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【50道热点题型】上海市数学八年级下册期末试卷·填空题专练
1．如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为　 　．
2．如图，在中，，是的高，是的中点，若，则的长为　 　．
3．文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量均相同，且内含对应文房四宝之一的卡片，若从一套四个盲盒（笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好抽中内含笔和纸的盲盒的概率是　 　．
4．在 ABCD中，∠A = ，则∠C=　 　．
5．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是　 　边形．
6．如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在平行四边形内部，那么它最终停留在黑色区域的概率是　 　．
7．如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为　 　．
8．如图，是L型网格，每个小正方形边长为1，点、、、是小正方形顶点，若过点的一条直线平分该L型网格的面积，并分别交边界，于点，，则：
（1）直线，直线，直线三条直线中　 　平分该L型网格的面积；
（2）线段的长为　 　．
9．矩形纸片，，点E和F分别是边和上的动点，将矩形纸片沿折叠．
（1）如图1，当点E与D重合，点C落在对角线上的点G处时，　 　．
（2）如图2，若对折后点C落在边上的点G处，点D的对应点为H，过点G作于点O，记的面积为S，则S的取值范围是　 　．
10．如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点D按顺时针方向旋转，点A，E的对应点分别为点G，F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为　 　．
11．已知一次函数 与 （ 是常数， 的图象的交点坐标是 ， 则方程组 的解是　 　.
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　 　.
13．如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为2 km和7 km，且AB两村庄相距13 km，则铺设水管的最短长度是　 　km.
14．矩形中，E、F分别是、的中点，矩形的面积为，则的面积是　 　．
15．如图，矩形的对角线的垂直平分线交于点E，交于点F．连接，，若，，则的长为．
16．如图，，点是斜边的中点，平分，，则的长是　 　．
17．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关S1，S2，S3，S4中的两个时，能够让灯泡发光的概率是　 　.
18．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，，，则的长为　 　．
19．袋子中有8个白球和若干个黑球，小华从袋中任意摸出一球，记下颜色后放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了100次后，共有32次摸出白球，据此估计袋中黑球有　 　个.
20．已知一次函数与的部分对应值如下表；
-1 0 1 2 3 4
9 6 3 0 -3 -6
（1）关于的方程的解是　 　.
（2）关于的不等式的解是　 　.
21．如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则的周长为　 　．
22．如图1，将一块长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成图2的无盖纸盒.下列给出的条件中，能求得纸盒底面周长的有　 　.（填序号）
①图1中，原长方形的周长和切去的正方形面积；
②图1中，原长方形的面积和切去的正方形面积；
③图1中切去的正方形面积和图2中长方体的侧面积；
④图1中原长方形边上的四个长方形中任何一个的长，宽和图2中长方体的体积.
23．如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为3，则平行四边形的面积为　 　．
24．如图，在矩形中，，将沿翻折，使点B落在处，为折痕，再将沿翻折，使点C恰好落在线段上的点处，为折痕，连接，若，则　 　度，　 　．
25．以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为　 　°.
26．如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为　 　．
27．如图，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点M（端点除外），连接．将线段绕点M逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点N处，若，则　 　．
28．如图， 在矩形 中， 是边 点， 分别是 的中点， 连结 ， ． 若 ， 则矩形 的面积为　 　.
29．四边形ABCD中，，，点M、N分别在AB、BC上，将沿MN翻折，得．若，，则　 　°；
30．如图，在数轴上表示1的点为A，以为边构造正方形，以O为圆心，为半径画圆弧交数轴于点D，则D点表示的数为　 　.
31．如图所示的长方形纸条ABCD，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，若∠1＝70°，则∠MKN＝　 　°．
32．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，，，点是的中点，点为线段上的动点，若是等腰三角形，则点的坐标为　 　．
33．一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
34．如图，已知梯形中，，，设，，那么可以用，表示为　 　．
35．如图，在中，，，，以A为圆心，2为半径作，M是上一动点，取线段的中点N，连接，则长度的最大值为　 　．
36．如图，已知 ABCD三个顶点坐标是A(﹣1，0)、B(﹣2，﹣3)、C(2，﹣1)，那么第四个顶点D的坐标是　 　．
37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是以点A为圆心2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最小值为　 　.
38．如图，点E在边CD上，连接AE，将矩形ABCD沿着AE折叠，使点D恰好落在BC边上的F处，；
（1）　 　；
（2）若，则　 　；
39．如图，是荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．绳长，当秋千摆动到最高点时，测得．当秋千从处摆动到时，，则到地面的距离是　 　．
40．已知长方形的长和宽分别为 a，b，周长为 12，面积为8，则 的值为　 　.
41．在矩形中，点为边上一点（不与端点重合），连接，将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，连接并延长，分别交，于，两点若，，，则的长为　 　 ．
42．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为　 　．
43．如图，在边长为5的正方形中，点E，F，G分别在边上，与交于点P，，，则长的最小值为　 　．
44．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重叠都分构成的四边形ABCD中，AB=3，BD=4．则AC的长为　 　．
45．是菱形的对角线上的一点，且和都为等腰三角形，则的大小为　 　．
46．如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接.若的面积为，则的长为　 　cm.
47．如图，正方形中，，，则　 　．
48．如图，在中，，，为边上的一动点，以为邻边作，则对角线长度的最小值　 　．
49．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过正方形 的顶点A和C，则正方形 的面积为　 　.
50．（数学问题）在同一直角坐标系内直线 与 ，当 满足什么条件时，这两条直线互相垂直？
探究问题：我们采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：如图①，在同一直角坐标系内直线 与 有怎样的位置关系？
解：如图①，设点 在直线 上，则点 一定在直线 上．过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ．
则 ，
∴
∵
∴
所以，在同一直角坐标系内直线 与 互相垂直．
探究二：如图②，在同一直角坐标系内直线 上，则点 一定在直线 上．过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ．
∵ ， ， ，
∴ ，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
所以，在同一直角坐标系内直线 与 互相垂直．
探究三：如图③，在同一直角坐标系内直线 与 有怎样的位置关系？
（仿照上述方法解答，写出探究过程）
（1）在同一直角坐标系内直线 与 ，当 满足数量关系为　 　时，这两条直线互相垂直．
（2）在同一直角坐标系内已知直线 与直线 ，使它与直线 互相垂直， 的值为：　 　；两直线垂足的坐标为：　 　．
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【50道热点题型】上海市数学八年级下册期末试卷·填空题专练
1．如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为　 　．
【答案】
2．如图，在中，，是的高，是的中点，若，则的长为　 　．
【答案】3
3．文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量均相同，且内含对应文房四宝之一的卡片，若从一套四个盲盒（笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好抽中内含笔和纸的盲盒的概率是　 　．
【答案】
4．在 ABCD中，∠A = ，则∠C=　 　．
【答案】60°
【解析】【解答】根据平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，那么 .
故本题的正确答案为60°.
【分析】由平行四边形的性质，得到平行四边形的对角相等.
5．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是　 　边形．
【答案】六
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
根据题意得（n-2）×180°=2×360°，
∴n=6，
∴这个多边形时六边形.
故答案为：六.
【分析】设多边形的边数为n，再根据内角和为（n-2）×180°，外角和为360°，列出方程，解方程求出n的值，即可得出答案.
6．如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在平行四边形内部，那么它最终停留在黑色区域的概率是　 　．
【答案】
7．如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为　 　．
【答案】1
8．如图，是L型网格，每个小正方形边长为1，点、、、是小正方形顶点，若过点的一条直线平分该L型网格的面积，并分别交边界，于点，，则：
（1）直线，直线，直线三条直线中　 　平分该L型网格的面积；
（2）线段的长为　 　．
【答案】；
9．矩形纸片，，点E和F分别是边和上的动点，将矩形纸片沿折叠．
（1）如图1，当点E与D重合，点C落在对角线上的点G处时，　 　．
（2）如图2，若对折后点C落在边上的点G处，点D的对应点为H，过点G作于点O，记的面积为S，则S的取值范围是　 　．
【答案】；
10．如图，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．将绕点D按顺时针方向旋转，点A，E的对应点分别为点G，F，与交于点P．当直线与的一边平行时，的长为　 　．
【答案】或
11．已知一次函数 与 （ 是常数， 的图象的交点坐标是 ， 则方程组 的解是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，
∴联立y=3x-1与y=kx的方程组的解为：，
故答案为：.
【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解.
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　 　.
【答案】
13．如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为2 km和7 km，且AB两村庄相距13 km，则铺设水管的最短长度是　 　km.
【答案】15
【解析】【解答】解：作点A关于河边所在直线l的对称点D，连接DB交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，（PA+PB）的值最小，即所铺设水管最短，最小值为DB的长；
过B点作l的垂线，过D作l的平行线，设这两线交于点C，
过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE和四边形AMNE都是矩形，
∴EN=AM=2，EC=AD=2+2=4，DC=AE，
在Rt△ABE中，依题意得：BE=BN-EN=7-2=5，AB=13，
根据勾股定理可得：AE==12，
在Rt△BDC中，BC=BE+EC=5+4=9，DC=AE=12，
根据勾股定理可得：DB==15，
∴铺设水管的最短长度是15km，
故答案为：15.
【分析】作点A关于河边所在直线l的对称点D，连接DB交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，（PA+PB）的值最小，即所铺设水管最短，最小值为DB的长；过B点作l的垂线，过D作l的平行线，设这两线交于点C，过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE和四边形AMNE都是矩形，根据矩形的性质得EN=AM=2，EC=AD=2+2=4，DC=AE，在Rt△ABE中，根据勾股定理算出AE，再在Rt△BDC中利用勾股定理算出DB即可.
14．矩形中，E、F分别是、的中点，矩形的面积为，则的面积是　 　．
【答案】2
15．如图，矩形的对角线的垂直平分线交于点E，交于点F．连接，，若，，则的长为．
【答案】2
16．如图，，点是斜边的中点，平分，，则的长是　 　．
【答案】
17．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关S1，S2，S3，S4中的两个时，能够让灯泡发光的概率是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解： 由电路图可知，当同时闭合开关S4和S1，或S4和S2，或S3和S4时，灯泡能发光，
设S1、S2、S3、S4分别用1、2、3、4表示， 画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有6种，
∴能够让灯泡发光的概率为，
故答案为：.
【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后根据随机事件A的概率即可求解.
18．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，，，则的长为　 　．
【答案】
19．袋子中有8个白球和若干个黑球，小华从袋中任意摸出一球，记下颜色后放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了100次后，共有32次摸出白球，据此估计袋中黑球有　 　个.
【答案】17
20．已知一次函数与的部分对应值如下表；
-1 0 1 2 3 4
9 6 3 0 -3 -6
（1）关于的方程的解是　 　.
（2）关于的不等式的解是　 　.
【答案】（1）
（2）x＞2
【解析】【解答】解：（1）根据表格可知，当x=2时，y=0，
∴关于x的方程kx+b=0的解为x=2；
故答案为：x=2；
（2）根据表格可知，当x＞2时，y＜0，
∴关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＞2.
故答案为：x＞2.
【分析】（1）根据一次函数与方程的关系，求关于x的方程kx+b=0的解，就是求函数y=kx+b的函数值y=0时对应的自变量的值，结合表格所给的信息即可解决此题；
（2）根据一次函数与不等式的关系，求关于x的不等式kx+b＜0的解集，就是求函数y=kx+b的函数值y＜0时对应的自变量的取值范围，结合表格所给的信息即可解决此题.
21．如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，则的周长为　 　．
【答案】24
22．如图1，将一块长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成图2的无盖纸盒.下列给出的条件中，能求得纸盒底面周长的有　 　.（填序号）
①图1中，原长方形的周长和切去的正方形面积；
②图1中，原长方形的面积和切去的正方形面积；
③图1中切去的正方形面积和图2中长方体的侧面积；
④图1中原长方形边上的四个长方形中任何一个的长，宽和图2中长方体的体积.
【答案】①④
【解析】【解答】解：设原长方形的长为a，宽为b，周长为m， 面积为S，
∵原长方形的周长为m，切去的正方形面积为，
∴，小正方形的边长为x，
∴纸盒底面周长为.
∴①可以；
∵原长方形的面积为S，切去的正方形面积为，
∴，小正方形的边长为x，
∴纸盒底面周长为.
无法计算的值，
∴②不可以；
∵图2中长方体的侧面积为n，切去的正方形面积为，
∴，小正方形的边长为x，
∴，小正方形的边长为x，
∴纸盒底面周长为.
无法计算的值，
∴③不可以；
∵图1中原长方形边上的四个长方形中任何一个的长为p，宽x，图2中长方体的体积为v，
∴，
∴，
∴纸盒底面周长为.
∴④可以；
故答案为：①④.
【分析】设原长方形的长为a，宽为b，周长为m， 面积为S，由题意可得a+b=，ab=S，小正方形的边长为x，则纸盒底面周长为2(a-2x)+2(b-2x)=m-2x，纸盒底面周长为2(a-2x)+2(b-2x)=2(a+b)-8x，据此判断①②；由图2中长方体的侧面积为n可得2(a-2x)x+2(b-2x)x+(a-2x)(b-2x)=n，化简可得ab=n+4x2，则纸盒底面周长为2(a-2x)+2(b-2x)=2(a+b)-8x，据此判断③；根据体积相等可得pxy=v，则y=，纸盒底面周长为2(p+y)=2(p+)，据此判断④.
23．如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为3，则平行四边形的面积为　 　．
【答案】36
24．如图，在矩形中，，将沿翻折，使点B落在处，为折痕，再将沿翻折，使点C恰好落在线段上的点处，为折痕，连接，若，则　 　度，　 　．
【答案】90；
【解析】【解答】解：连接AF，
设EC=m，则BE=10-m，
由折叠可知：AB=AB′，CE=C′E，∠ABE=∠AB′E=90°，∠AEB=∠AEB′，∠FEC=∠C′EF，
∴∠AEF=∠AEB′+∠B′EF=∠AEB+∠FEC=(BEB′+B′EC)=90°.
∵CF=3，
∴DF=5.
在Rt△ADF、Rt△ABE、Rt△ECF、Rt△AEF中，有AF2=AD2+DF2=125，AE2=AB2+BE2=82-(10-m)2，FE2=CF2+EC2=32+m2，FA2=AE2+EF2=82+(10-m)2+32+m2，
∴125=82+(10-m)2+32+m2，
解得m=4或6.
∵BE>EC，
∴m=4，
∴B′E=6，C′E=4，
∴B′C′=2，
∴AC′==.
故答案为：90°，.
【分析】连接AF，设EC=m，则BE=10-m，由折叠可知：AB=AB′，CE=C′E，∠ABE=∠AB′E=90°，∠AEB=∠AEB′，∠FEC=∠C′EF，则∠AEF=(BEB′+B′EC)，在Rt△ADF、Rt△ABE、Rt△ECF、Rt△AEF中，根据勾股定理可求出m的值，然后求出B′C′的值，接下来在Rt△AB′C′中，利用勾股定理计算即可.
25．以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为　 　°.
【答案】72
【解析】【解答】五边形内角和：
正五边形，5个内角都相等，
一个内角度数：
旋转的度数至少为
故填：72°
【分析】思考动态的过程，发现旋转的角度正好和内角互补，根据内角和公式并且各内角相等先求得一个内角的度数，再计算它的补角。
26．如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，取OD的中点H，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，
∴AO＝AB＝1，BO＝＝DO，
∵点H是OD的中点，点F是AD的中点，
∴FH＝AO＝，FHAO，
∴FH⊥BD，
∵点E是BO的中点，点H是OD的中点，
∴OE＝，OH＝，
∴EH＝，
∴EF＝，
故答案为：．
【分析】取OD的中点H，连接FH，先求出FH＝AO＝，EH＝，再利用勾股定理求出EF的长即可。
27．如图，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点M（端点除外），连接．将线段绕点M逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点N处，若，则　 　．
【答案】
28．如图， 在矩形 中， 是边 点， 分别是 的中点， 连结 ， ． 若 ， 则矩形 的面积为　 　.
【答案】48
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=∠CDE=90°，AB=CD，AD=BC，
∵点F、G分别是BE、CE的中点，
∴BE=2AF=6，CE=2DG=8，BC=2FG=10，
∴AD=10，
设AE=x，则DE=10-x，
∵AB2=BE2-AE2=62-x2，CD2=CE2-DE2=82-(10-x)2，
∴62-x2=82-(10-x)2，
解得x=3.6，即AE=3.6，
∴
∴矩形ABCD的面积为：10×4.8=48.
故答案为：48.
【分析】由矩形性质得∠BAE=∠CDE=90°，AB=CD，AD=BC，根据三角形的中位线定理得BC=2FG=10，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BE=2AF=6，CE=2DG=8，则AD=10，设AE=x，则DE=10-x，用勾股定理分别表示出AB2与CD2，从而建立方程可求出x的值，进而求得AB的长，最后根据矩形面积计算公式可算出答案.
29．四边形ABCD中，，，点M、N分别在AB、BC上，将沿MN翻折，得．若，，则　 　°；
【答案】95
30．如图，在数轴上表示1的点为A，以为边构造正方形，以O为圆心，为半径画圆弧交数轴于点D，则D点表示的数为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴D点表示的数为.
故答案为：.
【分析】连接OB，根据正方形的性质可得OA=AB=1，∠OAB=90°，由勾股定理可得OB的值，即为OD的值，进而可得点D表示的数.
31．如图所示的长方形纸条ABCD，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，若∠1＝70°，则∠MKN＝　 　°．
【答案】40
【解析】【解答】解：∵纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，∠1=70°，
∴∠1=∠BMN=70°.
∵四边形ABCD为矩形，
∴KN∥AM，
∴∠MKN=180°-2∠1=180°-140°=40°.
故答案为：40°.
【分析】根据折叠的性质可得：∠1=∠BMN=70°，由矩形的性质可得KN∥AM，然后根据平行线的性质进行计算.
32．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，，，点是的中点，点为线段上的动点，若是等腰三角形，则点的坐标为　 　．
【答案】或或或
33．一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
【答案】8
34．如图，已知梯形中，，，设，，那么可以用，表示为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴=，
故答案为：．
【分析】利用向量的运算计算方法求解即可。
35．如图，在中，，，，以A为圆心，2为半径作，M是上一动点，取线段的中点N，连接，则长度的最大值为　 　．
【答案】
36．如图，已知 ABCD三个顶点坐标是A(﹣1，0)、B(﹣2，﹣3)、C(2，﹣1)，那么第四个顶点D的坐标是　 　．
【答案】(3，2)
37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是以点A为圆心2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最小值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，ME，AD，
∵E是AB的中点，M是BD的中点，AD=2，
∴EM为△BAD的中位线，
∴ ，
在Rt△ACB中，AC=4，BC=3，
由勾股定理得，AB=
∵CE为Rt△ACB斜边的中线，
∴，
在△CEM中， ，即，
∴CM的最大值为 .
故答案为：.
【分析】取AB的中点E，连接CE，ME，AD，由题意可得EM为△BAD的中位线，则EM=AD=1，利用勾股定理可得AB，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CE=AB，然后在△CEM中，根据三角形三边关系可得CM的范围.
38．如图，点E在边CD上，连接AE，将矩形ABCD沿着AE折叠，使点D恰好落在BC边上的F处，；
（1）　 　；
（2）若，则　 　；
【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴设AB=3a，AD=4a，
∵将矩形ABCD沿着AE折叠，
∴AD=AF=4a，∠B=∠D=∠AFE=90°，
∴，
∵∠B=∠D=∠AFE=90°，
∴∠AFB=∠CEF=90°-∠AFB，
∴，
故答案为：；
（2）∵AB=15=3a，
∴a=5，
∴AD=AF=4×15=60，，
∴，
故答案为： .
【分析】（1）根据题意先设AB=3a，AD=4a，再根据折叠的性质求出AD=AF=4a，∠B=∠D=∠AFE=90°，最后利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可；
（2）先求出a=5，再求出AD和BF的值，最后计算求解即可。
39．如图，是荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．绳长，当秋千摆动到最高点时，测得．当秋千从处摆动到时，，则到地面的距离是　 　．
【答案】
40．已知长方形的长和宽分别为 a，b，周长为 12，面积为8，则 的值为　 　.
【答案】24
【解析】【解答】解：由题意得ab=8，2a+2b=12，
∴a+b=6，
∴ =ab(a+b)=×8×6=24.
故答案为：24.
【分析】由题意得ab=8，a+b=6，将待求式子利用提取公因式法分解因式为ab(a+b)，然后整体代入计算即可.
41．在矩形中，点为边上一点（不与端点重合），连接，将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，连接并延长，分别交，于，两点若，，，则的长为　 　 ．
【答案】
42．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为　 　．
【答案】（2，4）或（3，4）或（8，4）
【解析】【解答】解：当OD=PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD= OA=5，
根据勾股定理得：DQ=3，故OQ=OD+DQ=5+3=8，则P1（8，4）；
当PD=OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=5，
根据勾股定理得：QD=3，故OQ=OD﹣QD=5﹣3=2，则P2（2，4）；
当PO=OD时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP=OD=5，PQ=4，
根据勾股定理得：OQ=3，则P3（3，4），
综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）
【分析】分PD=OD（P在右边），PD=OD（P在左边），OP=OD三种情况，根据题意画出图形，作PQ垂直于x轴，找出直角三角形，根据勾股定理求出OQ，然后根据图形写出P的坐标即可．
43．如图，在边长为5的正方形中，点E，F，G分别在边上，与交于点P，，，则长的最小值为　 　．
【答案】
44．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重叠都分构成的四边形ABCD中，AB=3，BD=4．则AC的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】如图，过C分别作AB，AD的垂线，
∵纸条等宽，得CF=CE，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∠B=∠D，
∴△BFC≌△CED，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
OA= ，
∴AC=2OA=2；
故答案为：2.
【分析】利用纸条等宽和两边平行，通过作垂线构造直角三形，证得三角形全等，进而得到，邻边相等的平行四边形是菱形；再由菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理求得OA，则AC可求。
45．是菱形的对角线上的一点，且和都为等腰三角形，则的大小为　 　．
【答案】或或
46．如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接.若的面积为，则的长为　 　cm.
【答案】30
【解析】【解答】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点D作DG⊥AB交Ab于点G，过点C作CH⊥AB交AB于点H，如图所示：
∵△DCE的面积为，，
∴CD×EF=36，
∴3EF=36，
解得：EF=12，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AG=BH，DC//AB，
∴CH⊥DF，
∵CE⊥BC，
∴∠ECF=90°-∠BCF=∠BCH，
在△ECF和△BCH中，
，
∴△ECF≌△BCH（AAS），
∴EF=BH=12，
∴AG=12，
∵DG⊥AB，CH⊥AB，DC//AB，
∴GH=CD=6，
∴AB=AG+GH+BH=12+6+12=30，
故答案为：30.
【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点D作DG⊥AB交Ab于点G，过点C作CH⊥AB交AB于点H，先利用三角形的面积公式求出EF的长，再利用“AAS”证出△ECF≌△BCH，可得EF=BH=12，再求出GH=CD=6，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
47．如图，正方形中，，，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如下图所示：把△BCE逆时针旋转90°得到△BAG，连接DG、AC、AG，
∴∠BAG= ∠BCE，BG=BE，∠GBE =90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BAC=∠DAC=∠BDC=45°，AB=AD，
∵CE//BD，
∴∠DCE= ∠BDC=45°，
∴∠BCE=90°+45°=135°，
∴∠BAG=135°，
∴∠BAG+∠BAC=135°+45°=180°，
∴点C、A、G三点共线，
∴∠DAG=180°-45°=135°，
∴∠BAG=∠DAG，
∵AB=AD，AG=AG，
∴△BAG≌△DAG，
∴BG=DG，
∵BD = BE，
∴BG=DG=BE，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠GBD=60°，
∴∠DBE=90°-60°=30°，
∴∠BDE=∠BED=×(180°-30°)=75°，
∴∠CDE=∠BDE-∠BDC=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据正方形的性质求出∠BCD=90°，∠BAC=∠DAC=∠BDC=45°，AB=AD，再根据全等三角形，等边三角形的判定与性质计算求解即可。
48．如图，在中，，，为边上的一动点，以为邻边作，则对角线长度的最小值　 　．
【答案】
49．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过正方形 的顶点A和C，则正方形 的面积为　 　.
【答案】10
50．（数学问题）在同一直角坐标系内直线 与 ，当 满足什么条件时，这两条直线互相垂直？
探究问题：我们采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：如图①，在同一直角坐标系内直线 与 有怎样的位置关系？
解：如图①，设点 在直线 上，则点 一定在直线 上．过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ．
则 ，
∴
∵
∴
所以，在同一直角坐标系内直线 与 互相垂直．
探究二：如图②，在同一直角坐标系内直线 上，则点 一定在直线 上．过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ．
∵ ， ， ，
∴ ，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
所以，在同一直角坐标系内直线 与 互相垂直．
探究三：如图③，在同一直角坐标系内直线 与 有怎样的位置关系？
（仿照上述方法解答，写出探究过程）
（1）在同一直角坐标系内直线 与 ，当 满足数量关系为　 　时，这两条直线互相垂直．
（2）在同一直角坐标系内已知直线 与直线 ，使它与直线 互相垂直， 的值为：　 　；两直线垂足的坐标为：　 　．
【答案】（1）
（2）k=-5；（2，0.4）
【解析】【解答】探究三：在同一直角坐标系内直线 与 互相垂直，
如图，设点A(a，3a)在直线y=3x上，则点B（-3a，a）在直线 上，
作AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∵OC=a，AC=3a，OD=3a，BD=a，
∴ ， ，
又∵ ，
∴△AOC≌△OBD，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴在同一直角坐标系内直线 与 互相垂直
；（1）由探究一、二、三可知，当两条直线在同一平面内互相垂直时，两条直线的k值互为负倒数，
∴在同一直角坐标系内直线 与 ，当这两条直线互相垂直时， ，
故答案为： ；（2）∵直线 与直线 互相垂直，
∴0.2k=-1，
∴k=-5，
∴该直线的解析式为y=-5x+10.4，
解方程组 ，得 ，
∴两直线垂足的坐标为（2，0.4），
故答案为：k=-5，（2，0.4）.
【分析】探究三：仿照探究一与探究二，在两直线 与 上取点，证明三角形全等，由此得到结论；（1）由探究即可得到答案；（2）利用前面的结论得到k的值，再解两直线解析式组成的方程组即可得到答案.
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