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2024-2025学年人教版数学七年级下册期末综合练习
一、单选题（本大题共10小题，共30分）
1．已知下列各数中，无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．已知，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点的横坐标是，且点到轴的距离为，则点的坐标是( )
A．或 B．或
C． D．
5．下列调查方式，你认为最合适的是（　　）
A．调查某班学生的中考体考成绩，采用抽样调查
B．调查某飞机零部件的安全性，采用全面调查
C．调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用抽样调查
D．调查某池塘现有鱼的数量，采用全面调查
6．如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，则依据图中所示的规律，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，下列四个条件：①；②；③；④，其中能判定的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
8．若关于x的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
10．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？
设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，下列是甲、乙、丙、丁四名同学列的方程或方程组，
甲同学：；乙同学：；丙同学：；丁同学：．
正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．若，则整数m的值为 ．
12．在方程中，用含有x的代数式表示y为
13．已知关于的二元一次方程组的解为，且满足，则的值为 ．
14．某种商品的进价为100元，出售标价为150元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则最多可打 折．
15．关于的不等式组恰好只有四个整数解，则的取值范围是 ．
16．将点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后的坐标为 ．
17．为了解我校八年级200名学生期中数学考试情况，从中抽取了50名学生的数学成绩进行统计．下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②200名学生是总体；③每名学生的期中考试数学成绩是个体；④50名学生是总体的一个样本；⑤50名学生是样本容量．其中正确的判断有 个．
18．如图，已知，点在上，点在上，点在上方，，点在的反向延长线上，且，设，则的度数为 ．（用含的式子表示）
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．[6分]解二元一次方程组
(1) (2)
20．[12分]（1）计算：
① ②
③ （2）解方程：
21．[5分]解不等式组，并写出它的整数解．
22．[5分]寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用，若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋
23．[6分]第四届全民阅读大会于2025年4月23日至25日在太原举办，大会主题是“培育读书风尚建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神家园，提升社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校2000名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调查，调查的图书类型包括“A人文社科类”、“B文学艺术类”、“C科普生活类”、“D少儿类”和“E其它”，并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了_______名学生，的值为_______；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？
（4）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议．
24．[6分]在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为，面积为的长方形．
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．
25．[6分]随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元．
（1）求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案．
（3）若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
26．[6分]如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，其中点，，分别为点，，的对应点．
（1）请在所给坐标系中画出，并直接写出点的坐标；
（2）若边上一点经过上述平移后的对应点为，用含，的式子表示点的坐标；（直接写出结果即可）
（3）求的面积．
27．[6分]如图①，已知，点E在直线，之间．
（1）试说明．
（2）若平分，将线段沿平移至．
①如图②，若，平分，求的度数；
②如图③，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．
28．[8分]若一个不等式（组）有解且解集为，则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式（组）的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）对于不等式（组）中点包含．
（1）已知关于的不等式组，以及不等式，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【分析】理解无理数是无限不循环小数．根据无理数的定义逐个判断即可解答．
【详解】解：，
在，，，，，，中，
，，是无理数，共3个，
故选B．
2．【答案】A
【分析】根据不等式的基本性质3判断A，再根据不等式的基本性质1解答B，再列举特殊值解答C，D．
【详解】解：因为，两边都乘以，得，所以A正确；
因为，两边都加上，得，所以B不正确；
当时，，可知，所以C不正确；
当时，，可知，所以D不正确．
故选A．
3．【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【详解】解：的算术平方根是，
故选D．
4．【答案】A
【分析】注意：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值．根据点到坐标轴的距离求解即可．
【详解】解：点的横坐标是，点到轴的距离为，所以点的纵坐标为或，
所以点的坐标为或，
故选A．
5．【答案】B
【分析】通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．其二，调查过程带有破坏性．其三，有些被调查的对象无法进行普查．
【详解】解：A、调查某班学生的中考体考成绩，采用全面调查方式，本选项说法不合适，不符合题意；
B、调查某飞机零部件的安全性，采用全面调查，本选项说法合适，符合题意；
C、调查乘坐高铁的乘客是否携带违禁物品，采用全面调查，本选项说法不合适，不符合题意；
D、调查某池塘中现有鱼的数量，采用抽样调查方式，本选项说法不合适，不符合题意；
故选B．
6．【答案】A
【分析】观察出一般规律：点的坐标为，且点与点关于轴对称（其中，为正整数），再根据，即可得．
【详解】解：由图可知，，即，且点与点关于轴对称，
，即，且点与点关于轴对称，
，即，且点与点关于轴对称，
归纳类推得：点的坐标为，即为，且点与点关于轴对称（其中，为正整数），
∵，，
∴点的坐标为，即为，且点与点关于轴对称，
∴点的坐标为，
故选A．
7．【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】解：∵，∴，故①不符合题意；
∵，∴，故②符合题意；
∵，∴，故③符合题意；
∵，∴，∴，故④不符合题意；
故选B．
8．【答案】D
【分析】解第一个不等式得出其解集，再根据“大大小小无解了”可得答案．
【详解】解：由题意可得：，
不等式组无解，
故选D．
9．【答案】C
【分析】首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．
【详解】解：∵
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选C．
10．【答案】B
【分析】设合伙人数为x人，羊价为y钱，每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，根据羊的价格不变列式；根据人数不变列式即可求解．
【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，根据羊的价格不变可得，
∴，
根据人数不变得到，
∴甲、丙同学正确，
故选B ．
11．【答案】
【分析】根据题意估算的大小，进一步可以得出答案．
【详解】解：，
，
m为正整数，且，
．
12．【答案】
【分析】先移项，得，再在方程两边同时乘上，即可作答．
【详解】解：∵，
∴
∴
13．【答案】
【分析】二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程组中求得，再根据已知得到，据此计算即可得到答案．
【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为，
∴，
两式相加得，
∵，
∴，
解得
14．【答案】八
【分析】设可以打x折，根据利润不低于20%，即可列出一元一次不等式150x-100≥100×20%，解不等式即可得出结论．
【详解】解：设可以打x折，根据题意可得：
150x 100≥100×20%，
解得x≥0.8
所以最多可以打八折．
15．【答案】
【分析】根据题意先解第一个不等式，再对整数解进行分析即可列出关于的不等式继而得到本题答案．
【详解】解：∵不等式组，
∴解不等式①得：，
不等式②整理得：，
∵不等式组恰好只有四个整数解，
∴，
∴.
16．【答案】
【详解】解：将点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后的坐标为，即.
17．【答案】2
【分析】根据各定义依次判断即可得到答案．
【详解】解：①这种调查方式是抽样调查，正确，符合题意；
②总体是我校八年级200名学生期中数学考试成绩，原说法错误，不符合题意；
③每名学生的期中考试数学成绩是个体，正确，符合题意；
④50名学生的期中数学考试成绩是总体的一个样本，原说法错误，不符合题意；
⑤样本容量是50，原说法错误，不符合题意；
∴正确的有2个.
18．【答案】
【分析】过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则．
【详解】解：如图所示，过点A作，过点E作，
∵，
∴，
∵，，
∴设，，
∵，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴.
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用代入消元法先求解，再把代入①，求解即可；
（2）应用加减消元法整理方程组可得③，④，再进一步求出方程组的解即可．
【详解】（1）解：
①代入②，可得：，
解得，
把代入①，解得，
∴原方程组的解是．
（2）解：，
由①可得：③，
由②可得：④，
，可得，
解得
把代入③，可得：
解得
∴原方程组的解是．
20．【答案】（1）① ②7 ③24 （2），
【分析】（1）①先计算算术平方根，再将分数化为小数，然后进行加减计算即可；
②先进行算术平方根，立方根的计算，再进行加减计算即可；
③先化简绝对值，计算平方，算术平方根，然后进行加减计算即可；
（2）先移项，然后用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：（1）①
，
②
，
③
；
（2）
移项，得
开平方，得
解得，．
21．【答案】（1）每副围棋16元，每副中国象棋10元；（2）最多可以购买25副围棋；
【分析】（1）可设每副围棋元，每副中国象棋元，根据“若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元”可列出关于x,y的二元一次方程组，用消元法解之即可.（2）由（1）可知一副围棋和象棋的价格，可设购买围棋副，“购买围棋和中国象棋共40副”,知购买象棋副，根据“总费用不超过550元”可列出关于z的一元一次不等式组，求出z的解集，取最大值即可.
【详解】解：（1）设每副围棋元，每副中国象棋元，
根据题意得：，
∴，
∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；
（2）设购买围棋副，则购买象棋副，
根据题意得：，
∴，
∴最多可以购买25副围棋；
22．【答案】（1）50，30
（2）见详解
（3）400名
（4）见详解
【分析】（1）用A类的人数和所占的百分比求出总人数；用A类的人数除以总人数，即可得出m的值；
（2）用总人数减去A、B、C、E类的人数，得到D类的人数，即可补全条形统计图；
用360°乘以C类所占的百分比即可得出区域C的圆心角度数；
（3）用学校总人数乘以样本中喜欢B文学艺术类的学生所占的百分比即可．
（4）根据题意，写出建议即可．
【详解】（1）解：这次调查的学生人数为（人）；
D类的人数为（人）．
，
∴.
（2）解：补全图形如下：
（3）解：
答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有400名；
（4）解：因为喜欢“科普生活类”和“少儿类”的学生较多，建议学校多购置“科普生活类”和“少儿类”图书等.
23．【答案】；
【分析】先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进一步求出它的整数解即可．
【详解】解：由，得：；
由，得：；
∴不等式组的解集为，
∴它的整数解为：．
24．【答案】（1）长方形的长为15cm，宽为5cm；
（2）她的说法正确，理由见详解
【分析】（1）根据题意设长方形的长为cm，宽为cm，则，再利用平方根的含义解方程即可；
（2）设正方形的边长为y， 根据题意可得， 利用平方根的含义先解方程，再比较与3的大小即可．
【详解】（1）解：根据题意设长方形的长为cm，宽为cm，则
即
答：长方形的长为15cm，宽为5cm．
（2）设正方形的边长为y， 根据题意可得，
，
原来长方形的宽为5cm，
正方形的边长与长方形的宽之差为，
即，
.
所以她的说法正确．
25．【答案】（1）型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元
（2）共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆
（3）购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元
【分析】（）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解方程即可求解；
（）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论；
（）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论；
【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
由题意得，，
解得，
答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
由题意得，，
解得，
，均为正整数，
，，，
共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元；
，
购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元．
26．【答案】（1）见详解，点的坐标为
（2）点
（3）
【分析】（1）首先确定、，三点平移后的位置，再连接即可得到，最后根据图形可得到点的坐标；
（2）根据左右平移，纵坐标不变，横坐标加减，上下平移，横坐标不变，纵坐标加减可得答案；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：
点的坐标为；
（2）边上一点经过上述平移后的对应点为，
点；
（3）的面积为：
．
27．【答案】（1）见详解
（2）①；②，理由见详解
【分析】（1）过点E作直线，根据两直线平行内错角相等推出，即可；
（2）①平分，设，根据平行线的性质可以得到的度数；
②设，，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到与的数量关系．
【详解】（1）证明：如图1，过点E作直线，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
①∵平分，设，
又，
∴，
又，，
∴，
如图2，过点H作，
∴；
②，理由如下：
设，，
∵平分，
∴，
由（1）知，
如图3，过点H作，
同理，
即，，
∴．
28．【答案】（1）是，见详解
（2）
【分析】（1）根据不等式组的解集判断即可求解；
（2）求出不等式组和的解集，根据定义得到关于m的不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为，
不等式组的解集中点值为，
不等式组：，不等式组的解集中点值为5，
不等式组对于不等式组中点包含，
（2）解：不等式组：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为，
∴
解得：；
不等式组的解集中点值为；
不等式组：，
解不等式④，得，
不等式组的解集为，
∴
∴
不等式组对于不等式组中点包含，
，
．
又由不等式组中，，不等式组中，
∴
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