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【50道热点题型】上海市数学八年级下册期末试卷·综合题专练
1．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，E、H分别为边BA和边BC延长线上的点，连接EH交AD、CD于点F、G，且EH∥AC．
（1）求证：EG=FH；
（2）若△ACD是等腰直角三角形，∠ACD=90°，F是AD的中点，AD=6，连接BF，求BF的长．
2．已知正比例函数 经过点（2，6）.
（1）求 与 之间的函数表达式.
（2）当 时，求 的值.
3．某校组织八年级师生共400名去春游，为安全起见，每名师生均有座位且每一辆客车均不得超载．现学校决定向客运公司租用大小客车若干辆前往．若每辆客车均坐满，结果全部租用大客车所用车辆数比全部租用小客车所用车辆数少2辆．已知每辆大客车比每辆小客车乘客座位数多，求大、小客车的乘客座位数．
4．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交千点H．
（1）求证：；
（2）满足什么条件时，四边形是正方形？说明理由．
5．张老师为了解学生完成数学课前预习的具体情况，对部分学生进行了跟踪调查，并将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般：D；较差．制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）C类中女生有　 　名，将条形统计图补充完整　 　；
（2）若该校九年级共有女生180名，则九年级女生完成数学作业达到很好和较好的大约多少人？
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好性别相同的概率．
6．某校数学兴趣小组活动：用一张矩形纸片剪出一张菱形纸片，要求菱形的各个顶点均落在矩形的边或顶点上，例如：过矩形两对角线的交点，作两条互相垂直的直线与矩形四边相交，依次连结四个交点，沿连线可剪出菱形．
（1）请画2种符合要求的示意图；
（2）若，，求出你所作的其中一个菱形的边长．
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCF是菱形．
8．庆华社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积（单位：）与工作时间（单位：）之间的函数关系如图所示．
（1）求提高效率后，关于的函数关系式；
（2）该绿化组提高工作效率后每小时完成的绿化面积比提高工作效率前每小时完成的绿化面积多多少？
9．位于九江市滨江东路上有一条直线休闲跑道，每天有很多市民在此晨练或散步，成为九江市一道亮丽的风景．小捷与父亲每天在此匀速慢跑，以600m距离为一个训练段．已知父女俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人．已知小捷先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）小捷的速度为　 　m/s、父亲的速度为　 　m/s；
（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；
（3）直接写出在整个过程中，哪个时间段内，父女两人之间距离超过了100m．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）将直线向下平移个单位后与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，求的面积；
（3）设直线的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集．
11．将如图所示的牌面数字1、2、3、4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上.
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是　 　；
（2）从中随机抽出两张牌，两张牌牌面数字的和是6的概率是　 　；
（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍的概率.
12．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，天心区某学校八年级一班班主任计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生.在某百货店用500元购买甲种品牌奖品的数量比购买乙种品牌奖品的数量多30件，已知乙种品牌奖品的销售单价是甲种品牌奖品销售单价的2.5倍.
（1）求甲、乙两种品牌奖品的销售单价各是多少元？
（2）若该学校八年级二班班主任在该百货店共需购买甲、乙两种品牌的奖品共60件，且总购买金额不超过900元，求甲种品牌奖品的数量至少是多少件？
13．如图，平行四边形ABCD中，AD=2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．
（1）求证：FB=AD．
（2）若∠DAF=70°，求∠EBC的度数．
14．如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF.求证：
（1）DE＝BF；
（2）四边形DEBF是平行四边形.
15．友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台.最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案.方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台.
（1）当x＝8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围.
16．随着北京冬奥会的召开，冬奥会吉祥物成为了热门商品.某店购买了冰墩墩和雪容融两种吉祥物毛绒玩具销售.已知冰墩墩的单价比雪容融的单价多10元，且用4900元买冰墩墩的数量与用4400元购买雪容融的数量相同.
（1）冰墩墩和雪容融的单价各是多少元？
（2）因为太畅销，该店还需要增加购买一批吉样物，增加购买的雪容融数量是冰墩墩数量的2倍，若总费用不超过50000元，则增加购买冰墩墩的数量最多是多少？
17．如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG．
（1）若AG=1，∠ABD=30°，求AD的长；
（2）若AB=4，BC=3，求AG的长．
18．如图，在△ABC中，AC＝BC，E是AB上一点，且CE＝BE，将△CBE绕点C旋转得到△CAD．
（1）求证：AB∥DC；
（2）连接DE，判断四边形BEDC的形状，并说明理由．
19．“五一”小长假期间，小李一家想到以下四个5A级风景区旅游：A.石林风景区；B.香格里拉普达措国家公园；C.腾冲火山地质公园；D.玉龙雪山景区.但因为时间短，小李一家只能选择其中两个景区游玩
（1）若小李从四个景区中随机抽出两个景区，请用树状图或列表法求出所有可能的结果；
（2）在随机抽出的两个景区中，求抽到玉龙雪山风景区的概率.
20．李师傅驾车从甲地到乙地，途中在加油站加了一次油，加油时，车载电脑显示油箱中剩余油量4升，已知汽车行驶时，每小时耗油量一定，设油箱中剩余油量为（升），汽车行驶时间为（时），与之间的函数图象如图所示．
（1）求李师傅加油前与之间的函数关系式；
（2）求的值；
（3）李师傅在加油站的加油量．
21．小刚参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，四张牌分别对应价值2，5，5，10（单位：元）的四件奖品.
（1）如果随机翻一张牌，直接写出抽中5元奖品的概率；
（2）如果同时随机翻两张牌，求所获奖品总值不低于10元的概率.
22．如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求证：平分．
23．在3件同型号的产品 、 、 中， 为不合格产品，其余2件为合格产品.
（1）从这3件产品中随机抽取2件进行检测，请用树状图或列表法求出抽到的2件都是合格品的概率；
（2）在这3件产品中加入 件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的概率稳定在 ，则可以推算出 的值大约是多少？
24．已知：如图，在 ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF.
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形.
25．将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上，随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字.
（1）能组成哪些两位数？（请用树状图表示出来）
（2）恰好是偶数的概率是多少？
26．如图，直线 的解析式为： ，且 与 轴交于点 ，直线 经过点 ， ，直线 ， 交于点 ．
（1）求直线 的解析表达式；
（2）求△ADC的面积．
27．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
28．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运，甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少产品？
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运_____产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”，可列方程为_______．
（2）小惠同学设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬______产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，可列方程为________．
（3）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
29．在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
（2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
30．服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T恤衫，甲种款型共用了10400元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）该服装店第一个月甲种款型的T恤衫以200元/件的价格售出20件、乙种款型的T恤衫以250元/件的价格售出10件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T恤衫都进行降价a元销售，其中甲种款型的T恤衫的销售量增加4a件、乙种款型的T恤衫的销售增加a件，结果第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了1000a元，求第二个月的销售利润．
31．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE；
（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由.
（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论.
32．校园广播主持人培训班开展比赛活动，分为A，B，C，D四个等级，对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分，根据如图不完整的统计图解答下列问题：
（1）补全下面两个统计图（不写过程）；
（2）现准备从等级A的4人（两男两女）中随机抽取两名主持人，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女学生的概率？
33．如图，长方形的长为，宽为．
（1）用含的式子表示图中阴影部分的面积；
（2）当时，求阴影部分的面积的值（结果保留π）．
34．为了满足市民的物质需求，某超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/袋）
售价（价/袋） 20 13
已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同．
（1）求的值；
（2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润=售价﹣进价）不少于5200元，问至少购进甲种袋装食品多少袋？
35．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AB//DC，AC=20，BD=10．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．
36．某校为了解中学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了名学生进行调查统计(要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目)，并将调查结果绘制成如图统计图表：
节目 人数(名) 百分比
最强大脑
朗读者
中国诗词大会
出彩中国人
根据以上提供的信息.解答下列问题：
（1）　 　，　 　，　 　；
（2）补全上面的条形统计图；
（3）在喜爱《最强大脑》的学生中.有2名女同学.其余为男同学，现要从中随机抽取名同学代表学校参加市里组织的竞赛活动，请求出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率.
37．“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某地安排甲、乙两施工队合作完成任务，尽快修一条全长1000米的道路，最终甲队所修的道路比乙队所修的道路的2倍少200米．
（1）甲、乙两队各修道路多少米？
（2）实际修建过程中，甲队每天修的长度是乙队的倍，最终甲队完成的任务时间比乙队多2天，则甲队每天修道路多少米？
38．绍兴首条智慧快速路于今年3月19日正式通车．该快速路上M，N两站相距20km，甲、乙两名杭州亚运会会务工作志愿者从M站出发前往N站附近的比赛场馆开展服务．甲乘坐无人驾驶小巴，乙乘坐无人驾驶汽车．图中OC，AB分别表示甲、乙离开M站的路程s（km）与时间t（min）的函数关系的图象．
根据图象解答下列问题：
（1）填空：甲比乙提前　 　分钟出发；无人驾驶小巴的速度为　 　km/min；当乙乘坐无人驾驶汽车到达N站时，无人驾驶小巴离N站还有　 　km．
（2）求乙离开M站的路程s（km）与时间t（min）的函数关系式并说明图中两函数图象交点P的实际意义．
39．已知A、 两地相距 ，甲、乙两人沿同一公路从A地出发到 地，甲骑摩托车，乙骑电动车，图中 、 分别表示甲、乙离开A地的路程 与时间 的函数关系的图象.
（1）乙先出发，甲后出发，相差　 　 ；
（2）甲骑摩托车的速度为 ，直接写出甲离开A地后 与时间 的函数表达式及自变量 的取值范围；
（3）当乙出发几小时后，两人相遇.
40．2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同．
（1）求A，B两款吉祥物每个的售价．
（2）为了促销，商店对A款吉祥物进行9折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为了激励学生奋发向上，准备用不超过240元购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？
41．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．
（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；
（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，当G点在何位置时四边形AEBD是矩形？请说明理由并求出点H的坐标．
42．如图
（1）如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD.
①求证：四边形BFDE是菱形；
②直接写出∠EBF的度数；
（2）把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；
（3）把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.
43．如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．
（1）求证：△ABP∽△QEA；
（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；
（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）
44．已知：如图，四边形是矩形，分别延长，到点E，F，使，，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，如果四边形的周长是，，求的长．
45．在正方形ABCD中，AB＝2 ，O为对角线AC、BD的交点.
（1）如图1，延长OC，使CE＝OC作正方形OEFG，使点G落在OD的延长线上，连接DE、AG.求证：DE＝AG；
（2）如图2，将（1）中的正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）得到正方形 ，连接 ， .
①当 ⊥AC时，求 的面积；
②在旋转过程中，直接写出 面积的最小值，并写出此时旋转角α等于多少度？
46．如图，四边形为菱形，已知，．
（1）直接写出、两点坐标；
（2）求经过、两点的直线解析式；
（3）画出菱形的中心，并写出点的坐标；
（4）把（2）的直线沿着轴上下平移，若直线与菱形始终有交点，则直接写出的取值范围．
47．某经销商去年 月份用 元购进一批某种儿童玩具，并在当月售完，今年 月份用 元购进相同的玩具，数量是去年 月份的 倍，每个进价涨了 元．
（1）今年 月份购进这批玩具多少个？
（2）今年 月份，经销商将这批玩具平均分给甲、乙两家分店销售，每个标价 元．甲店按标价卖出a个以后，剩余的按标价的八折全部售出；乙店同样按标价卖出b个，剩余的按标价的七五折全部售出，结果利润与甲店相同．
①用含a的式子表示b；
②若甲、乙两家分店按打折售出的数量不超过乙店按标价售出的数量，则甲店按标价至少售出了多少个这种玩具？
48．小李和小陆从 A 地出发，骑自行车沿同一条路行驶到 B 地，他们离出发地的距离s和行驶时间t之间的关系的图象如图，根据图象回答下列问题：
（1）小李在途中逗留的时间为　 　h，小陆从 A 地到 B 地的速度是　 　km/h．
（2）当小李和小陆相遇时，他们离 B 地的路程是　 　千米；
（3）写出小李在逗留之前离 A 地的路程s和行驶时间t之间的函数关系式为　 　
49．综合与实践
问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．试说明中点四边形EFGH是平行四边形．
探究展示：勤奋小组的解题思路：
反思交流：
（1）①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据1：　 　；依据2：　 　；
②连接AC，若AC＝BD时，则中点四边形EFGH的形状为　 　；
（2）如图（2），点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并说明理由；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其它条件不变，则中点四边形EFGH的形状为　 　．
50．问题探究：
【1】新知学习
⑴梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
⑵梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
⑶形如分式 （m为常数，且m＞0），若x＞0，则 ，并且有下列结论：
当x 逐渐增大时，分母x+2m逐渐增大，分式 的值逐渐减少并趋于0，但仍大于0．当x 逐渐减少时，分母x+2m逐渐减少，分式 的值逐渐增大并趋于 ，即趋于 ，但仍小于 ．
【2】问题解决
如图2，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）设AD=7，BC=17，求 的值．
（2）设AD=a（a为正的常数），BC=x，请问：当BC的长不断增大时， 的值能否大于或等于3，试证明你的结论．
（3）进一步猜想：任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是什么，并说明理由．
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【50道热点题型】上海市数学八年级下册期末试卷·综合题专练
1．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，E、H分别为边BA和边BC延长线上的点，连接EH交AD、CD于点F、G，且EH∥AC．
（1）求证：EG=FH；
（2）若△ACD是等腰直角三角形，∠ACD=90°，F是AD的中点，AD=6，连接BF，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．
∵AC∥EH，∴四边形ACHF是平行四边形，四边形ACGE是平行四边形，∴AC=HF，AC=EG，∴FH=EG，∴EG=FH
（2）解：连接CF．
∵CA=CD，∠ACD=90°，AF=DF，∴CF⊥AD，CF= AD．
∵AD∥BC，∴CF⊥BC，∴∠BCF=90°，
∵BC=AD=6，CF= AD=3，∴BF= =3
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得 AD∥BC，AB∥CD 。根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的判定定理，可得 四边形ACHF是平行四边形，四边形ACGE是平行四边 ，从而据其性质得 EG=FH 。
（2）等腰三角形三线合一的性质，得CF垂直AD。又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CF= AD。又 四边形ABCD是平行四边形 ，即可知BC的长度，利用勾股定理即可求出BF的长度。
2．已知正比例函数 经过点（2，6）.
（1）求 与 之间的函数表达式.
（2）当 时，求 的值.
【答案】（1）解：将点 代入 得：
，解得： ，
∴y与x之间的函数表达式为 ；
（2）解：当 时，则有：
，
解得： .
【解析】【分析】（1）把点 （2，6）代入正比例函数解析式进行求解即可；
（2）把 代入（1）中函数解析式进行求解即可.
3．某校组织八年级师生共400名去春游，为安全起见，每名师生均有座位且每一辆客车均不得超载．现学校决定向客运公司租用大小客车若干辆前往．若每辆客车均坐满，结果全部租用大客车所用车辆数比全部租用小客车所用车辆数少2辆．已知每辆大客车比每辆小客车乘客座位数多，求大、小客车的乘客座位数．
【答案】大、小客车的乘客座位数分别为50个、40个
4．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交千点H．
（1）求证：；
（2）满足什么条件时，四边形是正方形？说明理由．
【答案】（1）证明：∵是的角平分线，，，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
又∵AD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，又是的角平分线，
∴AD⊥EF；
（2）解： 满足∠BAC=90°时，四边形是正方形，
理由：∵∠AED=∠AFD=90°，∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵AE=AF，
∴四边形AEDF是正方形．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明即可；
（2）先求出 四边形AEDF是矩形， 再根据 AE=AF， 求解即可。
5．张老师为了解学生完成数学课前预习的具体情况，对部分学生进行了跟踪调查，并将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般：D；较差．制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）C类中女生有　 　名，将条形统计图补充完整　 　；
（2）若该校九年级共有女生180名，则九年级女生完成数学作业达到很好和较好的大约多少人？
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好性别相同的概率．
【答案】（1）3；
（2）解：根据题意得：（人）；
答：九年级女生完成数学作业达到很好和较好的约108人．
（3）解：根据题意画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两名同学性别相同的结果有3种
P（所选两位同学恰好性别相同）
【解析】【解答】解：(1)总人数：（6+4）÷50％=20（名）
C类中女生有：20×25%﹣2＝3（名），
D类中男生有20﹣3﹣10﹣5﹣1＝1（名），
【分析】（1）先利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数，再利用总人数乘以“C”的百分比减去男生的人数可得女生的人数，最后补全条形统计图即可；
（2）先求出“ 女生完成数学作业达到很好和较好 ”的百分比，再乘以180可得答案；
（3）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
6．某校数学兴趣小组活动：用一张矩形纸片剪出一张菱形纸片，要求菱形的各个顶点均落在矩形的边或顶点上，例如：过矩形两对角线的交点，作两条互相垂直的直线与矩形四边相交，依次连结四个交点，沿连线可剪出菱形．
（1）请画2种符合要求的示意图；
（2）若，，求出你所作的其中一个菱形的边长．
【答案】（1）解：如图1所示，作，过点作于点，则四边形是菱形，
根据作图可知四边形是矩形，又，则四边形是正方形，则四边形是菱形，
如图2所示，分别取矩形的各边的中点，顺次连接则四边形是菱形，
根据作图勾股定理，可得，则四边形是菱形；
（2）解：①如图1，∵，
∴菱形边长；
②如图2，∵分别为矩形的各边的中点，
∴，
在中，，
∴菱形边长；
【解析】【分析】（1）作AB=AF，过点F作FE⊥BC于点E，则四边形ABEF是菱形；分别取矩形ABCD各边的中点E、F、G、H，顺次连接EFGH，则四边形EFGH是菱形；
（2）由图1可得AB=AF=6，据此可得菱形的边长；由图2可得AF=AB=3，AE=AD=4，利用勾股定理可得EF的值，即为菱形的边长.
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCF是菱形．
【答案】（1）解：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB
（2）解：∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝DB，
∵AD是BC边上的中线，
∴DC＝DB，
∴AF＝DC，
∵AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
【解析】【分析】由点E是AD中点可得AE=DE，由AF∥BC可得∠AFE＝∠DBE，结合∠AEF＝∠DEB即可证得△AEF≌△DEB；（2）由（1）中△AEF≌△DEB可得BD=AF，结合BD=CD即可得到AF=CD结合AF∥CD可得四边形ADCF是平行四边形，由∠BAC=90°结合AD是BC边上的中线可得AD=DC，由此即可得到平行四边形ADCF是菱形了.
8．庆华社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积（单位：）与工作时间（单位：）之间的函数关系如图所示．
（1）求提高效率后，关于的函数关系式；
（2）该绿化组提高工作效率后每小时完成的绿化面积比提高工作效率前每小时完成的绿化面积多多少？
【答案】（1）解：如图，
设直线的解析式为，则有：
，
解得，
∴直线的解析式为，
∴提高效率后，关于的函数关系式为：．
（2）解：∵直线的解析式为，
当时，，
∴，
∵
∴．
答：该绿化组提高工作效率后每小时完成的绿化面积比提高工作效率前每小时完成的绿化面积多．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式为，再求解即可；
（2）先求出当时，，再计算求解即可。
9．位于九江市滨江东路上有一条直线休闲跑道，每天有很多市民在此晨练或散步，成为九江市一道亮丽的风景．小捷与父亲每天在此匀速慢跑，以600m距离为一个训练段．已知父女俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人．已知小捷先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）小捷的速度为　 　m/s、父亲的速度为　 　m/s；
（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；
（3）直接写出在整个过程中，哪个时间段内，父女两人之间距离超过了100m．
【答案】（1）2；3
（2）解：由图象知，点A是父亲追上小婕时的时间点，
设父亲ts追上小婕，则，
2(20+t)=3t，
解得，t=40，
A(40，0)，
当父亲到达终点时，
y=600-2(200+40)=120，
∴В (200，120)，
小婕走完全程需要的时间为，
600÷2=300(8)，
300-40=260(s)，
∴ C(260，0)，
设BC所在直线解析式为：
y=kx＋b(k≠0)，
把B（200，120），C(260，0）分别代入得，
，
解得，
∴BC所在直线解析式为y=-2x+520；
（3）解：在180s到210s的时间段内，父女两人之间的距离超过了100m．
【解析】【解答】（1）由图象可得，小婕20s走了40m，爸爸200s走了600m，
则小婕的速度为40÷20=2(m/s)，
父亲的速度为600÷200=3(m/s)，
故答案为：2，3；
(3)①在AB段时，父亲到达终点前父亲走xs，
父女相距100m时，
3x-2(x+40)=100，
解得，x＝180，
②当父亲到达终点后，把y=100代入，
y=-2x＋520得，
-2x+520=100，
解得，x＝210，
∴180综上所述：在180s到210s的时间段内，父女两人之间的距离超过了100m．
【分析】（1）由图象可得，小婕20s走了40m，爸爸200s走了600m，根据速度=路程÷时间分别求解即可；
（2） 由图象知点A是父亲追上小婕时的时间点，据此求出A的坐标；再求出B、C的坐标，利用待定系数法求出直线BC解析式即可；
（3）分别求出父亲到达终点前和终点后相距100米的时间，继而得出超过100米的时间范围.
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）将直线向下平移个单位后与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，求的面积；
（3）设直线的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
，
点，
设直线的解析式为，
直线过点，
，解得，
直线的解析式为；
（2）将直线向下平移个单位后得到直线的解析式为，
，
，
联立，解得或，
，，
连接，则的面积，
由平行线间的距离处处相等可得与面积相等，
的面积为．
（3），，
不等式的解集是：或．
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出a的值，可得到点A的坐标；设直线AB的函数解析式为y=kx+b，将点A、B的坐标分别代入，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到直线AB的函数解析式.
（2）利用一次函数图象的平移规律可得到平移后的函数解析式，及可求出点D的坐标，由此可求出BD的长，将平移后的函数解析式与反比例函数解析式联立方程组，解方程组，可得到点C，E的坐标；连接AC，可求出△CBD的面积；然后根据平行线间的距离处处相等，可求出△ACD的面积.
（3）利用两函数交点的横坐标，观察函数图象，可得到不等式 的解集.
11．将如图所示的牌面数字1、2、3、4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上.
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是　 　；
（2）从中随机抽出两张牌，两张牌牌面数字的和是6的概率是　 　；
（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）解：列表如下：
第二次第一次 1 2 3 4
1 11 12 13 14
2 21 22 23 24
3 31 32 33 34
4 41 42 43 44
其中恰好是3的倍数的有12，21，24，33，42五种结果.
所以，P（3的倍数）＝ .
【解析】【解答】解：（1）1，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为 ＝ ；
故答案为：；
（ 2 ）只有2+4＝6，但组合一共有3+2+1＝6，故概率为 ；
故答案为： ；
【分析】（1）根据概率的意义直接计算即可解答；
（2）找出两张牌牌面数字的和是6的情况再与所有情况相比即可解答；
（3）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果和恰好是3的倍数的情况数， 然后根据概率公式求出该事件的概率即可.
12．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，天心区某学校八年级一班班主任计划购买甲、乙两种品牌的奖品，在举行的运动会中用于表彰表现突出的学生.在某百货店用500元购买甲种品牌奖品的数量比购买乙种品牌奖品的数量多30件，已知乙种品牌奖品的销售单价是甲种品牌奖品销售单价的2.5倍.
（1）求甲、乙两种品牌奖品的销售单价各是多少元？
（2）若该学校八年级二班班主任在该百货店共需购买甲、乙两种品牌的奖品共60件，且总购买金额不超过900元，求甲种品牌奖品的数量至少是多少件？
【答案】（1）解：设甲种品牌奖品的销售单价是元，则乙种品牌奖品的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
答：甲种品牌奖品的销售单价是10元，乙种品牌奖品的销售单价是25元；
（2）解：设购买甲种品牌奖品件，则购买乙种品牌奖品件，
，
解得：，
答：甲种品牌奖品的数量至少是40件.
【解析】【分析】（1）设甲种品牌奖品的销售单价是x元，则乙种品牌奖品的销售单价是2.5x元，根据总价除以单价=数量分别表示出用500元购买甲、乙两品牌商品的数量，进而根据用500元购买甲种品牌奖品的数量比购买乙种品牌奖品的数量多30件列出方程，求解即可；
（2） 设购买甲种品牌奖品m件，则购买乙种品牌奖品（60-m）件，根据单价乘以数量等于总价及购买m件甲品牌的商品的费用加购买（60-m）件乙商品的费用不超过900元建立不等式，求出最小整数解即可.
13．如图，平行四边形ABCD中，AD=2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．
（1）求证：FB=AD．
（2）若∠DAF=70°，求∠EBC的度数．
【答案】（1）证明：∵E为AD的中点
∴DE=AE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴，DC=AB
∵
∴△DEC≌△AEF
∴DC=FA
∵AD=2AB
∴AB=DE=EA=FA
∴FB=AD
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA∥CB
∴∠CBF=∠DAF= 70°
∴∠AEB=∠EBC
又∵AE=AB
∴∠AEB=∠ABE
∴∠EBC=∠ABE=35°
【解析】【分析】（1） 由线段的中点可得DE=AE，由平行四边形的性质可得，DC=AB，根据AAS证明△DEC≌△AEF，可得DC=FA，由AD=2AB可得AB=DE=EA=FA，即得FB=AD；
（2）由平行四边形的性质可得DA∥CB，利用平行线的性质可得∠CBF=∠DAF= 70° ，∠AEB=∠EBC
由（1）知AE=AB，利用等边对等角可得∠AEB=∠ABE，即得∠EBC=∠ABE=35° .
14．如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF.求证：
（1）DE＝BF；
（2）四边形DEBF是平行四边形.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF
（2）证明：由（1），可得△ADE≌△CBF，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵∠DEF＝∠DAE+∠ADE，∠BFE＝∠BCF+∠CBF，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DE∥BF，
又∵DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，根据SAS证明 △ADE≌△CBF即可得出DE＝BF ；
（2）根据平行四边形的性质，推出∠DEF＝∠BFE，则可得出DE∥BF，从而根据一组对边平行且相等是平行四边形证出结果.
15．友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台.最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案.方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台.
（1）当x＝8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围.
【答案】（1）解：设购买A型号笔记本电脑x台时的费用为w元，
当x＝8时，方案一：w＝90%a×8＝7.2a，
方案二：w＝5a+（8﹣5）a×80%＝7.4a，
∴当x＝8时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7.2a元；
（2）解：∵若该公司采用方案二购买更合算，
∴x＞5，
方案一：w＝90%ax＝0.9ax，
方案二：当x＞5时，w＝5a+（x﹣5）a×80%＝5a+0.8ax﹣4a＝a+0.8ax，
则0.9ax＞a+0.8ax，
x＞10，
∴x的取值范围是x＞10.
【解析】【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论；
（2）根据购买x台时，该公司采用方案二购买更合算，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论.
16．随着北京冬奥会的召开，冬奥会吉祥物成为了热门商品.某店购买了冰墩墩和雪容融两种吉祥物毛绒玩具销售.已知冰墩墩的单价比雪容融的单价多10元，且用4900元买冰墩墩的数量与用4400元购买雪容融的数量相同.
（1）冰墩墩和雪容融的单价各是多少元？
（2）因为太畅销，该店还需要增加购买一批吉样物，增加购买的雪容融数量是冰墩墩数量的2倍，若总费用不超过50000元，则增加购买冰墩墩的数量最多是多少？
【答案】（1）解：设“冰墩墩”的单价是x元，则“雪容融”的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：“冰墩墩”的单价是98元，“雪容融”的单价是88元；
（2）解：设增加购买冰墩墩的数量为m个，则增加购买雪容融的数量为2m个，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为182，
答：增加购买冰墩墩的数量最多是182个.
【解析】【分析】（1）设“冰墩墩”的单价是x元，则“雪容融”的单价是(x-10)元，用4900元买冰墩墩的数量为，用4400元购买雪容融的数量为，然后根据数量相同列出方程，求解即可；
（2）设增加购买冰墩墩的数量为m个，则增加购买雪容融的数量为2m个，根据冰墩墩的单价×个数+雪容融的单价×个数=总费用可得关于m的不等式，求出m的范围，进而可得整数m的最大值.
17．如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG．
（1）若AG=1，∠ABD=30°，求AD的长；
（2）若AB=4，BC=3，求AG的长．
【答案】（1）解：由折叠的性质可知∠ADG=∠BDG
∵四边形ABCD是矩形，∠ABD=30°
∴∠A=90°
∴∠ADB=60°
∴∠ADG=∠BDG=30°
∴DG=2AG=2
（2）解：如图所示，过点G作GE⊥BD交BD于E
由折叠的性质可知∠ADG=∠BDG
∵∠DAG=90°，∠DEG=90°
∴△DAG≌△DEG
∴AD=DE，AG=GE
∵BC=3，AB=4
∴AD=BC=DE=3
∴
∴BE=BD-DE=2，BG=AB-AG=AB-GE=4-GE
设AG=GE=x，则BG=4-x
∵
∴
解得
∴AG的长为
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADB=60° ，再求出DG=2，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）先证明 △DAG≌△DEG ，再利用勾股定理求出BD=5，最后列方程计算求解即可。
18．如图，在△ABC中，AC＝BC，E是AB上一点，且CE＝BE，将△CBE绕点C旋转得到△CAD．
（1）求证：AB∥DC；
（2）连接DE，判断四边形BEDC的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：由旋转的性质得∠BCE＝∠ACD，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
∵CE＝BE，
∴∠B＝∠BCE，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴AB∥CD
（2）解：四边形BEDC是平行四边形，
由旋转的性质得CD＝CE，
∵CE＝BE，
∴CD＝BE，
∵AB∥DC，
∴四边形BEDC是平行四边形．
【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出∠BCE＝∠ACD，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAC，∠B＝∠BCE，由平行线的判定可得出结论；
（2）由平行四边形的判定可得出结论。
19．“五一”小长假期间，小李一家想到以下四个5A级风景区旅游：A.石林风景区；B.香格里拉普达措国家公园；C.腾冲火山地质公园；D.玉龙雪山景区.但因为时间短，小李一家只能选择其中两个景区游玩
（1）若小李从四个景区中随机抽出两个景区，请用树状图或列表法求出所有可能的结果；
（2）在随机抽出的两个景区中，求抽到玉龙雪山风景区的概率.
【答案】（1）解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果
（2）解：∵抽到玉龙雪山风景区的结果数为6，
∴抽到玉龙雪山风景区的概率为 .
【解析】【分析】(1)用A、B、C、D分别表示石林风景区；香格里拉普达措国家公园 ；腾冲火山地质公园；玉龙雪山景区四个景区，然后画树状图展示所有12种等可能的结果数；（2）在12种等可能的结果中找出玉龙风景区被选中的结果数，然后根据概率公式求解.
20．李师傅驾车从甲地到乙地，途中在加油站加了一次油，加油时，车载电脑显示油箱中剩余油量4升，已知汽车行驶时，每小时耗油量一定，设油箱中剩余油量为（升），汽车行驶时间为（时），与之间的函数图象如图所示．
（1）求李师傅加油前与之间的函数关系式；
（2）求的值；
（3）李师傅在加油站的加油量．
【答案】（1）解：设加油前的函数关系式为，
将点代入，
得
解得：
所以加油前函数关系式为
（2）解：将代入
得
（3）解：由（1）知每小时耗油8升，设加油x升，则可得：
28+x-8×5=34
解得x=46
所以李师傅在加油站加油46升．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将点代入解析式，求出a的值即可；
（3）设加油x升，根据题意列出方程28+x-8×5=34，再求解即可。
21．小刚参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，四张牌分别对应价值2，5，5，10（单位：元）的四件奖品.
（1）如果随机翻一张牌，直接写出抽中5元奖品的概率；
（2）如果同时随机翻两张牌，求所获奖品总值不低于10元的概率.
【答案】（1）解：在价值为2，5，5，10（单位：元）的四件奖品，价值为5元的奖品有2张，∴ 抽中5元奖品的概率为 ；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中所获奖品总值不低于10元的有8种，∴所获奖品总值不低于10元的概率为 ；
【解析】【分析】（1）由题意可知一共有4种结果，但抽中5元奖品的情况有2种，然后利用概率公式可求解；
（2）根据题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，求出所有等可能的结果数及获奖品总值不低于10元的情况数，然后利用概率公式进行计算.
22．如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求证：平分．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
又点E，点F在边 上，
DF∥BE，
由已知条件：DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）解：∵四边形DEBF是矩形，
∴∠BFC=∠BFD=90°，
在Rt△BFC中，由勾股定理可知： ，
即 ，
由已知条件知DF=10，
∴AD=DF，△DAF为等腰三角形，
∴∠DFA=∠DAF，
∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠FAB，
∴∠DAF=∠BAF，
∴AF平分∠DAB．
【解析】【分析】（1）先证明四边形DEBF是平行四边形，再结合DE⊥AB，即可得到平行四边形DEBF是矩形；
（2）先利用勾股定理求出BC的长，再证明AD=DF，△DAF为等腰三角形，可得∠DFA=∠DAF，然后根据平行线的性质和等量代换可得∠DAF=∠BAF，即可得到AF平分∠DAB。
23．在3件同型号的产品 、 、 中， 为不合格产品，其余2件为合格产品.
（1）从这3件产品中随机抽取2件进行检测，请用树状图或列表法求出抽到的2件都是合格品的概率；
（2）在这3件产品中加入 件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的概率稳定在 ，则可以推算出 的值大约是多少？
【答案】（1）解：画出树状图如下所示：
抽到的2件都是合格品的概率为： ，
故答案为： .
（2）解：∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
根据题意得： ，
解得 ，检验 是原方程的解，
故答案为：17.
【解析】【分析】(1)画出树状图后再根据概率公式求解即可；
(2) 根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值.
24．已知：如图，在 ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF.
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形.
【答案】（1）证明：如图.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC 即 AB∥DF，
∴∠1＝∠2，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE.
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE(AAS).
（2）解：∵△ABE≌△FCE，
∴AB＝FC，
∵AB∥FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵AF＝AD，
∴AF＝BC，
∴四边形ABFC是矩形.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB∥DC，推出∠1＝∠2，根据AAS证两三角形全等即可；（2）根据全等得出AB＝CF，根据AB∥CF得出平行四边形ABFC，推出BC＝AF，根据矩形的判定推出即可.
25．将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上，随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字.
（1）能组成哪些两位数？（请用树状图表示出来）
（2）恰好是偶数的概率是多少？
【答案】（1）解：画树状图得：
能组成的两位数是12，13，21，23，31，32；
（2）解：根据树状图可知，共有6种等可能的情况，恰好是偶数的情况有2种，
则P（偶数）＝ .
【解析】【分析】（1）利用树状图列举出所有等可能结果；
（2） 由树状图可知，共有6种等可能的情况，恰好是偶数的情况有2种，然后利用概率公式计算即可.
26．如图，直线 的解析式为： ，且 与 轴交于点 ，直线 经过点 ， ，直线 ， 交于点 ．
（1）求直线 的解析表达式；
（2）求△ADC的面积．
【答案】（1）解：设直线 的表达式为
由题意知：直线 过A、B两点，
由图可知：A（4，0），B（3， ）
将A、B两点代入，
可得：
解得
∴求直线 的解析表达式为 ．
（2）解：由题意知：直线 的解析式为： ，
将y=0代入，-3x+3=0
得x=1
∴D点坐标为（1，0）
联立方程
得x=2，y=-3
∴C（2，-3）
∵AD=3，C（2，-3）
∴
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求直线解析式即可；
（2）先求出 D点坐标为（1，0） ，再求出 C（2，-3） ，最后利用三角形的面积公式进行计算求解即可。
27．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(20-4x)÷4=
依题意列方程得：x2+（5-x）2=17，
解方程得：x1=1，x2=4，
两端的铁丝长为4，16.
（2）解：设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(20-4x)÷4=．
依题意列方程得：x2+（5-x）2=12，x无解，故不能.
【解析】【分析】（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(20-4x)÷4=5-x，根据这两个正方形的面积之和等于17cm2可得关于x的方程，求解即可；
（2）同（1）可得关于x的方程，求解即可.
28．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运，甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少产品？
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运_____产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”，可列方程为_______．
（2）小惠同学设甲型机器人搬运所用时间为小时，则甲型机器人每小时搬______产品，根据“甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运”，可列方程为________．
（3）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
【答案】（1），
（2），
（3）解：设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据题意得：
；
解得：，
经检验得：是原方程的解，且符合题意，
答：乙型机器人每小时搬运产品．
【解析】【解答】（1）解：设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据题意得：
；
故答案为：；
（2）解：设甲型机器人搬运所用时间为小时，根据题意得：
；
故答案为：；
【分析】（1）设乙型机器人每小时搬运产品，根据“甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等”列分式方程；
（2）设甲型机器人搬运所用时间为小时，表示甲型机器人的工作效率，根据题意列分式方程即可；
（3）根据解析（1）中列的分式方程，求出x值检验解题即可．
29．在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
（2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
【答案】（1）解：证明：由旋转的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即D是的中点；
（2）；
证明：如图2，延长到H使，连接，，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
∴，，
设，，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质即可得到，，进而结合题意即可得到，再结合等腰三角形的性质结合题意进行转化即可求解；
（2）；证明：延长到H使，连接，，先根据三角形中位线的性质即可得到，，进而根据旋转的性质得到，，进而结合题意运用等腰三角形的性质即可得到，，设，，则，，根据题意证明，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意即可求解。
30．服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T恤衫，甲种款型共用了10400元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）该服装店第一个月甲种款型的T恤衫以200元/件的价格售出20件、乙种款型的T恤衫以250元/件的价格售出10件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T恤衫都进行降价a元销售，其中甲种款型的T恤衫的销售量增加4a件、乙种款型的T恤衫的销售增加a件，结果第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了1000a元，求第二个月的销售利润．
【答案】（1）甲种款型的T恤衫购进80件，乙种款型的T恤衫购进40件
（2）3580
31．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE；
（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由.
（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论.
【答案】（1）解：四边形BECF是菱形.
证明：如图，
∵BC的垂直平分线为EF，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠1=∠3，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠A=90°，
∴∠2=∠A，
∴EC=AE，
又∵CF=AE，BE=EC
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形；
（2）解：当∠A=45°时，菱形BECF是正方形.
证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠3=45°，
∴∠EBF=2∠3=90°，
∴菱形BECF是正方形.
【解析】【分析】（1） 四边形BECF是菱形，理由如下：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 BF=FC，BE=EC， 根据等边对等角得出 ∠1=∠3， 根据等角的余角相等得出 ∠2=∠A ，根据等角对等边得出 EC=AE ，又 CF=AE ，故 BE=EC=CF=BF， 根据四边相等的四边形是菱形得出 四边形BECF是菱形；
（2） 当∠A=45°时，菱形BECF是正方形 ，理由如下：根据三角形的内角和得出 ∠3=45°， 根据菱形的性质得出 ∠EBF=2∠3=90°， 从而根据有一个角是直角的菱形是正方形得出结论： 四边形BECF是正方形 。
32．校园广播主持人培训班开展比赛活动，分为A，B，C，D四个等级，对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分，根据如图不完整的统计图解答下列问题：
（1）补全下面两个统计图（不写过程）；
（2）现准备从等级A的4人（两男两女）中随机抽取两名主持人，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女学生的概率？
【答案】（1）解：（人，
等级的人数（人，
等级的人数所占的百分比.
两个统计图补充如下：
（2）解：列表为：
男1 男2 女1 女2
男1 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2
由上表可知，从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种，
所以恰好选到1名男生和1名女生的概率.
【解析】【分析】（1）利用A等级的人数除以其百分比，即得总人数，然后分别减去A、B、D三个等级的人数，即得C等级人数，补全条形统计图；用C等级人数除以总人数，再乘以100%，得出C等级所占百分比，补全扇形统计图即可；
（2）此题是抽取不放回类型，利用列表法列举出共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种，然后利用概率公式计算即可.
33．如图，长方形的长为，宽为．
（1）用含的式子表示图中阴影部分的面积；
（2）当时，求阴影部分的面积的值（结果保留π）．
【答案】（1）解：长方形的长为，宽为，
；
（2）解：将代入上式可得：
，
故阴影部分的面积为：．
【解析】【分析】（1）阴影部分的面积=长方形的面积-直径为b的圆的面积，据此计算即可；
（2）将a、b的值代入（1）中结论进行计算即可.
34．为了满足市民的物质需求，某超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/袋）
售价（价/袋） 20 13
已知：用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同．
（1）求的值；
（2）要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共800袋的总利润（利润=售价﹣进价）不少于5200元，问至少购进甲种袋装食品多少袋？
【答案】（1）解：根据题意得：
，
解得：，
经检验是原分式方程的解．
∴．
（2）解：设购进甲种绿色袋装食品袋，则乙种绿色袋装食品袋，根据题意得：
，
解得：，
答：至少购进甲种袋装食品240袋．
【解析】【分析】（1）由总价除以单价等于数量，结合“用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进Z种袋装食品的数量相同”列出方程关于m的分式方程求解，即可解答；
（1）设购进甲种绿色袋装食品x袋，则乙种绿色袋装食品( 800-x)袋，然后根据总利润不少于5200元， 列出一元一次不等式求解，即可解答.
35．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AB//DC，AC=20，BD=10．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：如图所示，
∵AB∥DC，
∴∠1=∠2 ， ∠3=∠4，
又∵O是AC的中点，即AO=CO，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
（2）解：由（1）可知：四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∵AC=20，BD=10，
∴四边形ABCD的面积为=AC×BD=×20×10=100．
【解析】【分析】（1）由平行线性质可得∠1=∠2 ， ∠3=∠4，又O是AC的中点，可证出△AOB≌△COD，从而得
OD=OB， 即可证出四边形ABCD是平行四边形；
（2）由（1）可知四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，可证出平行四边形ABCD是菱形， 再由菱形面积计算公式，即对角线之积的一半，代入数据计算即可求解.
36．某校为了解中学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了名学生进行调查统计(要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目)，并将调查结果绘制成如图统计图表：
节目 人数(名) 百分比
最强大脑
朗读者
中国诗词大会
出彩中国人
根据以上提供的信息.解答下列问题：
（1）　 　，　 　，　 　；
（2）补全上面的条形统计图；
（3）在喜爱《最强大脑》的学生中.有2名女同学.其余为男同学，现要从中随机抽取名同学代表学校参加市里组织的竞赛活动，请求出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率.
【答案】（1）50；20；30
（2）解：中国诗词大会的人数为人，补全条形统计图，如图所示：
（3）解：（名），
∴喜爱最强大脑的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，
男1 男2 男3 女1 女2
男1 —— 男2，男1 男3，男2 男1，男2 女2，男2
男2 男1，男2 —— 女1，男2 女2，男1
男3 男1，男3 男2，男3 —— 女1，男3 女2，男3
女1 男1，女1 男1，女1 男3，女1 —— 女2，女1
女2 男1，女2 男2，女2 男3，女2 女1，女2 ——
20种等可能的情况，其中抽取的名同学恰好是名男同学和名女同学的情况有种，
则P一男一女=.
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：
，
故答案为：50，20，30；
【分析】（1）利用最强大脑的人数除以所占的比例可得总人数，根据总人数×中国诗词大会所占的比例可得a的值，利用朗读者的人数除以总人数，乘以100%可得b的值；
（2）根据a的值可补全条形统计图；
（3）喜爱最强大脑的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，列出表格，找出总情况数以及抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况数，然后利用概率公式进行计算.
37．“乡村振兴路先行，修路便民暖人心”，为了彻底解决农户出行“最后一公里”的问题，某地安排甲、乙两施工队合作完成任务，尽快修一条全长1000米的道路，最终甲队所修的道路比乙队所修的道路的2倍少200米．
（1）甲、乙两队各修道路多少米？
（2）实际修建过程中，甲队每天修的长度是乙队的倍，最终甲队完成的任务时间比乙队多2天，则甲队每天修道路多少米？
【答案】（1）甲队修道路600米，乙队修道路400米
（2）甲队每天修道路60米
38．绍兴首条智慧快速路于今年3月19日正式通车．该快速路上M，N两站相距20km，甲、乙两名杭州亚运会会务工作志愿者从M站出发前往N站附近的比赛场馆开展服务．甲乘坐无人驾驶小巴，乙乘坐无人驾驶汽车．图中OC，AB分别表示甲、乙离开M站的路程s（km）与时间t（min）的函数关系的图象．
根据图象解答下列问题：
（1）填空：甲比乙提前　 　分钟出发；无人驾驶小巴的速度为　 　km/min；当乙乘坐无人驾驶汽车到达N站时，无人驾驶小巴离N站还有　 　km．
（2）求乙离开M站的路程s（km）与时间t（min）的函数关系式并说明图中两函数图象交点P的实际意义．
【答案】（1）5；；
（2）解：设s关于时间t的函数关系式为s=kt+b，
由于（5，0），（20，20）两点在函数图象上，故有
解得
所以s关于t的函数关系式为s= t- （ ）
图中两函数图象交点P的实际意义是乙乘坐的无人驾驶汽车追上甲乘坐的无人驾驶小巴，两车与M站的距离相等。
【解析】【解答】解：（1）由函数图象可知：甲比乙提前5分钟出发；
无人驾驶小巴的速度=20÷30=km/min；
由函数图象可知：乙乘坐无人驾驶汽车由M站到达N站用了15分钟，甲到达N站需要30分钟，
∴乙到达N站时，甲还需要再行驶（30-20）=10分钟，
∴无人驾驶小巴此时离N站还有10×=km.
故答案为：5，，；
【分析】（1）由函数图象可知：甲比乙提前5分钟出发；利用总路程除以无人驾驶小巴的的总时间即可求出无人驾驶小巴的速度；由函数图象可知：乙乘坐无人驾驶汽车由M站到达N站用了15分钟，甲到达N站需要30分钟，乙到达N站时，即可求得甲还需要再行驶时间，再由速度乘以时间，即可求出
无人驾驶小巴此时离N站的距离；
（2）设s关于时间t的函数关系式为s=kt+b，由待定系数法，求得s关于t的一次函数关系式，再根据甲乘坐无人驾驶小巴和乙乘坐无人驾驶汽车由M站到达N站的运动过程，可知两函数图象交点P的实际意义是乙乘坐的无人驾驶汽车追上甲乘坐的无人驾驶小巴，两车与M站的距离相等，即可求解问题.
39．已知A、 两地相距 ，甲、乙两人沿同一公路从A地出发到 地，甲骑摩托车，乙骑电动车，图中 、 分别表示甲、乙离开A地的路程 与时间 的函数关系的图象.
（1）乙先出发，甲后出发，相差　 　 ；
（2）甲骑摩托车的速度为 ，直接写出甲离开A地后 与时间 的函数表达式及自变量 的取值范围；
（3）当乙出发几小时后，两人相遇.
【答案】（1）1
（2）解：S甲
（3）解：由题意设 解析式为S乙=kt(k≠0)
将 代入可得： ，
S乙 ，
∴ ，
解得 .
所以当乙出发 以后，两人相遇.
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得乙先出发，甲后出发，相差1h
故答案为：1.
（2）由题意，可设甲离开A地后s(km)与时间t(h)的函数表达式为：S甲=60t+b
根据题意，可得点E的横坐标为：
S甲 经过
，解得：
S甲
【分析】（1）根据题意得：乙先出发，甲后出发，相差1h；
（2）设：S甲=60t+b，根据题意可得点E的横坐标为：1+80÷60=，则E（，80），代入求解可得b，据此可得函数关系式；
（3）由题意设OC解析式为S乙=kt（k≠0），将（3，80）代入求出k，据此可得S乙，令S甲=S乙，求出t的值即可.
40．2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同．
（1）求A，B两款吉祥物每个的售价．
（2）为了促销，商店对A款吉祥物进行9折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为了激励学生奋发向上，准备用不超过240元购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？
【答案】（1）每个B款吉祥物的售价为20元，每个A款吉祥物的售价为40元；
（2）李老师最多可购买2个A款吉祥物；
41．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．
（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；
（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，当G点在何位置时四边形AEBD是矩形？请说明理由并求出点H的坐标．
【答案】（1）证明：∵将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α，
∴DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，
∵四边形OCBA是正方形，
∴CB=CO，∠B=90°，
∴CB=CD，∠B=∠CDG=90°
在Rt△CDG与Rt△CBG中，
，
∴Rt△CDG≌Rt△CBG
（2）解：∵∠CDG=90°，
∴∠CDH=90°，
在Rt△COH与Rt△CDH中，
，
∴Rt△COH≌Rt△CDH，
∴∠OCH=∠DCH，HO=DH，
∵Rt△CDG≌Rt△CBG，
∴∠DCG=∠BCG，DG=BG，
∴∠HCG=∠DCG+∠DCH=45°，
HG=HD+DG=HO+BG
（3）解：当G是AB中点时，四边形ADBE是矩形，
∵G是AB中点，
∴BG=AG= AB
由（2）得DG=BG，
又∵AB=DE，
∴DG= DE，
∴DG=GE=BG=AG，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=DE，
∴ ADBE是矩形，
设点H的坐标为（x，0），
则HO=HD=x，DG=BG=AG=3，AH=6﹣x，
由勾股定理得，（6﹣x）2+33=（3+x）2，
解得，x=2，
∴H（2，0）．
【解析】【分析】（1）根据旋转变换的性质得到DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，根据正方形的性质得到CB=CO，∠B=90°，根据直角三角形的全等的判定定理证明即可；（2）证明Rt△COH≌Rt△CDH，得到∠OCH=∠DCH，HO=DH，等量代换即可；（3）根据矩形的判定定理证明四边形AEBD是矩形，设点H的坐标为（x，0），根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，得到点H的坐标．
42．如图
（1）如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD.
①求证：四边形BFDE是菱形；
②直接写出∠EBF的度数；
（2）把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；
（3）把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.
【答案】（1）解：①证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF，
∴EO＝OF，∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，OB＝OD，
∴EB＝ED，
∴四边形EBFD是菱形.
②∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠EBD，
∵EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴∠ABD＝2∠ADB，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，
∴∠ABE＝∠EBO＝∠OBF＝30°，
∴∠EBF＝60°.
（2）解：结论：IH＝ FH.
理由：如图2中，延长BE到M，使得EM＝EJ，连接MJ.
∵四边形EBFD是菱形，∠B＝60°，
∴EB＝BF＝ED，DE∥BF，
∴∠JDH＝∠FGH，
在△DHJ和△GHF中，
，
∴△DHJ≌△GHF，
∴DJ＝FG，JH＝HF，
∴EJ＝BG＝EM＝BI，
∴BE＝IM＝BF，
∵∠MEJ＝∠B＝60°，
∴△MEJ是等边三角形，
∴MJ＝EM＝NI，∠M＝∠B＝60°
在△BIF和△MJI中，
，
∴△BIF≌△MJI，
∴IJ＝IF，∠BFI＝∠MIJ，∵HJ＝HF，
∴IH⊥JF，
∵∠BFI+∠BIF＝120°，
∴∠MIJ+∠BIF＝120°，
∴∠JIF＝60°，
∴△JIF是等边三角形，
在Rt△IHF中，∵∠IHF＝90°，∠IFH＝60°，
∴∠FIH＝30°，
∴IH＝ FH.
（3）解：结论：EG2＝AG2+CE2.
理由：如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∵∠FAD+∠DEF＝90°，
∴AFED四点共圆，
∴∠EDF＝∠DAE＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠EDC＝45°，
∵∠ADF＝∠CDM，
∴∠CDM+∠CDE＝45°＝∠EDG，
在△DEM和△DEG中，
，
∴△DEG≌△DEM，
∴GE＝EM，
∵∠DCM＝∠DAG＝∠ACD＝45°，AG＝CM，
∴∠ECM＝90°
∴EC2+CM2＝EM2，
∵EG＝EM，AG＝CM，
∴GE2＝AG2+CE2.
【解析】【分析】（1）①由△DOE≌△BOF，推出EO＝OF，∵OB＝OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB＝ED即可.②先证明∠ABD＝2∠ADB，推出∠ADB＝30°，延长即可解决问题.（2）IH＝ FH.只要证明△IJF是等边三角形即可.（3）结论：EG2＝AG2+CE2.如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，先证明△DEG≌△DEM，再证明△ECM是直角三角形即可解决问题.
43．如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．
（1）求证：△ABP∽△QEA；
（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；
（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形；
∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°，
∵QE⊥AP；
∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°
∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ；
∴△ABP∽△QEA（AA）
（2）解：∵△ABP≌△QEA；
∴AP=AQ（全等三角形的对应边相等）；
在Rt△ABP与Rt△QEA中根据勾股定理得AP2=32+t2，AQ2=（2t）2
即32+t2=（2t）2
解得t1= ，t2=﹣ （不符合题意，舍去）
答：当t取 时△ABP与△QEA全等
（3）解：由（1）知△ABP∽△QEA；
∴ =（ ）2
∴ =（ ）2
整理得：y= ．
【解析】【分析】本题主要考查的是相似三角形的综合应用，解答本题主要应用了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理是解题的关键．（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可；（2）根据全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解答即可；（3）根据相似三角形的性质得出函数解析式即可．
44．已知：如图，四边形是矩形，分别延长，到点E，F，使，，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，如果四边形的周长是，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是是平行四边形，
又∵是矩形，
∴，
∴四边形是菱形
（2）解：∵四边形的周长是，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是矩形，
∴，°，
∴．
【解析】【分析】根据平行四边形的判定可证得四边形ACEF是平行四边形，根据矩形的性质可得∠ADC是直角，综上即可得出结论；
（2）根据菱形的性质可得AC=，CD=1，利用勾股定理，可求得AD的长，进一步可得AE的长，根据矩形的性质可得AB=CD=1，再根据勾股定理可得BE的长。
45．在正方形ABCD中，AB＝2 ，O为对角线AC、BD的交点.
（1）如图1，延长OC，使CE＝OC作正方形OEFG，使点G落在OD的延长线上，连接DE、AG.求证：DE＝AG；
（2）如图2，将（1）中的正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）得到正方形 ，连接 ， .
①当 ⊥AC时，求 的面积；
②在旋转过程中，直接写出 面积的最小值，并写出此时旋转角α等于多少度？
【答案】（1）证明： 为对角线 、 的交点，
， ，
，
四边形 是正方形，
，
，
；
（2）解：①过点 作 ，交 的延长线于 ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
正方形 绕点 逆时针旋转 得到正方形 ，
， ，
， ，
，
，
，
△ ，
， ，
，
△ 的面积 ；
② 为定长，
， 在以 为圆心， 为半径的 上，
当 时，△ 的面积最小，
此时 的延长线与 相交于点 ，
，
，
，
此时的旋转角 .
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得OA=OD，OA⊥OD，然后结合OG=OE可证明△AOG≌△DOE，据此可得结论；
（2）①过点E′作E′H⊥AC，交AC的延长线于H，由正方形的性质可得AO=OC=2，进而求得CE、OE、AG′的值，由旋转的性质可得OG′=OE′，∠G′OE′=90°，证明△AOG≌△HE′O，得到AO=E′H=2，AG′=OH，据此可得AH，然后根据三角形的面积公式进行求解；
②易知当OA⊥G′E′时，△AE′G′ 的面积最小，此时OA的延长线与G′E′相交于点H，可得OH、AH的值，然后由三角形的面积公式可得△AE′G′ 的面积，根据α=∠HOG′+∠AOD可得旋转角的大小.
46．如图，四边形为菱形，已知，．
（1）直接写出、两点坐标；
（2）求经过、两点的直线解析式；
（3）画出菱形的中心，并写出点的坐标；
（4）把（2）的直线沿着轴上下平移，若直线与菱形始终有交点，则直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵A（4，0），B（0，3），∴，，∵四边形ABCD为菱形，∴BC=AD=AB=5，∴C（-5，3），D（-1，0）；
（2）解：设经过B、D两点的直线解析式为y=mx+n，将B（0，3），D（-1，0）代入得：，解得，∴经过B、D两点的直线解析式为y=3x+3；
（3）解：连接AC，BD交于M，则M即为菱形ABCD的中心，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴M是BD的中点，∵B（0，3），D（-1，0），∴；
（4）解：如图：
由（2）知经过B、D两点的直线解析式为y=3x+3，将其沿着y轴平移b个单位所得直线为y=3x+3+b（b＞0向上平移，b＜0向下平移），当平移后的直线过A（4，0）时，0=12+3+b，∴b=-15，当平移后的直线过C（-5，3）时，3=-15+3+b，∴b=15，∴直线与菱形始终有交点，则b的取值范围是-15≤b≤15．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB=5，再求出 BC=AD=AB=5， 最后求点的坐标即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）先作图，再求出 M是BD的中点 ，最后求点的坐标即可；
（4）根据平移的性质，结合函数图象求解即可。
47．某经销商去年 月份用 元购进一批某种儿童玩具，并在当月售完，今年 月份用 元购进相同的玩具，数量是去年 月份的 倍，每个进价涨了 元．
（1）今年 月份购进这批玩具多少个？
（2）今年 月份，经销商将这批玩具平均分给甲、乙两家分店销售，每个标价 元．甲店按标价卖出a个以后，剩余的按标价的八折全部售出；乙店同样按标价卖出b个，剩余的按标价的七五折全部售出，结果利润与甲店相同．
①用含a的式子表示b；
②若甲、乙两家分店按打折售出的数量不超过乙店按标价售出的数量，则甲店按标价至少售出了多少个这种玩具？
【答案】（1）解：设去年 月份购进了x个这种儿童玩具，则 月份购进了 个这种儿童玩具．
由题意得 ，解得 ．
经检验， 是所列方程的解，且正确，
．
答：今年 月份购进了 个这种儿童玩具．
（2）解：今年 月份每个玩具的进价为 （元）．
①按标价出售，每个的利润为 元，
按标价打八折出售，每个的利润为 元，
按标价打七五折出售，每个的利润为 元．
由题意，得 ，
，b的关系式为： ；
②由题意，得 ， ，
∴ ．
，b都是正整数，当 时， ，不符合题意；
当 时， ，
甲店按标价至少售出了 个这种玩具．
【解析】【分析】（1）设去年 月份购进了x个这种儿童玩具，则 月份购进了 个这种儿童玩具．根据一月份的进价比12月份的进价涨了5元，列出方程并解之即可；
（2）①根据甲、乙两店的利润相同列出关于a、b的等式，即可求解；
②根据“ 甲、乙两家分店按打折售出的数量不超过乙店按标价售出的数量 ”列出不等式，结合①结论，求出a、b的正整数解即可.
48．小李和小陆从 A 地出发，骑自行车沿同一条路行驶到 B 地，他们离出发地的距离s和行驶时间t之间的关系的图象如图，根据图象回答下列问题：
（1）小李在途中逗留的时间为　 　h，小陆从 A 地到 B 地的速度是　 　km/h．
（2）当小李和小陆相遇时，他们离 B 地的路程是　 　千米；
（3）写出小李在逗留之前离 A 地的路程s和行驶时间t之间的函数关系式为　 　
【答案】（1）0.5；
（2）
（3）
【解析】【解答】（1）由图可知，小李在途中逗留的时间为1-0.5=0.5小时，小陆从 A 地到 B 地的速度=km/h．故答案为：0.5，；
（2）当小李和小陆相遇时，是小陆行驶了0.5小时，由第（1）问，小陆的速度是km/h，即小陆行驶了0.5=km，所以他们离 B 地的路程是20-=km. 故答案为；
（3）因为小李在逗留之前离 A 地的路程s和行驶时间t之间的函数图象是经过原点的直线的一部分，设函数解析式为s=kt，且经过点（0.5，），把（0.5，）代入s=kt中，=0.5k，解得k=，即小李在逗留之前离 A 地的路程s和行驶时间t之间的函数关系式为s=t，故答案为：s=t.
【分析】（1）根据图象即速度路程时间公式解答即可；（2）当小李和小陆相遇时，也就是小陆行驶了0.5小时，由第（1）问知小陆的速度，计算出小陆行驶的路程，总路程减去小陆行驶的路程即可得解；（3）观察图象易得函数解析式是正比例函数图象的一部分，利用待定系数法，经过点（0.5，），代入s=kt中，解方程求出函数解析式即可.
49．综合与实践
问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．试说明中点四边形EFGH是平行四边形．
探究展示：勤奋小组的解题思路：
反思交流：
（1）①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据1：　 　；依据2：　 　；
②连接AC，若AC＝BD时，则中点四边形EFGH的形状为　 　；
（2）如图（2），点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并说明理由；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其它条件不变，则中点四边形EFGH的形状为　 　．
【答案】（1）三角形的中位线定理；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；菱形 创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：
（2）解：结论：四边形EFGH是菱形． 理由：如图2中，连接AC，BD ∵∠APB＝∠CPD
∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD
即：∠BPD＝∠APC ∵PA＝PB，PC＝PD
∴△APC≌△BPD
∴AC＝BD
∴HG＝HE
由(1)可知：四边形EFGH是平行四边形
∴四边形EFGH是菱形．
（3）正方形
【解析】【解答】（1）解：①依据1：三角形的中位线定理．
依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
②菱形．
理由：如图1中，
∵AE＝BE，AH＝HD，
∴EH＝ BD，
∵DH＝HA，DG＝GC，
∴HG＝ AC，
∴HE＝HG，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为三角形中位线定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，菱形．（3）解：结论：正方形．
理由：如图2﹣1中，连接AC，BD，BD交AC于点O，交GH于点K，AC交PD于点J．
∵△APC≌△BPD，∠DPC＝90°，
∴∠PDB＝∠PCA，
∵∠PJC＝∠DJO，
∴∠CPJ＝∠DOJ＝90°，
∵HG∥AC，
∴∠BKG＝∠BOC＝90°，
∵EH∥BD，
∴∠EHG＝∠BKG＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可；（2）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明．
50．问题探究：
【1】新知学习
⑴梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
⑵梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
⑶形如分式 （m为常数，且m＞0），若x＞0，则 ，并且有下列结论：
当x 逐渐增大时，分母x+2m逐渐增大，分式 的值逐渐减少并趋于0，但仍大于0．当x 逐渐减少时，分母x+2m逐渐减少，分式 的值逐渐增大并趋于 ，即趋于 ，但仍小于 ．
【2】问题解决
如图2，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）设AD=7，BC=17，求 的值．
（2）设AD=a（a为正的常数），BC=x，请问：当BC的长不断增大时， 的值能否大于或等于3，试证明你的结论．
（3）进一步猜想：任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是什么，并说明理由．
【答案】（1）解：设梯形ADFE的高为h，则梯形BCFE的高为h，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）= （7+17）=12，
∴ = =
（2）解：当BC的长不断增大时， 的值不能大于或等于3；理由如下：
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF= （AD+BC）= （a+x），
由（1）得： = = ，
当BC的长x不断增大时， 的分子a+3x逐渐增大并趋于，即趋于3，但仍小于3；
∴当BC的长不断增大时， 的值不能大于或等于3
（3）解：任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是大于1而小于3；理由如下：
由（2）得： = ＜3，当x 逐渐减少时，分母3a+x逐渐减少，x趋于a，
则a+3x趋于4a，3a+x趋于4a，
∴ = 的值趋于1，但大于1，
∴1＜ ＜3，
故任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是大于1而小于3
【解析】【分析】问题解决（1）设梯形ADFE的高为h，则梯形BCFE的高为h，证出EF是梯形ABCD的中位线，由梯形中位线定理得出EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）=12，由梯形面积公式即可得出答案；（2）由梯形中位线定理得出EF= （AD+BC）= （a+x），由（1）得： = = ，当BC的长x不断增大时， 的分子a+3x逐渐增大并趋于，即趋于3，但仍小于3；（3）由（2）得： = ＜3，当x 逐渐减少时，分母3a+x逐渐减少，x趋于a，则a+3x趋于4a，3a+x趋于4a，得出 = 的值趋于1，但大于1，即可得出答案．
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