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2025年中考数学考前冲刺
动点问题的函数图象压轴练习题
1．如图1，甲、乙分别从相距的A，B两点同时开始沿线段运动，运动过程中甲与点A的距离与时间的函数关系图像如图2，乙与点B的距离与时间的函数关系图像如图3，已知甲全程的平均速度为，且两图像中．
(1)请求出甲从点A到点B的运动速度与从点B到点A的运动速度的比值；
(2)请结合题意，将乙与点A的距离与时间的函数图像画在图2中，并求出甲乙的相遇时刻．
2．如图1，在等边三角形中，动点P从点C出发沿C→B→A匀速运动，同时动点Q从点B出发沿B→A→C匀速运动，且速度均为每秒1个单位，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为，面积为S．图2中的曲线是动点P在边上时S与t的函数图象．
(1)的长为_______；______．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数．请求出此时S与t的函数解析式．
(3)在运动过程中，若存在三个时刻对应的面积均相等，且，求的值．
3．如图1，在长方形中，，点P从点A出发以秒的速度沿的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示．
(1)点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？
(2)点P从点A出发，经过多少秒后三角形的面积恰好是？
4．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线方向运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，到点后以每秒1个单位的速度沿方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒（），的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出面积大于6时，的取值范围．
5．如图1，在平行四边形中，，，，点为边的中点，点沿着的方向每秒1个单位运动，到达点停止运动，同时点沿着的方向每秒个单位运动，一点停止时另一点也停止运动，连接、、，设的运动时间为秒，记的面积为，记的面积为．
(1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在图2给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合、的函数图象，请直接写出时的取值范围．
6．如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)当的面积为时，请直接写出的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）．
7．如图1所示，正方形中，，点P从点A出发，沿折线运动，当它到达点D时停止运动，连接，，记点P运动的路程为x，的面积为y．
(1)直接写出y与x之间的函数解析式，注明自变量x的取值范围，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数图象；
(2)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质；
(3)请根据函数的图象，直接写出当时x的取值范围．
8．如图，四边形中，，．动点P，Q分别以每秒1个单位长度的速度从D，C同时出发，点P沿方向运动，到达C点停止运动，点Q沿折线方向运动，到达A点停止运动，连接，设点P、点Q的运动时间为t秒，四边形的面积为y．
(1)请直接写出y关于时间t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出四边形的面积小于11时t的范围．
9．如图，矩形中，，，点E为边的中点，点F为边的三等分点，动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，的面积为y．
(1)请直接写出x关于y的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出时，自变量x的取值范围．
10．如图，在直角梯形中，，现有一动点Q从C点出发沿的方向移动到A点（含端点C和点A），当它到A时停止．设Q点经过的路程为，线段围成的封闭图形面积为．
(1)直接写出与x的函数关系式，并注明x的取值范围；
(2)在x的取值范围内画出的图象，写出函数的一条性质：______________；
(3)结合函数图象，当直线与的函数图象有两个交点时，直接写出常数m的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）．
11．如图，设是边长为6个单位长度的等边三角形，动点E、F同时从点A出发，点E在边上运动到B后折返，点F在边上运动到C后折返，折返时间忽略．已知动点E、F在折返前都是每秒1个单位长度运动，折返后都是每秒2个单位长度运动，当返回到点A时运动停止．设运动时间为x秒，点E、F之间的距离为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
(2)在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出点E、F的距离超过4个单位长度时x的取值范围．
12．如图，在矩形中，对角线，交于点，，．动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点，点的运动时间为秒，点，之间的距离为．

(1)请直接写出与之间的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出，两点相距2个单位长度时的值．
13．如图1，在矩形中，和交于点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，到达点停止运动，设运动时间为秒，的面积为．
(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，写出时，自变量的取值范围．（结果保留一位小数）
14．如图，在正方形中，，动点从点出发，沿以每秒1个单位的速度运动，到达点停止运动，连接，设点的运动时间为，的面积为（当点与两点重合时，的值为0）
(1)用含关系式表示，并写出的取值范围；
(2)用折线统计图的思想描绘面积与时间的关系；
(3)直接写出不等式的解集是_____________.
15．如图1，在中，于点，动点从点出发，沿射线以的速度匀速运动，到达点时停留后以原速度继续运动．如图2为的面积随时间的变化图像．

(1)填写图2中数据：______，______，______，______；
(2)当点D在线段BC上时，写出S与的关系式：______；
(3)当为何值时，？
《2025年中考数学考前冲刺动点问题的函数图象压轴练习题》参考答案
1．(1)甲从点A到点B的运动速度与从点B到点A的运动速度的比值为；
(2)图像见解析；甲乙的相遇时刻分别为和．
【分析】此题考查了函数图像获取信息，读懂图像是解题的关键．
（1）根据题意可知，甲到所用时间为，从回到所用时间为，路程不变，即可求出答案；
（2）根据题意画出函数图像即可，结合一次函数交点情况分两种情况进行求解即可得到答案；
【详解】（1）解：甲到所用时间为，从回到所用时间为，
路程不变，
甲从到的速度是从到运动速度的倍，
即甲从点A到点B的运动速度与从点B到点A的运动速度的比值为；
（2）根据题意，分别将甲、乙与点的距离与时间的函数图像画在下图中，两个函数图像交点即为甲乙两个相遇情况，
故可知，两个相遇两次．
∵，
∴，，，
乙由到时间等于甲从到的时间，则乙由到的时间等于甲从到的时间，甲乙行完全程的时间相等，乙由到时间为其由到时间三倍，
甲全程平均速度，
由图知，整个过程总路程为，
总时间为，
∴，解得，
甲从A运动到B的速度为，
故点，
如图，设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，代入点，得到，
，解得，
∴，
令，解得，
同理可得，直线的解析式为，直线的解析式为，
令，解得，
综上可知，甲乙的相遇时刻分别为和．
2．(1)4，
(2)
(3)
【分析】（1）由图2可知，时，动点P从C点运动到B点，因此，故，当时，动点P运动到的中点，动点Q运动到的中点，，因此可求出m的值；
（2）过点Q作，垂足为D．当点P在边上时，．
在中，，根据即可得出答案．
（3）当时，设抛物线的解析式为，将代入解析式，可求出a的值，由存在三个时刻对应的面积均相等，．
根据二次函数的对称性可知，因此，故，由即可求出答案．
【详解】（1）解：由图2可知，时，动点P从C点运动到B点，
动点P运动速度为每秒1个单位，
，
为等边三角形，
，
当时，动点P运动到的中点，动点Q运动到的中点，
过点Q作于点H，
，
，
故，
故答案为：4，；
（2）过点Q作，垂足为D．
当点P在边上时，．
在中，．
．
（3）由（1）可知，当时，抛物线的顶点坐标为．
当时，设抛物线的解析式为
将代入解析式，解得
．
存在三个时刻对应的面积均相等，
．
根据二次函数的对称性可知，
．
．
∴，
解得．
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，动点问题，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．(1)点P从点A出发，经过11秒后到达点D
(2)经过秒或秒后三角形的面积恰好是
【分析】本题主要考查动点运动的函数图象问题，根据图2得出的长进而求出是解题的关键．
（1）由图2可知，点P运动3秒到达点B，再由点P的运动速度和进行求解即可；
（2）由（1）中求得的数据，可知长方形的面积，进而可得出点P在上运动时，的面积为定值30，再对点P的位置再和上进行分类即可．
【详解】（1）解：由图2知，点P运动3秒时到达B点，
又∵点P的运动速度是秒，
∴．
又∵，
∴．
又∵四边形是长方形，
∴．
∴，
∴（秒）．
∴点P从点A出发，经过11秒后到达点D．
（2）解：由（1）知，，
当点P在上运动时，的面积恒为：．
又，故不符合题意；
当点P在边上时，
，
（秒）．
当点P在边上时，
，
（秒）．
综上所述，经过秒或秒后三角形的面积恰好是．
4．(1)
(2)图象见详解，该函数的一条性质为：当时，y随x的增大而增大
(3)
【分析】本题考查了动点问题，一次函数的图象与性质，正确理解动点问题是解题的关键．
（1）当E在，F在上运动时，，则，利用即可求解，当E、F在上运动时，，则，，因此，利用即可求解；
（2）结合（1）中求解的函数解析式即可画出其图象，进而求解；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：，，
，
当E在，F在上运动时，，
则，
，
当E、F在上运动时，，
则，，
，
，
综上所述：；
（2）由（1）可得：
该函数的一条性质为：当时，y随x的增大而增大；
（3）若面积大于6，则
当 时，，
解得，
当时， ，
解得，
综上所述：的取值范围为．
5．(1)，
(2)图象见解析，性质：当时，取最大值，（答案不唯一，合理即可）
(3)
【分析】（1）过作于点，由，得到，，再由中点得到即可说明点与点重合，即，，然后利用等高的三角形面积比等于底的比求、关于的函数表达式，注意点需要分在线段和上两种情况讨论；
（2）根据、关于的函数表达式结合范围画出图象即可；
（3）结合图象找到在上方时的取值范围，即为时的取值范围．
【详解】（1）解：过作于点，
∵平行四边形中，，，
∴，，，，，
∴，即，
∴，，
∵点为边的中点，
∴，
∴点与点重合，即，，
∴，
∴，
∵点沿着的方向每秒个单位运动，运动时间为秒，
∴，，
∵，的面积为，
∴，
整理得，
∵点沿着的方向每秒1个单位运动，设的运动时间为秒，
∴当点在线段上时，，此时，；
当点在线段上时，，此时，
如图，延长、交于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
整理得，
综上所述，；
（2）解：函数、的图象如图所示：
由图象可得，当时，取最大值，（答案不唯一，合理即可）；
（3）解：由函数图象可得，当时，的取值范围为．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，证明是解题的关键．
6．(1)
(2)作图见解析，该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一）
(3)或
【分析】本题考查动点问题函数图象，一次函数和二次函数图象的作法，勾股定理，
（1）首先根据勾股定理求出，然后求出，当两者相遇时，，然后分以及分别求解即可得出答案；
（2）根据函数解析式描点连线作图，根据图象可写出一条性质；
（3）将分别代入和求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
．
如图1所示，过点C作于点D，
∵
∴
∴当两者相遇时，
∴；
分两种情况：
①当时，点E在上，点F在上时，如图2，
由题意得，，
∴；
②当时，点E和点F都在上时，过点C作于D，如图3，
由题意得，，
∴
∴
综上所述，y关于x的函数解析式为；
（2）由（1）中得到的函数解析式可知，
当时，；
当时，；
如图，分别描出对应点然后顺次连线．
该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一）．
（3）当时，代入函数，得，
解得（负值舍去）；
当时，代入函数，得，
解得．
综上所述，当的面积为时，或．
7．(1)，图见解析
(2)①该函数图象是轴对称图形，其对称轴是直线；②当时，随的增大而增大；当时，值不变；当时，随的增大而减小；③该函数有最大值，当时，有最大值为8（任选一个即可）
(3)
【分析】本题是一次函数综合题，考查了三角形的面积，用到了列函数解析式、一次函数的图象和性质、利用图象解不等式，数形结合是解题的关键．
（1）根据三角形的面积公式，当点P在上运动时，x的取值范围是，当点P在上运动时，x的取值范围是，当点P在上运动时，x的取值范围是，进而写出y关于x的函数表达式；根据y和x的函数解析式即可在平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
（2）由函数解析式可以写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，即可得当时x的取值范围．
【详解】（1）
解：当时，当点P在上运动，此时，；
当时，当点P在上运动，此时；
当时，点P在上运动，此时，；
∴；
当时，，
当时，，
当时，，
描出点，，，连接后即可得到函数的图象，如图，
（2）函数的性质：当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）当时，，解得，
当时，，解得，
∴结合函数图象，时x的取值范围是．
8．(1)
(2)见解析；当时，y随t的增大而减小
(3)或
【分析】此题考查了坐标与图形、求函数解析式、从函数图象获取信息是解题的关键．
（1）根据动点P、Q运动的路线分段进行分析，写出解析式即可；
（2）利用描点、连线画出二次函数的图象即可；
（3）根据图象即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
当点Q在上时，连接，
由题意可得，，
∴
即，
当点Q在上时，如图，
由题意可得，，，
∴
即,
综上可知，
（2）函数图象如图所示：
当时，y随t的增大而减小
（3）由图象可知，四边形的面积小于11时为或．
9．(1)
(2)图象见解析，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小
(3)当时，
【分析】本题考查了动点问题的函数图象、矩形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）分和两种情况分别求出函数解析式即可；
（2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可；
（3）根据（2）中图象可直接得出答案．
【详解】（1）解：在矩形中，，，
点E为边的中点，点F为边的三等分点，
，，，
当点P在上时，如图，
则，，解得，
，
的面积
；
当点P在上时，，如图，
则，，
的面积
，
；
（2）解：函数图象如图所示，
当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小；
（3）解：由（2）中图形可知，当时，．
10．(1)
(2)作图见详解，性质：当时，随着x的增大而减小（答案不唯一）
(3)
【分析】（1）分类讨论，由题意得四边形是矩形，由求得，则，在中，由勾股定理求得，当点Q在上时，即时，当点在上时，即，过点作于点，，，，则综上，；
（2）作出图像，根据图像作答即可；
（3）找出两个临界点，一个是经过点=原点时符合题意，当经过时不符合题意，中间段中的图像的m值均符合题意，即可求解．
【详解】（1）解：过点作于点，则，
由题意得，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理求得，
当点Q在上时，即时，
当点在上时，即，过点作于点，
由可设，
则由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
，
∴
综上，；
（2）解：函数图像如图示：
一条性质为：当时，随着x的增大而减小（答案不唯一）
（3）解：直线经过原点时，符合题意，此时，如图：
联立，
解得，
当直线经过点，此时有1个交点，如图：
则，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了动点问题，画函数图象，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求一次函数的解析式，正确理解动点问题求出函数解析式是解题的关键：
11．(1)
(2)图象见解析，当时，该函数有最大值，最大值为；
(3)
【分析】本题考查了函数在几何中的应用，涉及了等边三角形的性质，抓住是等边三角形是解题关键．
（1）由题意得是等边三角形，分类讨论、两种情况即可求解；
（2）根据函数解析式即可描点作图；
（3）确定点E、F的距离为4个单位长度时x的取值即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：
∵
∴是等边三角形
当时，；
当时，；
∴
（2）解：如图所示：
当时，该函数有最大值，最大值为；
（3）解：由图可知：当或时，点E、F的距离为4个单位长度
故：当时，点E、F的距离超过4个单位长度
12．(1)；
(2)图形见解析；当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大；
(3)2或 5．
【分析】本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定和性质，涉及到一次函数的图象和性质，函数作图，分类求解是解题的关键．
（1）分两种情况：当时，当时，结合矩形的性质以及等边三角形的判定和性质，即可求解；
（2）由函数表达式画出函数图象，观察函数图象即可求解；
（3）在图中画出直线，则直线的函数的交点的横坐标为：或5，即可．
【详解】（1）解：当时，
如图，连接，

在矩形中， ，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
根据题意得：，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
当时，；
终上所述，与之间的函数表达式为；
（2）解：由函数表达式画出函数图象如下：

从图象看，当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大；
（3）解：在图中画出直线，则直线的函数的交点的横坐标为：或5，
即P，Q两点相距2个单位长度时的值为2或5．
13．(1)
(2)图见解析，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，当时，函数取得最大值为
(3)自变量的取值范围为：
【分析】（1）利用分类讨论的方法分两种情况解答：根据矩形的性质和直角三角形的性质，勾股定理求得，当时，，；当时，过点作于点，利用的代数式表示出线段，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用三角形的面积公式解答即可；
（2）利用一次函数图象的画法解答即可，再利用一次函数的性质写出一条性质即可；
（3）观察图象中找出对应的满足的的取值范围即可．
【详解】（1）解：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，
当时，，；
当时，，
，
过点作于点，如图
，，
，
，
，
，
，
；
综上，关于的函数表达式；
（2）解：在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，
函数的一条性质：当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，当时，函数取得最大值为；
（3）解：由函数图象可知：当时，，
自变量的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，函数图象的画法，利用的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
14．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】本题重点考查正方形的性质、三角形的面积公式、画函数的图象、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法．
（1）由正方形的性质得，，再分三种情况讨论，一是点P在边上，即当时，，则；二是点P在边上，即当时，则；三是点P在边上，即当时，，则；
（2）画出函数，即可；
（3）由函数图象可知，当或时，，则不等式的解集是或，于是得到问题的答案．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，
∴，
当点P与点D重合时，则；
当点P与点C重合时，则；
当点P与点B重合时，则，
当时，如图1，,
∵，且，
∴
当时，如图2，
∵，且，
∴；
当时，如图3，，
∵，且，
∴，
综上所述，．
（2）解：画出函数的图象如图4，
（3）解：由函数图象可知，当或时，，
∴不等式的解集是或，
故答案为：或．
15．(1)；；；
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟悉利用图象上的相关信息是解题的关键．
（1）根据点的运动情况结合一次函数图象求解即可；
（2）分类讨论点的运动情况列出关系式即可；
（3）分类讨论点在的左右两边时的情况，再结合进行求解即可．
【详解】（1）解：当与重合时，，
∴，
∵到达点时停留后以原速度继续运动，
∴，
∴，
∴，
∴当点到达点时，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵以的速度匀速运动，
∴，
∴当在上时，即，，
，
当在上停留时，即，
，
当在上时，，，
，
综合所述：；
（3）∵，
∴当点在的左边时，由（2）可得：，
∴，
解得：，
当点在的右边时，由，两三角形等高，则，
∴上只运动了1s，
∴，
综合所述，当为或时，．

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