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苏科版2024—2025学年七年级下册期末全优冲刺领航卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一定能使等式“”成立的图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．若，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．李老师为学习进步的学生购买奖品，共用去32元购买单价为8元的A和单价为4元的B两种笔记本（购买本数均为正整数）．你认为购买方案共有（　　）种．
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处，则（　　）
A． B． C． D．
5．下列说法中错误的是（　　）
A．等边三角形是等腰三角形
B．三角形的高、中线、角平分线都是线段
C．三角形的一个外角等于两个内角的和
D．钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点
6．一副三角板如图所示摆放，，，， ，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．>0 B．
C．<0 D．
8．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（　　）
A．300元 B．400元 C．500元 D．600元
9．如图，沿直线向右平移，得到，若，则A、E两点的距离为（　　）
A． B． C． D．不能确定
10．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，//，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二元一次方程的正整数解为　 　．
12．如图，三角形ABC向右平移得到三角形DEF，若BC＝6cm，EC＝2cm，则CF＝　 　．
13．如图，将三角形OAB绕点O逆时针旋转55°后得到三角形OCD，此时，若，则的度数是　 　．
14．如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线，若AB＝6，△ABD的周长比△ACD的周长多2，则AC＝　 　．
15．在一个多边形中，小于72°的内角最多有　 　个．
16．若，且，则代数式的值为　 　．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）解不等式 ；
（2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程 的解，求a的值．
18．如图，已知 ， ．
（1）试判断 与 的大小关系；
（2）对（1）的结论进行证明．
19．某中学七年级学生准备租车外出旅游，有A，B两种型号的客车可供选择．
（1）若租3辆A型客车，2辆B型客车共需3600元，若租2辆A型客车，1辆B型客车共需2200元，问A，B两种型号的客车租金各是多少元？
（2）该中学计划共租用A，B两种型号客车5辆，已知A型客车一辆可载客45人，B型客车一辆可载客30人，用含m的式子填写下表：
型号 辆数（辆） 载客量（人） 租金（元）
A m
　
　
B 5－m
　
　
（3）在（2）的条件下，若七年级共有师生180人，且租金不能超过3700元，请写出所有可能的租车方案，并选出最省钱的租车方案．
20．已知：如图，△ABC中，∠BAD=∠EBC，AD交BE于F.
（1）试说明 ： ∠ABC=∠BFD ；
（2）若∠ABC=35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG的度数.
21．如图，在长方形ABCD中，放入8个完全相同的小长方形.
（1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？
（2）图中阴影部分面积为多少平方厘米？
22．亮亮计算一道整式乘法的题（3x﹣m）（2x﹣5），由于亮亮在解题过程中，抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“﹣”写成了“＋”，得到的结果为6x2﹣5x﹣25.
（1）求m的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果.
23．已知：如图，C、D是直线AB上两点，∠1+∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB．
（1）求证：CE∥DF；
（2）若∠DCE＝126°，求∠DEF的度数．
24．综合与探究
在平面直角坐标系中，点A在第四象限，将线段AO平移至线段BC的位置，点A的对应点是点B，点O的对应点是点C．
（1）如图①，点A的坐标是（2，﹣3），点B的坐标是（﹣3，0），连接OC．若在y轴上存在一点P，使得三角形COP的面积是三角形OBC的面积的2倍，求点P的坐标．
（2）如图②，当点C在y轴的正半轴上，点D在y轴的负半轴上，且∠ADB＝90°时，试猜想∠CBD与∠OAD的数量关系，并说明理由．
25．某商店需要购进甲、乙两种商品共180件其进价和售价如表：（注：获利=售价进价）
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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苏科版2024—2025学年七年级下册期末全优冲刺领航卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一定能使等式“”成立的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵∠1与∠2是邻补角，∴∠1+∠2=180°，故符合题意；
B、∠1+∠2＜180°，故不符合题意；
C、由∠1=∠2，但∠1+∠2不一定等于180°，故不符合题意；
D、图中两直线不平行，
∴∠1+∠2≠180°，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据邻补角的定义、对顶角的性质、平行线的性质逐项判断即可.
2．若，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、等式两边都×（-5），不等号方向改变，故A正确。
B、不等式两边都-5，不等式方向不变，故B正确。
C、不等号左边×a右边×b，不符合等式性质，故C错误，
D、等式两边都乘5方向不变，故D正确。
故答案为：C
【分析】由等式的性质解题即可。
3．李老师为学习进步的学生购买奖品，共用去32元购买单价为8元的A和单价为4元的B两种笔记本（购买本数均为正整数）．你认为购买方案共有（　　）种．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】根据题意可得：8A+4B=32，
∴2A+B=8，
∵A、B是正整数，
∴当A=1时，B=6；当A=2时，B=4；当A=3时，B=2，
∴共有3种购买方案情况，
故答案为：B.
【分析】根据题意列出方程8A+4B=32，再求解即可.
4．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵将绕点A逆时针旋转至处，
∴AB=AD，∠ADE=∠B=40°，
∴∠ABD=∠ADB=40°，
∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=80°，
故答案为：C.
【分析】利用旋转的性质可得AB=AD，∠ADE=∠B=40°，利用等边对等角的性质可得∠ABD=∠ADB=40°，再利用角的运算求出∠BDE=∠ADB+∠ADE=80°即可.
5．下列说法中错误的是（　　）
A．等边三角形是等腰三角形
B．三角形的高、中线、角平分线都是线段
C．三角形的一个外角等于两个内角的和
D．钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点
【答案】C
【解析】【解答】A、∵等边三角形是等腰三角形是正确的，∴A不符合题意；
B、∵三角形的高、中线、角平分线都是线段是正确的，∴B不符合题意；
C、∵三角的一个外角等于不相邻的两个内角之和，∴C不正确，∴C符合题意；
D、∵钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可.
6．一副三角板如图所示摆放，，，， ，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，AD与BC交于点E，
∵BC∥DE，
∴∠AEC=∠D=45°，
∴∠B=90°-∠C=90°-60°=30°，
∵∠BAD=∠AEC-∠B，
∴∠BAD=45°-30°=15°.
故答案为：A.
【分析】AD与BC交于点E，利用平行线的性质可求出∠AEC的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的数；然后根据三角形的外角的性质可求出∠BAD的度数.
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．>0 B．
C．<0 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、
，则
，
错误，是假命题，不符合题意；
B、若
，则
，
错误，是假命题，不符合题意；
C、若
，则
，
错误，是假命题，不符合题意；
D、若
，则
，
正确，是真命题，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的性质逐项判断即可。
8．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（　　）
A．300元 B．400元 C．500元 D．600元
【答案】B
【解析】【解答】解：设打折前每件A商品为x元，每件B商品为y元，
根据题意可得：，
解得：，
∴打折前买500件A商品和500件B商品的费用为：500×16+500×4=10000（元），
∵打折后买500件A商品和500件B商品用了9600元，
∴打折后比不打折少花10000-9600=400（元），
故答案为：B.
【分析】先求出打折前的A和B商品的单件，再求出打折前的费用，最后计算即可.
9．如图，沿直线向右平移，得到，若，则A、E两点的距离为（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：由平移的性质可得，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】由平移的性质可得，进而得到，同时通过平移的性质可知 A、E两点的距离与B、C两点的距离相等，从而可得A、E两点的距离.
10．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，//，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得，
又∵，
∴∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③正确.
故答案为：A.
【分析】①如图1，根据平行线的性质可得∠AOC=∠DCE1=β，然后根据外角的性质进行计算；
②如图2，过E2作AB平行线，根据平行线的性质可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，然后根据角的和差关系进行计算；
③如图3，根据平行线的性质可得∠BOE3=∠DCE3=β，然后根据外角的性质进行计算；
④如图4，由平行线性质得∠BAC+∠DCA=180°，由内角和定理得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，据此计算；当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC的度数，据此判断；
⑤⑥当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二元一次方程的正整数解为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：二元一次方程的解有很多，先保证为正整数，代入方程中求出值，观察，从中找出正整数解只有.
故答案为：．
【分析】令x=1，求出y的值，据此可得二元一次方程的正整数解.
12．如图，三角形ABC向右平移得到三角形DEF，若BC＝6cm，EC＝2cm，则CF＝　 　．
【答案】4cm.
【解析】【解答】解：∵BC＝6cm，EC＝2cm ，
∴BE=BC-EC=6-2=4cm ，
由平移可知AD=BE=CF=4cm，
故答案为：4cm.
【分析】平移的基本性质：（1）平移不改变图形的形状和大小：
（2）经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等
13．如图，将三角形OAB绕点O逆时针旋转55°后得到三角形OCD，此时，若，则的度数是　 　．
【答案】35°
【解析】【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转55°后得到△OCD，
∴∠AOC＝55°，∠A＝∠C，
∵∠AOB＝20°，
∴∠BOC＝∠AOC ∠AOB＝55° 20°＝35°，
∵，
∴∠BOC＝∠C＝35°，
∴∠A＝35°．
故答案为：35°.
【分析】根据旋转的性质可得∠AOC＝55°，∠A＝∠C，则∠BOC＝∠AOC ∠AOB＝35°，由平行线的性质可得∠BOC＝∠C＝35°，据此解答.
14．如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线，若AB＝6，△ABD的周长比△ACD的周长多2，则AC＝　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=DC，
∴△ABD和△ADC的周长的差=（AB+BD+AD）-（AC+DC+AD）=AB-AC=2，
∵AB=6，
∴AC=4．
故答案为：4．
【分析】根据题意先求出BD=DC，再求出△ABD和△ADC的周长的差为2，最后计算求解即可。
15．在一个多边形中，小于72°的内角最多有　 　个．
【答案】3
【解析】【解答】解：由于多边形的内角小于72°，
所以这个多边形的外角要大于180°-72°=108°，
而多边形的外角和为360°，
所以360°÷108°==（个），
∴最多有3个.
故答案为：3.
【分析】根据邻补角的性质可得这个多边形的外角要大于180°-72°=108°，利用外角和除以外角的度数，根据其结果可得小于72°的内角的个数.
16．若，且，则代数式的值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
∴(m+n)(m-n)=n-m，
∵
∴m＋n＝-1，
∵
∴
∴
故答案为：-2023.
【分析】由已知条件求得m+n=-1，再将原式化成连续两次代值计算即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）解不等式 ；
（2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程 的解，求a的值．
【答案】（1）解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项、合并得： ，
∴原不等式的解集为 ．
（2）解：∵
∴最小整数解为 ，
将 代入方程中，得： ，解得 ．
【解析】【分析】（1）利用不等式的解法求出不等式的解集即可；
（2）根据（1）的解集求出x的值，再代入方程求解即可。
18．如图，已知 ， ．
（1）试判断 与 的大小关系；
（2）对（1）的结论进行证明．
【答案】（1）解： 与 的大小关系是： ．
（2）解：证明
∵ ， ，
∴ ，
∴BD∥EF，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ∥AC，
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据补角的性质，三角形内角和定理及平行线的性质判断∠ACB=∠DEB；
（2）根据补角的性质，三角形内角和定理及平行线的性质进行推理。
19．某中学七年级学生准备租车外出旅游，有A，B两种型号的客车可供选择．
（1）若租3辆A型客车，2辆B型客车共需3600元，若租2辆A型客车，1辆B型客车共需2200元，问A，B两种型号的客车租金各是多少元？
（2）该中学计划共租用A，B两种型号客车5辆，已知A型客车一辆可载客45人，B型客车一辆可载客30人，用含m的式子填写下表：
型号 辆数（辆） 载客量（人） 租金（元）
A m
　
　
B 5－m
　
　
（3）在（2）的条件下，若七年级共有师生180人，且租金不能超过3700元，请写出所有可能的租车方案，并选出最省钱的租车方案．
【答案】（1）解： 设A，B两种型号的客各x，y辆，
，
解得 ，
答：A，B两种型号的客车租金各是800元，600元；
（2）解： 如下表，
型号 辆数（辆） 载客量（人） 租金（元）
A m 45m 800m
B 5－m 30(5-m) 600(5-m)
（3）解： 根据题意可得
，
解得2≤m≤ 且m是正整数，所以m=2或3， 5-m=3或2，
所以有以下两种租车方案：①A型车2辆，B型车3辆；
②A型车3辆，B型车2辆；
第一种方案2×800+3×600=3400；
第二种方案3×800+2×600=3600；
所以第一种方案更省钱．
【解析】【分析】（1） 设A，B两种型号的客各x，y辆， 根据“ 若租3辆A型客车，2辆B型客车共需3600元，若租2辆A型客车，1辆B型客车共需2200元 ”列方程组求解即可；
（2）根据题意填写即可；
（3）根据“ 若七年级共有师生180人，且租金不能超过3700元 ”列不等式组求解即可。
20．已知：如图，△ABC中，∠BAD=∠EBC，AD交BE于F.
（1）试说明 ： ∠ABC=∠BFD ；
（2）若∠ABC=35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG的度数.
【答案】（1）解：∵∠BFD=∠ABF+∠BAD， ∠ABC=∠ABF+∠FBC ∵∠BAD=∠FBC，
∴∠ABC=∠BFD.
（2）解：由上题可知：∠ABC=∠BFD=35° ， ∵EG∥AD ， ∴∠BEG=∠BFD=35° ，∵EH⊥BE，
∴∠BEH=90° ， ∴∠HEG=∠BEH-∠BEG=55°.
【解析】【分析】（1）先利用三角形外角的性质得到∠BFD=∠ABF+∠BAD，结合图形即可证得∠ABC=∠BFD；（2）利用（1）的结果可求得∠BFD，再利用两直线平行同位角相等求得∠BEG，再利用垂直形成的直角即可求得∠HEG.
21．如图，在长方形ABCD中，放入8个完全相同的小长方形.
（1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？
（2）图中阴影部分面积为多少平方厘米？
【答案】（1）解：设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，
依题意，得： ，
解得： ，
答：每个小长方形的长和宽分别是10厘米，2厘米；
（2）解：∵每个小长方形的长和宽分别是10厘米，2厘米，
∴图中阴影部分面积为18×（12+2）-8×2×10=92（平方厘米）.
答：图中阴影部分面积为92平方厘米.
【解析】【分析】（1）设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，利用长方形ABCD的长为18，宽为12，可建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
（2）利用（1）中的数据，可求出阴影部分的面积.
22．亮亮计算一道整式乘法的题（3x﹣m）（2x﹣5），由于亮亮在解题过程中，抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“﹣”写成了“＋”，得到的结果为6x2﹣5x﹣25.
（1）求m的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果.
【答案】（1）解：根据题意可得，
（3x+m）（2x-5）
=6x2-15x+2mx-5m
=6x2-（15-2m）x-5m，
即-5m=-25，
解得m=5；
（2）解：（3x-5）（2x-5）
=6x2-15x-10x+25
=6x2-25x+25.
【解析】【分析】（1）利用已知可得到（3x+m）（2x-5）=6x2﹣5x﹣25，根据对应项的系数相等，可求出m的值.
（2）将m=5代入可得到（3x-5）（2x-5），再利用多项式乘以多项式的法则进行计算.
23．已知：如图，C、D是直线AB上两点，∠1+∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB．
（1）求证：CE∥DF；
（2）若∠DCE＝126°，求∠DEF的度数．
【答案】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，C，D是直线AB上两点，
∴∠1+∠DCE＝180°，
∴∠2＝∠DCE，
∴CE∥DF
（2）解：∵CE∥DF，∠DCE＝126°，
∴∠CDF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣126°＝54°，
∵DE平分∠CDF，
∴∠CDE＝ ∠CDF＝27°，
∵EF∥AB，
∴∠DEF＝∠CDE＝27°．
【解析】【分析】（1）由∠1+∠DCE＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠DCE，即可证明CE∥DF；（2）由平行线的性质，可得∠CDF＝54°，又∵DE平分∠CDF，则∠CDE＝ ∠CDF＝27°，根据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数．
24．综合与探究
在平面直角坐标系中，点A在第四象限，将线段AO平移至线段BC的位置，点A的对应点是点B，点O的对应点是点C．
（1）如图①，点A的坐标是（2，﹣3），点B的坐标是（﹣3，0），连接OC．若在y轴上存在一点P，使得三角形COP的面积是三角形OBC的面积的2倍，求点P的坐标．
（2）如图②，当点C在y轴的正半轴上，点D在y轴的负半轴上，且∠ADB＝90°时，试猜想∠CBD与∠OAD的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵线段平移至线段的位置，点A的坐标是，点B的坐标是，∴点C的坐标是，如图，过点C作轴于点H，轴于点F．
∴．∵点B的坐标为，∴，∵的面积是的面积的2倍，∴，即，∴．∴点P的坐标是或；
（2）解：．理由：如图，过点D作．
∴，由平移得：，∴，∴，∴，∵，∴．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 点C的坐标是， 再求出OB=3，最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（2）利用平行线的判定与性质计算求解即可。
25．某商店需要购进甲、乙两种商品共180件其进价和售价如表：（注：获利=售价进价）
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案.
【答案】（1）解：设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件.
根据题意得： ，解得： .
答：甲种商品购进100件，乙种商品购进80件；
（2）解：设甲种商品购进a件，则乙种商品购进 件.根据题意得：
.
解不等式组，得： .
∵a为非负整数，
∴a取61，62，63
∴ 相应取119，118，117
方案一：甲种商品购进61件，乙种商品购进119件.
方案二：甲种商品购进62件，乙种商品购进118件.
方案三：甲种商品购进63件，乙种商品购进117件.
答：有三种购货方案，其中获利最大的是方案一.
【解析】【分析】（1）根据等量关系为：甲件数+乙件数=180；甲总利润+乙总利润=1240列出方程组，求解即可；
（2）设出所需未知数，根据甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜5040；甲总利润+乙总利润＞1312列出不等式组，求解即可.
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