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浙江省杭州市采荷中学2025年下学期4月月考九年级数学试题
1．（2025九下·杭州月考）的相反数是（　　）
A．2025 B． C．-2025 D．1
2．（2025九下·杭州月考）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·杭州月考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·杭州月考）如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·杭州月考）实数a、b在数轴上位置如图所示，则下列结论不正确的是（　　）
A．a＞-1 B． C． D．
6．（2025九下·杭州月考）对于一组数据：85，95，85，80，80，85，下列说法不正确的是（　　）
A．平均数为85 B．众数为85
C．中位数为82.5 D．方差为25
7．（2025九下·杭州月考）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（　　）
A．3尺 B．3.2尺 C．3.6尺 D．4尺
8．（2025九下·杭州月考）若点（其中都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九下·杭州月考）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上点处，得到折痕BM，BM与EF相交于点．若直线交直线CD于点，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．2
10．（2025九下·杭州月考）如图，在矩形ABCD中，是边CD上的一动点，以AE为直径的经过BC边上的一点．若使最小，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
11．（2025九下·杭州月考）函数中自变量的取值范围是　 　．
12．（2025九下·杭州月考）分解因式： 　 　
13．（2025九下·杭州月考）如图，小南向图中的正方形网格内随意放一枚棋子，使之落在阴影部分的概率为　 　．
14．（2025九下·杭州月考）如图，AB为的直径，的平分线交于点，则　 　．
15．（2025九下·杭州月考）如图，的半径为3，作正六边形，点B，点F在上，若图中阴影部分扇形恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为　 　．
16．（2025九下·杭州月考）如图，在Rt中，是的平分线，将BD以为中心，逆时针旋转，点的对应点为．则AE的长度为　 　．
17．（2025九下·杭州月考）计算：
18．（2025九下·杭州月考）解不等式组：
19．（2025九下·杭州月考）如图，在△ABC中，是BC边上的中线，．
（1）求BC的长；
（2）求的值．
20．（2025九下·杭州月考）某校丰富课间活动，为了了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类活动项目中，你最喜爱的是（　　） A．田径项目 B．游戏项目 C．球类项目 D．健身项目 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的球类项目是 E．篮球 F．足球 G．羽毛球 H．其他
（注：此调查问卷为示例，考生不必选填）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱的球类项目学生中更关注篮球的有多少人？
（2）该校共有1500名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱田径项目的学生人数．
21．（2025九下·杭州月考）小丽和小明在研究一个尺规作图问题．
如图1，在四边形ABCD中，．用直尺和圆规作，交边BC于点E．
小丽：如图2，以点为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点，连接DE，则．
小明：如图3，以点为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点，连接DE，则．
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）；
①小丽的作法　 　；
②小明的作法　 　．
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程）
22．（2025九下·杭州月考）某校无人机社团进行表演训练，甲无人机以米／秒速度从地面起飞匀速上升，同时乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞下降，8秒时甲，乙无人机分别到达各自训练计划指定的高度开始表演，24秒时乙无人机完成表演动作，以米／秒的速度继续飞行上升，30秒时与甲无人机汇合，此时距离地面的高度为米，甲、乙无人机以相同的速度下降返回地面。甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题．
（1）　 　，　 　．
（2）求线段MN所在直线的函数表达式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为2米？（直接写出答案）
23．（2025九下·杭州月考）如图，二次函数的图象与轴交于点A，B两点，与轴交于点，其对称轴是直线，点A的坐标为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度，恰好落在的图象上，求的值；
（3）当时，若二次函数的最大值和最小值的差为3，求的值．
24．（2025九下·杭州月考）在△ABC中，已知AD平分，且是AC边上一点且满足，圆过C，D，E三点．
（1）如图1，若CD为圆的直径，求的度数．
（2）如图2，若圆与AD相交于点，连接CF，求证：
①；
②．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是.
故答案为：B.
【分析】相反数的定义是：若两个数的和为0，则这两个数互为相反数.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000102=1.02×10-7．
故答案为：A.
【分析】用科学记数法表示绝对值非常小的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.(x2)3=x6，原选项计算错误，故不符合题意；
B.x8÷x2=x6，原选项计算错误，故不符合题意；
C.x2+x3≠x5，原选项计算错误，故不符合题意；
D.x2·x3=x5，计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、幂的乘方运算法则分别求出各项的结果再进行判断即可得到结果.
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
5．【答案】D
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据图示，可得：-11，
∵a>-1，
∴选项A不符合题意；
∵b>1
∴选项B不符合题意 ；
∵-11
∴|a|<1，|b|>1，
∴|a|<|b|，
∴选项C不符合题意；
∵b>1，
∴-b<-1，
又∵-1∴a>-b，
∴选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上实数a和b的位置，确定它们的取值范围，并利用这些范围来判断选项的正确性.
6．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：数据重新排列为80，80，85，85，85，95，
则这组数据的平均数为，故A选项正确；
众数为85，故B正确；
中位数为，故C选项错误；
方差为，故D选项正确；
故答案为：C.
【分析】对数据的平均数，众数，中位数及方差依次判断即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面的长度为x尺，则斜边为（10-x）尺，
由勾股定理可得：
解得x=3.2，
故 折断处离地面的高度为 3.2尺.
故答案为：B.
【分析】设竹子折断处离地面的长度为x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可求解.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的k=-5<0，
∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵1∴点A(m-5，y1)在第二象限，y1>0，B(m-1，y2)和C(m+5，y3)在第四象限，
∵m-1∴y2∴y2故答案为：B.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
由折叠得∠BA'M=∠BAM=90°，
点B与A关于直线BM对称，点A'与点A关于直线BM对称，
∴EF垂直平分AB，BM垂直平分AA'，
∴AN=BN，AN=A'N，AM=A'M，
∴BN=A'N，
∴∠NBA'=∠NA'B，
∵∠AMN+∠NBA=90°，∠MA'N+∠NA'B=90°，
∴∠A'MN=∠MA'N，
∴MN=AN，
∴BN=MN，
∵BE=AE，
∴EN//AM，，
∴AM=2EN=2×1=2，
∴A'M=2，
∵∠AMN=∠A'MN，∠AMN=∠A'NM，
∴∠A'MN=∠A'NM，
∴A'N=A'M=2，
∴BN=A'N =2，
∵∠BEN=90°，
∴，
故答案为：B.
【分析】由折叠得∠B'AM=∠BAM=90°，EF垂直平分AB，BM垂直平分AA'，则AN=BN，AN=A'N，AM=A'M，所以BN=A'N，则∠NBA'=∠NA'B，即可推导出∠A'MN=∠MA'N，则MN=A'N，所以BN=MN，由三角形的中位线定理得EN//AM，，则AM=2EN=2，再证明∠A'MN=∠A'NM，则A'N=A'M=2，所以BN=A'N=2，由勾股定理即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：由题意知：当∠DAE最小时，以AE为直径的⊙O与BC相切于点F，如图，
设⊙O与AB交于点G，连接EG，OF，EG与OF交于点H，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠C=90°，AD=BC，AB=CD
∵AE为直径，
∴∠AGE=90°
∴∠BGE=90°
∴四边形BCEG为矩形，
∴BG=EC，
∵BC为⊙O的切线，
∴OF⊥BC，
∴OF//AB//CD，
∴OF为梯形ABCE的中位线，
∴
∵
∴设AB=3k，则BC=4k，设BG=EC=x，则DE=3k-x，，
∴AE=2OF=3k+x.
在Rt△ADE中，
∵AD2+DE2=AE2，
∴(4k)2+(3k-x)2=(3k+x)2
解得：
∴
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】由题意知：当∠DAE最小时，以AE为直径的⊙O与BC相切与点F，设⊙O与AB交于点G，连接EG，OF，EG与OF交于点H，设AB=3k，则BC=4k，设BG=EC=x，则DE=3k-x，，AE=2OF=3k+x；利用矩形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理和勾股定理求得x值，则结论可得.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-7≥0，
解得x≥7，
故答案为：x≥7.
【分析】平方根的被开方数必须非负，直接建立不等式求解.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
＝b（a2 1）
＝b（a＋1）（a 1）．
故答案为b（a＋1）（a 1）．
【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
13．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：S正方形=4×4=16，
，
∴落在阴影部分的概率为.
故答案为：.
【分析】求出正方形和阴影的面积，即可求出.
14．【答案】45°
【知识点】角平分线的概念；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45°
故答案为：45°.
【分析】先根据圆周角定理的推论“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”证得∠ACB=90°，从而利用角平分线的定义求得∠ACD的度数.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；圆锥的计算；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵正六边形的外角和为
∴每一个外角的度数为
∴正六边形的每个内角为
设这个圆锥底面圆的半径是，
根据题意得，
解得：
∴这个圆锥高
故答案为：
【分析】先根据多边形的外交求出内角的度数，进而根据圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长即可求解。
16．【答案】
【知识点】角平分线的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC，交CA的延长线于点F，
∵AC=8，BC=6，∠C=90°，
∴，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DH⊥AB
∴DC=DH，
∵S△ABC=S△DCB+S△ADB，
∴，
∴CD=3=DH
∴AD=5，
∵将BD以D为中心，逆时针旋转90°，
∴DE=DB，∠EDB=90°
∴∠EDF+∠BDC=90°=∠BDC+∠DBC，
∴∠EDF=∠DBC，
在△EDF和△BDC中，
∴△EDF △BDC(AAS)
∴EF=DC=3，FD=BC=6，
∴AF=1，
∴
故答案为：.
【分析】过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC，交CA的延长线于点F，由角平分线的性质和面积法可求DC的长，由“AAS”可证△EDF △BDC，可得EF=DC=3，FD=BC=6，由勾股定理可求解.
17．【答案】解：原式=4+2-3
=3.
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】原式利用绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及立方根定义计算即可得到结果.
18．【答案】解：解不等式2(x-1)>7-x得，
x>3，
解不等式得，
x>12，
∴不等式的解集为x>12.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】将两个不等式分别求解，再同大取大即可得出答案.
19．【答案】（1）解：AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°
在Rt△ADC中，由勾股定理得
.
在Rt△ABD中，
∴BD=8.
∴BC=BD+CD=14.
（2）解：∵AE是BC边上的中线，
∴.
∴DE=BD-BE=1，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
∴.
【知识点】勾股定理；求正弦值；已知正切值求边长；三角形的中线
【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出CD的长，解直角三角形求出BD的长，据此可得答案；
(2)根据三角形中线的定义求出BE的长，进而求出DE，再利用勾股定理求出AF的长，最后利用正弦的定义求解即可.
20．【答案】（1）解：80×40%=32人，
答：本次调查中最喜爱的球类项目学生中更关注篮球的有32人.
（2）解：人，
答：估计该校最喜爱田径项目的学生人数为405人.
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)用本次调查中最喜爱球类项目的学生人数乘以更关注篮球的人数所占的百分比即可求解；
(2)用1500乘以样本中该校最喜爱田径项目的学生人数所占的百分比即可求解.
21．【答案】（1）正确；正确
（2）解：如图2中，
∵∠A=∠B=90°，
∴∠A+∠B=180，
∴AD//BC，
∵AD=BE，AD//BE，
∴四边形ABED是平行四边形
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABED是矩形
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥BC，故小丽的作法正确；
如图3中，连接AE，BD.
∵∠BAD=∠ABE=90°，AB=BA，AE=BD，
∴Rt△ABD Rt△BAE(HL)，
∴AD=BE，
由上面的结论可知DE⊥BC.
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：(1)小丽和小明的作法正确，
故答案为：正确，正确.
【分析】(1)根据矩形的判定和性质判断即可；
(2)证明四边形ABED是矩形可得结论.
22．【答案】（1）3；24
（2）解：设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+n(k、n为常数，且k≠0)
将坐标M(0，20)和N(8，16)分别代入y=kx+n，
得，
解得，
∴线段MN所在直线的函数表达式为
（3）解：当0≤x≤8时，设甲无人机y与x之间的函数关系式为y=k1x，把(8，24)代入得：24=8k1，
解得：k1=3，
∴甲无人机y与x之间的函数关系式为y=3x，
当24≤x≤30时，设乙无人机y与x之间的函数关系式为：y=k'x+b'，把(24，16)，(30，24)代入得：
解得：
∴乙无人机y与x之间的函数关系式为，
当0≤x≤8时，它们距离地面的高度差为2m时，得
，
解得或；
当24≤x≤30时，它们距离地面的高度差为2m时，得
，
解得
答：两架无人机表演训练到或或时，它们距离地面的高度差为2m.
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)30s时乙无人机距离地面的高度为
(m)，
∴b=24，
∴前8s甲无人机的速度为24÷8=3(m/s)，
∴a=3，
故答案为：3，24.
【分析】(1)根据路程=速度×时间求出30s时乙无人机距离地面的高度，即b的值；再根据速度=路程÷时间求出a的值即可；
(2)利用待定系数法解答即可；
(3)先计算甲、乙两架无人机y与x之间的函数关系式，分别计算当0≤x≤8、24≤x<30时，它们距离地面的高度差为2m时对应x的值即可.
23．【答案】（1）解：∵二次函数的对称轴是直线x=1，
∴
∴b=-2
将A(-1，0)代入y=x2-2x+c中，解得c=-3
∴二次函数的表达式为
（2）解：由(1)可知点B坐标为(3，0)，
点B向上平移2个单位长度，向左平移m(m>0)个单位长度后得到(3-m，2)，
∵恰好落在二次函数的图象上，
∴2=(3-m)2+(3-m)+3，
∵m>0，
∴的值为
（3）解：①当t≤1时，x=t时y取最大值，x=t-1时y取最小值，
∵最大值和最小值的差为3，
∴-t2+2t+3-[-(t-1)2+2(t-1)+3]=3，
解得t=0；
②当t-1<1x=1时y取最大值4，x=t-1时y取最小值，
∴4-[-(t-1)2+2(t-1)+3]=3，
解得(舍去)或(舍去)；
③当t-1<11-(t-1)，即时，
x=1时y最大值是4，x=t时y取最小值；
∴4-(-t2+2t+3)=3，
解得(舍去)或(舍去)；
④当t-1≥1，即t≥2时，x=t-1时y最大，x=t时y最小，
∴-(t-1)2+2(t-1)+3-(-t2+2t+3)=3，
解得t=3；
综上所述，t的值为0或3.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)二次函数的对称轴是直线x=1，则，故b=-2，将A(-1，0)代入y=x2-2x+c中，即可求解；
(2)根据平移的性质，求出点 B平移后的坐标，再代入二次函数的解析式中，即可求出m的值；
(3)根据区间位置判断极值点，分区间在顶点方侧、包含顶点、右侧三种情况，计算最大值与最小值的差值，解方程求t.
24．【答案】（1）解：∵CD为圆O的直径
∴∠DEC=90°，即DE⊥AC
∵AD=CD，
∴∠EDA=∠EDC
∵∠ADB=∠EDC
∴∠ADB=∠EDC=∠EDA，
∵∠ADB+∠EDC+∠EDA=180°，
∴∠ADB=∠EDC=∠EDA=60°，
∴∠C=180°-∠EDC-∠DEC=30°.
（2）证明：①连接DE、EF，
∵点D、C、E、F都在圆O上，
∴∠EDC=∠EFC，∠ECD+∠DFE=180°，
∵∠AFE+∠DFE=180°，
∴∠ECD=∠AFE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠CAD，
∴∠DAC=∠CAD=∠AFE，
∴∠ADB=∠DAC+∠ACD=2∠DAC，
∴∠FEC=∠EAF+∠AFE=2∠EAF=2∠CAD，
∴∠ADB=∠FEC
∵∠ADB=∠EDC，
∴∠EDC=∠FEC=∠EFC，
∴CE=CF；
②由①可得：∠BAD=∠ECD，
∵∠ADB=∠EDC，AD=CD，
∴△ABD≌△CED(ASA)，
∴AB=CE，
∵CE=CF，
∴AB=CF
∵∠BAD=∠BCA，∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA
∴
∴BD·BC=AB2，
∴CF2= BD·BC
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)由圆周角定理可得∠DEC=90°，即DE⊥AC，由等腰三角形的性质结合题意可得∠ADB=∠EDC=∠EDA，由∠ADB+∠EDC+∠EDA=180°，得出∠ADB=∠EDC=∠EDA=60°，最后由三角形内角和定理计算即可得解；
(2)①连接DE、EF，由圆周角定理可得∠EDC=∠EFC，证明∠ECD=∠AFE，由角平分线的定义结合等边对等角得出∠DAC=∠CAD=∠AFE，由三角形外角的定义及性质结合题意得出∠EDC=∠FEC=∠EFC，即可得证；
②由①可得：∠BAD=∠ECD，证明△ABD≌△CED(ASA)，得出AB=CF，证明△ABD∽△CBA，得出，即BD·BC=AB2，即可得证.
1 / 1浙江省杭州市采荷中学2025年下学期4月月考九年级数学试题
1．（2025九下·杭州月考）的相反数是（　　）
A．2025 B． C．-2025 D．1
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是.
故答案为：B.
【分析】相反数的定义是：若两个数的和为0，则这两个数互为相反数.
2．（2025九下·杭州月考）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000102=1.02×10-7．
故答案为：A.
【分析】用科学记数法表示绝对值非常小的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
3．（2025九下·杭州月考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.(x2)3=x6，原选项计算错误，故不符合题意；
B.x8÷x2=x6，原选项计算错误，故不符合题意；
C.x2+x3≠x5，原选项计算错误，故不符合题意；
D.x2·x3=x5，计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、幂的乘方运算法则分别求出各项的结果再进行判断即可得到结果.
4．（2025九下·杭州月考）如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
5．（2025九下·杭州月考）实数a、b在数轴上位置如图所示，则下列结论不正确的是（　　）
A．a＞-1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据图示，可得：-11，
∵a>-1，
∴选项A不符合题意；
∵b>1
∴选项B不符合题意 ；
∵-11
∴|a|<1，|b|>1，
∴|a|<|b|，
∴选项C不符合题意；
∵b>1，
∴-b<-1，
又∵-1∴a>-b，
∴选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上实数a和b的位置，确定它们的取值范围，并利用这些范围来判断选项的正确性.
6．（2025九下·杭州月考）对于一组数据：85，95，85，80，80，85，下列说法不正确的是（　　）
A．平均数为85 B．众数为85
C．中位数为82.5 D．方差为25
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：数据重新排列为80，80，85，85，85，95，
则这组数据的平均数为，故A选项正确；
众数为85，故B正确；
中位数为，故C选项错误；
方差为，故D选项正确；
故答案为：C.
【分析】对数据的平均数，众数，中位数及方差依次判断即可.
7．（2025九下·杭州月考）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（　　）
A．3尺 B．3.2尺 C．3.6尺 D．4尺
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面的长度为x尺，则斜边为（10-x）尺，
由勾股定理可得：
解得x=3.2，
故 折断处离地面的高度为 3.2尺.
故答案为：B.
【分析】设竹子折断处离地面的长度为x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可求解.
8．（2025九下·杭州月考）若点（其中都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的k=-5<0，
∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵1∴点A(m-5，y1)在第二象限，y1>0，B(m-1，y2)和C(m+5，y3)在第四象限，
∵m-1∴y2∴y2故答案为：B.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.
9．（2025九下·杭州月考）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上点处，得到折痕BM，BM与EF相交于点．若直线交直线CD于点，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
由折叠得∠BA'M=∠BAM=90°，
点B与A关于直线BM对称，点A'与点A关于直线BM对称，
∴EF垂直平分AB，BM垂直平分AA'，
∴AN=BN，AN=A'N，AM=A'M，
∴BN=A'N，
∴∠NBA'=∠NA'B，
∵∠AMN+∠NBA=90°，∠MA'N+∠NA'B=90°，
∴∠A'MN=∠MA'N，
∴MN=AN，
∴BN=MN，
∵BE=AE，
∴EN//AM，，
∴AM=2EN=2×1=2，
∴A'M=2，
∵∠AMN=∠A'MN，∠AMN=∠A'NM，
∴∠A'MN=∠A'NM，
∴A'N=A'M=2，
∴BN=A'N =2，
∵∠BEN=90°，
∴，
故答案为：B.
【分析】由折叠得∠B'AM=∠BAM=90°，EF垂直平分AB，BM垂直平分AA'，则AN=BN，AN=A'N，AM=A'M，所以BN=A'N，则∠NBA'=∠NA'B，即可推导出∠A'MN=∠MA'N，则MN=A'N，所以BN=MN，由三角形的中位线定理得EN//AM，，则AM=2EN=2，再证明∠A'MN=∠A'NM，则A'N=A'M=2，所以BN=A'N=2，由勾股定理即可得出答案.
10．（2025九下·杭州月考）如图，在矩形ABCD中，是边CD上的一动点，以AE为直径的经过BC边上的一点．若使最小，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：由题意知：当∠DAE最小时，以AE为直径的⊙O与BC相切于点F，如图，
设⊙O与AB交于点G，连接EG，OF，EG与OF交于点H，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠C=90°，AD=BC，AB=CD
∵AE为直径，
∴∠AGE=90°
∴∠BGE=90°
∴四边形BCEG为矩形，
∴BG=EC，
∵BC为⊙O的切线，
∴OF⊥BC，
∴OF//AB//CD，
∴OF为梯形ABCE的中位线，
∴
∵
∴设AB=3k，则BC=4k，设BG=EC=x，则DE=3k-x，，
∴AE=2OF=3k+x.
在Rt△ADE中，
∵AD2+DE2=AE2，
∴(4k)2+(3k-x)2=(3k+x)2
解得：
∴
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】由题意知：当∠DAE最小时，以AE为直径的⊙O与BC相切与点F，设⊙O与AB交于点G，连接EG，OF，EG与OF交于点H，设AB=3k，则BC=4k，设BG=EC=x，则DE=3k-x，，AE=2OF=3k+x；利用矩形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理和勾股定理求得x值，则结论可得.
11．（2025九下·杭州月考）函数中自变量的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-7≥0，
解得x≥7，
故答案为：x≥7.
【分析】平方根的被开方数必须非负，直接建立不等式求解.
12．（2025九下·杭州月考）分解因式： 　 　
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
＝b（a2 1）
＝b（a＋1）（a 1）．
故答案为b（a＋1）（a 1）．
【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
13．（2025九下·杭州月考）如图，小南向图中的正方形网格内随意放一枚棋子，使之落在阴影部分的概率为　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：S正方形=4×4=16，
，
∴落在阴影部分的概率为.
故答案为：.
【分析】求出正方形和阴影的面积，即可求出.
14．（2025九下·杭州月考）如图，AB为的直径，的平分线交于点，则　 　．
【答案】45°
【知识点】角平分线的概念；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45°
故答案为：45°.
【分析】先根据圆周角定理的推论“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”证得∠ACB=90°，从而利用角平分线的定义求得∠ACD的度数.
15．（2025九下·杭州月考）如图，的半径为3，作正六边形，点B，点F在上，若图中阴影部分扇形恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆锥的计算；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵正六边形的外角和为
∴每一个外角的度数为
∴正六边形的每个内角为
设这个圆锥底面圆的半径是，
根据题意得，
解得：
∴这个圆锥高
故答案为：
【分析】先根据多边形的外交求出内角的度数，进而根据圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长即可求解。
16．（2025九下·杭州月考）如图，在Rt中，是的平分线，将BD以为中心，逆时针旋转，点的对应点为．则AE的长度为　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC，交CA的延长线于点F，
∵AC=8，BC=6，∠C=90°，
∴，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DH⊥AB
∴DC=DH，
∵S△ABC=S△DCB+S△ADB，
∴，
∴CD=3=DH
∴AD=5，
∵将BD以D为中心，逆时针旋转90°，
∴DE=DB，∠EDB=90°
∴∠EDF+∠BDC=90°=∠BDC+∠DBC，
∴∠EDF=∠DBC，
在△EDF和△BDC中，
∴△EDF △BDC(AAS)
∴EF=DC=3，FD=BC=6，
∴AF=1，
∴
故答案为：.
【分析】过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC，交CA的延长线于点F，由角平分线的性质和面积法可求DC的长，由“AAS”可证△EDF △BDC，可得EF=DC=3，FD=BC=6，由勾股定理可求解.
17．（2025九下·杭州月考）计算：
【答案】解：原式=4+2-3
=3.
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】原式利用绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及立方根定义计算即可得到结果.
18．（2025九下·杭州月考）解不等式组：
【答案】解：解不等式2(x-1)>7-x得，
x>3，
解不等式得，
x>12，
∴不等式的解集为x>12.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】将两个不等式分别求解，再同大取大即可得出答案.
19．（2025九下·杭州月考）如图，在△ABC中，是BC边上的中线，．
（1）求BC的长；
（2）求的值．
【答案】（1）解：AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°
在Rt△ADC中，由勾股定理得
.
在Rt△ABD中，
∴BD=8.
∴BC=BD+CD=14.
（2）解：∵AE是BC边上的中线，
∴.
∴DE=BD-BE=1，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
∴.
【知识点】勾股定理；求正弦值；已知正切值求边长；三角形的中线
【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出CD的长，解直角三角形求出BD的长，据此可得答案；
(2)根据三角形中线的定义求出BE的长，进而求出DE，再利用勾股定理求出AF的长，最后利用正弦的定义求解即可.
20．（2025九下·杭州月考）某校丰富课间活动，为了了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类活动项目中，你最喜爱的是（　　） A．田径项目 B．游戏项目 C．球类项目 D．健身项目 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的球类项目是 E．篮球 F．足球 G．羽毛球 H．其他
（注：此调查问卷为示例，考生不必选填）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱的球类项目学生中更关注篮球的有多少人？
（2）该校共有1500名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱田径项目的学生人数．
【答案】（1）解：80×40%=32人，
答：本次调查中最喜爱的球类项目学生中更关注篮球的有32人.
（2）解：人，
答：估计该校最喜爱田径项目的学生人数为405人.
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)用本次调查中最喜爱球类项目的学生人数乘以更关注篮球的人数所占的百分比即可求解；
(2)用1500乘以样本中该校最喜爱田径项目的学生人数所占的百分比即可求解.
21．（2025九下·杭州月考）小丽和小明在研究一个尺规作图问题．
如图1，在四边形ABCD中，．用直尺和圆规作，交边BC于点E．
小丽：如图2，以点为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点，连接DE，则．
小明：如图3，以点为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点，连接DE，则．
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）；
①小丽的作法　 　；
②小明的作法　 　．
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程）
【答案】（1）正确；正确
（2）解：如图2中，
∵∠A=∠B=90°，
∴∠A+∠B=180，
∴AD//BC，
∵AD=BE，AD//BE，
∴四边形ABED是平行四边形
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABED是矩形
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥BC，故小丽的作法正确；
如图3中，连接AE，BD.
∵∠BAD=∠ABE=90°，AB=BA，AE=BD，
∴Rt△ABD Rt△BAE(HL)，
∴AD=BE，
由上面的结论可知DE⊥BC.
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：(1)小丽和小明的作法正确，
故答案为：正确，正确.
【分析】(1)根据矩形的判定和性质判断即可；
(2)证明四边形ABED是矩形可得结论.
22．（2025九下·杭州月考）某校无人机社团进行表演训练，甲无人机以米／秒速度从地面起飞匀速上升，同时乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞下降，8秒时甲，乙无人机分别到达各自训练计划指定的高度开始表演，24秒时乙无人机完成表演动作，以米／秒的速度继续飞行上升，30秒时与甲无人机汇合，此时距离地面的高度为米，甲、乙无人机以相同的速度下降返回地面。甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题．
（1）　 　，　 　．
（2）求线段MN所在直线的函数表达式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为2米？（直接写出答案）
【答案】（1）3；24
（2）解：设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+n(k、n为常数，且k≠0)
将坐标M(0，20)和N(8，16)分别代入y=kx+n，
得，
解得，
∴线段MN所在直线的函数表达式为
（3）解：当0≤x≤8时，设甲无人机y与x之间的函数关系式为y=k1x，把(8，24)代入得：24=8k1，
解得：k1=3，
∴甲无人机y与x之间的函数关系式为y=3x，
当24≤x≤30时，设乙无人机y与x之间的函数关系式为：y=k'x+b'，把(24，16)，(30，24)代入得：
解得：
∴乙无人机y与x之间的函数关系式为，
当0≤x≤8时，它们距离地面的高度差为2m时，得
，
解得或；
当24≤x≤30时，它们距离地面的高度差为2m时，得
，
解得
答：两架无人机表演训练到或或时，它们距离地面的高度差为2m.
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)30s时乙无人机距离地面的高度为
(m)，
∴b=24，
∴前8s甲无人机的速度为24÷8=3(m/s)，
∴a=3，
故答案为：3，24.
【分析】(1)根据路程=速度×时间求出30s时乙无人机距离地面的高度，即b的值；再根据速度=路程÷时间求出a的值即可；
(2)利用待定系数法解答即可；
(3)先计算甲、乙两架无人机y与x之间的函数关系式，分别计算当0≤x≤8、24≤x<30时，它们距离地面的高度差为2m时对应x的值即可.
23．（2025九下·杭州月考）如图，二次函数的图象与轴交于点A，B两点，与轴交于点，其对称轴是直线，点A的坐标为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度，恰好落在的图象上，求的值；
（3）当时，若二次函数的最大值和最小值的差为3，求的值．
【答案】（1）解：∵二次函数的对称轴是直线x=1，
∴
∴b=-2
将A(-1，0)代入y=x2-2x+c中，解得c=-3
∴二次函数的表达式为
（2）解：由(1)可知点B坐标为(3，0)，
点B向上平移2个单位长度，向左平移m(m>0)个单位长度后得到(3-m，2)，
∵恰好落在二次函数的图象上，
∴2=(3-m)2+(3-m)+3，
∵m>0，
∴的值为
（3）解：①当t≤1时，x=t时y取最大值，x=t-1时y取最小值，
∵最大值和最小值的差为3，
∴-t2+2t+3-[-(t-1)2+2(t-1)+3]=3，
解得t=0；
②当t-1<1x=1时y取最大值4，x=t-1时y取最小值，
∴4-[-(t-1)2+2(t-1)+3]=3，
解得(舍去)或(舍去)；
③当t-1<11-(t-1)，即时，
x=1时y最大值是4，x=t时y取最小值；
∴4-(-t2+2t+3)=3，
解得(舍去)或(舍去)；
④当t-1≥1，即t≥2时，x=t-1时y最大，x=t时y最小，
∴-(t-1)2+2(t-1)+3-(-t2+2t+3)=3，
解得t=3；
综上所述，t的值为0或3.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)二次函数的对称轴是直线x=1，则，故b=-2，将A(-1，0)代入y=x2-2x+c中，即可求解；
(2)根据平移的性质，求出点 B平移后的坐标，再代入二次函数的解析式中，即可求出m的值；
(3)根据区间位置判断极值点，分区间在顶点方侧、包含顶点、右侧三种情况，计算最大值与最小值的差值，解方程求t.
24．（2025九下·杭州月考）在△ABC中，已知AD平分，且是AC边上一点且满足，圆过C，D，E三点．
（1）如图1，若CD为圆的直径，求的度数．
（2）如图2，若圆与AD相交于点，连接CF，求证：
①；
②．
【答案】（1）解：∵CD为圆O的直径
∴∠DEC=90°，即DE⊥AC
∵AD=CD，
∴∠EDA=∠EDC
∵∠ADB=∠EDC
∴∠ADB=∠EDC=∠EDA，
∵∠ADB+∠EDC+∠EDA=180°，
∴∠ADB=∠EDC=∠EDA=60°，
∴∠C=180°-∠EDC-∠DEC=30°.
（2）证明：①连接DE、EF，
∵点D、C、E、F都在圆O上，
∴∠EDC=∠EFC，∠ECD+∠DFE=180°，
∵∠AFE+∠DFE=180°，
∴∠ECD=∠AFE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠CAD，
∴∠DAC=∠CAD=∠AFE，
∴∠ADB=∠DAC+∠ACD=2∠DAC，
∴∠FEC=∠EAF+∠AFE=2∠EAF=2∠CAD，
∴∠ADB=∠FEC
∵∠ADB=∠EDC，
∴∠EDC=∠FEC=∠EFC，
∴CE=CF；
②由①可得：∠BAD=∠ECD，
∵∠ADB=∠EDC，AD=CD，
∴△ABD≌△CED(ASA)，
∴AB=CE，
∵CE=CF，
∴AB=CF
∵∠BAD=∠BCA，∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA
∴
∴BD·BC=AB2，
∴CF2= BD·BC
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)由圆周角定理可得∠DEC=90°，即DE⊥AC，由等腰三角形的性质结合题意可得∠ADB=∠EDC=∠EDA，由∠ADB+∠EDC+∠EDA=180°，得出∠ADB=∠EDC=∠EDA=60°，最后由三角形内角和定理计算即可得解；
(2)①连接DE、EF，由圆周角定理可得∠EDC=∠EFC，证明∠ECD=∠AFE，由角平分线的定义结合等边对等角得出∠DAC=∠CAD=∠AFE，由三角形外角的定义及性质结合题意得出∠EDC=∠FEC=∠EFC，即可得证；
②由①可得：∠BAD=∠ECD，证明△ABD≌△CED(ASA)，得出AB=CF，证明△ABD∽△CBA，得出，即BD·BC=AB2，即可得证.
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