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【决战期末·50道综合题专练】人教版八年级下册期末数学试卷
1．已知：y﹣3与x成正比例，且当x=﹣2时，y的值为7．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点（﹣2，m）、点（4，n）是该函数图象上的两点，试比较m、n的大小，并说明理由．
2．开学初，张明和李强结伴去买学习用品，二人购买三种笔记本的价格和数量如下表：
价格（元/本） 4 3 2 合计
张明购买数量 2 2 2 6
李强购买数量 1 2 3 6
（1）从平均价格看，二人谁买的笔记本要便宜些？
（2）学期中，张明又分别购买了三种笔记本各1本，请你计算此次购买笔记本的平均价格与他开学初购买时相比是否发生变化；
（3）学期末，李强又购买了三种笔记本共12本，且平均价格与自己开学初购买时相比未发生变化，请你直接写出他学期末购买三种笔记本的数量分别为多少．（写出一种可能的购买情况即可）
3．已知正比例函数y=kx的图象过点P（3，-3）．
（1）写出这个正比例函数的函数解析式；
（2）已知点A（a，2）在这个正比例函数的图象上，求a的值．
4．已知y与x-1成正比例，且当x=3时，y=4。
（1）求出y与x之间的函数解析式；
（2）当x=1时，求y的值。
5．如图，在 中， ， 分别是 ， 边上的点， ，连接 . ， 的平分线分别交 ， 边于点 ， ，连接 ， .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，他猜想：当 为 的中点时，四边形 是矩形，请在下列框图中补全他的证明思路.
小明的证明思路
连接 .由（1）知四边形 是平行四边形.要证 是矩形，只要证 .
故只要证 .
由已知条件（　　），故只要证 ，
即证四边形 为平行四边形.易证（　　）
故只要证 ，易证 ，故只要证（　　）， 易证 ，即可得证.
6．小明和小军在一条直道上由西向东匀速行走，小明以每分钟60米的速度从A地出发，小军同时以每分钟v米的速度从A地东边80米的B地出发，小明和小军离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的关系如图.
（1）求小军离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数表达式.
（2）当小明到达离A地720米的C地时，小军离C地还有多少米？
7．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，
（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；
（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD＝BD，EF＝3，DE＝4，求CD的长．
8．如图，在中，，AD是高，，.
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）点F是AB的中点，连接DF，EF，若，，求EF的长.
9．如图，一个梯子 长25米，顶端 靠在墙 上（墙与地面垂直），这时梯子下端 与墙角 距离为7米．
（1）求梯子顶端 与地面的距离 的长；
（2）若梯子的顶端 下滑到 ，使 ，求梯子的下端 滑动的距离 的长．
10．因疫情防控的需要，某小学购买儿童医用口罩和成人医用口罩以满足全体师生的需要，其中这两种口罩每包所装的片数相同，每包成人医用口罩的价格比每包儿童医用口罩的价格少4元，用1200元购买儿童口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数．
（1）求成人医用口罩和儿童医用口罩每包的价格分别是多少元？
（2）若购买这两种口罩共120包，要求儿童口罩的包数不少于成人口罩包数的3倍．请设计一种购买方案，使所需总费用最低．
11．如图，点C是 的中点，四边形 是平行四边形.
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如果 ，求证：四边形 是矩形.
12．如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．
（1）求证：；
（2）求证：．
13．为调查同学们对亚运知识的了解情况，某校对七八两个年级进行了知识测试（单位：分），从两个年级各随机抽取30名同学的成绩数据，整理并绘制出七年级成绩数据的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）和两个年级测试成绩数据统计表．已知七年级这一组的成绩数据为：70 72 73 75 76 77 78 78
根据以上信息，回答下列问题：
平均数 中位数 众数
七年级 m 80
八年级 72 73 73
（1）写出表中m的值．
（2）抽取的测试成绩中，七年级有一个同学A的成绩为75分，八年级恰好也有一位同学B的成绩也是75分，这两名学生在各自年级抽取的测试成绩排名中更靠前的是　 　，理由是　 　．
（3）若七年级共有学生280人，估计七年级所有学生中成绩不低于75分的约有多少人．
14．李老师周末骑自行车去郊游，如图是他离家的距离 （千米）与时间 （时）之间关系的函数图象，李老师9时离开家，15时到家，根据这个函数图象，请你回答下列问题：
（1）到达离家最远的地方是　 　时，离家　 　千米.
（2）他　 　时开始了第二次休息，在整个骑行过程中，一共休息了　 　小时.
（3）他从离家最远的地方回家用了多长时间？速度是多少？
15．如图，在 中，点 是 的中点，点 是线段 的延长线上的一点，连接 ，过点 作CD∥AB，与线段 的延长线交于点 ，连接 、 .
（1）求证：四边形 是平行四边形.
（2）若 ， ：
①当四边形 是矩形时，求 的长；
②当BE= ▲ 时，四边形 是菱形.（请直接写出答案）
16．如图，已知，过点D作交的延长线于点E，过点C作交的延长线于点F．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）请添加一个条件：　 　，使得四边形是正方形，不用说明理由．
17．如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，过点C作CH⊥AB，垂足为H，求CH的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+m与y轴交于点A，与直线y＝﹣x+5交于点P（4，n）.
（1）求m＝　 　 ，n＝　 　；
（2）求两条直线与y轴围成的三角形的面积.
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE=AD：
（2）当D为AB中点时，证明：四边形BECD是菱形．
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？说明你的理由．
20．“一带一路”国家某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费 与包装盒数 满足如图1所示的函数关系.
方案二：租赁机器自己加工，所需费用 （包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）与包装盒数x满足如图2所示的函数关系.根据图象回答下列问题：
（1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？
（2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？
（3）请分别求出 、 与x的函数关系式
（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由
21．已知点为正方形内一点，．
（1）过点作交AE的延长线于点；
①如图1，求证：；
②如图2，连接，若，求四边形的面积；
（2）连接，延长交于点，若，则　 　．
22．小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示.
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？
（2）结合图象回答：
①当 时，h的值大约是多少？并说明它的实际意义.
②秋千摆动第二个来回需多少时间？
23．用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20页时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20页，超过部分每页收费0.09元．设在同一家复印店复印文件的页数为x（x为非负整数）．
（1）根据题意，补充完成表中的4个填空：
一次复印页数（页） 5 10 20 30 ……
甲复印店收费（元） 0.5 　 　 2 　 　 ……
乙复印店收费（元） 0.6 　 　 2.4 　 　 ……
（2）设在甲复印店复印收费y1（元），在乙复印店复印收费y2（元），分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（3）当复印文件的页数为100页时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．
24．某种子站销售一种玉米种子，单价为5元千克，为惠民促销，推出以下销售方案：付款金额（元）与购买种子数量（千克）之间的函数关系如图所示．
（1）当时，求与之间的的函数关系式：
（2）徐大爷付款20元能购买这种玉米种子多少千克？
25．已知一次函数，当时，y的值为3，当时，y的值为5．
（1）求k与b；
（2）当时，求y的取值范围．
26．如图，直线y=kx+5经过点B（2，9）和A（-6，m）
（1）求k，m的值；
（2）直线AB与x轴交点为C，求△BOC的面积．
27．某商场用60个A型包装袋与90个B型包装袋对甲，乙两类农产品进行包装出售（两种型号包装袋都用完），每个A型包装袋装2千克甲类农产品或装3千克乙类农产品，每个B型包装袋装3千克甲类农产品或装5千克乙类农产品，设有x个A型包装袋包装甲类农产品，有y个B型包装袋包装甲类农产品.
（1）请用含x或y的代数式填空完成下表：
包装袋型号 A B
甲类农产品质量（千克） 　 　
乙类农产品质量（千克） 　 　
（2）若甲、乙两类农产品的总质量分别是260千克与210千克，求x，y的值.
（3）若用于包装甲类农产品的B型包装袋数量是用于包装甲类农产品的A型包装袋数量的两倍，且它们数量之和不少于90个，记甲、乙两类农产品的总质量之和为m千克，求m的最小值与最大值.
28．某数学课外研究小组的同学们利用学校组织的校园义卖实践活动的机会，准备为社会献爱心。活动开始前，经过市场调查，他们分别按某超市售价的8折和7折从批发市场购进甲、乙两种智能文具盒共120个，活动当日按超市的同等售价卖出已知从批发市场购进甲种智能文具盒的单价是20元，购进乙种智能文具盒的单价是35元假设从批发市场购买甲种智能文具盒x个，两种智能文具盒全部销售完所获利润为y(元)。
（1）甲种智能文具盒的售价为　 　元，乙种智能文具盒的售价为　 　元；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）若购进每种智能文具盒的数量不少于30个，则如何购进这两种文具盒可使得本次义卖获得最大利润，最大利润是多少？
29．“双11”天猫商城做促销活动，小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本1元．甲的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八折卖．
（1）当购买数量超过10本时，分别写出甲、乙两商店购买本子的费用y（元）与购买数量x（本）之间的关系式；
（2）小明要买15本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由．
（3）小明现有28元，最多可买多少本练习本？
30．如图，在平行四边形中，，，过点A作边的垂线交的延长线于点E，点F是垂足，连接、，交于点O．求证
（1）四边形是正方形；
（2）；
（3）.
31．如图，直线是一次函数的图像，且经过点和点
（1）求k和b的值；
（2）求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积．
32．已知，在平行四边形 中，点E，F在分别边 ， 上，且 于点H， 于点G．
（1）求证： ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与 互余的所有角．
33．已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数；
（3）求证：四边形MBDE是平行四边形．
34．为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，两人成绩如下（单位：环）：
甲： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
乙： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
（1）求甲的平均数 ；
（2）已知 ， ，请通过计算说明谁的成绩较稳定？
35．每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动，活动结束后，校教务处对本校八年级学生.4月份的读书进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全左边的条形统计图，并在右边扇形统计图横线上填空；
（2）本次抽取学生4月份“读书量”的众数为 　 　，平均数为 　 　本，中位数为 　 　；
（3）已知该校八年级有700名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”不少于4本的学生人数．
36．在平面直角坐标系中，一次函数 （k，b都是常数，且 ）的图象经过点 和
（1）当 时，求y的取值范围．
（2）已知点 在该函数的图象上，且 ，求点P的坐标．
37．已知一次函数的图象经过点（3，5）和点（﹣4，﹣9）.
（1）求一次函数的表达式；
（2）求图象与坐标轴的交点坐标；
（3）求图象与坐标轴围成的三角形的面积S；
（4）若点（a，2）在该一次函数的图象上，求a的值.
38．今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48000m2和B种板材24000m2的任务.
（1）如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60m2或B种板材40m2，请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？
（2）某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：
板房 A种板材（m2） B种板材（m2） 安置人数
甲型 108 61 12
乙型 156 51 10
问这400间板房最多能安置多少灾民？
39．某校为了解学生在要假期间的自我管理能力，学校随机抽取80位学生，让每位学生请一位家长对自己打分，满分为10分.如下是家长所打分数的频数统计表.
分数 5 6 7 8 9 10
频数 4 8 20 24 16 8
（1）求被抽取的家长们所打分数的平均数、中位数和众数；
（2）该校共有1600名学生，本次调查自我管理能力分数大于7分的为“优秀”，请根据样本估计这个学校学生自我管理能力为“优秀”人数有多少名？
40．如图，在平行四边形 中， 是对角线 的中点，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 、 于点 、 .
（1）如图1，若 ， ，求平行四边形 的面积：
（2）如图2，求证： .
41．一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元.设购进A型
手机x部，B型手机y部.三款手机的进价和预售价如下表：
手机型号 A型 B型 C型
进 价（单位：元/部） 900 1200 1100
预售价（单位：元/部） 1200 1600 1300
（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；
（2）求出y与x之间的函数关系式；
（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元.
①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；
（注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用）
②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部.
42．如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝8，BC＝6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ.设运动时间为t秒.
（1）AM＝　 　，AP＝　 　.(用含t的代数式表示)
（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值
（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，
①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由
②使四边形AQMK为正方形，求AC.
43．
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系是　 　，位置关系是　 　．请直接写出结论．
（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当α=90°时，连接BE、DF，若正方形的边长为1，猜想当AE=　 　时，直线DF垂直平分BE．请写出计算过程．
（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论：　 　．
44．如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，O为坐标原点，点
，点
交y轴于点
动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位长度的速度终点B运动，同时动点F从点A出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E运动到点B时，点F随之停止运动，运动时间为
秒
.
（1）用t的代数式表示：
　 　，
　 　
（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.
（3）当
恰好是等腰三角形时，求t的值.
45．如图1，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，是线段的中点，连接．
（1）直接写出与的位置和数量关系．
（2）如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的位置和数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
46．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点，分别过点A，C作BC，AD边上的高AE，CF.
（1）求证：四边形AECF是矩形.
（2）过D作于点，交边CF于点，若AB平分，求矩形AECF的周长.
47．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数 的图象与过 、 的直线交于点P，与x轴、y轴分别相交于点C和点D.
（1）求直线AB的解析式及点P的坐标；
（2）连接AC，求 的面积
（3）设点E在x轴上，且与C、D构成等腰三角形，请直接写出点E的坐标.
48．如图M2-12①，等边三角形ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B，C不重合），设BP=x，连接AP，以AP为边向两侧作等边三角形APD和等边三角形APE，分别与边AB，AC交于点M，N．
（1）求证：AM=AN；
（2）求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式及S的最小值；
（3）如图M2-12②，连接DE，分别与边AB，AC交于点G，H．当x为何值时，∠BAD=15°？
49．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠BAD=60°．动点E、F分别从点B、D同时出发，以1cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，取AF、CE的中点G、H，连接GE、FH．设运动的时间为ts（0＜t＜4）．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当t为何值时，四边形EHFG为菱形；
（3）试探究：是否存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
50．如图，直线 与x轴，y轴分别交于点A，点B，与函数 的图象交于点 .
（1）直接写出k，b的值和不等式 的解集；
（2）在x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数 和 的图象于点C，点D.若 ，求点P的坐标.
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【决战期末·50道综合题专练】人教版八年级下册期末数学试卷
1．已知：y﹣3与x成正比例，且当x=﹣2时，y的值为7．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点（﹣2，m）、点（4，n）是该函数图象上的两点，试比较m、n的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：∵y﹣3与x成正比例，∴y﹣3=kx，∵当x=﹣2时，y=7，∴k=﹣2，∴y﹣3=﹣2x，
∴y与x的函数关系式是：y=﹣2x+3
（2）解：∵y与x的函数关系式是：y=﹣2x+3，
∴该函数是降函数，
∵﹣2＜4，
∴m＞n．
【解析】【分析】（1）根据y﹣3与x成正比例，设出y与x之间的函数关系式，然后把x=﹣2，y=7，代入即可求出y与x的函数关系式；
（2）根据一次函数的性质知道次函数y随x的增大而减小，由两点的横坐标的大小判断出m,n的大小。
2．开学初，张明和李强结伴去买学习用品，二人购买三种笔记本的价格和数量如下表：
价格（元/本） 4 3 2 合计
张明购买数量 2 2 2 6
李强购买数量 1 2 3 6
（1）从平均价格看，二人谁买的笔记本要便宜些？
（2）学期中，张明又分别购买了三种笔记本各1本，请你计算此次购买笔记本的平均价格与他开学初购买时相比是否发生变化；
（3）学期末，李强又购买了三种笔记本共12本，且平均价格与自己开学初购买时相比未发生变化，请你直接写出他学期末购买三种笔记本的数量分别为多少．（写出一种可能的购买情况即可）
【答案】（1）李强买的笔记本要便宜些
（2）此次购买笔记本的平均价格与他开学初购买时相比没有发生变化
（3）购买单价4元的1本，购买单价3元的6本，购买单价2元的5本或购买单价4元的2本，购买单价3元的4本，购买单价2元的6本或购买单价4元的3本，购买单价3元的2本，购买单价2元的7本．（答案不唯一）．
3．已知正比例函数y=kx的图象过点P（3，-3）．
（1）写出这个正比例函数的函数解析式；
（2）已知点A（a，2）在这个正比例函数的图象上，求a的值．
【答案】（1）解：代入求值：-3=3k
K=-1
所以解析式是y=-x
（2）解：点 A(a，2)在图像上．
所以，a=-2
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可得到答案；
（2）把 点A（a，2）代入函数解析式，得到关于a的方程，进而即可求解．
4．已知y与x-1成正比例，且当x=3时，y=4。
（1）求出y与x之间的函数解析式；
（2）当x=1时，求y的值。
【答案】（1）解：设y=k (x-1)，
把x=3，y-4代入得(3-1)k=4，解得k=2，
所以y=2(x-1)，
即y=2x-2；
（2）当=1时，y=2×1-2=0．
【解析】【分析】（1）考查正比例函数解析式的写法，将x-1看作一个整体，y与x-1的关系表示为y=k（x-1），然后将x和y的值代入，求出k，再整理出表达式即可；
（2）利用第一题求出的表达式，将x=1代入，计算y的值。
5．如图，在 中， ， 分别是 ， 边上的点， ，连接 . ， 的平分线分别交 ， 边于点 ， ，连接 ， .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，他猜想：当 为 的中点时，四边形 是矩形，请在下列框图中补全他的证明思路.
小明的证明思路
连接 .由（1）知四边形 是平行四边形.要证 是矩形，只要证 .
故只要证 .
由已知条件（　　），故只要证 ，
即证四边形 为平行四边形.易证（　　）
故只要证 ，易证 ，故只要证（　　）， 易证 ，即可得证.
【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴
∵ ， 分别平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴
在 和 中
∴
∴
∴四边形 是平行四边形
（2）解：连接 .由（1）知四边形 是平行四边形.要证 是矩形，只要证 .
故只要证 .
由已知条件 平分 ，故只要证 ，
即证四边形 为平行四边形.易证
故只要证 ，易证 ，故只要证 ， 易证 ，即可得证.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，利用平行线的性质及角平分线的定义可得 ， ，从而得出，证明 ，可得，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即证结论；
（2）连接 ，由（1）知四边形 是平行四边形，根据矩形的判定定理和全等三角形的判定与性质进行解答即可.
6．小明和小军在一条直道上由西向东匀速行走，小明以每分钟60米的速度从A地出发，小军同时以每分钟v米的速度从A地东边80米的B地出发，小明和小军离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的关系如图.
（1）求小军离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数表达式.
（2）当小明到达离A地720米的C地时，小军离C地还有多少米？
【答案】（1）解：设y=kx+b.
∵小明的速度是每分钟60米，
∴当小明的行走时间为4分钟时，小明离A地的距离是60×4=240米.
∴当小军的行走时间为4分钟时，小军离A地的距离是240米.
∴直线y=kx+b的图象经过点（4，240）.
∵小军从A地东边的80米的B地出发，
∴直线y=kx+b的图象经过点（0，80）.
把（0，80）和（4，240）代入y=kx+b得
解得
∴小军离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数表达式是y=40x+80.
（2）解：∵小明以每分钟60米的速度从A地出发，
∴小明到达离A地720米的C地所用时间为720÷60=12分钟.
∴小明行走12分钟时，小军离A地的距离是40×12+80=560米.
∴小军离C地的距离是 米.
∴当小明到达离A地720米的C地时，小军离C地还有160米.
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，易得当小明的行走时间为4分钟时，小明离A地的距离是60×4=240米，小军从A地东边的80米的B地出发，故直线过点（4，240）、（0，80），代入求出k、b的值，据此可得y与x的函数表达式；
（2）根据小明的速度可得小明到达离A地720米的C地所用时间为720÷60=12分钟，此时小军离A地的距离是40×12+80=560米，然后利用总距离减去560米即可求出小军离C地的路程.
7．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，
（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；
（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD＝BD，EF＝3，DE＝4，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵E为AB的中点，
∴CE=AB，DE=AB
∴CE=DE，
即△ECD是等腰三角形；
（2）解：如图，过点E作EH⊥CD于点H，
∵AD=BD，E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵DE=4，EF=3，
∴DF=5，
∵∠FED=90°，EH⊥DF，
∴S△DEF=EF·DE=DF·EH，
∴EH=，
∴DH==3.2，
∵△ECD是等腰三角形，
∴CD=2DH=6.4．
【解析】【分析】 （1）根据垂直的定义得出∠ACB=∠ADB=90°，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出CE=DE，即可证出△ECD是等腰三角形；
（2）过点E作EH⊥CD于点H，利用等积法求出EH的长，再利用勾股定理求出DH的长，再根据等腰三角形的性质得出CD=2DH，即可得出答案.
8．如图，在中，，AD是高，，.
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）点F是AB的中点，连接DF，EF，若，，求EF的长.
【答案】（1）证明：∵是高
∴即
∵
∴
∵
∴
∵
∴四边形ADCE是平行四边形
∵
∴四边形ADCE是矩形
（2）解：如图，连接DE
∵四边形ADCE是矩形
∴
∵点F是AB的中点，是直角三角形
∴
在中，由勾股定理得
∴EF的长为
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出BD=DC，结合BC=2AE，得出AE=CD，由于AE∥BC，则可证明四边形ADCE是平行四边形，结合∠ADC=90°，从而证明四边形ADCE是矩形 ；
(2) 连接DE，由矩形的性质求出DE的长，再根据直角三角形斜边中线的性质求出DF长，在Rt△DEF中， 根据勾股定理求EF长即可.
9．如图，一个梯子 长25米，顶端 靠在墙 上（墙与地面垂直），这时梯子下端 与墙角 距离为7米．
（1）求梯子顶端 与地面的距离 的长；
（2）若梯子的顶端 下滑到 ，使 ，求梯子的下端 滑动的距离 的长．
【答案】（1）解：在 中， 米， 米，
故 米，
（2）解：在 中， 米， 米，
故 米，
故 米．
答：梯子的下端 滑动的距离 的长为8米．
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理得出AC的长；
（2）利用勾股定理得出DC的长进而得出答案。
10．因疫情防控的需要，某小学购买儿童医用口罩和成人医用口罩以满足全体师生的需要，其中这两种口罩每包所装的片数相同，每包成人医用口罩的价格比每包儿童医用口罩的价格少4元，用1200元购买儿童口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数．
（1）求成人医用口罩和儿童医用口罩每包的价格分别是多少元？
（2）若购买这两种口罩共120包，要求儿童口罩的包数不少于成人口罩包数的3倍．请设计一种购买方案，使所需总费用最低．
【答案】（1）解：设成人医用口罩每包的价格为x元，儿童医用口罩每包的价格为元，
根据题意，得
解得：
经检验，是原分式方程的解且符合题意．
，
答：成人医用口罩每包的价格为12元，儿童医用口罩每包的价格为16元．
（2）解：设购买a包成人医用口罩，购买包儿童医用口罩，所需总费用为w元，依题意，得
，
，
，
∵，
∴当时，w有最小值，
此时，
答：购买30包成人医用口罩，90包儿童医用口罩时，所需总费用最低．
【解析】【分析】（1）根据每包成人医用口罩的价格比每包儿童医用口罩的价格少4元，用1200元购买儿童口罩的包数恰好是同样的钱购买成人口罩的包数，列方程即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出 当时，w有最小值， 最后作答即可。
11．如图，点C是 的中点，四边形 是平行四边形.
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如果 ，求证：四边形 是矩形.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC.
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形
【解析】【分析】（1） 根据平行四边形的性质得出AD∥BC，且AD=BC，由线段的中点得出BC=CE，由等量代换可得AD=CE，由AD∥CE，利用一组对边平行且相等可证四边形ACED是平行四边形；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明.
12．如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴AB∥CD，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用SAS证明三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性质求解即可。
13．为调查同学们对亚运知识的了解情况，某校对七八两个年级进行了知识测试（单位：分），从两个年级各随机抽取30名同学的成绩数据，整理并绘制出七年级成绩数据的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）和两个年级测试成绩数据统计表．已知七年级这一组的成绩数据为：70 72 73 75 76 77 78 78
根据以上信息，回答下列问题：
平均数 中位数 众数
七年级 m 80
八年级 72 73 73
（1）写出表中m的值．
（2）抽取的测试成绩中，七年级有一个同学A的成绩为75分，八年级恰好也有一位同学B的成绩也是75分，这两名学生在各自年级抽取的测试成绩排名中更靠前的是　 　，理由是　 　．
（3）若七年级共有学生280人，估计七年级所有学生中成绩不低于75分的约有多少人．
【答案】（1）解：74
（2）B；七年级的中位数高于八年级的中位数
（3）解：(10+5)÷30×280=140.
答：七年级所有学生中成绩不低于75分的约有140人．
【解析】【解答】解：（1）七年级中位于第15、16个数据分别为73 75，故中位数为(73+75)÷2=74.
【分析】（1）七年级中位于第15、16个数据分别为73 75，求出其平均数即为中位数；
（2）根据七年级、八年级中位数的大小进行分析判断；
（3）利用七年级中成绩不低于75分的人数除以总人数，然后乘以280即可.
14．李老师周末骑自行车去郊游，如图是他离家的距离 （千米）与时间 （时）之间关系的函数图象，李老师9时离开家，15时到家，根据这个函数图象，请你回答下列问题：
（1）到达离家最远的地方是　 　时，离家　 　千米.
（2）他　 　时开始了第二次休息，在整个骑行过程中，一共休息了　 　小时.
（3）他从离家最远的地方回家用了多长时间？速度是多少？
【答案】（1）12；30
（2）12；1.5
（3）解： （小时），
千米/小时.
答：李老师从最远处回到家用了2个小时，速度为15千米/小时
【解析】【解答】解：由图象可得：
（1）到达离家最远的地方是 12 时，离家多远 30 千米.
（2）他 12 时开始了第二次休息，在整个骑行过程中，一共休息了1.5小时.
【分析】（1）根据函数图象中的数据，直接得到到达离家最远的地方是几时，此时离家多远；
（2）根据时间在变，路程不变的第二次的时间即可；在整个过程中两次休息的时间相加即得；
（3）利用函数图象先求出从离家最远的地方回家用的时间，利用速度=路程÷时间即可求出结论.
15．如图，在 中，点 是 的中点，点 是线段 的延长线上的一点，连接 ，过点 作CD∥AB，与线段 的延长线交于点 ，连接 、 .
（1）求证：四边形 是平行四边形.
（2）若 ， ：
①当四边形 是矩形时，求 的长；
②当BE= ▲ 时，四边形 是菱形.（请直接写出答案）
【答案】（1）证明：∵点 是 的中点，
∴ ，
∵CD∥AB，
∴ ，
在 和 中：
∵
∴ ，
∴CD=BE，
又∵CD∥BE，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解： ①∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在Rt 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②
【解析】【解答】解：（2）②若四边形 是菱形，BC⊥DE，且互相平分，
则
∵ ，
∴ ，
又∵BC⊥DE，
∴ 为直角三角形，
∴ ，
∴设EF=x，BE=2x，
在Rt 中，
，
，
解得 ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】（1）先证出△CDF≌△BEF，得出CD=BE，再根据CD∥BE，即可得出四边形DBEC是平行四边形；
（2）①根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半得出CE=BC=3，再利用勾股定理即可求出BE的长；
②设EF=x，BE=2x，利用勾股定理得出，从而得出关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出BE的长.
16．如图，已知，过点D作交的延长线于点E，过点C作交的延长线于点F．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）请添加一个条件：　 　，使得四边形是正方形，不用说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形DECF是矩形；
（2）DF=DE（答案不唯一）
【解析】【解答】解：（2）开放性命题，答案不唯一，如添加DF=DE，理由如下：
∵DE=DF，
∴矩形DECF是正方.
故答案为：DE=DF.
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，结合CF∥DE，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形DECF是平行四边形，由垂直的定义得∠DEC=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论；
（2）开放性命题，答案不唯一，如添加DF=DE，根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得结论.
17．如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，过点C作CH⊥AB，垂足为H，求CH的长．
【答案】（1）解：如图，连接AC交BD于点O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AO＝CO，且∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴EO＝FO，且AO＝CO
∴四边形AECF是平行四边形
（2）解：∵四边形AECF是平行四边形
∴AE＝CF＝12cm，
∴BF＝ ＝5cm
BE＝ ＝16cm
∴EF＝BE﹣BF＝11cm，
∵BO＝DO，EO＝FO
∴DE＝BF＝5cm
∴BD＝21cm，
∵S△ABD＝ S ABCD＝S△ABC，
∴ BD×AE＝ ×AB×CH
∴21×12＝20×CH
∴CH＝12.6cm
【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，证明△AOE≌△COF（AAS），可得EO＝FO，由平行四边形的性质可得AO＝CO，根据对角线互相平分可证四边形AECF是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可得AE＝CF＝12cm，由勾股定理可得BF=5，BE=16， 从而求出EF＝BE﹣BF＝11cm，DE＝BF＝5cm，BD＝21cm，根据S△ABD＝ S ABCD＝S△ABC，可得 BD×AE＝ ×AB×CH，据此即可求出CH.
18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+m与y轴交于点A，与直线y＝﹣x+5交于点P（4，n）.
（1）求m＝　 　 ，n＝　 　；
（2）求两条直线与y轴围成的三角形的面积.
【答案】（1）-7；1
（2）解：与轴交于点，
令，，
，
，
与轴交于点，
令，，
，
，
，
，
，
.
【解析】【解答】解：（1）点P（4，n）在直线y＝﹣x+5上，
，
，
也在直线y＝2x+m上，
，
解得，
，
故答案为：-7，1；
【分析】（1）将P（4，n）代入y=-x+5中可得n的值，据此可得点P的坐标，然后代入y=2x+m中进行计算就可得到m的值；
（2）易得A（0，-7），C（0，5），则OA=7，OC=5，AC=12，接下来根据三角形的面积公式进行计算.
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE=AD：
（2）当D为AB中点时，证明：四边形BECD是菱形．
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？说明你的理由．
【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD．
（2）证明：∵D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝BD=CD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵BD=CD，
∴四边形BECD是菱形．
（3）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，理由如下：
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠BDC=90°时，四边形BECD是正方形，
∴∠CBD＝45°，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形．
【解析】【分析】（1）先证明四边形ADEC是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得CE=AD；
（2）先证明四边形BECD是平行四边形，再结合BD=CD，可得四边形BECD是菱形；
（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形。
20．“一带一路”国家某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费 与包装盒数 满足如图1所示的函数关系.
方案二：租赁机器自己加工，所需费用 （包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）与包装盒数x满足如图2所示的函数关系.根据图象回答下列问题：
（1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？
（2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？
（3）请分别求出 、 与x的函数关系式
（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由
【答案】（1）解：由题意可得，
方案一中每个包装盒的价格是：500÷100＝5（元），
即方案一中每个包装盒的价格是5元；
（2）解：根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为20000元，
盒子的单价为：（30000 20000）÷4000＝2.5
答：租赁机器的费用为20000元，生产一个包装盒的费用是2.5元；
（3）解：设图象一的函数解析式为：y ＝k x，
由图象知函数经过点（100，500），
∴500＝100 k ，
解得 k ＝5，
∴函数的解析式为 y ＝5x；
设图象二的函数关系式为y ＝k x＋b
由图象知道函数的图象经过点（0，20000）和（4000，30000）
∴ ，
解得： ，
∴函数的解析式为y ＝2.5x＋20000；
（4）解：当x＝8000时，两种方案同样省钱，
当x＜8000时，选择方案一，
当x＞8000时，选择方案二，
理由：令5x＝2.5x＋20000，解得x＝8000，
∴当x＝8000时，两种方案同样省钱；
当x＜8000时，选择方案一；
当x＞8000时，选择方案二.
【解析】【分析】（1）根据图1中的数据可以求得方案一中每个包装盒的价格；
（2）根据图2可以得到方案二中租赁机器的费用和生产一个包装盒的费用；
（3）根据函数图象中的数据可以分别求得y 、y 与x的函数关系式；
（4）根据（3）中的函数关系式可以解答本题.
21．已知点为正方形内一点，．
（1）过点作交AE的延长线于点；
①如图1，求证：；
②如图2，连接，若，求四边形的面积；
（2）连接，延长交于点，若，则　 　．
【答案】（1）解：①如图
∵四边形是正方形
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
②如图：过C作
∵四边形是正方形
∴
∵
∴
∴
∵
∴
即
∴设
∴
在中，
∴
则四边形的面积
；
（2）
【解析】【解答】解：（2）解：如图所示：延长交于点M
∵点为正方形内一点，．
∴点的轨迹为以的中点为圆心，的长为半径，且在正方形内
∵
∴点的轨迹为以点C为圆心，的长为半径，且在正方形内
即点的位置如图所示：
过C作
∵四边形是正方形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
则设，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
则在中，
∴
∵
∴
∴
即
∴
∴
【分析】(1)①根据正方形的性质以及直角三角形两个锐角互余，进行角的等量代换，即可作答.
②过C作CH⊥ED，通过AAS证明△CDH≌△DAE，设EH=x，HD=y，ED=HC=AF=x+y，结合勾股定理列式，得EC2= EH2 +CH2 =x2+ (x+y)2=2x2+2xy+y2=16，再运用割补法，得出四边形CDEF的面积=x(EF+HC)xEH+xHDx HC，再整体代入，即可作答.
（2）延长AE交BC于点M，确定E的轨迹为以点C为圆心，BC的长为半径，且在正方形ABCD内，再结合图形，证明△CDH=△DAE(AAS)，结合等腰三角形的三线合一，得出AE=EH=HD=ED=HC，设AE=x，ED=2x，运用解直角三角形性质得出，在中，，再根据，求出，再求出，进而求出.
22．小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示.
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？
（2）结合图象回答：
①当 时，h的值大约是多少？并说明它的实际意义.
②秋千摆动第二个来回需多少时间？
【答案】（1）由图象可知，
对于每一个摆动时间t，
h都有难一确定的值与其对应.
∴变量h是关于t的函数；
（2）①由函数图象可知，当 时， ，
它的实际意义是：
秋千摆动5.4s时，离地面的高度大约是1.0m；
图象可知，
秋千摆动第二个来回需 .
【解析】【分析】（1）按照函数的定义即可求解；
（2）①当 t＝5.4s时，h＝1.0m，即为离地面最高的点，即可求解；
②从图象看前一个周期用时2.8s，后一个周期用时5.4 2.8＝2.6s，再后一个周期用时7.8 5.4＝2.4s为均匀减小，即可求解．
23．用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20页时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20页，超过部分每页收费0.09元．设在同一家复印店复印文件的页数为x（x为非负整数）．
（1）根据题意，补充完成表中的4个填空：
一次复印页数（页） 5 10 20 30 ……
甲复印店收费（元） 0.5 　 　 2 　 　 ……
乙复印店收费（元） 0.6 　 　 2.4 　 　 ……
（2）设在甲复印店复印收费y1（元），在乙复印店复印收费y2（元），分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（3）当复印文件的页数为100页时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得，
一次复印页数（页） 5 10 20 30 …
甲复印店收费（元） 0.5 1 2 3 …
乙复印店收费（元） 0.6 1.2 2.4 3.3 …
故答案为：1，1.2；3，3.3；
（2）解：由题意可得，
y1关于x的函数关系式是y1=0.1x，
当0＜x≤20时，y2关于x的函数关系式是y2=0.12x，
当x＞20时，y2关于x的函数关系式是y2=0.12×20+0.09（x-20）=0.09x+0.6，
即y2关于x的函数关系式是y2=；
（3）解：当复印文件的页数为100页时，顾客在乙家复印店复印花费少，
理由：当x=100时，
y1=0.1×100=10，y2=0.09×100+0.6=9.6，
∵10＞9.6，
∴当复印文件的页数为100页时，顾客在乙家复印店复印花费少．
【解析】【分析】（1）根据题干中的计算方法求解即可；
（2）根据题干中的计算方法列出函数解析式即可；
（3）将x=100分别代入甲、乙复印店的解析式求出y1=0.1×100=10，y2=0.09×100+0.6=9.6，再比较大小即可。
24．某种子站销售一种玉米种子，单价为5元千克，为惠民促销，推出以下销售方案：付款金额（元）与购买种子数量（千克）之间的函数关系如图所示．
（1）当时，求与之间的的函数关系式：
（2）徐大爷付款20元能购买这种玉米种子多少千克？
【答案】（1）解：当时，设与之间的的函数关系式为，
将点，代入解析式得
解得
∴．
（2）解：将时，代入中解得千克．
答：徐大爷付款20元能购买这种玉米种子4.5千克．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）将y=20代入求出x的值即可。
25．已知一次函数，当时，y的值为3，当时，y的值为5．
（1）求k与b；
（2）当时，求y的取值范围．
【答案】（1）解：∵一次函数，当时，y的值为3，当时，y的值为5，
∴，
解得；
（2）解：∵，．
∴当时，，
当时，，
∴
【解析】【分析】（1）分别将x、y的两组值代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值.
（2）分别将x=-4和x=5代入函数解析式，可求出对应的y的值，利用一次函数的性质可得到当-4≤x≤5时的y的取值范围.
26．如图，直线y=kx+5经过点B（2，9）和A（-6，m）
（1）求k，m的值；
（2）直线AB与x轴交点为C，求△BOC的面积．
【答案】（1）解：把B（2，9）坐标代入y=kx+5得：9=2k+5，则k=2．
所以，一次函数解析式为：y=2x+5．
将A（-6，m）代入：y=2x+5，得：m=2×（-6）+5=-7．
所以，k=2，m=-7；
（2）解：一次函数y=2x+5与x轴的交点C坐标（ ，0）
又因为B（2，9）
所以， ．
【解析】【分析】（1）将点B代入一次函数解析式求出k的值，再将A（-6，m）代入一次函数解析式即可求出m的值；
（2）将y=0代入一次函数解析式求出点C的坐标，再利用三角形面积公式计算即可。
27．某商场用60个A型包装袋与90个B型包装袋对甲，乙两类农产品进行包装出售（两种型号包装袋都用完），每个A型包装袋装2千克甲类农产品或装3千克乙类农产品，每个B型包装袋装3千克甲类农产品或装5千克乙类农产品，设有x个A型包装袋包装甲类农产品，有y个B型包装袋包装甲类农产品.
（1）请用含x或y的代数式填空完成下表：
包装袋型号 A B
甲类农产品质量（千克） 　 　
乙类农产品质量（千克） 　 　
（2）若甲、乙两类农产品的总质量分别是260千克与210千克，求x，y的值.
（3）若用于包装甲类农产品的B型包装袋数量是用于包装甲类农产品的A型包装袋数量的两倍，且它们数量之和不少于90个，记甲、乙两类农产品的总质量之和为m千克，求m的最小值与最大值.
【答案】（1）3y；3(60-x)
（2）解：由题意得：，
解得；
（3）解：设用于包装甲类农产品的A型包装袋数量为n，则用于包装甲类农产品的B型包装袋数量为2n，
∵用于包装甲类农产品的A、B型包装袋的数量之和不少于90个，
，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，m随n增大而减小，
∴当n=60时，m有小值330，当n=30时，m有最大值480，
∴m的最大值为480，最小值为330
【解析】【解答】解：（1）由题意可以填表如下：
包装袋型号 A B
甲类农产品质量（千克）
乙类农产品质量（千克）
【分析】（1）由题意可得乙类农产品有(60-x)个A型包装袋，甲类农产品有y个B型包装袋，然后根据每个A型包装袋装3千克乙类农产品、每个B型包装袋装3千克乙类农产品进行解答；
（2）根据甲类农产品的总质量是260千克可得2x+3y=260，根据乙类农产品的总质量是210千克可得3(60-x)+5(90-y)=210，联立求解即可；
（3）设用于包装甲类农产品的A型包装袋数量为n，则用于包装甲类农产品的B型包装袋数量为2n，根据A、B型包装袋的数量之和不少于90个可得n的范围，根据总质量=甲类农产品质量+乙类农产品质量可得可得m与n的关系式，然后结合一次函数的性质进行解答.
28．某数学课外研究小组的同学们利用学校组织的校园义卖实践活动的机会，准备为社会献爱心。活动开始前，经过市场调查，他们分别按某超市售价的8折和7折从批发市场购进甲、乙两种智能文具盒共120个，活动当日按超市的同等售价卖出已知从批发市场购进甲种智能文具盒的单价是20元，购进乙种智能文具盒的单价是35元假设从批发市场购买甲种智能文具盒x个，两种智能文具盒全部销售完所获利润为y(元)。
（1）甲种智能文具盒的售价为　 　元，乙种智能文具盒的售价为　 　元；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）若购进每种智能文具盒的数量不少于30个，则如何购进这两种文具盒可使得本次义卖获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）25；50
（2）根据题意得y=(25-20)x+(50 -35)(120-x)，
整理得y=-10x+1800(0≤x≤120)；
（3）由题意，得x≥30且120-x≥30，
解得30≤x≤90，∵-10<0，∴y随x的增大而减小，当x=30时，y取得最大值，y最大=-10x30+1800= 1500(元)，
∴120-x=90，∴当购进甲种智能文具盒30个，乙种智能文具盒90个时，所获利润最大，最大利润为1500元
【解析】【解答】解：（1） ，，
∴甲种智能文具盒的售价为25元， 乙种智能文具盒的售价为50元；
【分析】（1）根据甲种智能文具盒的单价=甲种智能文具盒的售价×80%，乙种智能文具盒的单价=乙种智能文具盒的售价×70%，列出算式进行计算，即可得出答案；
（2）根据y=甲种智能文具盒的利润+乙种智能文具盒的利润，列出式子进行化简，即可得出答案；
（3）根据题意求出x的取值范围为30≤x≤90， ，再根据（2）的结论得出y随x的增大而减小，从而得出当x=30时，y取得最大值，再把x=30代入函数关系式，求出y的最大值，即可求解.
29．“双11”天猫商城做促销活动，小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本1元．甲的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八折卖．
（1）当购买数量超过10本时，分别写出甲、乙两商店购买本子的费用y（元）与购买数量x（本）之间的关系式；
（2）小明要买15本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由．
（3）小明现有28元，最多可买多少本练习本？
【答案】（1）解：根据题意得：y甲=1×10+0.6×1×（x-10）=0.6x+4；
y乙=0.8×1×x=0.8x．
（2）到乙商店购买较省钱，理由如下：
当x=15时，y甲=0.6×15+4=13，y乙=0.8×15=12，
∵13＞12，
∴小明要买15本练习本，到乙商店购买较省钱．
（3）当y甲=28时，有0.6x+4=28，
解得：x=40；
当y乙=28时，有0.8x=28，
解得：x=35．
∵40＞35，
∴最多可买40本练习本．
【解析】【分析】（1）根据甲、乙两店的优惠方案，可找出y甲、y乙与x间的函数关系；
（2）淡入x=15求出y甲、y乙的值，比较之后即可得出结论；
（3）分别代入y甲=15、y乙=15求出x的值，比较后即可得出结论。
30．如图，在平行四边形中，，，过点A作边的垂线交的延长线于点E，点F是垂足，连接、，交于点O．求证
（1）四边形是正方形；
（2）；
（3）.
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴四边形是正方形；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
【解析】【分析】（1）利用平行四边形性质，证明，得到AB=CE，继而得出四边形ABEC是平行四边形，又有一个角为直角的平行四边形是矩形，即可求出答案。
（2）直角三角形利用勾股定理即可求出答案。
（3）正方形的对角线互相垂直平分，利用三角形面积公式即可求出答案。
31．如图，直线是一次函数的图像，且经过点和点
（1）求k和b的值；
（2）求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】（1）解：∵一次函数经过点和点，
∴，
解得，
即，
（2）解：由（1）得一次函数解析式为，
令，即，
解得，
∴点，
∵，，
∴，
∴，
即直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为．
【解析】【分析】（1）将点A、C的坐标代入求出k、b的值即可；
（2）先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可。
32．已知，在平行四边形 中，点E，F在分别边 ， 上，且 于点H， 于点G．
（1）求证： ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与 互余的所有角．
【答案】（1）证明：∵四边形 为平行四边形
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴四边形 是平行四边形
∴
∴
∵ ，
∴
∴四边形 为矩形
∴ ；
（2）解：∵GF⊥AE，
∴ ，
∵ ， ，
∴∠AEB=∠GAF，∠HCE=∠CFD=∠GAF，
∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ 互余的角有： ．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质，可得， ，可得，所以四边形 为矩形，求得 ；
（2）根据余角的性质解答即可。
33．已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数；
（3）求证：四边形MBDE是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠BAC=180°-2∠ABC，
∵以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠DAE=180°-2∠ADE，
∵∠ADE=∠ABC，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中， ，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE＝30°，
∴∠ACB＝∠ACE＝30°，
∴∠ECB＝∠ACB+∠ACE＝60°，
∵EM∥BC，
∴∠MEC+∠ECD＝180°，
∴∠MEC＝180°﹣60°＝120°；
（3）证明：∵△BAD≌△CAE，
∴DB＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ACE，
∵EM∥BC，
∴∠EMC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠EMC，
∴ME＝EC，
∴DB＝ME，
又∵EM∥BD，
∴四边形MBDE是平行四边形．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ABC=∠ACB， 再求出 ∠BAC=∠DAE， 最后利用SAS证明 △BAD≌△CAE 即可作答；
（2）先求出 ∠ABD＝∠ACE＝30°， 再求出 ∠MEC+∠ECD＝180°， 最后计算求解即可；
（3）利用全等三角形的性质和判定方法求解即可。
34．为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，两人成绩如下（单位：环）：
甲： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
乙： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
（1）求甲的平均数 ；
（2）已知 ， ，请通过计算说明谁的成绩较稳定？
【答案】（1）解： = =7环；
（2）解： = [（2-7）2+（6-7）2×2+（8-7）2+（9-7）2×3]=4，
∵5.4＞4，
∴乙比较稳定．
【解析】【分析】（1）根据算术平均数的计算方法进行计算即可；
（2）求出乙的方差，与甲的方差比较，得出答案．
35．每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动，活动结束后，校教务处对本校八年级学生.4月份的读书进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全左边的条形统计图，并在右边扇形统计图横线上填空；
（2）本次抽取学生4月份“读书量”的众数为 　 　，平均数为 　 　本，中位数为 　 　；
（3）已知该校八年级有700名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”不少于4本的学生人数．
【答案】（1）解：本次接受随机抽样调查的学生人数为3÷5%＝60（人），
读4本的人数为60×20%＝12（人），
读3本的百分比为，×100%＝35%，
读5本的百分比为，×100%＝10%，
补全两幅统计图如图：
（2）3；3；3
（3）解：根据题意得：700×（10%+20%）＝210（人），
答：估计该校八年级学生中4月份“读书量”不少于4本的学生人数为210人．
【解析】【解答】解：（2）本次所抽取学生4月份“读书量”的平均数是：＝3（本）；
根据统计图可知众数为3本；
把这些数从小到大排列，中位数是第30、31个数的平均数，
则中位数是＝3（本）；
故答案为：3，3，3；
【分析】（1）利用4月份读书数量是一本的人数除以所占的比例可得总人数，利用总人数乘以4本所占的比例可得对应的人数，根据频数÷总数=频率可得读3本、读5本所占的比例，据此可补全统计图；
（2）利用本数乘以对应的人数的积的和除以总人数可得平均数，找出出现次数最多的数据即为众数，把这些数从小到大排列，求出第30、31个数的平均数即为中位数；
（3）利用样本中读4本、5本的人数所占的比例之和乘以700即可.
36．在平面直角坐标系中，一次函数 （k，b都是常数，且 ）的图象经过点 和
（1）当 时，求y的取值范围．
（2）已知点 在该函数的图象上，且 ，求点P的坐标．
【答案】（1）解：根据该图象经过点(1，0)和点(0，-1)，
∴ ，即 ．
即该一次函数的解析式为 ．
当 时，
∴ ，即 ．
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ．
即P点坐标为 ．
∵点P在该函数图象上，
∴ ，
解得： ．
∴ ．
∴P点坐标为(3，2)．
【解析】【分析】（1）由一次函数图象经过带你的坐标，即可得到关于k、b的方程，解之即可得出一次函数的解析式，分别代入x=1，x=2，求出与之对应的y值，再利用一次函数的性质即可求出当 时，y的取值范围；
（2）由一次函数图象上的点的坐标特征及 ，即可求出m、n的值，进而可得出P的坐标。
37．已知一次函数的图象经过点（3，5）和点（﹣4，﹣9）.
（1）求一次函数的表达式；
（2）求图象与坐标轴的交点坐标；
（3）求图象与坐标轴围成的三角形的面积S；
（4）若点（a，2）在该一次函数的图象上，求a的值.
【答案】（1）解：设一次函数解析式为y=kx+b，
把点（3，5），（-4，-9）分别代入解析式得，
则3k+b=5；-4k+b=-9；解得k=2；b=-1．
∴一次函数解析式为y=2x-1；
（2）解：当x=0时，y=-1，
当y=0时，2x-1=0，解得：x= ，
∴与坐标轴的交点为（0，-1）（ ，0）；
（3）解：S△= ；
（4）解：∵点（a，2）在图象上，
∴2a-1=2，∴a= ．
【解析】【分析】（1）一次函数解析式为y=kx+b，把两个已知点的坐标代入得出k、b的方程组，再接方程组即可；
（2）当x=0时，y=-1， 当y=0时，2x-1=0，解得x的值，即可得出坐标轴的交点坐标；
（3）根据题意，代入数值即可求出三角形的面积；
（4）由点（a，2）在图象上，即可得出a的值。
38．今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48000m2和B种板材24000m2的任务.
（1）如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60m2或B种板材40m2，请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？
（2）某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：
板房 A种板材（m2） B种板材（m2） 安置人数
甲型 108 61 12
乙型 156 51 10
问这400间板房最多能安置多少灾民？
【答案】（1）解：设x人生产A种板材，根据题意得；
解得，x=120.
经检验x=120是分式方程的解.
210﹣120=90.
∴安排120人生产A种板材，90人生产B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务.
（2）设生产甲种板房y间，乙种板房（400﹣y）间，安置人数z人.
∴根据题意，安置人数z=12y+10（400﹣y）=2y+4000.
又由
解得：300≤y≤600.
∵2＞0，
∴z=2y+4000随y增加而增加.
∴当y=360时安置的人数最多.最多人数为 .
∴最多能安置4720人.
【解析】【分析】（1）设x人生产A种板材，根据生产A种板材的时间=生产B种板材的时间列出方程，求解即可；
（2）设生产甲种板房y间， 乙种板房（400﹣y）间 ，安置人数z人，根据安置的人数=搭建的y间甲种板房安置的人数+搭建（400-y）间乙种板房安置的人数建立z与y的函数关系式；根据搭建x间甲种板房需要的A种板材数量+搭建（400-x）间乙种板房需要的A种板材数量不超过48000及搭建x间甲种板房需要的B种板材数量+搭建（400-x）间乙种板房需要的B种板材数不超过24000建立不等式组，求解可得y的范围，然后根据一次函数的性质进行解答即可.
39．某校为了解学生在要假期间的自我管理能力，学校随机抽取80位学生，让每位学生请一位家长对自己打分，满分为10分.如下是家长所打分数的频数统计表.
分数 5 6 7 8 9 10
频数 4 8 20 24 16 8
（1）求被抽取的家长们所打分数的平均数、中位数和众数；
（2）该校共有1600名学生，本次调查自我管理能力分数大于7分的为“优秀”，请根据样本估计这个学校学生自我管理能力为“优秀”人数有多少名？
【答案】（1）解：家长们所打分数的平均数为：
（5×4+6×8+7×20+8×24+9×16+10×8）＝7.8（分），
中位数为8分，
众数为8分；
（2）解：1600960（名），
答：根据样本估计这个学校学生自我管理能力为“优秀”的人数有960名.
【解析】【分析】（1）利用分数乘以对应的频数，然后除以总人数可得平均数；由表格可得第40、41个人的分数为8、8，据此可得中位数；找出出现次数最多的数据可得众数；
（2）根据统计表可得大于7分的人数为24+16+8，然后除以总人数，再乘以1600即可.
40．如图，在平行四边形 中， 是对角线 的中点，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 、 于点 、 .
（1）如图1，若 ， ，求平行四边形 的面积：
（2）如图2，求证： .
【答案】（1）解：连接BD，
∵平行四边形ABCD，
∴BD过点O，
∴S△OBC= BC OE= ×5×3= ，
∴平行四边形ABCD的面积=4S△OBC=30
（2）证明：过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，如图2，
∵OE⊥BC，
∴∠OEG+∠OEC=∠GEC+∠CEH=90°，
∴∠OEG=∠CEH，
∵∠ACB=45°，
∴∠COE=45°，
∴OE=CE，
∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
又FG⊥AB，
∴FG⊥CD，
∴∠EOG+∠ECG=360°-90°-90°=180°，
∵∠ECH+∠ECG=180°，
∴∠EOG=∠ECH，
∴△OEG≌△CEH（ASA），
∴OG=CH，EG=EH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠OAF=∠OCG，
∵∠AOF=∠COG，
∴△OAF≌△OCG（ASA），
∴AF=CG，OF=OG，
∵CG+CH=GH，
∴AF+OF=GH，
∵∠GEH=90°，EG=EH，
∴GH= EG，
∴AF+OF= EG.
【解析】【分析】（1）连接BD，求出S△OBC，再根据平行四边形的性质得出平行四边形的面积与S△OBC的关系求得结果；
（2）过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，证明△OEG≌△CEH得OG=CH，EG=EH，再证明△OAF≌△OCG，得AF=CG，OF=OG，进而根据等腰直角三角形的性质得结论.
41．一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元.设购进A型
手机x部，B型手机y部.三款手机的进价和预售价如下表：
手机型号 A型 B型 C型
进 价（单位：元/部） 900 1200 1100
预售价（单位：元/部） 1200 1600 1300
（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；
（2）求出y与x之间的函数关系式；
（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元.
①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；
（注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用）
②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部.
【答案】（1）手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，设购进A型手机x部，B型手机y部，那么购进C型手机的部数=60-x-y；
（2）由题意，得 900x+1200y+1100（60-x-y）= 61000，
整理得 y=2x-50
（3）①由题意，得P=1200x+1600y+1300（60-x-y）-61000-1500，
整理得P=500x+500.
②购进C型手机部数为：60-x-y =110-3x.根据题意列不等式组，得
解得 29≤x≤34.
∴x范围为29≤x≤34，且x为整数.
∵P是x的一次函数，k=500＞0，∴P随x的增大而增大.
∴当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元.
此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部.
【解析】【分析】（1）用需购进的手机的总数分别减去购进A、B型手机的数量即可表示出购进C型手机的数量；
（2）分别用A、B、C型手机的数量乘以对应的进价得到购机款，令其为61000即可用含x的式子表示出y；
（3）①分别用A、B、C型手机的数量乘以对应的预售价，然后减去购机款与各种费用的钱数，即可用含x的式子表示出P；
②首先用含x的式子表示出购进C型手机的数量，然后根据：每款手机至少要购进8部求出x的范围，最后根据一次函数的性质求解即可.
42．如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝8，BC＝6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ.设运动时间为t秒.
（1）AM＝　 　，AP＝　 　.(用含t的代数式表示)
（2）当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值
（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，
①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由
②使四边形AQMK为正方形，求AC.
【答案】（1）8﹣2t；2+t
（2）解：∵四边形ANCP为平行四边形时，CN=AP，
∴4﹣t=t+2，解得t=1
（3）解：①∵NP⊥AD，QP=PK，
∴当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，
∴4﹣t﹣2t=2+t，解得t=0.5，
∴存在时刻t=0.5，使四边形AQMK为菱形.
②AC=6
【解析】【解答】解：（1）如图1，
∵DM=2t，
∴AM=AD-DM=8-2t。
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，NP⊥AD于点P，
∴四边形CNPD为矩形，
∴DP=CN=BC-BN=6-t，
∴AP=AD-DP=8-(6-t)=2+t；
故答案为： 8﹣2t ， 2+t
【分析】 （1）根据题意可得由DM=2t，根据AM=AD-DM即可求出AM=4-2t；根据题意可证明四边形CNPD为矩形，根据矩形的对边相等得出DP=CN=3-t，则AP=AD-DP=1+t；
（2）根据四边形ANCP为平行四边形时，根据平行四边形的对边相等可得4﹣t=t+2，，解方程即可；
（3）①根据对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形可得当PM=PA时有四边形AQMK为菱形，列出方程4﹣t﹣2t=2+t，求解即可，
②要使四边形AQMK为正方形，由∠ADC=90°，可得∠CAD=45°，所以四边形AQMK为正方形，则CD=AD，由AD=8，可得CD=8，利用勾股定理求得AC即可．
43．
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系是　 　，位置关系是　 　．请直接写出结论．
（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当α=90°时，连接BE、DF，若正方形的边长为1，猜想当AE=　 　时，直线DF垂直平分BE．请写出计算过程．
（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论：　 　．
【答案】（1）BE=DF；BE⊥DF
（2）中的结论仍然成立．
理由：如图2中，延长DF交BE于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，AF=AE，∠DAB=∠FAE=90°，
在△DAF和△BAE中，
，
∴△DAF≌△BAE，
∴DF=BE，∠ADF=∠ABR，
∵∠AFD=∠BFH，
∴∠DAF=∠BHF=90°，
∴DF⊥BE
（3） ﹣1
（4）正方形
【解析】【解答】解：（1.）如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∵AF=AE，
∴BE=DF，BE⊥DF，
故答案为BE=DF，BE⊥DF
（3.）如图3中，连接BD．
在Rt△ABD中，∵AD=AB=1，
∴BD= = ，
∵DF垂直平分线段EB，
∴DE=DB= ，
∴AE=DE﹣AD= ﹣1，
故答案为 ﹣1．
（4.）如图4中，设M、N、G、H分别是BD、DE、EF、BF的中点，连接BE，DF，MN，NG，GH，HM．EB交DF于O，MN交DF于P．
易证：DF=EB，DF⊥EB，
∵DN=NE，DM=MB，
∴MN∥EB，MN= EB，同理可证GH∥EB，GH= EB，MH∥DF，MH= DF，GN∥DF，GN= DF，
∴MN=NG=GH=HM，
∴四边形MNGH是菱形，
∵MN∥EB，
∴∠DPM=∠DOB=90°，
∵DF∥MH，
∴∠NMH=∠DPM=90°，
∴四边形MNGH是正方形．
故答案为正方形
【分析】（1）利用正方形的性质即可判断；（2）（1）中的结论仍然成立．只要证明△DAF≌△BAE，即可推出DF=BE，∠ADF=∠ABR，由∠AFD=∠BFH，即可推出∠DAF=∠BHF=90°；（3）如图3中，连接BD．理由勾股定理可得BD= ，再证明DE=DB即可解决问题；（4）如图4中，设M、N、G、H分别是BD、DE、EF、BF的中点，连接BE，DF，MN，NG，GH，HM．EB交DF于O，MN交DF于P．利用三角形中位线定理，首先证明四边形MNGH是菱形，再证明∠NMH=90°即可解决问题．
44．如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，O为坐标原点，点
，点
交y轴于点
动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位长度的速度终点B运动，同时动点F从点A出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E运动到点B时，点F随之停止运动，运动时间为
秒
.
（1）用t的代数式表示：
　 　，
　 　
（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.
（3）当
恰好是等腰三角形时，求t的值.
【答案】（1）5-t；OF=2t
（2）解： 当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形， ，
即 ，解得 ，
当P在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形， ，即 ，
解得 ；
（3）解：当 恰好是等腰三角形时，有以下三种情况：
当 时， ，解得 ；
当 时， ，方程无解；
当 时， ，解得 ；
所以，当 或 时，当 恰好是等腰三角形.
【解析】【分析】（1）根据题意，可得点B的坐标为
，即可求得
，
；
（2）分两种情况讨论：
当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，
；
当P在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形，
，列方程求解即可；
（3）分三种情况讨论：
当
时；
当
时；
当
时，分别列方程求解即可.
45．如图1，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，是线段的中点，连接．
（1）直接写出与的位置和数量关系．
（2）如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的位置和数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
【答案】（1）PG=PC；PC⊥PG.
（2）解：猜想：；，
证明如下：如图，延长交于点H，
在菱形和菱形中，，
∴，
∴，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：在（2）中得到的两个结论仍成立．
证明如下：如图3，延长到H，使，连接，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在菱形中，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
，
，
∴，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（1）解：如图，延长交于点H，
在正方形和正方形中，，
∴，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴.
故答案为：PG=PC；PC⊥PG.
【分析】（1）延长交于点H，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的可得，从而得到，从而可证出是等腰直角三角形，最后利用等腰三角形的性质分析求解即可；
（2）延长交于点H，先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，再求出，利用含30°角的直角三角形的性质求出，最后利用勾股定理求出PG的长即可；
（3）延长到H，使，连接，先利用“SAS”证出，从而得到，再利用“SAS”证出，可得，从而得到，再求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用勾股定理求出PG的长即可.
46．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点，分别过点A，C作BC，AD边上的高AE，CF.
（1）求证：四边形AECF是矩形.
（2）过D作于点，交边CF于点，若AB平分，求矩形AECF的周长.
【答案】（1）证明：∵ 过点A，C作BC，AD边上的高AE，CF，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
又∵ ABCD 是平行四边形，
∴AF∥CE，
∴∠EAF=90°，
∴ 四边形AECF是矩形；
（2）解：如图，作，连接EF，
，
，
∵平行四边形ABCD，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵四边形AECF是矩形，
，
，
设，则，
，
，
，解得，
，
，
.
【解析】【分析】（1）利用三个角是直角的四边形是矩形解题即可.
（2） 作，利用余角的性质证得，进而通过AAS判定得到HO=DF，设，再利用矩形的性质求得，由勾股定理可得x=3，进而求得AE的长度，即可计算出矩形AECF的周长.
47．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数 的图象与过 、 的直线交于点P，与x轴、y轴分别相交于点C和点D.
（1）求直线AB的解析式及点P的坐标；
（2）连接AC，求 的面积
（3）设点E在x轴上，且与C、D构成等腰三角形，请直接写出点E的坐标.
【答案】（1）解：设直线AB的解析式为 ，
将 、 代入 ，得：
，解得：
直线AB的解析式为 .
联立直线AB、CD的解析式成方程组，得：
，解得： ，
点P的坐标为
（2）解：过点P作 于点M，如图1所示.
点P的坐标为 ，
.
一次函数 的图象与x轴交于点C，
点C的坐标为 ，
.
点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
， ， ，
.
（3）解： 为等腰三角形，
或 或 如图 .
一次函数 的图象与x轴、y轴分别相交于点C和点D，
点C的坐标为 ，点D的坐标为 ，
， .
当 时， ，
，
点E的坐标为 ；
当 时， ，
点E的坐标为 或 ；
当 时，点E与点O重合，
点E的坐标为 .
综上所述：点E的坐标为 、 、 或 .
【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，再联立直线AB、CD的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；
（2）过点P作PM⊥BC于点M，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，结合点A、B、P的坐标，可得出BC、OA、PM的值，利用三角形的面积公式结合S△PAC=S△PBC-S△ABC即可求出△PAC的面积；
（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C、D的坐标，进而可得出CD的长度，分DE=DC、CD=CE、EC=ED三种情况求出点E的坐标，此题得解.
48．如图M2-12①，等边三角形ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B，C不重合），设BP=x，连接AP，以AP为边向两侧作等边三角形APD和等边三角形APE，分别与边AB，AC交于点M，N．
（1）求证：AM=AN；
（2）求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式及S的最小值；
（3）如图M2-12②，连接DE，分别与边AB，AC交于点G，H．当x为何值时，∠BAD=15°？
【答案】（1）证明：∵△ABC，△APD，△APE都是等边三角形，
∴AD=AP，∠ADM=∠APN=60°，∠DAP=∠BAC=60°． ∴∠PAN=∠DAM．
在△ADM和△APN中， ：△ADM≌△APN(ASA)． ∴AM=AN
（2）解：如答图M2-4，作PH⊥AB于点H．
∵△ADM≌△APN，
∴四边形ADPE与△ABC重叠部分四边形AMPN的面积S=△ADP的面积
∵BP=x，∠B=60°，．BH= x，PH= x ∴AH=2- x．
由勾股定理，得AP2=AH2+PH2=(2- x)2+( x)2=x2-2x+4．
∵△ADP是等边三角形，
∴S△ADP= AP× AP= AP2= （x2-2x+4）= （x-1）2+
∴S的最小值为
（3）解：连接PG，如答图M2-5．当∠BAD=15°时，
∵∠DAP=60°， ∴∠GAP=45°．
∵易知四边形ADPE是菱形，∴AP⊥DE． ∴AG=PG ∴∠GPA=∠GAP=45°．
∴∠AGP=90°．
∵∠B=60°，BP=x，∴BG= x，AG=PG= x
∴ x+ x=2．解得x=2 -2． ∴当x=2 -2时，∠BAD=15°
【解析】【分析】（1）根据等边三角形可得
AD=AP，∠ADM=∠APN=60°，∠DAP=∠BAC=60°，由等式的性质可得∠PAN=∠DAM，根据“ASA”可证△ADM≌△APN，从而可得AM=AN.
（2）
如答图M2-4，作PH⊥AB于点H，根据（1）的结论，可得四边形ADPE与△ABC重叠部分四边形AMPN的面积S=△ADP的面积，由BP=x，可得BH= x，PH= x，从而可得AH=2- x，利用勾股定理，可求出AP2=x2-2x+4． 由等边三角形的性质，可得
S△ADP= AP× AP= AP2 ，代入数据即得S与x的关系式，利用二次函数的性质，即可求出S的最小值.
（3）连接PG，如答图M2-5．当∠BAD=15°时，可求出∠GAP=45°，利用菱形的性质可得DE垂直平分AP，从而可得AG=PG，利用等边对等角可得∠GPA=∠GAP=45°，利用三角形内角和定理可得∠AGP=90°.由BP=x，可得BG= x，AG=PG= x，利用BG+AG=AB=2，建立方程，求出x值即可.
49．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠BAD=60°．动点E、F分别从点B、D同时出发，以1cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，取AF、CE的中点G、H，连接GE、FH．设运动的时间为ts（0＜t＜4）．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当t为何值时，四边形EHFG为菱形；
（3）试探究：是否存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵动点E、F同时运动且速度相等，
∴DF=BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB∥DC，
在△ADF与△CBE中，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠DFA=∠BEC，
∵AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB，
∴∠FAB=∠BEC，
∴AF∥CE
（2）解：过D作DM⊥AB于M，连接GH，EF，
∴DF=BE=t，
∵AF∥CE，AB∥CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵G、H是AF、CE的中点，
∴GH∥AB，
∵四边形EGFH是菱形，
∴GH⊥EF，
∴EF⊥AB，∠FEM=90°，
∵DM⊥AB，
∴DM∥EF，
∴四边形DMEF是矩形，
∴ME=DF=t，
∵AD=4，∠DAB=60°，DM⊥AB，
∴
∴BE=4﹣2﹣t=t，
∴t=1
（3）解：不存在，假设存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，
∵四边形EHFG为矩形，
∴EF=GH，
∴EF2=GH2，
即 解得t=0，0＜t＜4，
∴与原题设矛盾，
∴不存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形．
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到∠B=∠D，AD=BC，AB∥DC，由全等三角形的判定证得△ADF≌△CBE，由全等三角形的性质得到∠DFA=∠BEC，根据平行四边形判定定理得出结论
（2）过D作DM⊥AB于M，连接GH，EF，推出四边形AECF是平行四边形，根据菱形的判定定理得到四边形EGFH是菱形，证得四边形DMEF是矩形，可得出ME=DF=t，列方程得出结论
（3）不存在，假设存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，根据矩形的性质列方程可得到结论
50．如图，直线 与x轴，y轴分别交于点A，点B，与函数 的图象交于点 .
（1）直接写出k，b的值和不等式 的解集；
（2）在x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数 和 的图象于点C，点D.若 ，求点P的坐标.
【答案】（1）把 代入 得 ；
把 代入 得 ，解得 ；
当 0时， ，解得 ，则 ，
所以不等式 的解集为 ；
（2）当 时， ，则 ，
，
设 ，则 ， ，
，
，
解得 或 ，
点 的坐标为 ， 或 ， .
【解析】【分析】（1）把M点的坐标分别代入y=kx和 可求出k、b的值，再确定A点坐标，求不等式 的解集，就是求x轴上方且 直线 的图象在函数 的图象的下方部分（即点M与点A之间部分图象）相应的自变量的取值范围 ；
（2）先确定B点坐标得到OB的长，设P（m，0），则 ，D（m，2m），利用2CD=OB得到列出方程，然后解方程求出m，从而得到点P的坐标.
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