资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【50道热点题型】上海市数学七年级下册期末试卷·综合题专练
1．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）用尺规作图法在AC边上找一点D，使得BD＝BC（保留作图痕迹，不要求写作法）：
（2）若∠A＝30°，求∠ABD的大小．
2．为庆祝建党103周年，某校开展了以“青春心向党”为主题的演讲比赛活动，学校决定购买、两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多10元，用400元购买奖品的件数恰好与用300元购买奖品的件数相同．
（1）求每件、奖品的单价；
（2）学校决定购买、两种奖品共60件，实际购买时，奖品的售价打九折，奖品的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过2100元，最多可购买多少件奖品？
3．已知不等式组 ．
（1）如果此不等式组无解，求a的取值范围，并利用数轴说明；
（2）如果此不等式组有解，求a的取值范围，并利用数轴说明．
4．某水果店用1100元购进一批水果，受到消费者的欢迎，于是又用了1100元购进第二批．由于第二批的价格在第一批的基础上提高了10%，所以比第一批的采购量少了2斤．
（1）求第一批和第二批水果的进价：
（2）在销售过程中，水果店以每斤80元的价格销售完了第一批水果和第二批水果的，为了尽快卖完剩下的水果，决定降价销售．若两批水果的总利润不低于1000元，求降价后的水果每斤售价至少为多少元？
5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE.已知∠1=∠2，AD=DE.
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD=3，CD=5，求AE的长.
6．如图，点C，E，F，B在一条直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB=CF，∠B=50°，求∠D的度数．
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，F在CD上，且AF垂直平分CD，FG平分∠AFD，交AD于G，连接GB，交AF于N，且FN=FD．
（1）求证：△GFN≌△GFD；
（2）如图，连接ND，若BC=ND，∠ADC=75°，求证：AN=AB；
（3）如图2，延长AF、BC交于点E，过B作BK⊥AE于K，若∠BAF=2∠E，猜想，AB与KF之间有何数量关系？请说明理由．
8．如图，已知直线..，点O在直线....之间．
（1）如果时，
①求的度数；
②直接写出与的数量关系；
（2）若的度数为α，且，其余条件不变；猜想与的数量关系；并说明理由．
9．某农业基地以64000元的成本收获了一批的农产品，并以1200元/t的价格出售．若将其在农业基地储藏起来，每个星期都会损失，为了使这批农产品的获利不低于20000元，求这批农产品最多在农业基地储藏多少个星期．
10．“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，2本文学名著和4本动漫书共需156元，2本文学名著比2本动漫书多36元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，总费用不超过2100元，请问最多可以购买文学名著多少本？
11．某学校在疫情期间用3000元购进A、B两种洗手液共550瓶，购买A种洗手液与购买B种洗手液的费用相同，且A种洗手液的单价是B种洗手液单价的1.2倍．
（1）求B种洗手液的单价是多少元？
（2）学校计划用不超过9800元的资金再次购进A、B两种洗手液共1800瓶，求A种洗手液最多能购进多少瓶？
12．已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，AB=BC=1，且∠ABC=60°，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足DE=CE．
（1）如图1，当点E运动到线段AB的中点，点D在线段CB的延长线上时，求BD的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上运动，点D在线段CB的延长线上时，试确定线段BD与AE的数量关系，并说明理由．
13．某校为提升硬件设施，决定采购80台电脑，现有 ， 两种型号的电脑可供选择．已知每台 型电脑比 型的贵2000元，2台 型电脑与3台 型电脑共需24000元．
（1）分别求 ， 两种型号电脑的单价；
（2）若 ， 两种型号电脑的采购总价不高于38万元，则 型电脑最多采购多少台？
14．我市为全面推进“十个全覆盖”工作，绿化提质改造工程如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共600棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵100元，乙种树苗每棵200元．
（1）若购买两种树苗的总金额为70000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？
15．为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，购买这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7200元，该商店共有几种进货方案？
16．“成自”高铁自贡仙市段在建设时，甲、乙两个工程队计划参与该项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的 ，这时乙队加入，两队还需同时施工30天，才能完成该项工程．
（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过40天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
17．新房装修甲居民购买家居用品的清单如下表，因污水导致部分信息无法识别，据下表解决问题：
家居用品名称 单价（元） 数量（个） 金额（元）
挂钟 30 2 60
垃圾桶 15
　
　
塑料鞋架 40
　
　
艺术字画 a 2 90
电热水壶 35 1 b
合计 8 280
（1）直接写出a=　 　，b=　 　；
（2）甲居民购买了垃圾桶，塑料鞋架各几个？
（3）若甲居民再次购买艺术字画和垃圾桶两种家居用品，共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？
18．如图，在中，，，．
（1）的面积等于　 　；
（2）为线段上一点，过点作，垂足为．当时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）．
19．某超市预测某品牌饮料有销售前景，用1200元购进一批该饮料，试销售后果然供不应求，又用5400元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批多2元．
（1）第一批饮料进货单价为多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于3000元，则销售单价至少为多少元？
20．如图，已知，在中，，．将绕点A逆时针旋转一个角至位置，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：
（2）若四边形ABFE为菱形，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，直接写出CF的值．
21．如图（1）△ABC中，H是高AD和BE的交点，且AD=BD．
（1）请你猜想BH和AC的关系，并说明理由
（2）若将图（1）中的∠A改成钝角，请你在图（2）中画出该题的图形，此时（1）中的结论还成立吗？（不必证明）．
22．疫情过后，某中学为学生复课做准备，计划购买消毒水和洗手液两种物品。若购买8瓶消毒水和5瓶洗手液需用220元；若购买4瓶消毒水和6瓶洗手液需用152元．
（1）求每瓶消毒水和每瓶洗手液各多少元．
（2）学校决定购买消毒水和洗手液共75瓶，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少瓶消毒水
23．如图，点C为线段 上一点， ， 是等边三角形，直线 交于点E，直线 交于点F．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）求证： ．
24．西安某校计划购买A，B两种树木共100棵，进行校园绿化，经市场调查：购买A种树木3棵，B种树木4棵，共需470元，购买A种树木5棵，B种树木2棵，共需410元．．
（1）求A，B两种树木每棵各多少元？
（2）布局需要，决定再次购进A，B两种树木共50棵，A种树木售价比第一次购买时提高了8%，B种树木按第一次购买时售价的9折出售．如果这所学校此次购买A，B两种树木的总费用不超过3260元，那么该校最多可购买多少B种树木？
25．防疫期间某工厂接生产N95口罩和普通医用外科口罩共180万个的生产任务．该工厂不能同时生产两种口罩，且生产普通医用外科口罩的速度是生产N95口罩速度的2倍，生产40万只N95口罩比生产40万只普通医用外科口罩多用4天．
（1）求该工厂每天能生产N95口罩或生产普通医用外科口罩多少只？
（2）若每生产一只N95口罩可获利0.6元，每生产一只普通医用外科口罩可获利0.25元，且生产工期不能超过26天，则如何安排生产工厂获利最多？最多获利多少万元？
26．计算
（1）解不等式组
（2）因式分解
（3）解分式方程
（4）先化简，再求值．，从，0，1，2中选取一个代入求值．
27．小明在解不等式 的过程中出现了错误，解答过程如下：
解不等式：
解：去分母，得 （第一步）
去括号，得 ，（第二步）
移项，得 ，（第三步）
合并同类项，得 . （第四步）
两边都除以 ，得 . （第五步）
（1）小明的解答过程是从第　 　步开始出现错误的.
（2）请写出此题正确的解答过程
28．倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件.
（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？
（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？
29．蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．
（1）昨天的青菜和西兰花的进价和售价如表，老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤，当天售完后老王一共能赚多少元钱？
青菜 西兰花
进价（元/市斤） 2.8 3.2
售价（元/市斤） 4 4.5
（2）今天因进价不变，老王仍用600元批发青菜和西兰花共200市斤．但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，应怎样给青菜定售价？（精确到0.1元）
30．某商场销售A、B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：
教学设备 A B
进价（万元/套） 3 2.4
售价（万元/套） 3.3 2.8
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需132万元，全部销售后可获毛利润18万元.
（1）该商场计划购进A、B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调查，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少数量的1.5倍.若用于购进这两种教学设备的总资金不超过138万元，则A种设备购进数量最多减少多少套？
31．（1）如图1，点P是 ABCD内的一点，分别过点B、C、D作AP的垂线BE、CF、DH，垂足分别为E、F、H，猜想BE、CF、DH三者之间的关系，并证明；
（2）如图2，若点P在 ABCD的外部，△APB的面积为18，△APD的面积为3，求△APC的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，增加条件：AB=BC，∠APC=ABC=90°，设AP、BP分别于CD相交于点M、N，当DM=CN时， =　 　（请直接写出结论）．
32．如图，点 在一条直线上， .
求证：
（1）
（2）
33．如图所示，回答下列问题．
（1）请写出直线AB．CD被AC所截形成的内错角；
（2）请写出直线AB．CD被BE所截形成的同位角；
（3）找出图中∠1的所有同旁内角．
34．如图，某化工厂与，两地有公路、铁路相连，这家工厂从地购进一批每吨1600元的原料运回工厂，制成产品运到地销售．已知3吨产品的销售款比2吨原料的进货款多20800元．
（1）求每吨产品的销售款是多少元；
（2）已知公路运价为元，铁路运价为元，且这两次运输共支出公路运费16000元，铁路运费89100元，求这批原料比产品多多少吨；
（3）工厂原计划从地购进的原料和送往地的产品一共有20吨，若要增加吨的产品，就要再购进吨的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购进多少吨的原料．
35．为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元；购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共300个，分别由甲、乙两人进行安装，要求在12天内完成（两人同时进行安装）．已知甲负责A型垃圾箱的安装，每天可以安装15个，乙负责B型垃圾箱的安装，每天可以安装20个，生产厂家表示若购买A型垃圾箱不少于150个时，该型号的产品可以打九折；若购买B型垃圾箱超过150个时，该型号的产品可以打八折，若既能在规定时间内完成任务，费用又最低，应购买A型和B型垃圾箱各多少个？最低费用是多少元？
36．如图， 中， ， ，点 在 上，过点 作 的垂线 ，在直线 与线段 上分别取点 ， ，使得 ，且点 ， ， 在直线 同侧，连接 ， ．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示 与 的数量关系，并证明；
（3）过点 作 于点 ，用等式表示线段 ， ， 的数量关系，并证明．
37．“双减”政策背景下，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的键子数量相同．
（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
（2）如果学校计划购买跳绳和毽子共80个，总费用不超过460元，那么最多能买多少个跳绳？
38．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作AE的垂线CF，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于点D
（1）试说明：AE=CD；
（2）AC=12cm，求BD的长。
39．如图，已知A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠1=∠2，AF=CE．
（1）写出图中全等的三角形；
（2）选择其中一对，说明理由．
40．如图，AC=DF，AD=BE，BC=EF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AC∥DF．
41．如图①，在平面直角坐标系中，，且满足，过点作轴于点．
（1）　 　，　 　，　 　；
（2）在轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若过点作交轴于点，且分别平分，求的度数．
42．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′；
（1）求证：△ABD≌△ACD′；
（2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数。
43．说明下列不等式是怎样变形的：
（1）若31；
（2）若 x<-1，则x<-2；
（3）若- x>-6，则x<4；
（4）若-3x>2，则x<- ；
（5）若2x+3>-7，则x>-5；
（6）若-2x+3 .
44．嘉淇准备完成题目：解一元一次不等式组 ，发现常数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成5，请你解一元一次不等式组 ；
（2）张老师说：我做一下变式，若 的解集是 ，请求常数“□”的取值范围．
45．某中学为了方便学生课外阅读，去年购买了一批图书．其中每本科普书的单价比每本文学书的单价多4元，用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元/本？
（2）若今年每本文学书的单价比去年提高了，每本科普书的单价与去年相同，为了扩大学生的阅读量，这所中学今年计划再购买文学书和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过2100元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
46．某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.
（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？
（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于 ，那么每套
售价至少是多少元？
47．如图
（1）如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM，AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证： ．
（2）如图2，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部射线AD上，∠1，∠2分别是 ， 的外角，已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证： ；
（3）如图3，在 中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上， ，若 的面积是15，则 与 的面积之和是　 　．
48．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
49．如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，∠B=∠C，BC=9cm，点D为AB的中点.
（1）如果点P在线段BC上以3cm每秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动：
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？
（2）若点Q以&的运动速度从点C出发点P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
50．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
（1）求证：BD=CE；
（2）求证：∠M=∠N．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【50道热点题型】上海市数学七年级下册期末试卷·综合题专练
1．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）用尺规作图法在AC边上找一点D，使得BD＝BC（保留作图痕迹，不要求写作法）：
（2）若∠A＝30°，求∠ABD的大小．
【答案】（1）解：如图，点D为所作；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣30°）＝75°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝75°，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝75°﹣30°＝45°
【解析】【分析】（1）以B为圆点，BC为直径作一个圆，与AC的交点即为D点；
（2）由于AB=AC，故在等腰三角形ABC中∠C=∠ABC，同理在等腰三角形BDC中∠C=∠BDC，所以已知∠A=30°，则可算出∠ABD=∠ABC-∠DBC。
2．为庆祝建党103周年，某校开展了以“青春心向党”为主题的演讲比赛活动，学校决定购买、两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多10元，用400元购买奖品的件数恰好与用300元购买奖品的件数相同．
（1）求每件、奖品的单价；
（2）学校决定购买、两种奖品共60件，实际购买时，奖品的售价打九折，奖品的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过2100元，最多可购买多少件奖品？
【答案】（1）奖品的单价是40元/件，奖品的单价是30元/件
（2）最多可购买50件奖品
3．已知不等式组 ．
（1）如果此不等式组无解，求a的取值范围，并利用数轴说明；
（2）如果此不等式组有解，求a的取值范围，并利用数轴说明．
【答案】（1）解：若不等式组无解，说明属于“大大小小无处找”或a=1的情形，因此a的取值范围为a≤1，数轴如下：
（2）解：若有解，则与（1）的情形相反，a应取≤1以外的数，所以a的取值范围为a＞1，数轴如下：
【解析】【分析】根据题目给定的条件，利用求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），结合数轴求a的范围即可．
4．某水果店用1100元购进一批水果，受到消费者的欢迎，于是又用了1100元购进第二批．由于第二批的价格在第一批的基础上提高了10%，所以比第一批的采购量少了2斤．
（1）求第一批和第二批水果的进价：
（2）在销售过程中，水果店以每斤80元的价格销售完了第一批水果和第二批水果的，为了尽快卖完剩下的水果，决定降价销售．若两批水果的总利润不低于1000元，求降价后的水果每斤售价至少为多少元？
【答案】（1）解：设第一批水果的进价为每斤x元，则第二批水果的进价为每斤（1+10%）x，列方程得
方程两边同时乘x，得
解得x=50，
经检验符合题意，
第二批水果的进价=（1+10%）×50=55（元）。
答：第一批水果进价为每斤50元，第二批水果进价为每斤55元。
（2）解：设降价后的水果为每斤x元，列方程得
解得
答：降价后的水果每斤售价至少为60元
【解析】【分析】（1）可设第一批水果的进价为每斤x元，则第二批水果的进价为每斤（1+10%）x，根据第二批比第一批采购量少2斤列分式方程，可求得第一批和第二批的进价。
(2)设降价后的水果为每斤x元，列一元一次不等式，即可求得结果。
5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE.已知∠1=∠2，AD=DE.
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若BD=3，CD=5，求AE的长.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵∠1=∠2，AD=DE，
∴△ABD≌△DCE.
（2）解：∵△ABD≌△DCE
∴DB=EC=3，CD=AB=AC=5.
∴AE=2.
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由已知条件可得∠1=∠2，AD=DE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得 DB=EC=3，CD=AB=AC=5，然后根据AE=AC-CE进行计算.
6．如图，点C，E，F，B在一条直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB=CF，∠B=50°，求∠D的度数．
【答案】（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠C．
在△ABE和△DCF中，∵ ，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB=CD；
（2）∵△ABE≌△DCF，∴AB=CD，BE=CF．
∵AB=CF，∴AB=BE，∴△ABE是等腰三角形．
∵∠B=30°，∴∠D=∠A= ．
【解析】【分析】（1）易证得△ABE≌△DCF，即可得AB=CD；（2）易证得△ABE≌△DCF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，F在CD上，且AF垂直平分CD，FG平分∠AFD，交AD于G，连接GB，交AF于N，且FN=FD．
（1）求证：△GFN≌△GFD；
（2）如图，连接ND，若BC=ND，∠ADC=75°，求证：AN=AB；
（3）如图2，延长AF、BC交于点E，过B作BK⊥AE于K，若∠BAF=2∠E，猜想，AB与KF之间有何数量关系？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵FG平分∠AFD，
∴∠NFG=∠GFD，
在△GFN和△GFD中， ，
∴△GFN≌△GFD（SAS）
（2）证明：连接AC，如图1所示：
∵AF⊥CD，FN=FD，
∴△DFN为等腰直角三角形，
∴∠FDN=45°，
∵∠ADC=75°，
∴∠ADN=∠ADC﹣∠FDN=75°﹣45°=30°，
在Rt△AFD中，∠FAD=90°﹣75°=15°
∵AF垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠CAD=30°，
∵AD∥BC，
∴∠BCA=∠CAD=30°，
∴∠ADN=∠BCA，
在△ADN和△ACB中， ，
∴△ADN≌△ACB（SAS），
∴AN=AB
（3）解：AB与KF之间有何数量关系为：AB=2KF；理由如下：
取AB中点H，连接HF、HK，如图2所示：
∵在Rt△AKB中，H为AB中点，
∴HK= AB=AH，
∴∠HAK=∠HKA，
∵∠BAF=2∠E，
∴∠HKA=2∠E，
∵AD∥BE，
∴△AFD∽△EFC，
∴ = =1，
∴AF=EF，
∵H为AB中点，
∴HF为△ABE的中位线，
∴HF∥BE，
∴∠HFK=∠E，
∴∠HKA=2∠HFK，
∵∠HKA=∠HFK+∠FHK，
∴2∠HFK=∠HFK+∠FHK，
∴∠HFK=∠FHK，
∴HK=KF，
∵HK= AB，
即AB=2HK，
∴AB=2KF．
【解析】【分析】（1）由角平分线得出∠NFG=∠GFD，由SAS证明△GFN≌△GFD即可；（2）连接AC，由等腰直角三角形的性质得出∠FDN=45°，由线段垂直平分线的性质得出AC=AD，证出∠CAD=30°，由SAS证明△ADN≌△ACB，得出对应边相等即可；（3）取AB中点H，连接HF、HK，由直角三角形斜边上的中线性质得出HK= AB=AH，得出∠HAK=∠HKA，证明△AFD∽△EFC，得出对应边成比例，证出AF=EF，证明HF为△ABE的中位线，由三角形中位线定理得出HF∥BE，得出∠HFK=∠E，由角的关系得出∠HFK=∠FHK，得出HK=KF，即可得出结论．
8．如图，已知直线..，点O在直线....之间．
（1）如果时，
①求的度数；
②直接写出与的数量关系；
（2）若的度数为α，且，其余条件不变；猜想与的数量关系；并说明理由．
【答案】（1）解：①过点O作，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②．
．
理由：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵
∴．
【解析】【分析】（1）①过点O作，则，进而根据平行线的性质即可得到，，再结合题意即可求解；②，理由：先根据题意即可得到 ，进而即可求解；
（2），理由：先根据平行线的性质即可得到，，进而即可得到，再结合题意进行等量代换即可求解。
9．某农业基地以64000元的成本收获了一批的农产品，并以1200元/t的价格出售．若将其在农业基地储藏起来，每个星期都会损失，为了使这批农产品的获利不低于20000元，求这批农产品最多在农业基地储藏多少个星期．
【答案】这批农产品最多在农业基地储藏5个星期．
10．“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，2本文学名著和4本动漫书共需156元，2本文学名著比2本动漫书多36元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，总费用不超过2100元，请问最多可以购买文学名著多少本？
【答案】（1）解：设每本文学名著元，每本动漫画元
依题意可列方程组为：，解得
答：每本文学名著38元，每本动漫画20元．
（2）解：设购买文学名著本．
依题意有：
解得：
是非负整数，最多为29
答：最多可以购买文学名著29本．
【解析】【分析】（1）设每本文学名著x元，每本动漫画y元，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）设购买文学名著本，根据题意列出不等式，再求解即可。
11．某学校在疫情期间用3000元购进A、B两种洗手液共550瓶，购买A种洗手液与购买B种洗手液的费用相同，且A种洗手液的单价是B种洗手液单价的1.2倍．
（1）求B种洗手液的单价是多少元？
（2）学校计划用不超过9800元的资金再次购进A、B两种洗手液共1800瓶，求A种洗手液最多能购进多少瓶？
【答案】（1）解：设B种洗手液的单价为x元/个，则A种洗手液单价为1.2x元/个，根据题意，得：
，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
则1.2x=6．
答：A种洗手液单价为6元/个，B种洗手液单价为5元/个；
（2）解：设购进A种洗手液m个，则购进B种洗手液（1800-m）个，
依题意，得：6m+5（1800-m）≤9800，
解得：m≤800．
答：A种洗手液最多能购进800个．
【解析】【分析】（1）根据题意设B种洗手液的单价为x元/个，则A种洗手液单价为1.2x元/个，列出方程，求解并检验即可；
（2）设购进A种洗手液m个，则购进B种洗手液（1800-m）个，根据题意列出不等式，求解即可。
12．已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，AB=BC=1，且∠ABC=60°，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足DE=CE．
（1）如图1，当点E运动到线段AB的中点，点D在线段CB的延长线上时，求BD的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上运动，点D在线段CB的延长线上时，试确定线段BD与AE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵点E是线段AB的中点，
∴∠ECB= ∠ACB=30°，
∵DE=CE，
∴∠EDB=∠ECB=30°，
∵∠ABC=∠EDB+∠DEB，
∴∠DEB=30°=∠EDB，
∴BD=DE= AB=
（2）解：BD=AE；理由如下：
过点E作EF∥BC交AC于点F，如图所示：
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠ACB=60°，
∴∠EFC=120°，∠AFE=∠A，
∴EF=EA，
∵∠ABC=60°，
∴∠EBD=120°，
∴∠EFC=∠EBD，
∵CE=DE，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EDB+∠DEB=∠ECB+∠ECF=60°，
∴∠DEB=∠ECF，
在△EDB和△CEF中， ，
∴△EDB≌△CEF（AAS），
∴BD=EF，
∵EF=EA，
∴BD=AE．
【解析】【分析】（1）证明△ABC为等边三角形，得出∠ACB=∠ABC=60°，由等边三角形的性质得出∠ECB= ∠ACB=30°，由等腰三角形的性质得出∠EDB=30°，由三角形的外角性质得出∠DEB=∠EDB，即可得出结论；（2过点E作EF∥BC交AC于点F，由平行线的性质得出∠AFE=∠ACB=60°，证出∠EFC=120°，∠AFE=∠A，得出EF=EA，证出∠DEB=∠ECF，由AAS证明△EDB≌△CEF，得出BD=EF，即可得出结论．
13．某校为提升硬件设施，决定采购80台电脑，现有 ， 两种型号的电脑可供选择．已知每台 型电脑比 型的贵2000元，2台 型电脑与3台 型电脑共需24000元．
（1）分别求 ， 两种型号电脑的单价；
（2）若 ， 两种型号电脑的采购总价不高于38万元，则 型电脑最多采购多少台？
【答案】（1）解：（1）设 型电脑的单价为 元 台， 型电脑的单价为 元 台，
根据题意得： ，
解得： ．
答： 型电脑的单价为6000元 台， 型电脑的单价为4000元 台
（2）解：设 型电脑采购 台，则 型电脑采购 台，
根据题意得： ，
解得： ．
答： 型电脑最多采购30台
【解析】【分析】（1）设 型电脑的单价为 元 台， 型电脑的单价为 元 台，根据“每台 型电脑比 型的贵2000元，2台 型电脑与3台 型电脑共需24000元”，即可得出关于 、 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设 型电脑采购 台，则 型电脑采购 台，根据总价 单价 购买数量结合采购总价不高于38万元，即可得出关于 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论
14．我市为全面推进“十个全覆盖”工作，绿化提质改造工程如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共600棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵100元，乙种树苗每棵200元．
（1）若购买两种树苗的总金额为70000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？
【答案】（1）解：设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗y棵，由题意，得
，
解得： ，
答：购买甲种树苗500棵，则购买乙种树苗100棵；
（2）解：设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（100﹣a）棵，由题意，得
100a≥200（600﹣a），
解得：a≥400．
答：至少应购买甲种树苗400棵
【解析】【分析】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗y棵，列出方程即可解决．（2）设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（100﹣a）棵，列出不等式即可解决问题．本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的解法的运用，解答时建立方程和不等式是关键．
15．为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，购买这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7200元，该商店共有几种进货方案？
【答案】（1）解：设购进每件A种纪念品需要x元，每件B种纪念品需要y元，
依题意得： ，解得： ．
答：购进每件A种纪念品需要80元，每件B种纪念品需要50元
（2）解：设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（100﹣m）件，
依题意得： ，解得： ≤m≤ ．
又∵m为整数，
∴m可以为67，68，69，70，71，72，73．
∴该商店共有7种进货方案．
【解析】【分析】（1）设购进每件A种纪念品需要x元，每件B种纪念品需要y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（100﹣m）件，根据题意列出不等式组求解即可。
16．“成自”高铁自贡仙市段在建设时，甲、乙两个工程队计划参与该项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的 ，这时乙队加入，两队还需同时施工30天，才能完成该项工程．
（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过40天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
【答案】（1）解：设乙队单独施工要 天完成该项工程，则乙队的工作效率是 . 由题意有：
解得： .
经检验 是原方程的解且符合题意
（2）解：设乙队至少施工 天才能完成.由题意有：
解得： .
答：乙队单做需90天完成该项工程；甲队施工不超过40，乙队至少施工50天才能完成该项工程.
【解析】【分析】（1）此题的等量关系是：（甲的工作效率+乙的工作效率）合作的工作时间=，列方程求解即可。
（2）根据题意列不等式，解不等式，再求出不等式的最小值即可。
17．新房装修甲居民购买家居用品的清单如下表，因污水导致部分信息无法识别，据下表解决问题：
家居用品名称 单价（元） 数量（个） 金额（元）
挂钟 30 2 60
垃圾桶 15
　
　
塑料鞋架 40
　
　
艺术字画 a 2 90
电热水壶 35 1 b
合计 8 280
（1）直接写出a=　 　，b=　 　；
（2）甲居民购买了垃圾桶，塑料鞋架各几个？
（3）若甲居民再次购买艺术字画和垃圾桶两种家居用品，共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？
【答案】（1）45；35
（2）解：设甲居民购买了垃圾桶x个，塑料袋y个，根据题意得
解之：.
答：甲居民购买了垃圾桶1个，塑料袋2个.
（3）解：设甲居民再次购买艺术字画a副，垃圾桶b个，根据题意得
35a+15b=150
b=10-3a≥0
解之：
∴0＜a≤
∴a的整数值为：1，2，3
∴b的整数值为：7，4，1
一共有3种不同的购买方案，分别为：
方案一：甲居民再次购买艺术字画1副，垃圾桶7个；
方案二：甲居民再次购买艺术字画2副，垃圾桶4个；
方案三：甲居民再次购买艺术字画3副，垃圾桶1个.
【解析】【解答】解：（1）a=90÷2=45；
b=35×1=35.
故答案为：45，35.
【分析】（1）利用表中数据分别求出a，b的值。
（2）由表中数据可知垃圾桶的数量+塑料袋的数量=3；垃圾桶的数量×其单价+塑料袋的数量乘其单价=95，设未知数，列方程组求出方程组的解即可。
（3）根据甲居民再次垃圾桶的数量成其单价+塑料袋的数量×其单价=150，设未知数，列出二元一次方程，然后求出二元一次方程的正整数解即可。
18．如图，在中，，，．
（1）的面积等于　 　；
（2）为线段上一点，过点作，垂足为．当时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）．
【答案】（1）4
（2）解：以为圆心，长为半径画弧，与交于点；分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；连接与交于点；连接，即为所求．
∵AC=QC，∠ACP=∠QCP，CP=CP，
∴△ACP≌△QCP（SAS）
∴∠PQC=∠A=90°
∴PQ=AP，，故点和点为所求．
【解析】【解答】（1）的面积等于
故答案为：4；
【分析】（1）利用三角形的面积公式求解即可；
（2）根据要求作出角平分线，再利用“SAS”证明△ACP≌△QCP，然后利用全等三角形的性质可得∠PQC=∠A=90°，即可得到结论。
19．某超市预测某品牌饮料有销售前景，用1200元购进一批该饮料，试销售后果然供不应求，又用5400元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批多2元．
（1）第一批饮料进货单价为多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于3000元，则销售单价至少为多少元？
【答案】（1）解：设第一批饮料进货单价为 元，
则第一批饮料进货单价为 （ +2）元．
依题意，得： ，
解得： =4．经检验， =4是原方程的解，且符合题意．
答：第一批饮料进货单价为4元．
（2）解：第一批饮料进货数量为1200÷4=300（瓶），
第二批饮料进货数量为5400÷（4+2）=900（瓶）．
设销售单价为y元，
依题意，得：（300+900）y-（1200+5400）≥3000
解得：y≥8
答：销售单价至少为8元．
【解析】【分析】（1）根据第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批多2元，列方程计算求解即可；
（2）先求出（300+900）y-（1200+5400）≥3000 ，再解不等式计算求解即可。
20．如图，已知，在中，，．将绕点A逆时针旋转一个角至位置，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：
（2）若四边形ABFE为菱形，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，直接写出CF的值．
【答案】（1）证明：由旋转得：AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=α，
∵AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵AB=AD，∠BAD=，∠BAC=30°，
∴∠ABD=（180°－∠BAD）÷2=（180°－）÷2=90°－，∠BAE=+30°，
∵四边形ABFE是菱形，
∴∠BAE+∠ABD=180°，即+30°+90°－=180°，
解得：=120°；
（3）
【解析】【解答】解：（3）连接AF，
∵四边形ABFE是菱形，∠BAE=+30°=150°，
∴∠BAF=∠BAE=75°，又∠BAC=30°，
∴∠FAC=75°－30°=45°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠FCA=∠ABD=90°－=30°，
过F作FG⊥AC于G，设FG=x，
在Rt△AGF中，∠FAG=45°，∠AGF=90°，
∴∠AFG=∠FAG=45°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AG=FG=x，
在在Rt△AGF中，∠FCG=30°，∠FGC=90°，
∴CF=2FG=2x，，
∵AC=AB=2，又AG+CG=AC，
∴，
，
∴CF=2x= ．
【分析】（1）由SAS证明即可；
（2）由等腰三角形的性质得出∠ABD=（180°－∠BAD）÷2=（180°－a）÷2=90°－a，再由四边形内角和定理得出∠BAE+∠ABD=180°，求解即可；
（3）连接AF，根据四边形ABFE是菱形，△ABD≌△ACE，证出△AGF是等腰直角三角形，在Rt△AGF中，∠FCG=30°，∠FGC=90°，CF=2FG=2x，，再根据AC=AB=2，又AG+CG=AC，解答即可。
21．如图（1）△ABC中，H是高AD和BE的交点，且AD=BD．
（1）请你猜想BH和AC的关系，并说明理由
（2）若将图（1）中的∠A改成钝角，请你在图（2）中画出该题的图形，此时（1）中的结论还成立吗？（不必证明）．
【答案】（1）证明：BH=AC；如图1，
∵AD和BE是△ABC的高，
∴∠BDH=∠ADC=90°，∠DBH+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠DBH=∠DAC，
在△BDH和△ADC中，
，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴BH=AC；
（2）解：成立，如图2，
∵AD和BE是△ABC的高，
∴∠BDH=∠ADC=90°，∠DBH+∠H=∠DBH+∠C=90°，
∴∠H=∠C，
在△BDH和△ADC中，
，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴BH=AC．
【解析】【分析】（1）BH=AC；证明△BDH≌△ADC即可；（2）成立．证明思路同（1）．
22．疫情过后，某中学为学生复课做准备，计划购买消毒水和洗手液两种物品。若购买8瓶消毒水和5瓶洗手液需用220元；若购买4瓶消毒水和6瓶洗手液需用152元．
（1）求每瓶消毒水和每瓶洗手液各多少元．
（2）学校决定购买消毒水和洗手液共75瓶，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少瓶消毒水
【答案】（1）解：设每瓶消毒水x元，每瓶洗手液y元，根据题意得：，解得：，答：每瓶消毒水20元，每瓶洗手液12元．
（2）解：设学校决定购买消毒水m瓶，则购买洗手液(75-m)瓶，根据题意得：，解得m≤35，答：最多可以购买35瓶消毒水．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求解即可；
（2）先求出 ， 再求解即可。
23．如图，点C为线段 上一点， ， 是等边三角形，直线 交于点E，直线 交于点F．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）求证： ．
【答案】（1）解：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠MCN=180°-∠ACM-∠BCN=60°，
∴∠CAN=∠ACM+∠MCN=∠MCN+∠BCN=∠BCM=120°，
∴△CAN≌△CMB（SAS），
∴AN=BM；
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠EAC=∠FNC，
∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，
∴△AEC≌△MFC（ASA），
∴CE=CF；
（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴∠CEF=∠ACE=60°，
∴EF∥AB．
【解析】【分析】（1）根据△ACM和△CBN都是等边三角形，得出AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，推出∠MCN、∠CAN的度数，证明△CAN≌△CMB（SAS），即可得出结论；
（2）根据△CAN≌△CMB，得出∠EAC=∠FNC，在根据AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，可得出△AEC≌△MFC（ASA），由此得出结论；
（3）证出△ECF是等边三角形，得出∠CEF=∠ACE=60°，由此得出结论。
24．西安某校计划购买A，B两种树木共100棵，进行校园绿化，经市场调查：购买A种树木3棵，B种树木4棵，共需470元，购买A种树木5棵，B种树木2棵，共需410元．．
（1）求A，B两种树木每棵各多少元？
（2）布局需要，决定再次购进A，B两种树木共50棵，A种树木售价比第一次购买时提高了8%，B种树木按第一次购买时售价的9折出售．如果这所学校此次购买A，B两种树木的总费用不超过3260元，那么该校最多可购买多少B种树木？
【答案】（1）A种树木每棵50元，B两种树木每棵80元；
（2）31棵．
25．防疫期间某工厂接生产N95口罩和普通医用外科口罩共180万个的生产任务．该工厂不能同时生产两种口罩，且生产普通医用外科口罩的速度是生产N95口罩速度的2倍，生产40万只N95口罩比生产40万只普通医用外科口罩多用4天．
（1）求该工厂每天能生产N95口罩或生产普通医用外科口罩多少只？
（2）若每生产一只N95口罩可获利0.6元，每生产一只普通医用外科口罩可获利0.25元，且生产工期不能超过26天，则如何安排生产工厂获利最多？最多获利多少万元？
【答案】（1）解：设该工厂每天能生产N95口罩x万只，则生产普通医用外科口罩2x万只，
根据题意，得 ，
解得x=5，
经检验，x=5是原方程的解．
2x=10，
答：该工厂每天能生产N95口罩5万只或生产普通医用外科口罩10万只．
（2）解：设生产N95口罩m万个，则生产普通医用外科口罩（180-m）万个，根据题意
，
所以m≤80，
设所获利润为W万元，则
W=0.6m+0.25（180-m）=0.35m+45
因为k=0.35＞0，所以W随m的增大而增大，
所以当m=80，W有最大值，W最大值=73（万元），此时，180-m=100（万个）
所以，安排生产N95口罩80万个，生产普通医用外科口罩100万个工厂获利最多，最多获利73万元．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再解方程，检验求解即可；
（2）根据生产工期不能超过26天列方程 ， 再计算求解即可。
26．计算
（1）解不等式组
（2）因式分解
（3）解分式方程
（4）先化简，再求值．，从，0，1，2中选取一个代入求值．
【答案】（1）解：，
解得，
解得，
∴不等式组的解集为
（2）解：
（3）解：，
去分母得，
去括号得，
解得，
经检验是原方程的增根，
∴方程无解；
（4）解：
，
∵或分式无意义，
∴取，原式
【解析】【分析】（1）首先分别求出各个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”即可得出不等式组的解集；
（2）先提取公因式，再根据完全平方公式即可分解；
（3）根据解分式方程的步骤解出方程，再检验即可；
（4）根据分式的加减运算法则进行运算后，再选取一个数字代入计算即可。
27．小明在解不等式 的过程中出现了错误，解答过程如下：
解不等式：
解：去分母，得 （第一步）
去括号，得 ，（第二步）
移项，得 ，（第三步）
合并同类项，得 . （第四步）
两边都除以 ，得 . （第五步）
（1）小明的解答过程是从第　 　步开始出现错误的.
（2）请写出此题正确的解答过程
【答案】（1）一
（2）解： ≥1，
≥6．
≥6．
≥
≤
【解析】【解答】（1）小明的解答过程是从第一步开始出现错误的．
【分析】（1）第一步去分母时，漏乘了常数项1，据此即得.
（2）解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1，据此解答即可.
28．倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件.
（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？
（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？
【答案】（1）解：设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1.5x元/套，
根据题意，可得： ，
解得：x＝360，
经检验x＝360是原方程的根，
1.5×360＝540(元)，
因此，A，B两种健身器材的单价分别是360元，540元
（2）解：设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材(50﹣m)套，
根据题意，可得：360m+540(50﹣m)≤21000，
解得：m≥ ，
因此，A种型号健身器材至少购买34套
【解析】【分析】（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1.5x元/套，根据“B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件”，即可得出关于x，y的分式方程，解之即可得出结论；（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材(50﹣m)套，根据总价＝单价×数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过21000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论.
29．蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．
（1）昨天的青菜和西兰花的进价和售价如表，老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤，当天售完后老王一共能赚多少元钱？
青菜 西兰花
进价（元/市斤） 2.8 3.2
售价（元/市斤） 4 4.5
（2）今天因进价不变，老王仍用600元批发青菜和西兰花共200市斤．但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，应怎样给青菜定售价？（精确到0.1元）
【答案】（1）解：设批发青菜x市斤，西兰花y市斤；
根据题意得： ，
解得： ，
即批发青菜100市斤，西兰花100市斤，
∴100×（4﹣2.8）+100×（4.5﹣3.2）=120+130=250（元）；
答：当天售完后老王一共能赚250元钱；
（2）解：设给青菜定售价为a元/市斤；
根据题意得：100×（1﹣10%）a+100×4.5﹣600≥250，
解得：a≥ ≈4.44；
答：给青菜定售价为不低于4.5元/市斤
【解析】【分析】（1）设批发青菜x市斤，西兰花y市斤，根据题意列出方程组，解方程组青菜青菜和西兰花的重量，即可得出老王一共能赚的钱；（2）设给青菜定售价为a元；根据题意列出不等式，解不等式即可．本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用；根据题意列出一元一次不等式、二元一次方程组是解决问题的关键．
30．某商场销售A、B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：
教学设备 A B
进价（万元/套） 3 2.4
售价（万元/套） 3.3 2.8
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需132万元，全部销售后可获毛利润18万元.
（1）该商场计划购进A、B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调查，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少数量的1.5倍.若用于购进这两种教学设备的总资金不超过138万元，则A种设备购进数量最多减少多少套？
【答案】（1）解：设购进 、 两种品牌的教学设备分别 套，列方程组得：
，
解得
答：购进 、 两种品牌的教学设备分别20，30套
（2）解：设 种设备购进数量减少 套，由题意得：
∴ 又
∴
∴ 最多为10
答： 种设备购进数量最多减少10套
【解析】【分析】（1） 设购进A、B两种品牌的教学设备分别为x、y套， 由表格中的信息可得两个相等关系：x套A种品牌的教学设备的进价+y套B两种品牌的教学设备的进价=132，x套A种品牌的教学设备的利润+y套B两种品牌的教学设备的利润=18，根据这两个相等关系列方程组即可求解；
（2）设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量为（30+1.5a）套，由题意可得不等关系：（20-a）套A种设备的价格+（30+1.5a）套B种设备的价格≤138，根据不等关系列不等式即可求解.
31．（1）如图1，点P是 ABCD内的一点，分别过点B、C、D作AP的垂线BE、CF、DH，垂足分别为E、F、H，猜想BE、CF、DH三者之间的关系，并证明；
（2）如图2，若点P在 ABCD的外部，△APB的面积为18，△APD的面积为3，求△APC的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，增加条件：AB=BC，∠APC=ABC=90°，设AP、BP分别于CD相交于点M、N，当DM=CN时， =　 　（请直接写出结论）．
【答案】（1）解：过C作CG⊥BE于G，延长BC交AF于Q，
∵CF⊥AC，BE⊥AC，
∴四边形CGEF是矩形，
∴EG=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAH=∠Q，
∵CG∥AF，
∴∠G=∠BCG，
∴∠DAH=∠BCG，
在△ADH与△BCG中， ，
∴△ADH≌△BCG，
∴DH=BG，
∴BE=BG+EG=DH+CF
（2）解：分别过点B、C、D作AP的垂线BE、CF、DH，垂足分别为E、F、H，
由（1）知BE=DH+CF，
∵S△ADP= AP DH，S△ABP= AP BE，S△ACP= AP CF，
∴S△ADP+S△ACP= AP（DH+CF）= AP BE=S△ABP，
∵△APB的面积为18，△APD的面积为3，
∴S△APC=15；
（3）
【解析】【解答】解：（3）过B作BE⊥AP于E，连接AC，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠DCA=∠CAB=45°，
在△ADM与△BCN中， ，
∴△ADM≌△BCN，
∴AM=BN，∠AMD=∠BNC，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN，
∴AP=BP，
∵∠ADC=∠APC=90°，
∴A，C，P，D四点共圆，
∴∠DPA=∠ACD=45°，
在△PDM与△PCN中， ，
∴△PDM≌△PCN，
∴∠CPN=∠DPM=45°，
∴∠APB=45°，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴PB=PA= BE，
∵S△ABP= AP BE= × BE BE=18，
∴BE=3 ，
∴AP=6 ，
∵AP PC=30，
∴PC= ，
∵∠PDC=∠PCD=∠PAC，
∴tan∠PCM=tan∠PAC= = = ，
∴ = ．
故答案为： ．
【分析】（1）过C作CG⊥BE于G，延长BC交AF于Q，得到四边形CGEF是矩形，由矩形的性质得到EG=CF，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，推出△ADH≌△BCG，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）分别过点B、C、D作AP的垂线BE、CF、DH，垂足分别为E、F、H，由（1）知BE=DH+CF，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（3）过B作BE⊥AP于E，连接AC，推出四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质得到∠DCA=∠CAB=45°，通过全等三角形得到AM=BN，∠AMD=∠BNC，推出A，C，P，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠DPA=∠ACD=45°，根据全等三角形的性质得到∠CPN=∠DPM=45°，证得△BPE是等腰直角三角形，得到PB=PA= BE，根据三角形的面积列方程得到BE=3 ，根据三角函数的定义得到 = = ，即可得到结论．
32．如图，点 在一条直线上， .
求证：
（1）
（2）
【答案】（1）证明：∵AB//ED，AC//FD，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
在△BAC和△EDF中
，
∴△BAC≌△EDF（AAS），
∴AC=DF；
（2）证明：∵△BAC≌△EDF，
∴BC=EF，
∴BC-FC=EF-FC，
∴FB=CE.
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根据AAS证出△BAC≌△EDF，可得AC=DF；.（2）由△BAC≌△EDF，可证BC=EF，进而可得FB=CE.
33．如图所示，回答下列问题．
（1）请写出直线AB．CD被AC所截形成的内错角；
（2）请写出直线AB．CD被BE所截形成的同位角；
（3）找出图中∠1的所有同旁内角．
【答案】（1）解：直线 AB，CD被AC所截形成的内错角是∠3和∠4
（2）解：直线AB，CD被BE所截形成的同位角是∠B和∠DCE
（3）解：∠1所有的同旁内角为∠4，∠D，∠ACE．
【解析】【分析】（1）两条直线被第三条直线所截时，夹在两条直线的内部，且在截线两侧的两个角互为内错角；观察图形可写出直线AB．CD被AC所截形成的内错角.
（2）两条直线被第三条直线所截时，都在两条直线的同一方向，且在截线的同侧的两个角互为同位角；利用图形可写出直线AB．CD被BE所截形成的同位角.
（3）两条直线被第三条直线所截时，夹在两条直线的内部，且在截线同侧的两个角互为同旁内角，可得到图中∠1的所有同旁内角.
34．如图，某化工厂与，两地有公路、铁路相连，这家工厂从地购进一批每吨1600元的原料运回工厂，制成产品运到地销售．已知3吨产品的销售款比2吨原料的进货款多20800元．
（1）求每吨产品的销售款是多少元；
（2）已知公路运价为元，铁路运价为元，且这两次运输共支出公路运费16000元，铁路运费89100元，求这批原料比产品多多少吨；
（3）工厂原计划从地购进的原料和送往地的产品一共有20吨，若要增加吨的产品，就要再购进吨的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购进多少吨的原料．
【答案】（1）解：设每吨产品的销售款是m元，
根据题意有：，
解得：，
答：每吨产品的销售款是8000元.
（2）解：设这批原料x吨，产品y吨，
根据题意有：，
解得：．
吨，
答：这批原料比产品多100吨.
（3）解：设原计划从地购进的原料为t吨，则原计划送往地的产品为吨．
∵原料总重量是产品总重量的2倍，
∴，
∴．
∵此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元，
∴
解得：，
答：至少需要再购进6.875吨的原料.
【解析】【分析】（1）设每吨产品的销售款是m元，根据“ 已知3吨产品的销售款比2吨原料的进货款多20800元 ”列出方程，再求解即可；
（2）设这批原料x吨，产品y吨，根据“ 这两次运输共支出公路运费16000元，铁路运费89100元 ”列出方程组，再求解即可；
（3）设原计划从地购进的原料为t吨，则原计划送往地的产品为吨，根据“ 同时满足原料总重量是产品总重量的2倍 ”列出方程，求出，再结合“ 销售款与原料的进货款之差不少于49600元 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设每吨产品的销售款是m元，
根据题意有：，
解得：，
答：每吨产品的销售款是8000元；
（2）解：设这批原料x吨，产品y吨，
根据题意有：，
解得：．
吨，
答：这批原料比产品多100吨；
（3）解：设原计划从地购进的原料为t吨，则原计划送往地的产品为吨．
∵原料总重量是产品总重量的2倍，
∴，
∴．
∵此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于49600元，
∴
解得：，
答：至少需要再购进6.875吨的原料．
35．为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元；购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共300个，分别由甲、乙两人进行安装，要求在12天内完成（两人同时进行安装）．已知甲负责A型垃圾箱的安装，每天可以安装15个，乙负责B型垃圾箱的安装，每天可以安装20个，生产厂家表示若购买A型垃圾箱不少于150个时，该型号的产品可以打九折；若购买B型垃圾箱超过150个时，该型号的产品可以打八折，若既能在规定时间内完成任务，费用又最低，应购买A型和B型垃圾箱各多少个？最低费用是多少元？
【答案】（1）解：设每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别为x元和y元，
根据题意得 ，解得 ，
∴每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别为100元和120元
（2）解：设购买A型垃圾箱m个，则购买B型垃圾箱（300﹣m）个，购买垃圾箱的费用为w元，
根据题意得 ，解得60≤m≤180，
若60≤m＜150，w=100m+120×0.8×（300﹣m）=4m+28800，
当m=60时，w最小，w的最小值=4×60+28800=29040（元）；
若150≤m≤180，w=100×0.9×m+120×（300﹣m）=﹣30m+36000，
当m=180，w最小，w的最小值=﹣30×180+36000=30600（元）；
∵29040＜30600，
∴购买A型垃圾箱60个，则购买B型垃圾箱240个时，既能在规定时间内完成任务，费用又最低，最低费用为29040元
【解析】【分析】（1）设每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别为x元和y元，利用两次购买的费用列方程 ，然后解方程组即可；（2）设购买A型垃圾箱m个，则购买B型垃圾箱（300﹣m）个，购买垃圾箱的费用为w元，利用工作效率和总工作时间可得到60≤m≤180，然后讨论：若60≤m＜150得到w=4m+28800，若150≤m≤180得w=﹣30m+36000，再利用一次函数的性质求出两种情况下的w的最小值，于是比较大小可得到满足条件的购买方案．
36．如图， 中， ， ，点 在 上，过点 作 的垂线 ，在直线 与线段 上分别取点 ， ，使得 ，且点 ， ， 在直线 同侧，连接 ， ．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示 与 的数量关系，并证明；
（3）过点 作 于点 ，用等式表示线段 ， ， 的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：根据题意补全图形如下图所示：
（2）解： ，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（3）解： ，理由如下：
如图，过点F作FH⊥BC于点H，
∵ ，
∴DF平分∠EDB，
又∵FH⊥BC， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在等腰 中， ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
即： ．
【解析】【分析】 (1)根据题中的条件确定点E、点F，画出线段DE和线段DF即可；
(2)根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理，用等腰三角形的顶角表示底角，再推出
∠EDF=，可得结论；
(3)作FH⊥BC于点H ，利用角平分线的性质可得 ，然后判断 为等腰三角形，进而得到，，，然后利用即可求解。
37．“双减”政策背景下，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的键子数量相同．
（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
（2）如果学校计划购买跳绳和毽子共80个，总费用不超过460元，那么最多能买多少个跳绳？
【答案】（1）解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是所列方程的根．
∴．
所以，跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．
（2）解：设能买个跳绳，则能买个毽子，根据题意，得
，
解这个不等式，得，
所以，最多能买20个跳绳．
【解析】【分析】（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设能买个跳绳，则能买个毽子，根据题意列出不等式，再求解即可。
38．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作AE的垂线CF，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于点D
（1）试说明：AE=CD；
（2）AC=12cm，求BD的长。
【答案】（1）证明：∵ BD⊥BC ，
∴∠ACB=∠CBD=90°，
∵∠EAC+∠ACF=∠DCE+∠ACF=90°，
∴∠EAC=∠DCB，
在 △ACE和△CBD 中，
∴
∴ △ACE≌△CBD(ASA)
∴AE=CD.
（2）解：∵△ACE≌△CBD，
∴BD=EC，
∵E为BC的中点，BC=AC=12cm，
∴BD=EC= BC= AC=6cm.
【解析】【分析】（1）首先由同角的余角相等推得∠EAC=∠DCB，然后用角边角定理证明△ACE≌△CBD，则对应边AE=CD；
（2）利用全等三角形对应边相等得出BD=CE，结合AE为BC边上的中线和AC=BC，即可求得BD等于AC的一半，从而求出AC的长.
39．如图，已知A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠1=∠2，AF=CE．
（1）写出图中全等的三角形；
（2）选择其中一对，说明理由．
【答案】（1）解：△AFD≌△CEB，△ABC≌△CDA，△ABE≌△CDF
（2）解：
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AF=CE，
∴AF+EF=EC+EF，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中 ，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∵△ABE≌△CDF，
∴AB=DC，
∵AB∥DC，
∴∠BAC=∠DCA，
∴在△ABC和△CDA中
，
∴△ABC≌△CDA（SAS）；
∵△ABC≌△CDA，
∴AD=BC，∠DAC=∠BCE，
在△AFD和△CEB中
，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
【解析】【分析】（1）根据条件可得∠BAC=∠DCA，AE=CF，加上∠1=∠2可证明△ABE≌△CDF，进而可得AB=CD，可利用SAS判定△ABC≌△CDA，可得BC=AD，∠DAF=∠FCD，然后可得△AFD≌△CEB；（2）根据条件AB∥CD可得∠BAC=∠DCA，根据等式的性质可得AE=CF，加上∠1=∠2可证明△ABE≌△CDF．
40．如图，AC=DF，AD=BE，BC=EF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AC∥DF．
【答案】（1）证明：
即：
在 和 中
（2）证明：
【解析】【分析】（1）由AD=BE可得AB=DE，根据SSS易证△ABC≌△DEF；
（2）根据全等三角形对应角相等，由（1）可知∠CAB=∠FDE，根据同位角相等，两直线平行得证。
41．如图①，在平面直角坐标系中，，且满足，过点作轴于点．
（1）　 　，　 　，　 　；
（2）在轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若过点作交轴于点，且分别平分，求的度数．
【答案】（1）-2；2；4
（2）解：存在
理由如下：设
三角形的面积是三角形和的2倍，
，，，
或；
（3）解：作，如图②，
，，
，，
，
分别平分，，
，，
，
，，
，
．
【解析】【解答】解：（1），
，，，
轴，，
，
故答案为：；
【分析】(1)根据平方与二次根式的非负性即可求出a和b的值；
(2)设点P(m，0)，再表达△ACP的面积，即可求出m的值；
(3)根据平行的性质可得角度关系，，再由角平分线得，根据这些关系即可得∠AED的度数.
42．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′；
（1）求证：△ABD≌△ACD′；
（2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数。
【答案】（1）证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，
∴ ，
在△ABD和△ACD′中，
∵ ，
∴ △ABD≌△ACD′（SSS）.
（2）解：∵ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，
∴ ，
即 ．
【解析】【分析】（1）根据题中已知条件得到，再根据全等三角形的判断（SSS）得到△ABD≌△ACD′.
（2）根据（1）全等得到，求出的角度，再根据对称条件得到.
43．说明下列不等式是怎样变形的：
（1）若31；
（2）若 x<-1，则x<-2；
（3）若- x>-6，则x<4；
（4）若-3x>2，则x<- ；
（5）若2x+3>-7，则x>-5；
（6）若-2x+3 .
【答案】（1）解： 31 .
（2）解： x<-1，两边乘2，得x<-2 。
（3）解： - x>-6，两边除以- ，得x<4 。
（4）解： -3x>2，两边除以-3，得x<- ；
（5）解： 2x+3>-7，两边减去3，再除以2，得x>-5 ；
（6）解： -2x+3 ；
【解析】【分析】(1)根据不等式的基本性质1，在不等式的左右两边都减去同一个整数，不等式成立，得出 31 ；
（2）根据不等式的性质2，在不等式的左右两边都乘以同一个正数，不等号方向不变得出 x<-1，两边乘2，得x<-2；
（3）根据不等式的性质3，在不等式的左右两边都除以同一个负数，不等号方向改变得出 - x>-6，两边除以- ，得x<4 ；
（4）根据不等式的性质3，在不等式的左右两边都除以同一个负数，不等号方向改变得 -3x>2，两边除以-3，得x<- ；
（5）根据不等式的基本性质1，在不等式的左右两边都减去同一个整数，不等式成立，再根据不等式的性质2，在不等式的左右两边都除以同一个正数，不等号方向不变得出2x+3>-7，两边减去3，再除以2，得x>-5 ；
（6）根据不等式的基本性质1，在不等式的左右两边都减去同一个整式，不等式成立，再根据不等式的性质3，在不等式的左右两边都除以同一个负数，不等号方向改变得出 -2x+3 。
44．嘉淇准备完成题目：解一元一次不等式组 ，发现常数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成5，请你解一元一次不等式组 ；
（2）张老师说：我做一下变式，若 的解集是 ，请求常数“□”的取值范围．
【答案】（1）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为
（2）解：设“□”为a，则不等式 的解集为
不等式 的解集为
∵不等式组的解集为 ，
∴ ，即
【解析】【分析】（1）将5代入，再利用不等式组的解法求解即可；
（2）先设“□”为a，再利用不等式的性质和不等式组的解法求出解集，结合x<3求解即可。
45．某中学为了方便学生课外阅读，去年购买了一批图书．其中每本科普书的单价比每本文学书的单价多4元，用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元/本？
（2）若今年每本文学书的单价比去年提高了，每本科普书的单价与去年相同，为了扩大学生的阅读量，这所中学今年计划再购买文学书和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过2100元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？
【答案】（1）去年购买的文学书单价为8元/本，科普书单价为12元/本
（2）今年至少要购买150本文学书
46．某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.
（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？
（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于 ，那么每套
售价至少是多少元？
【答案】（1）解：设商场第一次购进x套运动服，由题意得
解这个方程，得
经检验， 是所列方程的根
；
答：商场两次共购进这种运动服600套；
（2）解：设每套运动服的售价为y元，由题意得
，
解这个不等式，得 .
答：每套运动服的售价至少是200元.
【解析】【分析】（1）设该商场第一次购进这种运动服x套，第二次购进2x套，然后根据第二次购进服装的单价比第一次购进服装的单价多10元列分式解答即可；
（2）设每套售价是y元，然后根据“售价-两次总进价≥成本×利润率”列不等式并求解即可.
47．如图
（1）如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM，AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证： ．
（2）如图2，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部射线AD上，∠1，∠2分别是 ， 的外角，已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证： ；
（3）如图3，在 中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上， ，若 的面积是15，则 与 的面积之和是　 　．
【答案】（1）证明：∵BD⊥AE，CF⊥AE
∴
∵
∴∠BAD+∠FAC=90°
∵∠FAC+∠ACF=90°
∴∠BAD=∠ACF
在△ABD与△CAF中
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠CFA，
∵∠1=∠ABE+∠EAB，∠1=∠BAC，
∴∠ABE=∠CAF，
在△ABE与△CAF中
所以
（3）5
【解析】【解答】（3）∵△ABC的面积为15，CD=2BD，
∴△ABD的面积为15× =5，
由（2）得，△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和=△ABD的面积=5，
故答案为：5．
【分析】（1）根据图1，求出 ∠FAC+∠ACF=90° ， ∠FAC+∠ACF=90° ，根据AAS证出 ；
（2）根据图2，运用三角形外角性质求出 ∠ABE=∠CAF， 即可证出 ；
（3）根据图3，由△ABC的面积为15，CD=2BD，得出△ABD的面积，由（2）得，△ABE≌△CAF，得出△ACF与△BDE的面积之和=△ABD的面积。
48．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
【答案】（1）解：∵点D是AB中点，AC=BC，
∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG，
（2）解：BE=CM．∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，又∵∠ACM=∠CBE=45°，在△BCE和△CAM中， ，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE=CM．
【解析】【分析】要证两线段相等，基本方法就是证它们所在的三角形全等，即△AEC≌△CGB，可寻找条件，根据∠CAE=∠BCGAC=BC，∠ACE=∠CBG，可得全等；（2）可观察图形，由（1）得∠CMA=∠BEC，寻找两个角所在的三角形，即△BCE、△CAM，证出它们全等即可.
49．如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，∠B=∠C，BC=9cm，点D为AB的中点.
（1）如果点P在线段BC上以3cm每秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动：
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？
（2）若点Q以&的运动速度从点C出发点P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
【答案】（1）解：①∵t=1（秒），
∴BP=CQ=3（厘米）
∵AB=12，D为AB中点，
∴BD=6（厘米）
又∵PC=BC-BP=9-3=6（厘米）
∴PC=BD
在△BPD与△CQP中，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵VP≠VQ，
∴BP≠CQ，
又∵∠B=∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=6.
∴点P的运动时间t= = =1.5（秒），
此时VQ= = =4（厘米/秒）
（2）解：因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程
设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+2×12，
解得x=24（秒）
此时P运动了24×3=72（厘米）
又∵△ABC的周长为33厘米，72=33×2+6，
∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇.
【解析】【分析】（1）当t=1时，可得BP=CQ=3，从而可得PC=BC-BP=6，利用线段的中点求出BD=6，从而可得PC=BD，根据“SAS”可证△BPD≌△CQP.
（2）由于点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，可得BP≠CQ，所以只有当BP=CP=4.5时，△BPD≌△CPQ，从而可得CQ=BD=6.，利用路程÷速度求出点P的运动时间，接着根据速度=路程÷时间即可求出点Q的速度.
（3）由于VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程.设经过x秒后P与Q第一次相遇 ，根据“点Q比点P多走AB+AC的路程”列出方程，求出x值，可得点P运动的路程，结合△ABC的周长为33厘米即可求出结论.
50．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
（1）求证：BD=CE；
（2）求证：∠M=∠N．
【答案】（1）证明：在△ABD和△ACE中， ，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，
即∠BAN=∠CAM，
由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠C，
在△ACM和△ABN中， ，
∴△ACM≌△ABN（ASA），
∴∠M=∠N．
【解析】【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑