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浙江省台州市温岭区2025年初中学业水平模拟考试数学试题（二模）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025·温岭二模）下列各数中，比-6小的数是（　　）
A．-7 B．-5 C．0 D．6
2．（2025·温岭二模）三个大小一样的正方体如图摆放，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·温岭二模）航空母舰是现代海军不可或缺的利器，也是一个国家综合国力的象征，我国第四艘航空母舰即将下水，满载排水量约为110000吨．将数据110000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·温岭二模）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·温岭二模）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体．
B．篮球运动员投篮一次，投中篮框．
C．过一点能作出一条直线与已知直线平行．
D．将实心铁球放入水中，铁球下沉．
6．（2025·温岭二模）如图，将绕点A逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·温岭二模）某中学针对九年级学生开设了烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进了第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为千克，依题意所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·温岭二模）如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH组成，，较短直角边与较长直角边和为5，则正方形ABCD的面积为（　　）
A．5 B． C．10 D．13
9．（2025·温岭二模）点在反比例函数的图象上，，则下列判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025·温岭二模）如图，四边形，连结对角线AC，BD，若要求出四边形ABCD的面积，只需要知道（　　）
A．AC的长 B．BD的长 C．AB的长 D．AD的长
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·温岭二模）因式分解： 　 　．
12．（2025·温岭二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
13．（2025·温岭二模）一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　 　．
14．（2025·温岭二模）如图，Rt，点在BC上，以点为圆心OB为半径的与AC相切于点，连结AO，若，则的度数为　 　．
15．（2025·温岭二模）如图，在中，CD为AB边上的中线，为AC上任意一点，，若DE最小值为2时，则DC的长为　 　．
16．（2025·温岭二模）在矩形ABCD中，为BC的中点，将沿着AE翻折，得到，连接DG并延长与AE相交于点，与AB相交于点．若点恰好为AE的中点，则的值为　 　．
三、解答题（17－21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．（2025·温岭二模）计算：．
18．（2025·温岭二模）解方程组
19．（2025·温岭二模）综合与实践
聪聪学习解直角三角形知识后，对光的折射进行了综合性的学习．查阅资料了解到，光从空气进入H液体，会发生折射，折射率表示入射角，表示折射角．
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，测得水槽高度，一束光线从点按固定方向投射到底部的点形成光斑，测得．
第二步：向水槽注入H液体，液体高度时，此时光斑因光线折射向左移动至点，测得．（其中为入射点，直线MN为法线，AO为入射光线，OD为折射光线）
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求OE的长；
（2）求H液体的折射率．
20．（2025·温岭二模）随着科技发展，AI的诞生为我们的生活带来很多的便利，相关人员对“DeepSeek”软件开展了使用满意度测评，并从中抽取20份数据并进行整理、描述和分析，评分用表示，分为以下四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出20份数据的扇形统计图和“满意”等级的具体数据：86，88，87，89，86，88，89，90.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：①“满意”评分的数据中，中位数为 ▲ ，② ▲ ％；
（2）本次调查中，有240名用户对软件进行了评分，估计其中对“DeepSeek”非常满意的用户总人数．
21．（2025·温岭二模）如图，点是平分线上的一点，点是射线BC上的一点（异于点，），连结MP，在射线BA上用尺规作图的方法找一点，使．下面有两种作图方法．
方法1：以为圆心，BM为半径作弧，交射线BA与，连结PN，则．
方法2：以为圆心，PM为半径作弧，交射线BA与，连结PN，则．
（1）请选择你认为正确的方法作出图形，并证明；
（2）直接写出当的大小满足什么条件时，两种方法都正确．
22．（2025·温岭二模）为了解某品牌新能源汽车的充电情况，经测试，在用快速充电桩或普通充电桩对该电动车充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象如图所示，其中折线ABC表示用快速充电桩充电时与的函数关系；线段AD表示用普通充电桩充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题：
（1）用快速充电桩充电时，电池电量从充到需　 　小时．
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
（3）车主小叶发现电池剩余电量为，于是开始充电，先用普通充电桩充电，后改为快速充电桩充电到，先后充电总共用时1h，求的值．
23．（2025·温岭二模）已知抛物线（b，c为常数），经过点．
（1）①求b，c的关系式；
②求pc的最大值；
（2）已知点是抛物线上的两点，且对于任意的实数，不等式；恒成立．若时，求的取值范围．
24．（2025·温岭二模）如图，Rt．过点的直线与以BC为直径的相交于点D，H，（点在直径BC上方），与直径BC交于点．连结BD，CD．
（1）如图1，若，点与圆心重合，求AD的长；
（2）如图2，已知DH平分．
①求证：；
②若，求AD的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：A、∵|-7|=7，|-6|=6，7>6，所以-7<-6，故A正确；
B、因为|-5|=5，|-6|=6，6>5，所以-6<-5，故B错误；
C、因为-6<0，故C错误；
D、因为6>-6，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大，其值越小逐项比较即可.
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面往下看是：
故答案为：C.
【分析】根据俯视图是从物体上面看所得到的图形解答即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：110000=1.1×105
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.a5和a2不能合并同类项，故该选项错误，
B.a2·a5=a7，故该选项正确，
C.(a2)4=a8，故该选项错误，
D.a6÷a3=a3，故该选项错误，
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，合并同类项法则，逐一判断选项即可.
5．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体，是随机事件，不符合题意；
B、篮球运动员投篮一次，投中篮框，是随机事件，不符合题意；
C、过一点能作出一条直线与已知直线平行，是随机事件，不符合题意；
D、将实心铁球放入水中，铁球下沉，是必然事件，符合题意；
故答案为：D.
【分析】必然事件是在一定条件下必然会发生的事件.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC =20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC =75°
∴∠D=180°-∠E-∠DAE=35°
故答案为：C.
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，根据三角形的内角和定理即可得到结论.
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为1.5x千克，
根据题意，得
故答案为：A.
【分析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方程.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，
由题意得a+b=5，即a2+b2+2ab=25①，EH=EF=b-a，
∵，
∴(b-a)2+(b-a)2=FH2=2，
∴(b-a)2=1，
∴a2-2ab+b2=1②，
①+②得2(a2+b2)=26，
∴a2+b2=13，
∴正方形ABCD的面积为a2+b2=13，
故答案为：D.
【分析】设直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，由题意得a+b=5，求得a2+b2+2ab=25①，由，求得a2-2ab+b2=1②，据此求解即可.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：选项A：若x1+x2<0，则y1>y2，假设x1=-4，x2=-2，满足x1+x2=-6<0，此时，，显然y1选项B：若x1+x2>0，则y10，此时，，显然y1>y2，结论不成立，故B错误；
选项C和D：均涉及x2+x3<0，若x2和x3均为负数，如x2=-4，x3=-3，则x2+x3=-7<0，此时，，y1故答案为：D.
【分析】反比例函数的图像分布在第二、四象限，当x>0时，y<0；当x < 0时，y>0，题目中三个点的x坐标满足x110．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：延长AD到F，使DF=AB，连接CF，如图：
∵∠BAD=∠DCB=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵BC=DC，AB=DF，
∴△ABC≌△FDC(SAS)，
∴AC=CF，∠ACB=∠DCF，S△ABC=S△FDC，
∵∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠DCF+∠ACD=90°，即ACF=90°，
∴，即，
∴，
∴
∴要求出四边形ABCD的面积，只需要知道AC即可；
故答案为：A.
【分析】延长AD到F，使DF=AB，连接CF，证明△ABC≌△FDC(SAS)，可得AC=CF，∠ACB=∠DCF，S△ABC=S△FDC，进而可得，故要求出四边形ABCD的面积，只需要知道AC即可.
11．【答案】3x（x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 提取公因式 得：
故答案为：3x（x-2）．
【分析】提取公因式即可得．
12．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得 =(-4)2-4k=0，
解得k 4，
∴k的值为4.
故答案为：4.
【分析】利用判别式的意义得到 =(-4)2-4k=0，然后解关于k的方程即可.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，
∴球的总数是2+5=7(个)，
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率，
故答案为：.
【分析】根据概率公式即可求解.
14．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠ADO=90°，
∴∠ABC=∠ADO=90°
∵OB=OD，AO=AO，
∴Rt△ABO Rt△ADO(HL)，
∴∠AOD=∠AOB=70°，
∴∠COD=180°-70°-70°=40°，
∴∠C=90°-40°=50°，
故答案为：50°.
【分析】连接OD，根据切线性质得到∠ADO=90°，根据全等三角形的性质得到∠AOD=∠AOB=70°，进而即可得出答案.
15．【答案】4
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵CD为AB边上的中线，
∴AD=BD，
∵AD=CD，
∴DB=CD，
∵∠B=∠BDC，
∴BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD=∠BDC，
∴，
当DE⊥AC时，DE有最小值为2，
此时DC=2DE=4.
故答案为：4.
【分析】判定△BCD是等边三角形，得到∠BCD=∠BDC=60°，由AD=CD，推出∠A=∠ACD，由三角形的外角性质求出∠ACD=30°，当DE⊥AC时，DE有最小值为2，由含30度角的直角三角形的性质即可推出答案.
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：延长DH、CB交于点P，连结BG，CG，
∵四边形ABCD是矩形，E为BC的中点，
∴AB//CD，BC//AD，BC=AD，，
∴∠P=∠ADF，
∵点F为AE的中点，
∴EF=AF，
在△EFP和△AFD中，
∴△EFP △AFD(AAS)，
∴EP=AD，
∴EP=BC，
∴EP-BE=BC-BE，
∴BP=CE=BE，
∴EP=2BE，CP=3BE，
∵将△ABE沿着AE翻折，得到△AGE
∴GE=BE=CE，EF垂直平分BG，
∴∠EGB=∠EBG，∠EGC=∠ECG，
∴，
∴CG⊥BG
∴AE//CG，
∴∠AFH=∠EFG=∠CGD，
∴∠AHF=∠CDG，
∴△AFH∽△CGD，
∴
∵EF//CG，
∴△PEF∽△PCG，
∴
∴
故答案为：.
【分析】延长DH、CB交于点P，连结BG，CG，由矩形的性质得AB//CD，BC//AD，BC=AD，则∠P=∠ADF，而EF=AF，∠EFP=∠AFD，即可证明△EFP △AFD，得EP=AD=BC，则BP=CE=BE，由翻折得GE=BE=CE，EF垂直平分BG，推导出∠BGC=90°，则CG⊥BG，进而可以得到答案.
17．【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，再进行加减计算.
18．【答案】解：
②得：③
①+③得：
把代入②
得
所以
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解二元一次方程即可求解.
19．【答案】（1）由题意得：
（2）由题意得：
在Rt中，
矩形
在中，
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)由题意得EO//BC，则△AOE∽△ABC，由相似三角形的性质计算即可得解；
(2)由题意得AC//MN，则，由勾股定理可得AO=10cm，得出，由矩形的性质可得EC=ON=12cm，EO=CA=8cm，求出ND=9cm，由勾股定理可得DO=15cm，从而可得，即可得解.
20．【答案】（1）①88，②m=20
（2）（人）
答：用样本估计总体，对“DeepSeek”非常满意的用户人数约为48人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：(1}该“满意”组数据中共有8个数据，按照从小到大的顺序排列后，中位数取第4位和第5位的平均数，
∴中位数为
根据题意得，“满意”组的所占百分比为，
∴"非常满意”组所占的百分比为m%=1-30%-10%-40%=20%，
∴m=20，
故答案为：88，20.
【分析】(1)利用中位数的概念可得出中位数，利用占比公式即可得出所占百分比；
(2)利用样本频数估计总体频数公式求解即可.
21．【答案】（1）方法一正确
画图如图所示
证明：由作图可得
平分
在和中
（2）或
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（2）当∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM时，两种方法都正确；
理由：当∠PMB=90°时，PM⊥BC，PM的长即为点P到BC的距离，
按照方法2作图，PN的长即为点P到AB的距离，∠PNB=90°，
射线AB上有且只有一个点N符合，则△BPN △BPM；
当∠PMB<∠PBM时，PM>PB，
此时按照方法2作图，PN>PB，
射线AB上有且只有一个点N符合，
则△BPN △BPM.
故答案为：∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM.
【分析】(1)方法一正确，根据题意画图即可；根据SAS即可证明全等；
(2)当以P为圆心，PM为半径作弧，与射线BA的交点N只有一个，即当∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM时，两种方法都正确的.
22．【答案】（1）
（2）解：设函数解析式为
将代入解析式，得
解得
因此函数解析式为
（3）方法1：由题意得分段函数ABC向右平移，使C点至，即点至，平移后的AB段与AE交于F点
AB的解析式为，
的函数解析式为
AF的函数解析式为，
令，
解得
方法2：由于普通充电桩充电1小时达不到，所以普通充电桩充电a小时后只能电量小于．
AB段充电速度，
由题意得
解得
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：(1)由图象可知，用快速充电桩充电时，电池电量从20kW·h充到100kW·h需要小时，
故答案为：.
【分析】(1)根据函数图象即可求出答案；
(2)用待定系数法求出x的函数解析式即可；
(3)方法一：先分别求出AB段、B'F段和AF段的函数解析式，进而即可求解；
方法二：先求出AB段的充电速度，进而即可求解.
23．【答案】（1）解：①把代入得：
②由①得：
把代入，得：
的最大值为9
（2）解：对于任何的恒成立，
且，开口向上，故点必为抛物线的最低点——顶点
对称轴为直线
当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)①依据题意，直接把A(1，2)代入y=x2+bx+c整理得b+c=1；
②依据题意，把(2，p)代入y=x2+bx+1-b，可得p=b+5，则pc=(b+5)(1-b)=-(b+2)2+9≤9，即可作答；
(2)依据题意，先得出抛物线y=x2+bx+c上的开口向上，因为对于任何的，(y1-p)(y2-p)>0恒成立，所以得点B为抛物线的顶点，对称轴为直线x=2，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答.
24．【答案】（1）为直径
（2）①
方法1（截长法）在CD上取点，使，
，
方法2（补短法或弦图法）如图与法1类似略
方法3（相似法）BC为直径
平分
在Rt中，
（其他解法，酌情给分，如下参考各种旋转法）
②方法1：连结
，又
两式相乘得：，
又Rt三边之比为
又，
方法2：连结平分
易证
不妨设
在Rt中，
方法3：连接OH，过作于点
设
易证：由方法2可得：
易证：
（其他解法，酌情给分）
方法4：连接CH，作于点，易证为等腰直角
又
方法5：作AG//CD交BC延长线于点，连结HG，
易证可得（也可四点共圆）
可得，设，
又
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出AO即可求解；
(2)①在CD上取点G，使CG=BD，易证△ABD≌△BCG（SAS)，得∠ADB=∠BGC=135°，进而得∠BGD=∠DBG=45°，即可得BD=DG=CG，即可求证；
②先证△ACH∽△CDB，得到，再根据AE·EH=8，可得AE=4，AH=6，再求，再证△ABD∽△AHB，即可得解.
1 / 1浙江省台州市温岭区2025年初中学业水平模拟考试数学试题（二模）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025·温岭二模）下列各数中，比-6小的数是（　　）
A．-7 B．-5 C．0 D．6
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：A、∵|-7|=7，|-6|=6，7>6，所以-7<-6，故A正确；
B、因为|-5|=5，|-6|=6，6>5，所以-6<-5，故B错误；
C、因为-6<0，故C错误；
D、因为6>-6，故D错误；
故答案为：A.
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大，其值越小逐项比较即可.
2．（2025·温岭二模）三个大小一样的正方体如图摆放，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面往下看是：
故答案为：C.
【分析】根据俯视图是从物体上面看所得到的图形解答即可.
3．（2025·温岭二模）航空母舰是现代海军不可或缺的利器，也是一个国家综合国力的象征，我国第四艘航空母舰即将下水，满载排水量约为110000吨．将数据110000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：110000=1.1×105
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.
4．（2025·温岭二模）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.a5和a2不能合并同类项，故该选项错误，
B.a2·a5=a7，故该选项正确，
C.(a2)4=a8，故该选项错误，
D.a6÷a3=a3，故该选项错误，
故答案为：B.
【分析】根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，合并同类项法则，逐一判断选项即可.
5．（2025·温岭二模）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体．
B．篮球运动员投篮一次，投中篮框．
C．过一点能作出一条直线与已知直线平行．
D．将实心铁球放入水中，铁球下沉．
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、下周二不带雨伞出门，被雨淋湿了身体，是随机事件，不符合题意；
B、篮球运动员投篮一次，投中篮框，是随机事件，不符合题意；
C、过一点能作出一条直线与已知直线平行，是随机事件，不符合题意；
D、将实心铁球放入水中，铁球下沉，是必然事件，符合题意；
故答案为：D.
【分析】必然事件是在一定条件下必然会发生的事件.
6．（2025·温岭二模）如图，将绕点A逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC =20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC =75°
∴∠D=180°-∠E-∠DAE=35°
故答案为：C.
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，根据三角形的内角和定理即可得到结论.
7．（2025·温岭二模）某中学针对九年级学生开设了烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进了第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为千克，依题意所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为1.5x千克，
根据题意，得
故答案为：A.
【分析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方程.
8．（2025·温岭二模）如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH组成，，较短直角边与较长直角边和为5，则正方形ABCD的面积为（　　）
A．5 B． C．10 D．13
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，
由题意得a+b=5，即a2+b2+2ab=25①，EH=EF=b-a，
∵，
∴(b-a)2+(b-a)2=FH2=2，
∴(b-a)2=1，
∴a2-2ab+b2=1②，
①+②得2(a2+b2)=26，
∴a2+b2=13，
∴正方形ABCD的面积为a2+b2=13，
故答案为：D.
【分析】设直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，由题意得a+b=5，求得a2+b2+2ab=25①，由，求得a2-2ab+b2=1②，据此求解即可.
9．（2025·温岭二模）点在反比例函数的图象上，，则下列判断正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：选项A：若x1+x2<0，则y1>y2，假设x1=-4，x2=-2，满足x1+x2=-6<0，此时，，显然y1选项B：若x1+x2>0，则y10，此时，，显然y1>y2，结论不成立，故B错误；
选项C和D：均涉及x2+x3<0，若x2和x3均为负数，如x2=-4，x3=-3，则x2+x3=-7<0，此时，，y1故答案为：D.
【分析】反比例函数的图像分布在第二、四象限，当x>0时，y<0；当x < 0时，y>0，题目中三个点的x坐标满足x110．（2025·温岭二模）如图，四边形，连结对角线AC，BD，若要求出四边形ABCD的面积，只需要知道（　　）
A．AC的长 B．BD的长 C．AB的长 D．AD的长
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：延长AD到F，使DF=AB，连接CF，如图：
∵∠BAD=∠DCB=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵BC=DC，AB=DF，
∴△ABC≌△FDC(SAS)，
∴AC=CF，∠ACB=∠DCF，S△ABC=S△FDC，
∵∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠DCF+∠ACD=90°，即ACF=90°，
∴，即，
∴，
∴
∴要求出四边形ABCD的面积，只需要知道AC即可；
故答案为：A.
【分析】延长AD到F，使DF=AB，连接CF，证明△ABC≌△FDC(SAS)，可得AC=CF，∠ACB=∠DCF，S△ABC=S△FDC，进而可得，故要求出四边形ABCD的面积，只需要知道AC即可.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·温岭二模）因式分解： 　 　．
【答案】3x（x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 提取公因式 得：
故答案为：3x（x-2）．
【分析】提取公因式即可得．
12．（2025·温岭二模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　 　．
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得 =(-4)2-4k=0，
解得k 4，
∴k的值为4.
故答案为：4.
【分析】利用判别式的意义得到 =(-4)2-4k=0，然后解关于k的方程即可.
13．（2025·温岭二模）一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，
∴球的总数是2+5=7(个)，
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率，
故答案为：.
【分析】根据概率公式即可求解.
14．（2025·温岭二模）如图，Rt，点在BC上，以点为圆心OB为半径的与AC相切于点，连结AO，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠ADO=90°，
∴∠ABC=∠ADO=90°
∵OB=OD，AO=AO，
∴Rt△ABO Rt△ADO(HL)，
∴∠AOD=∠AOB=70°，
∴∠COD=180°-70°-70°=40°，
∴∠C=90°-40°=50°，
故答案为：50°.
【分析】连接OD，根据切线性质得到∠ADO=90°，根据全等三角形的性质得到∠AOD=∠AOB=70°，进而即可得出答案.
15．（2025·温岭二模）如图，在中，CD为AB边上的中线，为AC上任意一点，，若DE最小值为2时，则DC的长为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵CD为AB边上的中线，
∴AD=BD，
∵AD=CD，
∴DB=CD，
∵∠B=∠BDC，
∴BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠A+∠ACD=∠BDC，
∴，
当DE⊥AC时，DE有最小值为2，
此时DC=2DE=4.
故答案为：4.
【分析】判定△BCD是等边三角形，得到∠BCD=∠BDC=60°，由AD=CD，推出∠A=∠ACD，由三角形的外角性质求出∠ACD=30°，当DE⊥AC时，DE有最小值为2，由含30度角的直角三角形的性质即可推出答案.
16．（2025·温岭二模）在矩形ABCD中，为BC的中点，将沿着AE翻折，得到，连接DG并延长与AE相交于点，与AB相交于点．若点恰好为AE的中点，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：延长DH、CB交于点P，连结BG，CG，
∵四边形ABCD是矩形，E为BC的中点，
∴AB//CD，BC//AD，BC=AD，，
∴∠P=∠ADF，
∵点F为AE的中点，
∴EF=AF，
在△EFP和△AFD中，
∴△EFP △AFD(AAS)，
∴EP=AD，
∴EP=BC，
∴EP-BE=BC-BE，
∴BP=CE=BE，
∴EP=2BE，CP=3BE，
∵将△ABE沿着AE翻折，得到△AGE
∴GE=BE=CE，EF垂直平分BG，
∴∠EGB=∠EBG，∠EGC=∠ECG，
∴，
∴CG⊥BG
∴AE//CG，
∴∠AFH=∠EFG=∠CGD，
∴∠AHF=∠CDG，
∴△AFH∽△CGD，
∴
∵EF//CG，
∴△PEF∽△PCG，
∴
∴
故答案为：.
【分析】延长DH、CB交于点P，连结BG，CG，由矩形的性质得AB//CD，BC//AD，BC=AD，则∠P=∠ADF，而EF=AF，∠EFP=∠AFD，即可证明△EFP △AFD，得EP=AD=BC，则BP=CE=BE，由翻折得GE=BE=CE，EF垂直平分BG，推导出∠BGC=90°，则CG⊥BG，进而可以得到答案.
三、解答题（17－21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．（2025·温岭二模）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，再进行加减计算.
18．（2025·温岭二模）解方程组
【答案】解：
②得：③
①+③得：
把代入②
得
所以
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解二元一次方程即可求解.
19．（2025·温岭二模）综合与实践
聪聪学习解直角三角形知识后，对光的折射进行了综合性的学习．查阅资料了解到，光从空气进入H液体，会发生折射，折射率表示入射角，表示折射角．
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，测得水槽高度，一束光线从点按固定方向投射到底部的点形成光斑，测得．
第二步：向水槽注入H液体，液体高度时，此时光斑因光线折射向左移动至点，测得．（其中为入射点，直线MN为法线，AO为入射光线，OD为折射光线）
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求OE的长；
（2）求H液体的折射率．
【答案】（1）由题意得：
（2）由题意得：
在Rt中，
矩形
在中，
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)由题意得EO//BC，则△AOE∽△ABC，由相似三角形的性质计算即可得解；
(2)由题意得AC//MN，则，由勾股定理可得AO=10cm，得出，由矩形的性质可得EC=ON=12cm，EO=CA=8cm，求出ND=9cm，由勾股定理可得DO=15cm，从而可得，即可得解.
20．（2025·温岭二模）随着科技发展，AI的诞生为我们的生活带来很多的便利，相关人员对“DeepSeek”软件开展了使用满意度测评，并从中抽取20份数据并进行整理、描述和分析，评分用表示，分为以下四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出20份数据的扇形统计图和“满意”等级的具体数据：86，88，87，89，86，88，89，90.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：①“满意”评分的数据中，中位数为 ▲ ，② ▲ ％；
（2）本次调查中，有240名用户对软件进行了评分，估计其中对“DeepSeek”非常满意的用户总人数．
【答案】（1）①88，②m=20
（2）（人）
答：用样本估计总体，对“DeepSeek”非常满意的用户人数约为48人．
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：(1}该“满意”组数据中共有8个数据，按照从小到大的顺序排列后，中位数取第4位和第5位的平均数，
∴中位数为
根据题意得，“满意”组的所占百分比为，
∴"非常满意”组所占的百分比为m%=1-30%-10%-40%=20%，
∴m=20，
故答案为：88，20.
【分析】(1)利用中位数的概念可得出中位数，利用占比公式即可得出所占百分比；
(2)利用样本频数估计总体频数公式求解即可.
21．（2025·温岭二模）如图，点是平分线上的一点，点是射线BC上的一点（异于点，），连结MP，在射线BA上用尺规作图的方法找一点，使．下面有两种作图方法．
方法1：以为圆心，BM为半径作弧，交射线BA与，连结PN，则．
方法2：以为圆心，PM为半径作弧，交射线BA与，连结PN，则．
（1）请选择你认为正确的方法作出图形，并证明；
（2）直接写出当的大小满足什么条件时，两种方法都正确．
【答案】（1）方法一正确
画图如图所示
证明：由作图可得
平分
在和中
（2）或
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（2）当∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM时，两种方法都正确；
理由：当∠PMB=90°时，PM⊥BC，PM的长即为点P到BC的距离，
按照方法2作图，PN的长即为点P到AB的距离，∠PNB=90°，
射线AB上有且只有一个点N符合，则△BPN △BPM；
当∠PMB<∠PBM时，PM>PB，
此时按照方法2作图，PN>PB，
射线AB上有且只有一个点N符合，
则△BPN △BPM.
故答案为：∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM.
【分析】(1)方法一正确，根据题意画图即可；根据SAS即可证明全等；
(2)当以P为圆心，PM为半径作弧，与射线BA的交点N只有一个，即当∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM时，两种方法都正确的.
22．（2025·温岭二模）为了解某品牌新能源汽车的充电情况，经测试，在用快速充电桩或普通充电桩对该电动车充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象如图所示，其中折线ABC表示用快速充电桩充电时与的函数关系；线段AD表示用普通充电桩充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题：
（1）用快速充电桩充电时，电池电量从充到需　 　小时．
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
（3）车主小叶发现电池剩余电量为，于是开始充电，先用普通充电桩充电，后改为快速充电桩充电到，先后充电总共用时1h，求的值．
【答案】（1）
（2）解：设函数解析式为
将代入解析式，得
解得
因此函数解析式为
（3）方法1：由题意得分段函数ABC向右平移，使C点至，即点至，平移后的AB段与AE交于F点
AB的解析式为，
的函数解析式为
AF的函数解析式为，
令，
解得
方法2：由于普通充电桩充电1小时达不到，所以普通充电桩充电a小时后只能电量小于．
AB段充电速度，
由题意得
解得
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：(1)由图象可知，用快速充电桩充电时，电池电量从20kW·h充到100kW·h需要小时，
故答案为：.
【分析】(1)根据函数图象即可求出答案；
(2)用待定系数法求出x的函数解析式即可；
(3)方法一：先分别求出AB段、B'F段和AF段的函数解析式，进而即可求解；
方法二：先求出AB段的充电速度，进而即可求解.
23．（2025·温岭二模）已知抛物线（b，c为常数），经过点．
（1）①求b，c的关系式；
②求pc的最大值；
（2）已知点是抛物线上的两点，且对于任意的实数，不等式；恒成立．若时，求的取值范围．
【答案】（1）解：①把代入得：
②由①得：
把代入，得：
的最大值为9
（2）解：对于任何的恒成立，
且，开口向上，故点必为抛物线的最低点——顶点
对称轴为直线
当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)①依据题意，直接把A(1，2)代入y=x2+bx+c整理得b+c=1；
②依据题意，把(2，p)代入y=x2+bx+1-b，可得p=b+5，则pc=(b+5)(1-b)=-(b+2)2+9≤9，即可作答；
(2)依据题意，先得出抛物线y=x2+bx+c上的开口向上，因为对于任何的，(y1-p)(y2-p)>0恒成立，所以得点B为抛物线的顶点，对称轴为直线x=2，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答.
24．（2025·温岭二模）如图，Rt．过点的直线与以BC为直径的相交于点D，H，（点在直径BC上方），与直径BC交于点．连结BD，CD．
（1）如图1，若，点与圆心重合，求AD的长；
（2）如图2，已知DH平分．
①求证：；
②若，求AD的长．
【答案】（1）为直径
（2）①
方法1（截长法）在CD上取点，使，
，
方法2（补短法或弦图法）如图与法1类似略
方法3（相似法）BC为直径
平分
在Rt中，
（其他解法，酌情给分，如下参考各种旋转法）
②方法1：连结
，又
两式相乘得：，
又Rt三边之比为
又，
方法2：连结平分
易证
不妨设
在Rt中，
方法3：连接OH，过作于点
设
易证：由方法2可得：
易证：
（其他解法，酌情给分）
方法4：连接CH，作于点，易证为等腰直角
又
方法5：作AG//CD交BC延长线于点，连结HG，
易证可得（也可四点共圆）
可得，设，
又
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出AO即可求解；
(2)①在CD上取点G，使CG=BD，易证△ABD≌△BCG（SAS)，得∠ADB=∠BGC=135°，进而得∠BGD=∠DBG=45°，即可得BD=DG=CG，即可求证；
②先证△ACH∽△CDB，得到，再根据AE·EH=8，可得AE=4，AH=6，再求，再证△ABD∽△AHB，即可得解.
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