D（2，-1）或D（-4，1）
【解析】【解答】解：（2）分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，1）；
②AB为对角线时，点D的坐标为（4，1），
③AC为对角线时，点D的坐标为（2，1）．
综上所述，点D的坐标是（4，1）或（-4，1）或（2，-1）．
【分析】（1）将点P的坐标代入y = kx+1，求出k的值，再将x=0和y=0分别代入即可得到点A、B的坐标；
（2）根据平行四边形的判定方法求解即可。
23．随着国家人口政策的调整，我市的小学生人数增速较快.某小学为了缓解学生用餐拥挤，计划购进某种餐桌、餐椅这是某商场给出的报价表：
　 零售价（元/张） 成套售价（元/套）
餐桌 400
餐椅
若以零售价购入餐桌和餐椅，且用750元购进的餐桌数量与用400元购进的餐椅数量相同.
（1）求每张餐桌和餐椅的零售价.
（2）采购人员计划购进餐椅的数量是餐桌数量的6倍还多10张，且餐桌和餐椅的总数量不少于220张.如果成套购买可享受该商场的成套售价（一张餐桌和四张餐椅配成一套），采购人员决定先成套购买，其余餐椅以零售价购入.设购进餐桌的数量为 （张），总价为 （元），求关于 的函数关系式，并求出总价最低时的进货方案.
【答案】（1）解：根据题意得： ，
解得a=150，
经检验，a=150是原分式方程的解.
答：表中a的值为150
（2）解：设购进餐桌x张，则购进餐椅（6x+10）张，
根据题意得：x+6x+10 220，
解得：x 30.
设总价为w元，
根据题意得：w=400x+80(6x+10-4x)=560x+800，
∵k=560＞0，
∴当x=30时，w取最小值，最小值为：560×30+800=17600.
6×30+10=190（张），
答：当购进餐桌30张、餐椅190张时，才能使总价最低.
【解析】【分析】（1）根据题意得： ，求解即可；
（2）设购进餐桌x张，则x+6x+10≥ 220，求解可得x的值，设总价为w元，根据题意得：w=400x+80(6x+10-4x)=560x+800，然后根据一次函数的性质进行求解.
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴、轴分别交于点，、，，与双曲线交于点，，的面积为．
（1）求与的值；
（2）点在线段上，过点作轴，垂足为点，以为对角线作正方形，如果点恰好落在上述双曲线上，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵的面积为．，、，，即
∴
解得：
∴，
将点、，，代入
得
解得：
∴直线的解析式为
∵，，
∴
∴
∴，代入
解得：
∴
（2）解：如图所示，
设对对角线的中点，，则
∴
∵
∴
即
∵在上，
∴，
解得：或（舍去）
∴．
【解析】【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题和围成图形的面积、点和函数的关系等知识。
（1）根据 直线与轴正半轴、轴分别交于点，、，，的面积为． 可得A（3，0），用待定系数法，可得K值，求出直线的解析式为 ，点C（c，10）在直线上，也在 ，可得m的值；
（2）函数与图形的综合题，要熟练运用图形的性质，正方形对角线相等且互相平分垂直。点P在直线上，设点 ，对角线交点D ，根据对角线的性质，可知DQ=DM，得出 ，M在 上，代入后，求出t值，注意点的位置，可得P坐标。
25．已知：如图，是等边三角形，点D在边上，且是等边三角形，边与交于点O．过点E作，分别与线段相交于点F、G、H，联结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，如果，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴．
同理可知，．
∴．
∴．
∴．
∴在和中，
∴
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图所示，
∵，
∴．
又∵是等边三角形，
∴
∴
∵
∴．
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
∴
又∵是等边三角形
∴
∴
∴．
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形DGEC是菱形．
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定和等边三角形的性质。
（1）要证 四边形是平行四边形，只需要求证BF∥CE即可。两个等边三角形共顶点时，手拉手全等。求证 和 全等即可。
（2）利用等边三三角形的性质，可得DC=CE，根据（1）四边形BCEF时是平行四边形，可证GE=EC=DG，四边都相等的四边形是菱形。
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