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浙江省温州市鹿城区2025年九年级下学期数学学生学科素养检测
1．（2025·鹿城模拟）工厂检测四个零件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（　　）
A．+1.3 B．-2.1 C．+0.1 D．-0.8
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得各数的绝对值分别为1.3，2.1，0.1，0.8，
∵0.1<0.8<1.3<2.1，
∴最接近标准质量的是+0.1，
故答案为：C.
【分析】根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值后比较大小即可.
2．（2025·鹿城模拟）人工智能模型的参数量越大，理解能力越强．Deepseek V3－0324模型参数可达685000000000个，其中数685000000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：685000000000=6.85×1011，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．（2025·鹿城模拟）一个不透明的袋子里装有1个红球和3个白球，它们除颜色外均相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵总共有4个球，其中红球有1个，摸到每个球的可能性都相等，
∴摸到红球的概率
故答案为：D.
【分析】根据红球可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案.
4．（2025·鹿城模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据主视图是三角形，圆柱和球不符合题意，A，B错误；根据俯视图是圆，三棱锥不符合题意，C错误，
故答案为：D.
【分析】根据三视图即可求解.
5．（2025·鹿城模拟）下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A，因为2a3和a3是同类项，所以2a3+a3=3a3，故A错误；
B，2a3·a3=2a6，故B正确；
C，(2a3)3=8a9，故C错误；
D，2a3÷a=2a2，故D错误.
故答案为：B.
【分析】A，合并同类项时，将同类项的系数相加减，字母部分保持不变，据此判断A；
B，同底数幂的乘法法则是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；
C，根据幂的乘方法则判断C；
D，系数相除，同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.
6．（2025·鹿城模拟）如图，在直角坐标系中，已知点，线段AB向上平移后，A，B的对应点分别为，若四边形是正方形，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点A(0，2)，B(4，2)
∴AB//x轴，AB=4，
∵将线段AB向上平移后，得到四边形ABB'A是正方形
∴AA'=4，点A'在y轴上，
∴OA'=AA'+OA=4+2=6，
∴点A'的坐标为(0，6).
故答案为：B.
【分析】根据点A(0，2)，B(4，2)得AB//x轴，AB=4，再根据平移的性质及正方形的性质得AA'=4，点A'在y轴上，进而得OA'=AA'+OA=6，由此即可得出点A'的坐标.
7．（2025·鹿城模拟）某企业生产一批工艺品，为了尽快完成任务，实际每天生产工艺品比原计划多200个．已知实际生产3000个工艺品与原计划生产1800个所用的时间相同，若设原计划每天生产个工艺品，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天生产x个工艺品，则实际每天生产(x+20)个，
根据实际生产3000个工艺品与原计划生产1800个所用的时间相同得：
故答案为：C.
【分析】设原计划每天生产x个工艺品，则实际每天生产(x+20)个，根据实际生产3000个工艺品与原计划生产1800个所用的时间相同列出方程即可.
8．（2025·鹿城模拟）如图，内接于是的切线，连接CO并延长交弦AB于点．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接BO，
∵
∴∠BOC=80°
∴
∵CE是⊙O的切线，
∴∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠DCE-∠ACE=90°-α，
∴∠CDB=∠A+∠DCA=40°+90°-α=130°-α，
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理得到∠A=40°，根据切线的性质得到∠DCA=90°-α，由三角形外角和的性质即可求解.
9．（2025·鹿城模拟）如图，在中，，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，点B，D关于EG对称，点C，D关于FH对称．若要求出的周长，只需知道（　　）
A．AE和AF的长 B．BE和CF的长 C．EG和FH的长 D．BG和CH的长
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点B，D关于EG对称，点C，D关于FH对称，
∴DE=BE，DF=CF，∠B=∠BDE，∠C=∠CDF
∴∠BDE+∠CDF=∠B+∠C
∵∠A=60°
∴∠BDE+∠CDF=∠B+∠C=180°-∠A=120°
∴∠EDF=180°-(∠BDE+∠CDF)=60°，
∴△DEF的周长DE+DF+EF=BE+DF+CF
设DE=BE=2a，DF=CF=b，
如图，过点E作FP⊥DF于点P，
∴∠DEP=30°
∴
∴，PF=b-a，
∴，
∴△DEF的周长DE+DF+EF=4a2-2ab+b2+2a+b.
∴△DEF的周长只与BE，CF的长有关，
故答案为：B.
【分析】根据对称性可得DE=BE，DF=CF，∠B=∠BDE，∠C=∠CDF，从而得到∠BDE+∠CDF=∠B+∠C，再由三角形内角和定理可得∠BDE+∠CDF=120°，从而得∠EDF=60°，设DE=HE=2a，DF=CF=b，过点E作EP⊥DF于点P，根据直角三角形的性质可得，，PF=b-a，EF=4a2-2ab+b2，即可求解.
10．（2025·鹿城模拟）小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系，则图中的值为（　　）
A．22 B．22.5 C．23 D．23.5
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可得，
小鹿的速度为1÷5=0.2(千米/分钟)
小鹿行完全程的时间为4.5÷0.2=22.5(分钟)
在休息点休息的时间为25-22.5=2.5(分钟)
小鹿与小晨的速度差为1÷(15-5)=0.1(千米/分钟)，
小晨的速度为0.1+0.2=0.3(千米/分钟)，
小晨行完全程的时间为4.5÷0.3=15(分钟)，
图书馆到休息点的路程为0.2×15=3(千米)
小晨从休息点到公园的时间为(4.5-3)÷0.3=5(分钟)
m=15+2.5÷5=22.5.
故答案为：B.
【分析】由两人相距的路程s(千米)与小鹿所用时间t(分)之间的函数关系图象可得小鹿的速度为0.2千米/分钟，小晨的速度为0.3千米/分钟，休息的时间为25分钟，小晨从休息点到公园的时间为5分钟，即得m的值.
11．（2025·鹿城模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：a2+10a+25=(a+5)2，
故答案为：(a+5)2.
【分析】根据完全平方公式分解因式.
12．（2025·鹿城模拟）若扇形的圆心角为，半径为2，则它的面积为　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：.
【分析】利用扇形的面积公式进行计算即可.
13．（2025·鹿城模拟）如图是甲、乙两人10次实心球训练成绩的折线统计图，对比方差发现，则图中折线A表示　 　的成绩．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图可知折线A表示的成绩波动较大，
由可知甲的成绩波动比乙的成绩波动大，
∴折线A表示甲的成绩，
故答案为：甲.
【分析】利用折线统计图可判断折线A表示的成绩波动较大，根据方差的意义可知甲的成绩波动比乙的成绩波动大，即可求解.
14．（2025·鹿城模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得 =12-4×2m=0，
解得
故答案为：.
【分析】根据判别式的意义得到 =12-4×2m=0，然后解一次方程即可.
15．（2025·鹿城模拟）如图，当阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例．动力与动力臂的部分数据如表所示，则表中的值为　 　．
… 3 …
… …
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵当阻力与阻力臂一定时，动力F(N)与动力臂(cm)成反比例，
∴设动力F(N)与动力臂L(cm)的解析式为，
把F=a时，L=b，F=3a时，L=b-5代入得，
k=ab=3a(b-5)，
解得
故答案为：.
【分析】设动力F(N)与动力臂L(cm)的解析式为，把F=a时，L=b，F=3a时，L=b-5代入得到k=ab=3a(b-5)，求解即可.
16．（2025·鹿城模拟）如图，在菱形ABCD中，是对角线AC上一点，连接BE，将绕着点旋转，点的对应点落在边AD上，点的对应点落在边AB上，BF与AC交于点．若是AD的中点，则HE的长为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵△BCE旋转得到△BFG，
∴△BCE △BFG，
∴BC=BF，∠ABH=∠CBE
∵ABCD是菱形，BC=12，
∴AD=BC=AB=CD=12，AD//BC
∴∠DAC=∠BCH，∠AFH=∠CBH，
∴△AFH∽△CBH
∵F是AD的中点，
∴
∴，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
在△ABH和△CBE中，
∴△ABH≌△CBE(ASA)，
∴BH=BE=8，AH=EC，
∵
∴AH=HE=EC，
过B作BK⊥HE交于点K，
∵BH=BE=8，HE=EC
由等腰三角形三线合一可得HK=KE，
设HK=KE=x，EC=HE=2x，
在Rt△BKE和Rt△BKC中，由勾股定理可得：
BK2=BE2-KE2=BC2-KC2
∴82-x2=122-(x+2x)2，
解得(舍去)或，
∴，
故答案为：.
【分析】证明△AFH∽△CBH和△ABH≌△CBE(ASA)，并根据等腰三角形三线合一得出HK=KE，进一步在Rt△BKE和Rt△BKC中，由勾股定理可得：BK2=BE2-KE2=BC2-KC2建立方程求解即可得出HE的长.
17．（2025·鹿城模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】计算三个部分的值然后相加：1.任何数的零次方均为1；2.负数的平方为正数；3.求64的平方根.
18．（2025·鹿城模拟）先化简再求值：，其中．
【答案】解：原式
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的加减法和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题.
19．（2025·鹿城模拟）如图，在中，，在边BC上取一点，使得，在AD上取一点，使得，连接CE．
（1）求证：．
（2）若，求CE的长．
【答案】（1），
．
，
．
（2），
．
，
．
，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据SAS可证明结论；
(2)根据(1)的结论可推出结果.
20．（2025·鹿城模拟）某校举办手工创意比赛，有30名学生报名参加．参赛作品的评分项目包括创意、技巧和完成度，并依次按5：3：2比例计算总评成绩．各项目得分为六位评委评分的平均数．下表是小聪、小慧的项目得分和总评成绩表，其中六位评委给小慧打出的创意项目分数如下（单位：分）：89，88，86，87，84，82．下图是30名学生的总评成绩频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
小聪、小慧的项目得分和总评成绩表（单位：分）
选手 项目得分 总评成绩
创意 技巧 完成度
小聪 66 70 78 69.6
小慧 a 80 70 b
（1）求a，b的值．
（2）学校根据总评成绩选出前15名评为校园手工达人，判断小聪、小慧能否入选，并说明理由．
【答案】（1）解：，
．
（2）解：前15名的总评成绩大于等于总评成绩的中位数，中位数落在之间，而小聪不能入选．小慧能入选．
（言之有理即可）
【知识点】统计表；加权平均数及其计算
【解析】【分析】(1)根据加权平均数的定义即可得到结论；
(2)根据统计图和统计表中的信息即可得到结论.
21．（2025·鹿城模拟）如图，△ABC内接于，直径，点在上．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在上找一点，使得．
（2）在（1）的条件下，连接CD，已知，为了求，小明和小丽提出了各自的研究思路．请选择一种研究思路，求．
小明的研究思路 小丽的研究思路
连接DO并延长交于点，连接CF，求出即可． 记CD交AB于点，连接OC，求出sin∠AOC即可．
【答案】（1）如图1，即为所求角．
（2）①选择小明的研究思路，如图2，
是直径，
．
在Rt中，．
．
②选择小丽的研究思路，如图3，
由（1）可得，
．
在Rt中，．
，
．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)以A点为圆心，AC为半径画弧交⊙O于点D，连接DP即可求解；
(2)小明的研究思路：在Rt△CDF中，求出sin∠CFD，根据圆周角定理得出∠CPD=∠CFD，即可求解；
小丽的研究思路：由(1)可得，根据垂径定理得到AB⊥CD，，在Rt△OCE中得到，根据等边对等角、三角形的外角的性质以及圆周角定理，从而得到sin∠CPD的值.
22．（2025·鹿城模拟）数学应用：小光骑着某款变速自行车先沿平路，再沿斜坡向上骑行．
素材一 如图，该款自行车前链轮齿数为40齿，后链轮齿数可设定在齿之间（包含边界值），齿轮比.
素材二 记车速为（米／秒）、踩踏转速为（转／分钟）、齿轮比为，已知v，n，i满足．
素材三 小光平路骑行时后链轮齿数为24齿，车速为6米／秒．
（1）求小光平路骑行时的踩踏转速．
（2）小光在上坡的骑行车速与在平路一样，上坡的踩踏转速比平路减少了转／分钟（包含边界值），求上坡的后链轮齿数的设定范围．
【答案】（1）解：前链轮齿数为40齿，后链轮齿数为24齿，
．
将代入得．
解得．
答：小光平路骑行时的踩踏转速为90转／分钟．
（2）解：设后链轮齿数为齿，
将代入得，
．
上坡时踩踏转速降低转／分钟（包括边界值），
．
当时，，当时，，
且，
当时，随的增大而增大，
．
答：后链轮齿数的设定范围为（包括边界值）
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】(1)先求出，再根据公式列出分式方程求解即可；
(2)上坡的踩踏转速为75~60转/分钟，再根据公式求解即可.
23．（2025·鹿城模拟）已知抛物线（a，b为常数）经过点．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当时，记函数的最大值为，最小值为．
①当时，求的值．
②当时，求证：．
【答案】（1）把和代入，
得解得
函数表达式为．
（2）①当时，，
由（1）得：，得抛物线的对称轴为直线．
当时，函数的最小值．
②当时，，
，
，
当时，，
，
当时，随的增大而增大，
当时．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)把已知点A(1，0)、B(4，3)代入抛物线方程，得到关于a、b的方程组，解方程组即可确定a、b的值，从而得出函数表达式；
(2)①当t=5时，求最小值N：先将抛物线表达式配方，确定对称轴，再根据t=5得出x的取值范围，结合二次函数性质，在对称轴处取得最小值；
② 包含顶点x=2，最小值N=-1，最大值M出现在端点x=t处，计算M-N并化简为(t-2)2，利用t≥4证明其最小值为4.
24．（2025·鹿城模拟）如图，在矩形ABCD中，过点作．连接BE交边AD于点，连接BF交边CD于点．
（1）［认识图形］求证：．
（2）［研究特例］若，直接写出与的值．
（3）［探索关系］若（是常数），设，求关于的函数表达式．
（4）［应用结论］若，求AB的长．
【答案】（1）解：矩形ABCD，
．
．
，
．
．
．
（2）
（3）解：作于点，作于点，
，
．
，
．
，
，
．
．
．
又，
．
．
．
．
（4）解：，
，
，
．
，
．
，
．
【知识点】矩形的性质；四边形的综合；8字型相似模型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(2)∵矩形ABCD，
∴∠A=90°，
∴，
过点E作EP⊥AD于P，过点F作FQ⊥CD于Q，
则∠EPD=∠EPA=90°=∠A，
又∵∠ABD=∠EDA，
∴△EPD~△DAB，
∴
∴
∵∠AGB=∠EGP，∠A=∠EPG，
∴△BAG~△EPG，
∴
同理可证△FQD~△DCB，
∴
∴，
∴∠C=∠FQH-90°，∠BHC=∠FHQ，
∴△BCH~△FQH
∴.

【分析】(1)利用矩形的性质与余角的性质可得出结论；
(2)过点E作EP⊥AD于P，过点F作FQ⊥CD于Q，证明△EPD~△DAB，进而可求出，再证明△BAG~△EPG，得出，可求解；同理可证△FQD~△DCB，求出，再证明△BCH~△FQH，得可求解；
(3)证明△BAG~△FPG，得，证明△BCH~△FQH，得，再证明△EPD △DQF(AAS)，得EP=DQ，DP=FQ，则，然后根据，，而∠ABD=∠EDP，得，代入即可得出结论；
(4)根据y=n2x求得，从而求得，不规则由勾股定理，得EP2+DP2=DE2，求得，根据，即，即可求解.
1 / 1浙江省温州市鹿城区2025年九年级下学期数学学生学科素养检测
1．（2025·鹿城模拟）工厂检测四个零件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（　　）
A．+1.3 B．-2.1 C．+0.1 D．-0.8
2．（2025·鹿城模拟）人工智能模型的参数量越大，理解能力越强．Deepseek V3－0324模型参数可达685000000000个，其中数685000000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·鹿城模拟）一个不透明的袋子里装有1个红球和3个白球，它们除颜色外均相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·鹿城模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·鹿城模拟）下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·鹿城模拟）如图，在直角坐标系中，已知点，线段AB向上平移后，A，B的对应点分别为，若四边形是正方形，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·鹿城模拟）某企业生产一批工艺品，为了尽快完成任务，实际每天生产工艺品比原计划多200个．已知实际生产3000个工艺品与原计划生产1800个所用的时间相同，若设原计划每天生产个工艺品，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·鹿城模拟）如图，内接于是的切线，连接CO并延长交弦AB于点．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·鹿城模拟）如图，在中，，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，点B，D关于EG对称，点C，D关于FH对称．若要求出的周长，只需知道（　　）
A．AE和AF的长 B．BE和CF的长 C．EG和FH的长 D．BG和CH的长
10．（2025·鹿城模拟）小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系，则图中的值为（　　）
A．22 B．22.5 C．23 D．23.5
11．（2025·鹿城模拟）因式分解：　 　．
12．（2025·鹿城模拟）若扇形的圆心角为，半径为2，则它的面积为　 　．
13．（2025·鹿城模拟）如图是甲、乙两人10次实心球训练成绩的折线统计图，对比方差发现，则图中折线A表示　 　的成绩．（填“甲”或“乙”）
14．（2025·鹿城模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　 　．
15．（2025·鹿城模拟）如图，当阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例．动力与动力臂的部分数据如表所示，则表中的值为　 　．
… 3 …
… …
16．（2025·鹿城模拟）如图，在菱形ABCD中，是对角线AC上一点，连接BE，将绕着点旋转，点的对应点落在边AD上，点的对应点落在边AB上，BF与AC交于点．若是AD的中点，则HE的长为　 　．
17．（2025·鹿城模拟）计算：．
18．（2025·鹿城模拟）先化简再求值：，其中．
19．（2025·鹿城模拟）如图，在中，，在边BC上取一点，使得，在AD上取一点，使得，连接CE．
（1）求证：．
（2）若，求CE的长．
20．（2025·鹿城模拟）某校举办手工创意比赛，有30名学生报名参加．参赛作品的评分项目包括创意、技巧和完成度，并依次按5：3：2比例计算总评成绩．各项目得分为六位评委评分的平均数．下表是小聪、小慧的项目得分和总评成绩表，其中六位评委给小慧打出的创意项目分数如下（单位：分）：89，88，86，87，84，82．下图是30名学生的总评成绩频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
小聪、小慧的项目得分和总评成绩表（单位：分）
选手 项目得分 总评成绩
创意 技巧 完成度
小聪 66 70 78 69.6
小慧 a 80 70 b
（1）求a，b的值．
（2）学校根据总评成绩选出前15名评为校园手工达人，判断小聪、小慧能否入选，并说明理由．
21．（2025·鹿城模拟）如图，△ABC内接于，直径，点在上．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在上找一点，使得．
（2）在（1）的条件下，连接CD，已知，为了求，小明和小丽提出了各自的研究思路．请选择一种研究思路，求．
小明的研究思路 小丽的研究思路
连接DO并延长交于点，连接CF，求出即可． 记CD交AB于点，连接OC，求出sin∠AOC即可．
22．（2025·鹿城模拟）数学应用：小光骑着某款变速自行车先沿平路，再沿斜坡向上骑行．
素材一 如图，该款自行车前链轮齿数为40齿，后链轮齿数可设定在齿之间（包含边界值），齿轮比.
素材二 记车速为（米／秒）、踩踏转速为（转／分钟）、齿轮比为，已知v，n，i满足．
素材三 小光平路骑行时后链轮齿数为24齿，车速为6米／秒．
（1）求小光平路骑行时的踩踏转速．
（2）小光在上坡的骑行车速与在平路一样，上坡的踩踏转速比平路减少了转／分钟（包含边界值），求上坡的后链轮齿数的设定范围．
23．（2025·鹿城模拟）已知抛物线（a，b为常数）经过点．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当时，记函数的最大值为，最小值为．
①当时，求的值．
②当时，求证：．
24．（2025·鹿城模拟）如图，在矩形ABCD中，过点作．连接BE交边AD于点，连接BF交边CD于点．
（1）［认识图形］求证：．
（2）［研究特例］若，直接写出与的值．
（3）［探索关系］若（是常数），设，求关于的函数表达式．
（4）［应用结论］若，求AB的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得各数的绝对值分别为1.3，2.1，0.1，0.8，
∵0.1<0.8<1.3<2.1，
∴最接近标准质量的是+0.1，
故答案为：C.
【分析】根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值后比较大小即可.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：685000000000=6.85×1011，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵总共有4个球，其中红球有1个，摸到每个球的可能性都相等，
∴摸到红球的概率
故答案为：D.
【分析】根据红球可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据主视图是三角形，圆柱和球不符合题意，A，B错误；根据俯视图是圆，三棱锥不符合题意，C错误，
故答案为：D.
【分析】根据三视图即可求解.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A，因为2a3和a3是同类项，所以2a3+a3=3a3，故A错误；
B，2a3·a3=2a6，故B正确；
C，(2a3)3=8a9，故C错误；
D，2a3÷a=2a2，故D错误.
故答案为：B.
【分析】A，合并同类项时，将同类项的系数相加减，字母部分保持不变，据此判断A；
B，同底数幂的乘法法则是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；
C，根据幂的乘方法则判断C；
D，系数相除，同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.
6．【答案】B
【知识点】正方形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点A(0，2)，B(4，2)
∴AB//x轴，AB=4，
∵将线段AB向上平移后，得到四边形ABB'A是正方形
∴AA'=4，点A'在y轴上，
∴OA'=AA'+OA=4+2=6，
∴点A'的坐标为(0，6).
故答案为：B.
【分析】根据点A(0，2)，B(4，2)得AB//x轴，AB=4，再根据平移的性质及正方形的性质得AA'=4，点A'在y轴上，进而得OA'=AA'+OA=6，由此即可得出点A'的坐标.
7．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天生产x个工艺品，则实际每天生产(x+20)个，
根据实际生产3000个工艺品与原计划生产1800个所用的时间相同得：
故答案为：C.
【分析】设原计划每天生产x个工艺品，则实际每天生产(x+20)个，根据实际生产3000个工艺品与原计划生产1800个所用的时间相同列出方程即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接BO，
∵
∴∠BOC=80°
∴
∵CE是⊙O的切线，
∴∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠DCE-∠ACE=90°-α，
∴∠CDB=∠A+∠DCA=40°+90°-α=130°-α，
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理得到∠A=40°，根据切线的性质得到∠DCA=90°-α，由三角形外角和的性质即可求解.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点B，D关于EG对称，点C，D关于FH对称，
∴DE=BE，DF=CF，∠B=∠BDE，∠C=∠CDF
∴∠BDE+∠CDF=∠B+∠C
∵∠A=60°
∴∠BDE+∠CDF=∠B+∠C=180°-∠A=120°
∴∠EDF=180°-(∠BDE+∠CDF)=60°，
∴△DEF的周长DE+DF+EF=BE+DF+CF
设DE=BE=2a，DF=CF=b，
如图，过点E作FP⊥DF于点P，
∴∠DEP=30°
∴
∴，PF=b-a，
∴，
∴△DEF的周长DE+DF+EF=4a2-2ab+b2+2a+b.
∴△DEF的周长只与BE，CF的长有关，
故答案为：B.
【分析】根据对称性可得DE=BE，DF=CF，∠B=∠BDE，∠C=∠CDF，从而得到∠BDE+∠CDF=∠B+∠C，再由三角形内角和定理可得∠BDE+∠CDF=120°，从而得∠EDF=60°，设DE=HE=2a，DF=CF=b，过点E作EP⊥DF于点P，根据直角三角形的性质可得，，PF=b-a，EF=4a2-2ab+b2，即可求解.
10．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可得，
小鹿的速度为1÷5=0.2(千米/分钟)
小鹿行完全程的时间为4.5÷0.2=22.5(分钟)
在休息点休息的时间为25-22.5=2.5(分钟)
小鹿与小晨的速度差为1÷(15-5)=0.1(千米/分钟)，
小晨的速度为0.1+0.2=0.3(千米/分钟)，
小晨行完全程的时间为4.5÷0.3=15(分钟)，
图书馆到休息点的路程为0.2×15=3(千米)
小晨从休息点到公园的时间为(4.5-3)÷0.3=5(分钟)
m=15+2.5÷5=22.5.
故答案为：B.
【分析】由两人相距的路程s(千米)与小鹿所用时间t(分)之间的函数关系图象可得小鹿的速度为0.2千米/分钟，小晨的速度为0.3千米/分钟，休息的时间为25分钟，小晨从休息点到公园的时间为5分钟，即得m的值.
11．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：a2+10a+25=(a+5)2，
故答案为：(a+5)2.
【分析】根据完全平方公式分解因式.
12．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：.
【分析】利用扇形的面积公式进行计算即可.
13．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图可知折线A表示的成绩波动较大，
由可知甲的成绩波动比乙的成绩波动大，
∴折线A表示甲的成绩，
故答案为：甲.
【分析】利用折线统计图可判断折线A表示的成绩波动较大，根据方差的意义可知甲的成绩波动比乙的成绩波动大，即可求解.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得 =12-4×2m=0，
解得
故答案为：.
【分析】根据判别式的意义得到 =12-4×2m=0，然后解一次方程即可.
15．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵当阻力与阻力臂一定时，动力F(N)与动力臂(cm)成反比例，
∴设动力F(N)与动力臂L(cm)的解析式为，
把F=a时，L=b，F=3a时，L=b-5代入得，
k=ab=3a(b-5)，
解得
故答案为：.
【分析】设动力F(N)与动力臂L(cm)的解析式为，把F=a时，L=b，F=3a时，L=b-5代入得到k=ab=3a(b-5)，求解即可.
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵△BCE旋转得到△BFG，
∴△BCE △BFG，
∴BC=BF，∠ABH=∠CBE
∵ABCD是菱形，BC=12，
∴AD=BC=AB=CD=12，AD//BC
∴∠DAC=∠BCH，∠AFH=∠CBH，
∴△AFH∽△CBH
∵F是AD的中点，
∴
∴，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
在△ABH和△CBE中，
∴△ABH≌△CBE(ASA)，
∴BH=BE=8，AH=EC，
∵
∴AH=HE=EC，
过B作BK⊥HE交于点K，
∵BH=BE=8，HE=EC
由等腰三角形三线合一可得HK=KE，
设HK=KE=x，EC=HE=2x，
在Rt△BKE和Rt△BKC中，由勾股定理可得：
BK2=BE2-KE2=BC2-KC2
∴82-x2=122-(x+2x)2，
解得(舍去)或，
∴，
故答案为：.
【分析】证明△AFH∽△CBH和△ABH≌△CBE(ASA)，并根据等腰三角形三线合一得出HK=KE，进一步在Rt△BKE和Rt△BKC中，由勾股定理可得：BK2=BE2-KE2=BC2-KC2建立方程求解即可得出HE的长.
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】计算三个部分的值然后相加：1.任何数的零次方均为1；2.负数的平方为正数；3.求64的平方根.
18．【答案】解：原式
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的加减法和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题.
19．【答案】（1），
．
，
．
（2），
．
，
．
，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据SAS可证明结论；
(2)根据(1)的结论可推出结果.
20．【答案】（1）解：，
．
（2）解：前15名的总评成绩大于等于总评成绩的中位数，中位数落在之间，而小聪不能入选．小慧能入选．
（言之有理即可）
【知识点】统计表；加权平均数及其计算
【解析】【分析】(1)根据加权平均数的定义即可得到结论；
(2)根据统计图和统计表中的信息即可得到结论.
21．【答案】（1）如图1，即为所求角．
（2）①选择小明的研究思路，如图2，
是直径，
．
在Rt中，．
．
②选择小丽的研究思路，如图3，
由（1）可得，
．
在Rt中，．
，
．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)以A点为圆心，AC为半径画弧交⊙O于点D，连接DP即可求解；
(2)小明的研究思路：在Rt△CDF中，求出sin∠CFD，根据圆周角定理得出∠CPD=∠CFD，即可求解；
小丽的研究思路：由(1)可得，根据垂径定理得到AB⊥CD，，在Rt△OCE中得到，根据等边对等角、三角形的外角的性质以及圆周角定理，从而得到sin∠CPD的值.
22．【答案】（1）解：前链轮齿数为40齿，后链轮齿数为24齿，
．
将代入得．
解得．
答：小光平路骑行时的踩踏转速为90转／分钟．
（2）解：设后链轮齿数为齿，
将代入得，
．
上坡时踩踏转速降低转／分钟（包括边界值），
．
当时，，当时，，
且，
当时，随的增大而增大，
．
答：后链轮齿数的设定范围为（包括边界值）
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】(1)先求出，再根据公式列出分式方程求解即可；
(2)上坡的踩踏转速为75~60转/分钟，再根据公式求解即可.
23．【答案】（1）把和代入，
得解得
函数表达式为．
（2）①当时，，
由（1）得：，得抛物线的对称轴为直线．
当时，函数的最小值．
②当时，，
，
，
当时，，
，
当时，随的增大而增大，
当时．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)把已知点A(1，0)、B(4，3)代入抛物线方程，得到关于a、b的方程组，解方程组即可确定a、b的值，从而得出函数表达式；
(2)①当t=5时，求最小值N：先将抛物线表达式配方，确定对称轴，再根据t=5得出x的取值范围，结合二次函数性质，在对称轴处取得最小值；
② 包含顶点x=2，最小值N=-1，最大值M出现在端点x=t处，计算M-N并化简为(t-2)2，利用t≥4证明其最小值为4.
24．【答案】（1）解：矩形ABCD，
．
．
，
．
．
．
（2）
（3）解：作于点，作于点，
，
．
，
．
，
，
．
．
．
又，
．
．
．
．
（4）解：，
，
，
．
，
．
，
．
【知识点】矩形的性质；四边形的综合；8字型相似模型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(2)∵矩形ABCD，
∴∠A=90°，
∴，
过点E作EP⊥AD于P，过点F作FQ⊥CD于Q，
则∠EPD=∠EPA=90°=∠A，
又∵∠ABD=∠EDA，
∴△EPD~△DAB，
∴
∴
∵∠AGB=∠EGP，∠A=∠EPG，
∴△BAG~△EPG，
∴
同理可证△FQD~△DCB，
∴
∴，
∴∠C=∠FQH-90°，∠BHC=∠FHQ，
∴△BCH~△FQH
∴.

【分析】(1)利用矩形的性质与余角的性质可得出结论；
(2)过点E作EP⊥AD于P，过点F作FQ⊥CD于Q，证明△EPD~△DAB，进而可求出，再证明△BAG~△EPG，得出，可求解；同理可证△FQD~△DCB，求出，再证明△BCH~△FQH，得可求解；
(3)证明△BAG~△FPG，得，证明△BCH~△FQH，得，再证明△EPD △DQF(AAS)，得EP=DQ，DP=FQ，则，然后根据，，而∠ABD=∠EDP，得，代入即可得出结论；
(4)根据y=n2x求得，从而求得，不规则由勾股定理，得EP2+DP2=DE2，求得，根据，即，即可求解.
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