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广东省深圳市福田区2025年中考二模数学试卷
1．（2025·福田模拟）如图，数轴上的下列四点中，最可能表示的点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由数轴可知，在原点左侧的各点为负数，在原点右侧的各点为正数，
∵，则在原点的左侧，位于和中间，
∴最可能表示的点是点C，
故选：C．
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
2．（2025·福田模拟）下列中国传统装饰纹样中，为中心对称图形的是（　　）
A．四合云纹 B．葫芦纹
C．如意纹 D．莲花纹
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（2025·福田模拟）深圳远足径“三径三线”全线贯通，总长420000米，这标志着“山海连城”计划迎来了一个新的里程碑．数据420000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据420000用科学记数法可表示为．
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
4．（2025·福田模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原计算错误，故此选项不符合题意；
B.，原计算正确，故此选项符合题意；
C.，原计算错误，故此选项不符合题意；
D.，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘法则，幂的乘方法则及平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025·福田模拟）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（　　）
A．越来越大 B．影子不是直角三角形
C．影子越来越小 D．影子越来越大
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用；平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：A.根据位似图形的性质可得，，大小始终保持不变，该选项错误，故不符合题意；
B. 根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意；
C. 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意；
D. 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意；
故选：D．
【分析】根据位似图形的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025·福田模拟）如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由图可知，最靠近原点的壶属于红队，故红队为本局胜方，
由平面直角坐标系可知，胜方最靠近原点的壶所在位置位于第二象限．
故选：B．
【分析】在图中找出最靠近原点的壶，再根据平面直角坐标系中的象限分布，即可得出结论．
7．（2025·福田模拟）如图，在矩形中，边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，若，则点A旋转到点E的路径长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：在矩形中，，
∵边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A旋转到点E的路径长为，
故选：B
【分析】根据旋转性质可得，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，根据余角可得，再根据弧长公式即可求出答案.
8．（2025·福田模拟）一架无人机在进行倾斜摄影时，已知斜片相机“光轴线”与地面的夹角为（如图），斜片相机能拍摄到的地面宽度为．当无人机处于离地面米时，若，则此时宽度的值为（　　）
A．150 B． C．200 D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵米，
∴米，
∴，
∴米，
∴米．
故选：C．
【分析】根据三角形外角性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得，根据正切定义及特殊角的三角函数值可得OB，再根据角之间的关系可得，根据直角三角形两锐角互余可得OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．（2025·福田模拟）若，则代数式的值等于　 　．
【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由，
∵，
∴原式，
故答案为：．
【分析】化简代数值，再整体代入即可求出答案.
10．（2025·福田模拟）办数学板报时，小福计划从“三大尺规不能问题”（倍立方、三等分角、化圆为方）中，随机选择一个介绍其中的故事，则他选中“三等分角”的概率是　 　。
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选中“三等分角”的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．（2025·福田模拟）如图，一束激光射入水面，在点处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为　 　．
【答案】74
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形外角性质得，又，，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，即可求出答案.
12．（2025·福田模拟）已知反比例函数（m为常数且），当时，y的最大值是，则当时，y的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵当时，y的最大值是，
∴反比例函数的图象经过第三象限，
∴反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，
∴当时，，
∴，
当时，，
∴当时，y的最小值为，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
13．（2025·福田模拟）如图，在中，，平分，连接并延长至点，使得，连接，恰好有．若，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，
∵，平分，
∴，，即垂直平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于点，连接，根据等腰三角形性质可得，，即垂直平分，则，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，即，设，则，根据勾股定理可得DH，CE，根据余弦定义可得，根据直线平行判定定理可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
14．（2025·福田模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的化简求值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据零指数幂，负整数指数幂、二次根式性质，计特殊角的三角函数值，再计算加减即可求出答案.
15．（2025·福田模拟）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
化简 解：原式① ② ③
（1）化简过程中，从第__________（填序号）步开始出现错误．错误的原因是____________________．
（2）请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值．
【答案】（1）①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则
（2）解：原式，
当时，原式．
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】（1）解：从第①步开始出现错误，
未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
【分析】（1）根据分式的混合运算即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将x=-2代入即可求出答案.
（1）解：从第①步开始出现错误，
未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
（2）解：原式，
当时，原式．
16．（2025·福田模拟）智能词典笔是语言学习的实用工具，某商家对两品牌词典笔进行用户评价调研．现从调研的结果中分别随机抽取10名用户的评分，数据如下：
信息一：翻译准确率得分（满分10分，分值越高表示翻译越准确）
A词典笔：6 7 7 8 8 8 9 9 10 10
B词典笔：6 8 7 6 8 9 10 10 9 10
信息二：识别速度得分（如图所示）（满分10分，分值越高表示识别速度越快）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全统计表：根据信息一、二，完成表格数据填写．
统计量 品牌 翻译准确率得分 识别速度得分
平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差
8 ①_________
10 ②_________
（2）样本频数估计：若词典笔的调研用户有200名，估计其翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是__________人．
（3）决策分析：作为消费者的你，你会选择哪个品牌？结合数据说明理由．
（4）调研改进建议：本次调研可能存在哪些不足影响结果的可靠性？请指出一处，并提出改进方法．
【答案】（1）①8，②8
（2）140
（3）解：作为消费者，我会选择品牌，两者在识别速度得分中平均数相同，但是在翻译准确率得分中品牌的平均数，中位数，众数均高于品牌，说明其翻译准确性更好；
（4）解：存在的不足：
①样本数量不足，每个品牌只调查了10名用户，样本量太小，
改进方法：扩大样本量，将抽调样本的人数增加到每个品牌至少50人；
②样本量可能存在缺乏多样性与代表性，可能导致数据偏差；
改进方法：扩大调研范围，采用随机抽样方式，从不同地区、年龄、使用习惯的用户群体中抽取样本．
这样可提升样本的代表性，使调研结果更真实可靠；
③评分维度单一：只考察了翻译准确率和识别速度，缺少其他重要指标；
改进方法：增加评价维度：补充电池续航、操作便捷性等评分项．
【知识点】折线统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：通过信息一可知组数据中出现次数最多的是8，
∴众数是8（分）；
通过信息二可知组数据中按照从小到大的顺序排列，第5位数据为8，第6位数据为8，
∴中位数为（分）
故答案为：8，8；
（2）解：翻译准确率得分不低于8分的用户总人数为（人），
即翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是140人，
故答案为：140；
【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求出答案.
（2）找出符合条件的人数，利用总量乘其占比即可得出符合条件人数；
（3）利用平均数，中位数，众数等作决策即可；
（4）从样本容量或样本的广泛性角度进行分析即可．
（1）解：通过信息一可知组数据中出现次数最多的是8，
∴众数是8（分）；
通过信息二可知组数据中按照从小到大的顺序排列，第5位数据为8，第6位数据为8，
∴中位数为（分）
故答案为：8，8；
（2）解：翻译准确率得分不低于8分的用户总人数为（人），
即翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是140人，
故答案为：140；
（3）解：作为消费者，我会选择品牌，两者在识别速度得分中平均数相同，但是在翻译准确率得分中品牌的平均数，中位数，众数均高于品牌，说明其翻译准确性更好；
（4）解：存在的不足：
①样本数量不足，每个品牌只调查了10名用户，样本量太小，
改进方法：扩大样本量，将抽调样本的人数增加到每个品牌至少50人；
②样本量可能存在缺乏多样性与代表性，可能导致数据偏差；
改进方法：扩大调研范围，采用随机抽样方式，从不同地区、年龄、使用习惯的用户群体中抽取样本．
这样可提升样本的代表性，使调研结果更真实可靠；
③评分维度单一：只考察了翻译准确率和识别速度，缺少其他重要指标；
改进方法：增加评价维度：补充电池续航、操作便捷性等评分项．
17．（2025·福田模拟）春风送暖，与爱同行！为践行“雷锋精神”，某学校举办科创爱心义卖活动，将所得款项全部用于资助西藏贫困学生．在义卖活动中，某摊位将班级的科创作品进行义卖，以下是该摊位销售情况的部分记录：
交易编码 品类与数量 销售总价（元）
一辆电动风力小车、两个简易电动风扇
两辆电动风力小车、三个简易电动风扇
（1）求该摊位一辆电动风力小车和一个简易电动风扇的售价分别是多少元？
（2）若该摊位希望总捐款金额不低于元，计划出售电动风力小车与简易电动风扇共件，那么电动风力小车至少需要多少辆？
【答案】（1）解：设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，
由题意得，，
解得，
答：一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元；
（2）解：设需要辆电动风力小车，
由题意有：，解得，
∵取整数，
∴的最小值为，
答：摊位至少需要辆电动风力小车．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，由题意列出方程组，解方程组即可求出答案.
（）设需要辆电动风力小车，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，
由题意得，，
解得，
答：一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元；
（2）解：设需要辆电动风力小车，
由题意有：，解得，
∵取整数，
∴的最小值为，
答：摊位至少需要辆电动风力小车．
18．（2025·福田模拟）如图，在中，．
（1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全．
（2）推理与计算：
在（1）的条件下，若．
①求证：直线是的切线；
②若，，求的半径．
【答案】（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：连接，
弧弧，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可求出答案.
（2）①连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）设的半径为r，则，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：方法一：连接，
弧弧，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
19．（2025·福田模拟）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是拋物线的一部分）．
（1）轨道初段的总长为__________；并求出小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，求抛物线的函数关系式．
②延长线段，如果直线与抛物线有且只有一个交点，且直线不与抛物线对称轴平行，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：①由题意，Q为顶点，设，则，
代入，有，
解得（舍去），
故，即；
②设直线表达式：，代入，有，即，
联立得，
，
直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，
故线段与抛物线光滑连接；
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第m秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，
由题意，
解得，，
当时，，
故轨道起点与点A之间的距离为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：轨道初段的总长为；
设，则解得，
故；
【分析】（1）设，根据待定系数法将点坐标代入解析式即可求出答案.
（2）①由题意，Q为顶点，设，则，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案；
②设直线表达式：，根据待定系数法将点P坐标代入解析式可得，联立抛物线解析式，根据判别式，可得直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，即可求出答案.
（3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：轨道初段的总长为；
设，则解得，
故；
（2）解：①由题意，Q为顶点，设，则，
代入，有，
解得（舍去），
故，即；
②设直线表达式：，代入，有，即，
联立得，
，
直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，
故线段与抛物线光滑连接；
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第m秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，
由题意，
解得，，
当时，，
故轨道起点与点A之间的距离为．
20．（2025·福田模拟）如图1，点P是对角线上的一点，且使得，连接并延长，交于点E．
（1）若，求的值．
（2）如图2，将沿方向平移到，求证：．
（3）如图3，连接，取的中点M，连接交于点F，若，求的值．
【答案】（1）解：，
，
中，，
，，
，
，
中，，
，
，
．
（2）解：如图2，连接，交于点O，
平移，
，，
，
，
，，
又，，
，
，，即垂直平分，
．
，
．
（3）解：如图所示，取的中点G，连接，延长至点Q，使得，连接，
设，则，
∴，
∴，，
∵M、G分别是的中点，
∴是的中位线，
，
∴，
．
分别为，的中点，
四边形CDPQ是平行四边形，
，
中，，
，
，
，
∵，
．
又中，，
，
中，，
，
，
，
又，，
，
，
∴，
．

【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）连接，交于点O，根据平行性质可得，，则，再根据等角对等边可得，，根据边之间的关系可得，则，，即垂直平分，根据垂直平分线性质可得，则，即可求出答案.
（3）取的中点G，连接，延长至点Q，使得，连接，设，则，根据边之间的关系可得，，再根据三角形中位线定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则．再根据平行四边形判定定理可得四边形CDPQ是平行四边形，则，根据平行四边形性质可得，则，再根据平行四边形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：，
，
中，，
，，
，
，
中，，
，
，
．
（2）解：如图2，连接，交于点O，
平移，
，，
，
，
，，
又，，
，
，，即垂直平分，
．
，
．
（3）解：如图所示，取的中点G，连接，延长至点Q，使得，连接，
设，则，
∴，
∴，，
∵M、G分别是的中点，
∴是的中位线，
，
∴，
．
分别为，的中点，
四边形CDPQ是平行四边形，
，
中，，
，
，
，
∵，
．
又中，，
，
中，，
，
，
，
又，，
，
，
∴，
．
1 / 1广东省深圳市福田区2025年中考二模数学试卷
1．（2025·福田模拟）如图，数轴上的下列四点中，最可能表示的点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．（2025·福田模拟）下列中国传统装饰纹样中，为中心对称图形的是（　　）
A．四合云纹 B．葫芦纹
C．如意纹 D．莲花纹
3．（2025·福田模拟）深圳远足径“三径三线”全线贯通，总长420000米，这标志着“山海连城”计划迎来了一个新的里程碑．数据420000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·福田模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·福田模拟）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（　　）
A．越来越大 B．影子不是直角三角形
C．影子越来越小 D．影子越来越大
6．（2025·福田模拟）如图，是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则决定胜负的那个冰壶所在位置位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025·福田模拟）如图，在矩形中，边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，若，则点A旋转到点E的路径长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·福田模拟）一架无人机在进行倾斜摄影时，已知斜片相机“光轴线”与地面的夹角为（如图），斜片相机能拍摄到的地面宽度为．当无人机处于离地面米时，若，则此时宽度的值为（　　）
A．150 B． C．200 D．
9．（2025·福田模拟）若，则代数式的值等于　 　．
10．（2025·福田模拟）办数学板报时，小福计划从“三大尺规不能问题”（倍立方、三等分角、化圆为方）中，随机选择一个介绍其中的故事，则他选中“三等分角”的概率是　 　。
11．（2025·福田模拟）如图，一束激光射入水面，在点处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为　 　．
12．（2025·福田模拟）已知反比例函数（m为常数且），当时，y的最大值是，则当时，y的最小值为　 　．
13．（2025·福田模拟）如图，在中，，平分，连接并延长至点，使得，连接，恰好有．若，则　 　．
14．（2025·福田模拟）计算：．
15．（2025·福田模拟）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
化简 解：原式① ② ③
（1）化简过程中，从第__________（填序号）步开始出现错误．错误的原因是____________________．
（2）请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值．
16．（2025·福田模拟）智能词典笔是语言学习的实用工具，某商家对两品牌词典笔进行用户评价调研．现从调研的结果中分别随机抽取10名用户的评分，数据如下：
信息一：翻译准确率得分（满分10分，分值越高表示翻译越准确）
A词典笔：6 7 7 8 8 8 9 9 10 10
B词典笔：6 8 7 6 8 9 10 10 9 10
信息二：识别速度得分（如图所示）（满分10分，分值越高表示识别速度越快）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全统计表：根据信息一、二，完成表格数据填写．
统计量 品牌 翻译准确率得分 识别速度得分
平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差
8 ①_________
10 ②_________
（2）样本频数估计：若词典笔的调研用户有200名，估计其翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是__________人．
（3）决策分析：作为消费者的你，你会选择哪个品牌？结合数据说明理由．
（4）调研改进建议：本次调研可能存在哪些不足影响结果的可靠性？请指出一处，并提出改进方法．
17．（2025·福田模拟）春风送暖，与爱同行！为践行“雷锋精神”，某学校举办科创爱心义卖活动，将所得款项全部用于资助西藏贫困学生．在义卖活动中，某摊位将班级的科创作品进行义卖，以下是该摊位销售情况的部分记录：
交易编码 品类与数量 销售总价（元）
一辆电动风力小车、两个简易电动风扇
两辆电动风力小车、三个简易电动风扇
（1）求该摊位一辆电动风力小车和一个简易电动风扇的售价分别是多少元？
（2）若该摊位希望总捐款金额不低于元，计划出售电动风力小车与简易电动风扇共件，那么电动风力小车至少需要多少辆？
18．（2025·福田模拟）如图，在中，．
（1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全．
（2）推理与计算：
在（1）的条件下，若．
①求证：直线是的切线；
②若，，求的半径．
19．（2025·福田模拟）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是拋物线的一部分）．
（1）轨道初段的总长为__________；并求出小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，求抛物线的函数关系式．
②延长线段，如果直线与抛物线有且只有一个交点，且直线不与抛物线对称轴平行，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
20．（2025·福田模拟）如图1，点P是对角线上的一点，且使得，连接并延长，交于点E．
（1）若，求的值．
（2）如图2，将沿方向平移到，求证：．
（3）如图3，连接，取的中点M，连接交于点F，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由数轴可知，在原点左侧的各点为负数，在原点右侧的各点为正数，
∵，则在原点的左侧，位于和中间，
∴最可能表示的点是点C，
故选：C．
【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据420000用科学记数法可表示为．
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原计算错误，故此选项不符合题意；
B.，原计算正确，故此选项符合题意；
C.，原计算错误，故此选项不符合题意；
D.，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘法则，幂的乘方法则及平方差公式逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用；平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：A.根据位似图形的性质可得，，大小始终保持不变，该选项错误，故不符合题意；
B. 根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意；
C. 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意；
D. 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意；
故选：D．
【分析】根据位似图形的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由图可知，最靠近原点的壶属于红队，故红队为本局胜方，
由平面直角坐标系可知，胜方最靠近原点的壶所在位置位于第二象限．
故选：B．
【分析】在图中找出最靠近原点的壶，再根据平面直角坐标系中的象限分布，即可得出结论．
7．【答案】B
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：在矩形中，，
∵边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A旋转到点E的路径长为，
故选：B
【分析】根据旋转性质可得，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，根据余角可得，再根据弧长公式即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵米，
∴米，
∴，
∴米，
∴米．
故选：C．
【分析】根据三角形外角性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得，根据正切定义及特殊角的三角函数值可得OB，再根据角之间的关系可得，根据直角三角形两锐角互余可得OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由，
∵，
∴原式，
故答案为：．
【分析】化简代数值，再整体代入即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选中“三等分角”的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．【答案】74
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形外角性质得，又，，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵当时，y的最大值是，
∴反比例函数的图象经过第三象限，
∴反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，
∴当时，，
∴，
当时，，
∴当时，y的最小值为，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，
∵，平分，
∴，，即垂直平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于点，连接，根据等腰三角形性质可得，，即垂直平分，则，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，即，设，则，根据勾股定理可得DH，CE，根据余弦定义可得，根据直线平行判定定理可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
14．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的化简求值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据零指数幂，负整数指数幂、二次根式性质，计特殊角的三角函数值，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】（1）①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则
（2）解：原式，
当时，原式．
【知识点】平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】（1）解：从第①步开始出现错误，
未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
【分析】（1）根据分式的混合运算即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将x=-2代入即可求出答案.
（1）解：从第①步开始出现错误，
未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则；
（2）解：原式，
当时，原式．
16．【答案】（1）①8，②8
（2）140
（3）解：作为消费者，我会选择品牌，两者在识别速度得分中平均数相同，但是在翻译准确率得分中品牌的平均数，中位数，众数均高于品牌，说明其翻译准确性更好；
（4）解：存在的不足：
①样本数量不足，每个品牌只调查了10名用户，样本量太小，
改进方法：扩大样本量，将抽调样本的人数增加到每个品牌至少50人；
②样本量可能存在缺乏多样性与代表性，可能导致数据偏差；
改进方法：扩大调研范围，采用随机抽样方式，从不同地区、年龄、使用习惯的用户群体中抽取样本．
这样可提升样本的代表性，使调研结果更真实可靠；
③评分维度单一：只考察了翻译准确率和识别速度，缺少其他重要指标；
改进方法：增加评价维度：补充电池续航、操作便捷性等评分项．
【知识点】折线统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：通过信息一可知组数据中出现次数最多的是8，
∴众数是8（分）；
通过信息二可知组数据中按照从小到大的顺序排列，第5位数据为8，第6位数据为8，
∴中位数为（分）
故答案为：8，8；
（2）解：翻译准确率得分不低于8分的用户总人数为（人），
即翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是140人，
故答案为：140；
【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求出答案.
（2）找出符合条件的人数，利用总量乘其占比即可得出符合条件人数；
（3）利用平均数，中位数，众数等作决策即可；
（4）从样本容量或样本的广泛性角度进行分析即可．
（1）解：通过信息一可知组数据中出现次数最多的是8，
∴众数是8（分）；
通过信息二可知组数据中按照从小到大的顺序排列，第5位数据为8，第6位数据为8，
∴中位数为（分）
故答案为：8，8；
（2）解：翻译准确率得分不低于8分的用户总人数为（人），
即翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是140人，
故答案为：140；
（3）解：作为消费者，我会选择品牌，两者在识别速度得分中平均数相同，但是在翻译准确率得分中品牌的平均数，中位数，众数均高于品牌，说明其翻译准确性更好；
（4）解：存在的不足：
①样本数量不足，每个品牌只调查了10名用户，样本量太小，
改进方法：扩大样本量，将抽调样本的人数增加到每个品牌至少50人；
②样本量可能存在缺乏多样性与代表性，可能导致数据偏差；
改进方法：扩大调研范围，采用随机抽样方式，从不同地区、年龄、使用习惯的用户群体中抽取样本．
这样可提升样本的代表性，使调研结果更真实可靠；
③评分维度单一：只考察了翻译准确率和识别速度，缺少其他重要指标；
改进方法：增加评价维度：补充电池续航、操作便捷性等评分项．
17．【答案】（1）解：设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，
由题意得，，
解得，
答：一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元；
（2）解：设需要辆电动风力小车，
由题意有：，解得，
∵取整数，
∴的最小值为，
答：摊位至少需要辆电动风力小车．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，由题意列出方程组，解方程组即可求出答案.
（）设需要辆电动风力小车，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元，
由题意得，，
解得，
答：一辆电动风力小车售价为元，一个简易电动风扇价格为元；
（2）解：设需要辆电动风力小车，
由题意有：，解得，
∵取整数，
∴的最小值为，
答：摊位至少需要辆电动风力小车．
18．【答案】（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：连接，
弧弧，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可求出答案.
（2）①连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）设的半径为r，则，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：方法一：连接，
弧弧，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
19．【答案】（1）；
（2）解：①由题意，Q为顶点，设，则，
代入，有，
解得（舍去），
故，即；
②设直线表达式：，代入，有，即，
联立得，
，
直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，
故线段与抛物线光滑连接；
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第m秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，
由题意，
解得，，
当时，，
故轨道起点与点A之间的距离为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：轨道初段的总长为；
设，则解得，
故；
【分析】（1）设，根据待定系数法将点坐标代入解析式即可求出答案.
（2）①由题意，Q为顶点，设，则，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案；
②设直线表达式：，根据待定系数法将点P坐标代入解析式可得，联立抛物线解析式，根据判别式，可得直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，即可求出答案.
（3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：轨道初段的总长为；
设，则解得，
故；
（2）解：①由题意，Q为顶点，设，则，
代入，有，
解得（舍去），
故，即；
②设直线表达式：，代入，有，即，
联立得，
，
直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，
故线段与抛物线光滑连接；
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第m秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，
由题意，
解得，，
当时，，
故轨道起点与点A之间的距离为．
20．【答案】（1）解：，
，
中，，
，，
，
，
中，，
，
，
．
（2）解：如图2，连接，交于点O，
平移，
，，
，
，
，，
又，，
，
，，即垂直平分，
．
，
．
（3）解：如图所示，取的中点G，连接，延长至点Q，使得，连接，
设，则，
∴，
∴，，
∵M、G分别是的中点，
∴是的中位线，
，
∴，
．
分别为，的中点，
四边形CDPQ是平行四边形，
，
中，，
，
，
，
∵，
．
又中，，
，
中，，
，
，
，
又，，
，
，
∴，
．

【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）连接，交于点O，根据平行性质可得，，则，再根据等角对等边可得，，根据边之间的关系可得，则，，即垂直平分，根据垂直平分线性质可得，则，即可求出答案.
（3）取的中点G，连接，延长至点Q，使得，连接，设，则，根据边之间的关系可得，，再根据三角形中位线定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则．再根据平行四边形判定定理可得四边形CDPQ是平行四边形，则，根据平行四边形性质可得，则，再根据平行四边形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：，
，
中，，
，，
，
，
中，，
，
，
．
（2）解：如图2，连接，交于点O，
平移，
，，
，
，
，，
又，，
，
，，即垂直平分，
．
，
．
（3）解：如图所示，取的中点G，连接，延长至点Q，使得，连接，
设，则，
∴，
∴，，
∵M、G分别是的中点，
∴是的中位线，
，
∴，
．
分别为，的中点，
四边形CDPQ是平行四边形，
，
中，，
，
，
，
∵，
．
又中，，
，
中，，
，
，
，
又，，
，
，
∴，
．
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