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浙江省金华市金东区2025年初中学业水平考试适应性监测数学试题卷（二模）
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）
1．（2025·金东二模）下列四个实数中，最小的数是（　　）
A．-3 B．-1 C．0 D．1
2．（2025·金东二模） 计算的结果是（　　）
A．-9 B．-6 C． D．
3．（2025·金东二模）下列投影中，属于中心投影的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·金东二模） 若反比例函数 ）的图像经过点 ，则 k 的值是（　　）
A．-3 B．3 C．12 D．-12
5．（2025·金东二模） 将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·金东二模） AB 是⊙O的直径，点 C、D为⊙O上的两点，， 的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·金东二模）在浙江金华地区，清明期间人们有做清明颗的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏。在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加10%，现有糯米x斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·金东二模） 把正方形 ABCD 按如图方式切割成由四个全等的直角三角形（，，，）和小正方形 EFGH，连结 AC，交 BG 于点 P，若 ，，则 PG 的长为（　　）.
A． B． C． D．
9．（2025·金东二模） 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB=27°，则∠D的度数为（　　）
A．64° B．63° C．54° D．44°
10．（2025·金东二模） 如图，在中，，，P、Q分别是边AB和AC上的动点，且始终保持，连结CP，BQ，则的最小值是（　　）
A．11 B． C． D．8
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·金东二模）分解因式：x2+5x＝　 　．
12．（2025·金东二模）一个不透明的袋子中装有2个红球、4个黑球，这些球除颜色外无其他差别。现从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是　 　.
13．（2025·金东二模） 在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=3，则sinB=　 　.
14．（2025·金东二模） 方程组的解是　 　.
15．（2025·金东二模）如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，将△ABC绕点C逆时针旋转α度（0<α<180），得到△DEC，点A和点B的对应点分别为点D和点E，当点D落在AB上时，恰有 DE⊥BC，则α=　 　.
16．（2025·金东二模） 将一个矩形按如图所示方式分割成三个相似的直角三角形，按面积从大到小的顺序分别记为，，。将、叠合，得到图1，阴影部分的三角形面积记为；将、叠合，得到图2，阴影部分的四边形面积记为。若，则该矩形的长和宽之比为　 　。
三、简答题（本大题共有8小题，共72分）
17．（2025·金东二模）计算：。
18．（2025·金东二模）先化简，再求值：，其中 。
19．（2025·金东二模）如图，在4×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格的格点上。
（1）请在答题卷图19-1中仅用一把无刻度的直尺画出等腰△ABP（P为格点）；
（2）请在答题卷图19-2中仅用一把无刻度的直尺画出∠ABC的角平分线BQ，并加以证明。
20．（2025·金东二模）如图，在四边形 ABCD 中，AD// BC，∠B=90°，BC=2AD，点 E，F 分别是BC，CD 中点，连结 AE、EF.
（1）求证：四边形AECD是平行四边形：
（2）若 AB=4、BC=6， 求 EF 的长。
21．（2025·金东二模）春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，相关话题讨论持续火热。某校为了培养学生对人工智能的学习兴趣，丰富学生的视野，计划组织学生进行“人工智能知识竞赛”。王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，让他们进行了十次模拟答题，并绘制了如下的成绩统计图和统计表：
甲、乙成绩统计表
平均成绩（分） 中位数（分） 方差（分2）
甲 96 a 8.6
乙 96 96 b
（1）求a与b的值；
（2）若乙第11次模拟答题的成绩为96分，则乙成绩的方差将　 　（填“变大”、“变小”或“不变”）。
（3）假如你是王老师，你会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由。
22．（2025·金东二模）某地举行机器人跑步比赛，机器人甲和乙以相同的速度同时同地同向出发，在行进30分钟时，两机器人均因机器过热发生故障。机器人甲立即停止行进，服务团队对其进行模块更换优化算法，m分钟后修复完成，行进速度提升了28%：针对机器人乙，服务团队则让其在降低速度50%的情况下继续行进自然降温，在机器人甲修复完成时，机器人乙立即恢复正常速度。比赛过程中机器人行进路程（米）与时间：（分钟）的函数关系如图所示。
（1）求机器人乙出发时的速度；
（2）求直线CE的函数表达式；
（3）当机器人甲到达终点时，求机器人乙到终点的路程。
23．（2025·金东二模）已知二次函数 （a，b为常数且）的图像经过（-1，0），对称轴为直线。
（1）求二次函数的表达式。
（2）函数图象上有两个点，。
① 当，时，求的最大值。
② 若，时，存在，求m的取值范围。
24．（2025·金东二模）如图1，在中，，过A，B，D三点的交BC于点E，连接DE。
（1）求证：为等边三角形。
（2）如图2，连结AC，分别交DE和于点F，G，若，。
①求AC的长；
②求的值。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：-3<-1<0<1，
故答案为：A.
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可.
2．【答案】D
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据负整数指数幂的计算法则进行计算.
3．【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：A，C，D属于平行投影；B属于中心投影，
故答案为：B.
【分析】依据中心投影的定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影；即可解得.
4．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵反比例函数(k≠0)的图象经过点P(-2，6)，
∴，得k=-12，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数(k≠0)的图象经过点P(-2，6)，从而可以求得k的值.
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将y=-x2的图象先向下平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，则所得二次函数的表达式为：y=-(x-2)2-2.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=50°，
∴∠ABC=90°-50°=40°，
∴∠D=∠ABC=40°，
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，即可求出∠ABC的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠D的度数.
7．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意，可列出不等式为：(1+10%)x>20；
故答案为：C.
【分析】根据做成清明粿质量超过20斤，列出不等式即可.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；比例的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵△ABF，△BCG，△CDH，△DAE为四个全等的直角三角形，
∴CG=AE=2，AF=DE=3，
∵四边形HEFG为正方形，
∴GF=EF=AF-AE=3-2=1，HG//EF，
∵GC//AF，
∴△CGP∽△AFP，
∴，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】先根据全等三角形的性质得到CG=AE=2，AF=DE=3，再根据正方形得性质得到GF=EF=1，HG//EF，接着证明△CGP∽△AFP，则利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质可计算出PG.
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；余角
【解析】【解答】解：连接OC，
∵∠CAB=27°，
∴∠COB=2∠CAB=54
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CD⊥OC，
∵OD⊥AB，
∴∠OCD=∠BOD =90°，
∴∠D+∠COD=90°，∠COB+∠COD=90°，
∴∠D=∠COB=54°，
故答案为：C.
【分析】连接OC，则∠COB=2∠CAB=54，由CD与⊙O相切于点C，得CD⊥OC，因为OD⊥AB，所以∠OCD=∠BOD=90°，则∠D+∠COD=∠COB+∠COD=90，得∠D=∠COB=54°，于是得到问题的答案.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：将等腰三角形△ABC的底边BC置于坐标轴上，设B(0，0)，C(6，0)，
作AD⊥BC交BC于点D，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BD=CD=3，
∴，
∵P、Q分别是边AB和AC上的动点， 且AQ=BP，
∴当P、Q为中点时，BQ+CP有最小值，
∴，，
∴，
，
∴，
故答案为：B.
【分析】建立坐标系，确定各点坐标，并运用中点坐标公式和两点间距离公式进行计算即可求解.
11．【答案】x（x+5）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+5x＝x（x+5），
故答案为： x（x+5）.
【分析】利用提取公因式的计算方法提取公因式x即可得到答案.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有6个球，
∴ 摸到红球的概率，
故答案为：.
【分析】袋子中一共有6个小球，其中摸出的小球是红球的有2个，再根据概率公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，在△ABC中，∠C=90°，tanA=3，
设BC=3x，则AC=x，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先根据题意求出直角三角形的两直角边，再根据勾股定理求出其斜边，然后运用三角函数的定义求解.
14．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
将①代入②得，
，
解得x=3，
把x=3代入①中，解得，
∴方程组的解为，
故答案为：.
【分析】利用代入消元法解二元一次方程租即可.
15．【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：
AC=CD，∠A=∠CDE，∠ACD=α，
∴，
∴，
∵DE⊥BC，
∴
∵∠ACB=45°，
∴∠ACD+∠DCB=45°，
即，
解得α=30°；
故答案为：30°.
【分析】由旋转的性质可知，AC=CD，∠A=∠CDE，∠ACD=α，推出，再根据DE⊥BC，进而得出结论.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得如图，
∵四边形C1B2B3A1是矩形，
∴C1B2=A1B3，
设A2B2=B3C3=a，B2C2=b，
∵△A1B1C1∽△A2B2C2∽△A3B3C3，
∴∠B1A1C1=∠B2A2C2，，
∴，
设图1中A1C1与A2C2交于一点E，过点E作EF⊥A1B1，垂足为F，如图所示，
∵∠B1A1C1=∠B2A2C2，
∴，
∵∠A2FE=∠A2B2C2=90°，∠FA2E=∠B2A2C2，
∴△A2FE∽△A2B2C2，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
解得：(负根舍去)，
∴，
∴该矩形的长和宽之比为.
故答案为：.
【分析】设，，由题意易得∠B1A1C1=∠B2A2C2，，则有，设图1中A1C1与A2C2交于一点E，过点E作EF⊥A1B1，垂足为F，然后可得，则有，进而问题可求解.
17．【答案】解：原式=
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别由二次根式性质化简、零指数幂运算、绝对值运算计算，再由有理数加减运算求解即可得到答案.
18．【答案】解：原式 ，当 时，原式=-3
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先去括号，再合并同类项即可化简原式，最后把x的值代入计算可得.
19．【答案】（1）解：如图，点P即为所求；
由勾股定理，得：；
∴AB=BP，
∴△ABP为等腰三角形.
（2）解：如图，BQ即为所求；
证明如下：
由(1)知：△ABP为等腰三角形，AB=BP，
∵D为AP的中点，
∴BD平分∠ABP，即：BQ平分∠ABC.
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】(1)勾股定理求出AB的长，进而取格点P，使BP=AP即可；
(2)取AP的中点D，连接BD，交AC于点Q，根据三线合一，即可得到BQ平分∠ABC.
20．【答案】（1）证明：∵，
∴
∵
∴四边形是平行四边形.
（2）解：连接BD，
∵AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°
∵AB=4，.
∴.
∵点F，F分别是BC，CD中点
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据中点结合已知条件，推出AD=EC，即可得证；
(2)连接BD，勾股定理求出BD的长，三角形的中位线定理求出EF的长即可.
21．【答案】（1）解：

（2）变小
（3）解：从方差，成绩趋势等角度回答，合理即得分。
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】(1)先列出甲的所有成绩，然后找到中位数即可：直接利用方差的计算公式直接计算乙的方差即可；
(2)根据方差的公式可知，当每个数与平均数的差值变小时，方差也会减小，即可答题；
(3)可通过成绩的上升趋势或者方差进行选择，言之有理即可.
22．【答案】（1）解：3000÷30=100 (米/分)
答：机器人乙出发时的速度是100米/分.
（2）解：根据题意，得
3000+100×(1-50%)m+100(54-30-m)=5000
解得m=8，
30+8=38(分)，
3000+100×(1-50%)×8=3400(米)，
∴C(38，3400)，
y=3400+100(x-38)=100x-400，
∴直线CE的函数表达式为y=100x-400(38≤x≤54)
（3）解：根据BD段甲的速度为128(米/分)，点B(38，3000)得S=128t-1864
S=5000代入，得D(53.625，5000)，
100×(54-53.625)=37.5米
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据速度=路程÷时间计算即可；
(2)利用路程=速度×时间，根据乙机器人在OA、AC、CE三段行进的路程之和为5000列关于m的方程并求解，从而求出点C的坐标，进而求出直线CB的函数表达式即可；
(3)根据时间=路程÷速度求出甲机器人在BD段所用时间，从而求出点D的坐标，进而求出此时乙机器人行进的路程，再计算机器人乙到终点的路程即可.
23．【答案】（1）解： ，得，
（2）解：①当 ， 最大为 3，， 最小为 ， 最大为 ；
② 时 ；
时 ；
时 ；
时 ；
，解得 ；
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)①分别求出y1最大值和y2最小值，即可求出答案；
②根据题意列出不等式组进行解答即可.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠DAB=60°，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠DEC=∠DAB=180°-∠DEB=60°，
∴△CDE为等边三角形.
（2）解：①过C作CM⊥AB交AB延长线于点M，
由(1)知△CDE为等边三角形，
∴CD=CE=DE=2，
在中，∠DAB=60°，
∴∠ABC=120°，AB=CD=2，
∴∠CBM=60°，
∵CE=2，BE=4，
∴BC=6，
在Rt△CBM中，BM=BC·cos60°=3，，
∴AM=AB+BM=5，
在Rt△ACM中，
；
②∵AD//AC，
∴△FAD∽△FCE，
∴，
∴，，，
∵ ，
∴∠DAF=∠DEG，
又∵∠DFA=∠GFE，
∴△FEG∽△FAD，
∴，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用平行四边形性质可得∠C=∠DAB=60°，利用圆内接四边形对角互补可得∠DEC=∠DAB=60°，进而得证；
(2)①由题易得∠ABC=60°，AB=2，BC=4，即可得解；
②先证△FAD∽△FCE，求出，，，再证△FEG∽△FAD，求出，进而得解.
1 / 1浙江省金华市金东区2025年初中学业水平考试适应性监测数学试题卷（二模）
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）
1．（2025·金东二模）下列四个实数中，最小的数是（　　）
A．-3 B．-1 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：-3<-1<0<1，
故答案为：A.
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可.
2．（2025·金东二模） 计算的结果是（　　）
A．-9 B．-6 C． D．
【答案】D
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据负整数指数幂的计算法则进行计算.
3．（2025·金东二模）下列投影中，属于中心投影的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：A，C，D属于平行投影；B属于中心投影，
故答案为：B.
【分析】依据中心投影的定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影；即可解得.
4．（2025·金东二模） 若反比例函数 ）的图像经过点 ，则 k 的值是（　　）
A．-3 B．3 C．12 D．-12
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵反比例函数(k≠0)的图象经过点P(-2，6)，
∴，得k=-12，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数(k≠0)的图象经过点P(-2，6)，从而可以求得k的值.
5．（2025·金东二模） 将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将y=-x2的图象先向下平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，则所得二次函数的表达式为：y=-(x-2)2-2.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.
6．（2025·金东二模） AB 是⊙O的直径，点 C、D为⊙O上的两点，， 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=50°，
∴∠ABC=90°-50°=40°，
∴∠D=∠ABC=40°，
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，即可求出∠ABC的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠D的度数.
7．（2025·金东二模）在浙江金华地区，清明期间人们有做清明颗的习俗，青绿色的粿皮代表着自然的生机，暗含对生命轮回的敬畏。在糯米做成清明粿的过程中，由于水分增加等原因，会使得质量增加10%，现有糯米x斤，若做成清明粿质量超过20斤，则可列出不等式（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意，可列出不等式为：(1+10%)x>20；
故答案为：C.
【分析】根据做成清明粿质量超过20斤，列出不等式即可.
8．（2025·金东二模） 把正方形 ABCD 按如图方式切割成由四个全等的直角三角形（，，，）和小正方形 EFGH，连结 AC，交 BG 于点 P，若 ，，则 PG 的长为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；比例的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵△ABF，△BCG，△CDH，△DAE为四个全等的直角三角形，
∴CG=AE=2，AF=DE=3，
∵四边形HEFG为正方形，
∴GF=EF=AF-AE=3-2=1，HG//EF，
∵GC//AF，
∴△CGP∽△AFP，
∴，
∴
∴
故答案为：A.
【分析】先根据全等三角形的性质得到CG=AE=2，AF=DE=3，再根据正方形得性质得到GF=EF=1，HG//EF，接着证明△CGP∽△AFP，则利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质可计算出PG.
9．（2025·金东二模） 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB=27°，则∠D的度数为（　　）
A．64° B．63° C．54° D．44°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；余角
【解析】【解答】解：连接OC，
∵∠CAB=27°，
∴∠COB=2∠CAB=54
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CD⊥OC，
∵OD⊥AB，
∴∠OCD=∠BOD =90°，
∴∠D+∠COD=90°，∠COB+∠COD=90°，
∴∠D=∠COB=54°，
故答案为：C.
【分析】连接OC，则∠COB=2∠CAB=54，由CD与⊙O相切于点C，得CD⊥OC，因为OD⊥AB，所以∠OCD=∠BOD=90°，则∠D+∠COD=∠COB+∠COD=90，得∠D=∠COB=54°，于是得到问题的答案.
10．（2025·金东二模） 如图，在中，，，P、Q分别是边AB和AC上的动点，且始终保持，连结CP，BQ，则的最小值是（　　）
A．11 B． C． D．8
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：将等腰三角形△ABC的底边BC置于坐标轴上，设B(0，0)，C(6，0)，
作AD⊥BC交BC于点D，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BD=CD=3，
∴，
∵P、Q分别是边AB和AC上的动点， 且AQ=BP，
∴当P、Q为中点时，BQ+CP有最小值，
∴，，
∴，
，
∴，
故答案为：B.
【分析】建立坐标系，确定各点坐标，并运用中点坐标公式和两点间距离公式进行计算即可求解.
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·金东二模）分解因式：x2+5x＝　 　．
【答案】x（x+5）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+5x＝x（x+5），
故答案为： x（x+5）.
【分析】利用提取公因式的计算方法提取公因式x即可得到答案.
12．（2025·金东二模）一个不透明的袋子中装有2个红球、4个黑球，这些球除颜色外无其他差别。现从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有6个球，
∴ 摸到红球的概率，
故答案为：.
【分析】袋子中一共有6个小球，其中摸出的小球是红球的有2个，再根据概率公式求解即可.
13．（2025·金东二模） 在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=3，则sinB=　 　.
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，在△ABC中，∠C=90°，tanA=3，
设BC=3x，则AC=x，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先根据题意求出直角三角形的两直角边，再根据勾股定理求出其斜边，然后运用三角函数的定义求解.
14．（2025·金东二模） 方程组的解是　 　.
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
将①代入②得，
，
解得x=3，
把x=3代入①中，解得，
∴方程组的解为，
故答案为：.
【分析】利用代入消元法解二元一次方程租即可.
15．（2025·金东二模）如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，将△ABC绕点C逆时针旋转α度（0<α<180），得到△DEC，点A和点B的对应点分别为点D和点E，当点D落在AB上时，恰有 DE⊥BC，则α=　 　.
【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：
AC=CD，∠A=∠CDE，∠ACD=α，
∴，
∴，
∵DE⊥BC，
∴
∵∠ACB=45°，
∴∠ACD+∠DCB=45°，
即，
解得α=30°；
故答案为：30°.
【分析】由旋转的性质可知，AC=CD，∠A=∠CDE，∠ACD=α，推出，再根据DE⊥BC，进而得出结论.
16．（2025·金东二模） 将一个矩形按如图所示方式分割成三个相似的直角三角形，按面积从大到小的顺序分别记为，，。将、叠合，得到图1，阴影部分的三角形面积记为；将、叠合，得到图2，阴影部分的四边形面积记为。若，则该矩形的长和宽之比为　 　。
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得如图，
∵四边形C1B2B3A1是矩形，
∴C1B2=A1B3，
设A2B2=B3C3=a，B2C2=b，
∵△A1B1C1∽△A2B2C2∽△A3B3C3，
∴∠B1A1C1=∠B2A2C2，，
∴，
设图1中A1C1与A2C2交于一点E，过点E作EF⊥A1B1，垂足为F，如图所示，
∵∠B1A1C1=∠B2A2C2，
∴，
∵∠A2FE=∠A2B2C2=90°，∠FA2E=∠B2A2C2，
∴△A2FE∽△A2B2C2，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
解得：(负根舍去)，
∴，
∴该矩形的长和宽之比为.
故答案为：.
【分析】设，，由题意易得∠B1A1C1=∠B2A2C2，，则有，设图1中A1C1与A2C2交于一点E，过点E作EF⊥A1B1，垂足为F，然后可得，则有，进而问题可求解.
三、简答题（本大题共有8小题，共72分）
17．（2025·金东二模）计算：。
【答案】解：原式=
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别由二次根式性质化简、零指数幂运算、绝对值运算计算，再由有理数加减运算求解即可得到答案.
18．（2025·金东二模）先化简，再求值：，其中 。
【答案】解：原式 ，当 时，原式=-3
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先去括号，再合并同类项即可化简原式，最后把x的值代入计算可得.
19．（2025·金东二模）如图，在4×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格的格点上。
（1）请在答题卷图19-1中仅用一把无刻度的直尺画出等腰△ABP（P为格点）；
（2）请在答题卷图19-2中仅用一把无刻度的直尺画出∠ABC的角平分线BQ，并加以证明。
【答案】（1）解：如图，点P即为所求；
由勾股定理，得：；
∴AB=BP，
∴△ABP为等腰三角形.
（2）解：如图，BQ即为所求；
证明如下：
由(1)知：△ABP为等腰三角形，AB=BP，
∵D为AP的中点，
∴BD平分∠ABP，即：BQ平分∠ABC.
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】(1)勾股定理求出AB的长，进而取格点P，使BP=AP即可；
(2)取AP的中点D，连接BD，交AC于点Q，根据三线合一，即可得到BQ平分∠ABC.
20．（2025·金东二模）如图，在四边形 ABCD 中，AD// BC，∠B=90°，BC=2AD，点 E，F 分别是BC，CD 中点，连结 AE、EF.
（1）求证：四边形AECD是平行四边形：
（2）若 AB=4、BC=6， 求 EF 的长。
【答案】（1）证明：∵，
∴
∵
∴四边形是平行四边形.
（2）解：连接BD，
∵AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°
∵AB=4，.
∴.
∵点F，F分别是BC，CD中点
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据中点结合已知条件，推出AD=EC，即可得证；
(2)连接BD，勾股定理求出BD的长，三角形的中位线定理求出EF的长即可.
21．（2025·金东二模）春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，相关话题讨论持续火热。某校为了培养学生对人工智能的学习兴趣，丰富学生的视野，计划组织学生进行“人工智能知识竞赛”。王老师为了从甲、乙两名同学中选择一名同学代表班级参赛，让他们进行了十次模拟答题，并绘制了如下的成绩统计图和统计表：
甲、乙成绩统计表
平均成绩（分） 中位数（分） 方差（分2）
甲 96 a 8.6
乙 96 96 b
（1）求a与b的值；
（2）若乙第11次模拟答题的成绩为96分，则乙成绩的方差将　 　（填“变大”、“变小”或“不变”）。
（3）假如你是王老师，你会选择哪位同学代表班级参赛？请说明理由。
【答案】（1）解：

（2）变小
（3）解：从方差，成绩趋势等角度回答，合理即得分。
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】(1)先列出甲的所有成绩，然后找到中位数即可：直接利用方差的计算公式直接计算乙的方差即可；
(2)根据方差的公式可知，当每个数与平均数的差值变小时，方差也会减小，即可答题；
(3)可通过成绩的上升趋势或者方差进行选择，言之有理即可.
22．（2025·金东二模）某地举行机器人跑步比赛，机器人甲和乙以相同的速度同时同地同向出发，在行进30分钟时，两机器人均因机器过热发生故障。机器人甲立即停止行进，服务团队对其进行模块更换优化算法，m分钟后修复完成，行进速度提升了28%：针对机器人乙，服务团队则让其在降低速度50%的情况下继续行进自然降温，在机器人甲修复完成时，机器人乙立即恢复正常速度。比赛过程中机器人行进路程（米）与时间：（分钟）的函数关系如图所示。
（1）求机器人乙出发时的速度；
（2）求直线CE的函数表达式；
（3）当机器人甲到达终点时，求机器人乙到终点的路程。
【答案】（1）解：3000÷30=100 (米/分)
答：机器人乙出发时的速度是100米/分.
（2）解：根据题意，得
3000+100×(1-50%)m+100(54-30-m)=5000
解得m=8，
30+8=38(分)，
3000+100×(1-50%)×8=3400(米)，
∴C(38，3400)，
y=3400+100(x-38)=100x-400，
∴直线CE的函数表达式为y=100x-400(38≤x≤54)
（3）解：根据BD段甲的速度为128(米/分)，点B(38，3000)得S=128t-1864
S=5000代入，得D(53.625，5000)，
100×(54-53.625)=37.5米
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据速度=路程÷时间计算即可；
(2)利用路程=速度×时间，根据乙机器人在OA、AC、CE三段行进的路程之和为5000列关于m的方程并求解，从而求出点C的坐标，进而求出直线CB的函数表达式即可；
(3)根据时间=路程÷速度求出甲机器人在BD段所用时间，从而求出点D的坐标，进而求出此时乙机器人行进的路程，再计算机器人乙到终点的路程即可.
23．（2025·金东二模）已知二次函数 （a，b为常数且）的图像经过（-1，0），对称轴为直线。
（1）求二次函数的表达式。
（2）函数图象上有两个点，。
① 当，时，求的最大值。
② 若，时，存在，求m的取值范围。
【答案】（1）解： ，得，
（2）解：①当 ， 最大为 3，， 最小为 ， 最大为 ；
② 时 ；
时 ；
时 ；
时 ；
，解得 ；
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)①分别求出y1最大值和y2最小值，即可求出答案；
②根据题意列出不等式组进行解答即可.
24．（2025·金东二模）如图1，在中，，过A，B，D三点的交BC于点E，连接DE。
（1）求证：为等边三角形。
（2）如图2，连结AC，分别交DE和于点F，G，若，。
①求AC的长；
②求的值。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠DAB=60°，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠DEC=∠DAB=180°-∠DEB=60°，
∴△CDE为等边三角形.
（2）解：①过C作CM⊥AB交AB延长线于点M，
由(1)知△CDE为等边三角形，
∴CD=CE=DE=2，
在中，∠DAB=60°，
∴∠ABC=120°，AB=CD=2，
∴∠CBM=60°，
∵CE=2，BE=4，
∴BC=6，
在Rt△CBM中，BM=BC·cos60°=3，，
∴AM=AB+BM=5，
在Rt△ACM中，
；
②∵AD//AC，
∴△FAD∽△FCE，
∴，
∴，，，
∵ ，
∴∠DAF=∠DEG，
又∵∠DFA=∠GFE，
∴△FEG∽△FAD，
∴，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用平行四边形性质可得∠C=∠DAB=60°，利用圆内接四边形对角互补可得∠DEC=∠DAB=60°，进而得证；
(2)①由题易得∠ABC=60°，AB=2，BC=4，即可得解；
②先证△FAD∽△FCE，求出，，，再证△FEG∽△FAD，求出，进而得解.
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