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江苏省淮安市2024-2025年初三数学解答压轴题型练习三
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，点P在线段OB上，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，交直线BC于点E．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在点P运动过程中，若△CDE是直角三角形，求点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，﹣4），点E，F在直线BC上，且点E在点F的左下侧，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，分别连接AE、AF，延长AF交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若△ABP的面积记作S1，△AEF的面积记作S2，线段EF在移动过程中，当S1﹣S2的值最大时，求点E的坐标；
（3）如图3，点D为该抛物线的顶点，连接DF，请直接写出AE+EF+DF的最小值．
3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AFAE；
（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值．
4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣5与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣2，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点F是直线BC下方的抛物线上一点，当△FBC的面积为5时，求此时点F的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，设P的横坐标为t，CD的长为d，求d关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）．
5．如图，在△ABC的边AC上取点O，以OC为半径作圆，⊙O与AB相切于点B，与AC相交于点D，弦DE与BC相交于点F，点B为的中点．
（1）若∠E＝30°，CD＝3，求弦BE的长；
（2）若，求的值．
6．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，4），抛物线y＝﹣x2+4bx+c（b，c为常数，b＜0）的顶点为P．（1）当抛物线经过点A，B时，求点P的坐标；
（2）若c＝6﹣4b2，抛物线上的点M的横坐标为m（m＜2b），且MP∥AB．
（i）求MP的长；
（ii）当b＝﹣1时，平移抛物线y＝﹣x2+4bx+c，使其顶点仍在直线PM上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
7．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹．
（1）在图1中作出BC边上的高AD；
（2）在图2中作出AC边上的点E，使得AE：CE＝3：4；
（3）在图3中作出AB边上的点F，使得tan∠ACF．
8．【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着点A逆时针方向旋转，连接BD和CE．如图2，找出图中的另外一组相似三角形 　 　 ；并加以证明．
【迁移应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB，AC，D、E、M分别是AB、AC、BC中点，连接DE．
①如图4，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：　 　 、　 　 ；
②把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接CD和CE，取CD中点N，连接MN，若CE，求MN的长．
【创新应用】如图6：AB＝AC＝AE＝2，BC＝4，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，，连接CF，请直接写出CF的取值范围．
9．如图，在平面直角坐标系内，一次函数与反比例函数交于C（2，m）、D（6，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，过△AOB的顶点能不能画出直线把△AOB分成面积相等的两部分？若能，请求出这样的直线所对应的函数表达式．
10．如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知A，B，C，D分别为“果圆”与坐标轴的交点，yx﹣3与“果圆”中的抛物线ybx+c交于B，C两点．
（1）求“果圆”中的抛物线的解析式．
（2）“果圆”上是否存在点P使∠APC＝∠CAB？如果存在请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，E为直线BC下方“果圆”上一点，连接AE，AB，BE，设AE与BC交于点F，△BEF的面积记为S△BEF，△ABF的面积记为S△ABF，求的最小值．
参考：
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，点P在线段OB上，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，交直线BC于点E．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在点P运动过程中，若△CDE是直角三角形，求点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）综上P（1，0）或P（2，0）；（3）综上F（0，﹣1）或．
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分∠CDE＝90°和∠ECD＝90°两种情况，进行讨论求解即可；
（3）分四边形CDEF为菱形和四边形CFDE为菱形，两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接DC，
∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴当 x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵PD⊥x轴，
∴∠EPB＝90°，∠PEB＜90°，
∴∠CED＜90°，
∵△CDE是直角三角形，
∴当∠CDE＝90°时，则∠CDE＝∠BPE，
∴BP∥CD，
∴C，D关于对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为，
∴xD＝2，
此时点P的坐标为（2，0），
当∠ECD＝90°时，
设BC的解析式为y＝kx+b1（k≠0），
把B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b1（k≠0），
∴得，
解得，
∴y＝x﹣3，
设点P（m，0），则E（m，m﹣3），D（m，m2﹣2m﹣3），
则PE＝3﹣m，BP＝3﹣m，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OC＝BO，
∴∠OBC＝45°，
∴DE＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵∠PEB＝∠CED，∠ECD＝∠BPE＝90°，
∴∠CDE＝∠PBE＝45°，
则，
即，
解得m＝1，m＝0（此时点E和点C重合，故舍去），
∴点P（1，0）；
综上P（1，0）或P（2，0）；
（3）存在，F（0，﹣1）或，
如图：依题意，当四边形CDEF为菱形时，由（2）知BC的解析式为y＝x﹣3；
设点P（n，0），E（n，n﹣3），D（n，n2﹣2n﹣3），
∵四边形CDEF为菱形，
∴∠DCE＝∠FCE＝45°，
即∠FCD＝90°，
则yD＝yC＝﹣3，
由（2）知，此时CD＝2，
∴FC＝CD＝EF＝2，
∵C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴OF＝3﹣2＝1，
∴F（0，﹣1），即如下图所示：
如图：依题意，当四边形CFDE为菱形时，
∵点P（n，0），E（n，n﹣3），D（n，n2﹣2n﹣3），
∴，即yF＝yC+yD﹣yE
∴，
∵CF＝CE，
∴，
∴解得，n＝0 （舍去），
∴yF＝n2﹣3n﹣3＝n（n﹣3）﹣3（3）﹣3＝﹣31，
∴，
综上F（0，﹣1）或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，﹣4），点E，F在直线BC上，且点E在点F的左下侧，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，分别连接AE、AF，延长AF交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若△ABP的面积记作S1，△AEF的面积记作S2，线段EF在移动过程中，当S1﹣S2的值最大时，求点E的坐标；
（3）如图3，点D为该抛物线的顶点，连接DF，请直接写出AE+EF+DF的最小值．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）yx2﹣x﹣4；
（2）E（，）；
（3）2．
【分析】（1）由题意得：，即可求解；
（2）证明当yP取得最大值时，符合题意，即点P、D重合，得到即P（1，），即可求解；
（3）将点A向右向上各平移2个单位得到点Q（0，2），则AQ＝2EF，AQ∥EF，连接DQ交BC于点F，将点F沿BC向下平移2个单位得到点F，则此时AE+EF+DF的最小，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：yx2﹣x﹣4；
（2）∵EF为常数，点A到BC的距离也为常数，故S2为常数，
故当S1﹣S2的值最大时，即S2取得最大值即可，而S2AB×|yP|，
故当yP取得最大值时，符合题意，即点P、D重合，
由抛物线的表达式知，点D（1，），即P（1，）；
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y（x+2），
由点B（4，0）、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣4，
联立上述两个函数表达式得：x﹣4（x+2），则x，则点F（，），
∵点E、F在直线y＝x﹣4上，则点F向左向下各2个单位得到点E，即点E（，）；
（3）将点A向右向上各平移2个单位得到点Q（0，2），则AQ＝2EF，AQ∥EF，
连接DQ交BC于点F，将点F沿BC向下平移2个单位得到点F，则此时AE+EF+DF的最小，
理由：AQ＝2EF，AQ∥EF，则四边形AQFE为平行四边形，则QF＝AE，
则AE+EF+DE＝QF+DF+2DQ+222为最小．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AFAE；
（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值．
【考点】几何变换综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接CP，判断出△FCG为等腰直角三角形，进而判断出CP⊥FG，进而得出DPBC，再求出BC，即可求出答案；
（2）过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，先判断出△EGA≌△EFH（SAS），得出AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，进而判断出△AGN≌△AMF（AAS），即可得出结论；
（3）先求出BE，再判断出点B'是以点E为圆心，为半径的圆上，再判断出点G在点A 右侧过点A与AD垂直且等长的线段上，进而得出EF最大时，B'G最小，即可求出答案．
【解答】（1）解：如图1，连接CP，
由旋转知，CF＝CG，∠FCG＝90°，
∴△FCG为等腰直角三角形，
∵点P是FG的中点，
∴CP⊥FG，
∵点D是BC的中点，
∴DPBC，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，
∴BCAB＝4，
∴DP＝2；
（2）证明：如图2，
过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，
∴∠AEH＝90°，
由旋转知，EG＝EF，∠FEG＝90°，
∴∠FEG＝∠AEH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°，
∴∠H＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD，
∴AE＝HE，
∴△EGA≌△EFH（SAS），
∴AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，
∵AB⊥AC，HE⊥AC，
∴AB∥HE，
∴∠AMF＝∠HEF，
∵△EGA≌△EFH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵∠AGN＝∠AEG，
∴∠AGN＝∠HEF，
∴∠AGN＝∠AMF，
∵GN＝MF，
∴△AGN≌△AMF（AAS），
∴AG＝AM，
∵AG＝FH，
∴AM＝FH，
∴AF+AM＝AF+FH＝AHAE；
（3）解：∵点E是AC的中点，
∴AEAC，
根据勾股定理得，BE，
由折叠知，BE＝B'E，
∴点B'是以点E为圆心，为半径的圆上，
由旋转知，EF＝EG，
∴点G在点A右侧过点A与AD垂直且等长的线段上，
∴B'G的最小值为B'E﹣EG，
要B'G最小，则EG最大，即EF最大，
∵点F在AD上，
∴点F在点A或点D时，EF最大，最大值为，
∴线段B′G的长度的最小值．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣5与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣2，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点F是直线BC下方的抛物线上一点，当△FBC的面积为5时，求此时点F的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，设P的横坐标为t，CD的长为d，求d关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）；
（2）（1，﹣6）或（4，﹣3）；
（3）d＝t．
【分析】（1）将已知点A（﹣2，0）代入函数解析式中，确定参数a值，求得具体解析式；
（2）根据抛物线解析式，确定与x轴交点坐标B（5，0），与y轴交点坐标C（0，﹣5），OC＝5，进而求得直线BC的解析式，设，则E（m，m﹣5），进而根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解；
（3）过点P作x轴的垂线，设点，运用三角形函数，导出，，所以，求得OD＝t﹣5，进一步求得解析式为d＝t．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣5与x轴交于点A，点B，点A坐标为（﹣2，0），将点A的坐标代入得：
（﹣2）2a﹣3×（﹣2）a﹣5＝0，
∴解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）点F是直线BC下方的抛物线上一点，△FBC的面积为5，如图1，过点F作EF∥y轴交BC于点E，
抛物线与x轴交于A，B两点，
当y＝0时，，
解得x1＝5，x2＝﹣2，
∵点A（﹣2，0），
∴点B（5，0），
抛物线与y轴交于点C，
当x＝0时，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
∴OC＝5．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点B、点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，
设，则E（m，m﹣5），
∴，
∵△FBC的面积为5时，
∴，即，
解得：m＝1或m＝4，
当m＝1时，得：，
当m＝4时，得：，
综上所述，点F的坐标为（1，﹣6）或（4，﹣3）；
（3）如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，点P在第一象限，点P的横坐标为t，，H（t，0），
∵A（﹣2，0），
∴，AH＝t+2，
在Rt△DAO中，，
在Rt△PAH中，，
∴，
∴，
∴OD＝t﹣5，
又∵OC＝5，
∴d＝CD＝OD+OC＝t﹣5+5＝t，
∴解析式为d＝t．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数解析式、面积问题，正切的定义，能够灵活利用条件三角函数知识导出线段间的数量关系是解题的关键．
5．如图，在△ABC的边AC上取点O，以OC为半径作圆，⊙O与AB相切于点B，与AC相交于点D，弦DE与BC相交于点F，点B为的中点．
（1）若∠E＝30°，CD＝3，求弦BE的长；
（2）若，求的值．
【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理；相交弦定理．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）连接DB，如图，先根据圆周角定理得到∠CBD＝90°，∠C＝∠E＝30°，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到BD，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到BE＝BD；
（2）连接OB，如图，先根据垂径定理得到OB⊥DE，根据切线的性质得到OB⊥AB，则DE∥AB，再根据平行线分线段成比例定理得到，则可设CD＝6t，则AD＝4t，所以AO＝7t，OB＝3t，接着利用勾股定理表示出AB＝2t，然后证明△ABC～△DFC，则三角形相似三角形的性质和比例的性质得到．
【解答】解：（1）连接DB，如图，
∵CD为直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠C＝∠E＝30°，
∴BDCD，
∵点B为的中点，
∴BE＝BD，
∴BE；
（2）连接OB，如图，
∵点B为的中点，
∴OB⊥DE，
∵⊙O与AB相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴DE∥AB，
∴，
设CD＝6t，则AD＝4t，
∴AO＝7t，OB＝3t，
在Rt△AOB中，AB2t，
∵DE∥AB，
∴△ABC～△DFC，
∴，
∴．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
6．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，4），抛物线y＝﹣x2+4bx+c（b，c为常数，b＜0）的顶点为P．（1）当抛物线经过点A，B时，求点P的坐标；
（2）若c＝6﹣4b2，抛物线上的点M的横坐标为m（m＜2b），且MP∥AB．
（i）求MP的长；
（ii）当b＝﹣1时，平移抛物线y＝﹣x2+4bx+c，使其顶点仍在直线PM上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】（1）；（2）（i）；（ii）．
【分析】（1）依据题意，由A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+4bx+c上，可得，进而可以抛物线的解析式y＝﹣x2﹣3x+4，然后化成顶点式即可判断得解；
（2）（i）依据题意，由c＝6﹣4b2，则抛物线y＝﹣x2+4bx+c＝﹣x2+4bx+6﹣4b2＝﹣（x﹣2b）2+6，故P（2b，6），又MP∥AB，则设直线MP的解析式为y＝x+h，故可得h＝6﹣2b，进而直线MP的解析式为y＝x+6﹣2b，结合抛物线为y＝﹣（x﹣2b）2+6，则x1＝2b，x2＝2b﹣1，又m＜2b，故点M的横坐标为2b﹣1，纵坐标为2b﹣1+6﹣2b＝5，则M（2b﹣1，5），从而，进而得解；
（ii）依据题意，由（i）可得，点P，M的坐标分别为P（2b，6），M（2b﹣1，5），则当b＝﹣1时，点P，M的坐标分别为P（﹣2，6），M（﹣3，5），从而可得直线PM的解析式为y＝x+8，又设平移后所得抛物线对应的表达式为y＝﹣x2+px+q，故其顶点坐标为，又顶点在直线y＝x+8上，从而，故抛物线与y轴交点的纵坐标，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+4bx+c上，
∴．
∴．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4．
∴，
∴点P的坐标为．
（2）（i）由题意，∵c＝6﹣4b2，
∴抛物线y＝﹣x2+4bx+c＝﹣x2+4bx+6﹣4b2＝﹣（x﹣2b）2+6，
∴P（2b，6），
∵MP∥AB，
∴设直线MP的解析式为y＝x+h，
∴2b+h＝6．
∴h＝6﹣2b．
∴直线MP的解析式为y＝x+6﹣2b．
联立y＝x+6﹣2b与y＝﹣（x﹣2b）2+6，
∴x1＝2b，x2＝2b﹣1．
∵m＜2b，
∴点M的横坐标为2b﹣1，纵坐标为2b﹣1+6﹣2b＝5，
∴M（2b﹣1，5）．
∴．
（ii）由（i）可得，点P，M的坐标分别为P（2b，6），M（2b﹣1，5）．
∴当b＝﹣1时，点P，M的坐标分别为P（﹣2，6），M（﹣3，5）．
∴可得直线PM的解析式为y＝x+8．
设平移后所得抛物线对应的表达式为y＝﹣x2+px+q，
∴其顶点坐标为．
又∵顶点在直线y＝x+8上，
∴．
∴抛物线与y轴交点的纵坐标．
∵，
∴q有最大值，当p＝1时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值，最大值为．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
7．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹．
（1）在图1中作出BC边上的高AD；
（2）在图2中作出AC边上的点E，使得AE：CE＝3：4；
（3）在图3中作出AB边上的点F，使得tan∠ACF．
【考点】作图—应用与设计作图；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）取格点G，连接AG，与BC交于点D，则AD即为所求．
（2）取格点P，Q，连接PQ，交AC于点E，则△AEP∽△CEQ，可得；
（3）取格点M，连接AM，交网格线于点N，此时AM＝AC，∠CAM＝90°，2，即，再连接CN，交AB于点F，可得tan∠ACF＝tan∠ACN．
【解答】解：（1）如图1，高AD即为所求．
（2）如图2，点E即为所求．
（3）如图3，点F即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、三角形的高、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
8．【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着点A逆时针方向旋转，连接BD和CE．如图2，找出图中的另外一组相似三角形 　△ABD∽△ACE　 ；并加以证明．
【迁移应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB，AC，D、E、M分别是AB、AC、BC中点，连接DE．
①如图4，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：　BD⊥CE　 、　BDCE　 ；
②把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接CD和CE，取CD中点N，连接MN，若CE，求MN的长．
【创新应用】如图6：AB＝AC＝AE＝2，BC＝4，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，，连接CF，请直接写出CF的取值范围．
【考点】相似形综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】【问题背景】根据题意证明，∠BAD＝∠CAE，即可证明△ABD∽△ACE；
【迁移应用】①由D、E分别为AB和AC的中点，得，从而，再由∠BAD＝∠CAE，证明△ABD∽△ACE，即可证明，由∠ABD＝∠ACE，∠AHB＝∠FHC，即可证明∠HFC＝∠BAH＝90°，从而证明结论；
②由△ABD∽△ACE，得BDCE＝3，再根据点M、N分别为BC、CD的中点，即可求出结果；
【创新应用】过点A作AK⊥BC，过点C作CJ⊥AB，连接FJ，求出BK，CK，AK得长度，由，求出CJ，BJ，AJ，从而有，证明△BJF∽△BAE，求出JF的长度，由CJ﹣JF≤CF≤FJ+CJ，即可得到CF的取值范围．
【解答】【问题背景】证明：△ABD∽△ACE，理由如下：
∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∵，
∴△ABD∽△ACE，
故答案为：△ABD∽△ACE；
【迁移应用】①证明：BDCE，BD⊥CE，理由如下：
延长BD，分别交AC、CE于点H、F，
∵D、E分别为AB和AC的中点，
∴ADAB，AEAC，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，，
∴，
∵∠ABD＝∠ACE，∠AHB＝∠FHC，
∴∠HFC＝∠BAH＝90°，
∴BD⊥CE，
故答案为：BDCE，BD⊥CE；
②由①得，△ABD∽△ACE，
∴，
∴BDCE＝3，
∵点M、N分别为BC、CD的中点，
∴MNBD；
【创新应用】过点A作AK⊥BC，过点C作CJ⊥AB，连接FJ，
∵AB＝AC，AK⊥BC，
∴BK＝CK＝2，
∴AK4，
∵，
∴CJ，
∴AJ，
∴BJ＝AJ，
∴BJ：AB＝2：5，
∴BF：BE＝2：5，
∴，
∴FJ∥AE，
∴△BJF∽△BAE，
∴，
∴JFAE，
∴CJ﹣JF≤CF≤FJ+CJ，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，平行线的性质与判定，勾股定理，本题的关键是根据题意添加辅助线构造相似三角形解题．
9．如图，在平面直角坐标系内，一次函数与反比例函数交于C（2，m）、D（6，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，过△AOB的顶点能不能画出直线把△AOB分成面积相等的两部分？若能，请求出这样的直线所对应的函数表达式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】（1）；
（2）能画出，解析式为或或．
【分析】（1）把点C（2，m）代入，求出，得，代入，求出k的值即可；
（2）求出点A，B坐标，根据中点坐标公式求出△AOB三边中点坐标，以及三角形中线性质，运用待定系数法求出中线所在直线解析式即可．
【解答】解：（1）由题意可得：，
∴，代入，
得：，
∴；
（2）对于，
当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，，解得，x＝8，
∴A（8，0），B（0，﹣2），
∵直线把△AOB分成面积相等的两部分，
设△AOB三边OA、OB、AB的中点分别为E，F，G，则有：
E（4，0），F（0，﹣1），即G（4，﹣1），
设直线BE的解析式为y＝k1x+b，
把B（0，﹣2），E（4，0）代入y＝k1x+b，得：
，
解得，
∴直；
同理可求直线AF的解析式为；直线OG的解析式为；
如图，
【点评】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式以及中线的性质，灵活运用中线的性质是解答本题的关键．
10．如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知A，B，C，D分别为“果圆”与坐标轴的交点，yx﹣3与“果圆”中的抛物线ybx+c交于B，C两点．
（1）求“果圆”中的抛物线的解析式．
（2）“果圆”上是否存在点P使∠APC＝∠CAB？如果存在请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，E为直线BC下方“果圆”上一点，连接AE，AB，BE，设AE与BC交于点F，△BEF的面积记为S△BEF，△ABF的面积记为S△ABF，求的最小值．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）；
（2）“果圆”上存在点P使∠APC＝∠CAB；点P坐标为（0，﹣3）或（3，﹣3）；
（3）．
【分析】（1）先求出点B，C坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）求出线段AC，BC进而得出AC＝BC，判断出满足条件的一个点P和点B重合，再利用抛物线的对称性求出另一个点P．
（3）先判断出要的最小值，只要CG最大即可，再求出直线EG解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线EG解析式，即可求出CG，即可求解．
【解答】解：（1）已知A，B，C，D分别为“果圆”与坐标轴的交点，yx﹣3与“果圆”中的抛物线ybx+c交于B，C两点，
当x＝0时，得：y＝﹣3，
当y＝0时，得：x﹣3＝3，
解得：x＝4，
∴B（0，﹣3），C（4，0），
将点B，点C的坐标分别代入ybx+c得：
，
解得：，
∴“果圆”中的抛物线的解析式为；
（2）“果圆”上存在点P使∠APC＝∠CAB；理由如下：
解：如图1，
∵AC是半圆的直径，
∴半圆上除点A，C外任意一点Q，都有∠AQC＝90°，
∴点P只能在抛物线部分上，
∵B（0，﹣3），C（4，0），
∴BC＝5，
∵AC＝5，
∴AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
当∠APC＝∠CAB时，点P和点B重合，即：P（0，﹣3），
由抛物线的对称性知，另一个点P的坐标为（3，﹣3），
即：使∠APC＝∠CAB，点P坐标为（0，﹣3）或（3，﹣3）．
（3）如图3，
∵A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，
过点E作EG∥BC交x轴于G，
∵△ABF的AF边上的高和△BEF的EF边的高相等，设高为h，
∴S△ABFAF h，S△BEFEF h，
∴，
∵的最小值，即最小，
∵CF∥GE，
∴，
∴当CG最大时，即最小，的最小值，
∴EG和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG最大，
∵直线BC的解析式为yx﹣3，
设直线EG的解析式为yx+m①，
∵抛物线的解析式为②，
联立①②化简得，3x2﹣12x﹣12﹣4m＝0，
∴Δ＝144+4×3（12+4m）＝0，抛物线和直线只有一个交点．
解得：m＝﹣6，
∴直线EG的解析式为yx﹣6，
∴直线EG与x轴交点坐标（8，0），
∴CG＝4，
∴；
∴的最小值为．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线的对称性，等腰三角形的判定和性质，判断出CG最大时，两三角形面积之比最小是解本题的关键．江苏省淮安市2024-2025年初三数学解答压轴题型练习三
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，点P在线段OB上，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，交直线BC于点E．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在点P运动过程中，若△CDE是直角三角形，求点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，﹣4），点E，F在直线BC上，且点E在点F的左下侧，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，分别连接AE、AF，延长AF交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若△ABP的面积记作S1，△AEF的面积记作S2，线段EF在移动过程中，当S1﹣S2的值最大时，求点E的坐标；
（3）如图3，点D为该抛物线的顶点，连接DF，请直接写出AE+EF+DF的最小值．
3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．
（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；
（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AFAE；
（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值．
4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣5与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣2，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点F是直线BC下方的抛物线上一点，当△FBC的面积为5时，求此时点F的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，设P的横坐标为t，CD的长为d，求d关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）．
5．如图，在△ABC的边AC上取点O，以OC为半径作圆，⊙O与AB相切于点B，与AC相交于点D，弦DE与BC相交于点F，点B为的中点．
（1）若∠E＝30°，CD＝3，求弦BE的长；
（2）若，求的值．
6．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，4），抛物线y＝﹣x2+4bx+c（b，c为常数，b＜0）的顶点为P．（1）当抛物线经过点A，B时，求点P的坐标；
（2）若c＝6﹣4b2，抛物线上的点M的横坐标为m（m＜2b），且MP∥AB．
（i）求MP的长；
（ii）当b＝﹣1时，平移抛物线y＝﹣x2+4bx+c，使其顶点仍在直线PM上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
7．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹．
（1）在图1中作出BC边上的高AD；
（2）在图2中作出AC边上的点E，使得AE：CE＝3：4；
（3）在图3中作出AB边上的点F，使得tan∠ACF．
8．【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着点A逆时针方向旋转，连接BD和CE．如图2，找出图中的另外一组相似三角形 　 　 ；并加以证明．
【迁移应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB，AC，D、E、M分别是AB、AC、BC中点，连接DE．
①如图4，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：　 　 、　 　 ；
②把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接CD和CE，取CD中点N，连接MN，若CE，求MN的长．
【创新应用】如图6：AB＝AC＝AE＝2，BC＝4，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，，连接CF，请直接写出CF的取值范围．
9．如图，在平面直角坐标系内，一次函数与反比例函数交于C（2，m）、D（6，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，过△AOB的顶点能不能画出直线把△AOB分成面积相等的两部分？若能，请求出这样的直线所对应的函数表达式．
10．如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知A，B，C，D分别为“果圆”与坐标轴的交点，yx﹣3与“果圆”中的抛物线ybx+c交于B，C两点．
（1）求“果圆”中的抛物线的解析式．
（2）“果圆”上是否存在点P使∠APC＝∠CAB？如果存在请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，E为直线BC下方“果圆”上一点，连接AE，AB，BE，设AE与BC交于点F，△BEF的面积记为S△BEF，△ABF的面积记为S△ABF，求的最小值．

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