资源简介

2025年中考数学二轮复习备考
一次函数解答题综合之面积问题
1．现有如下定义：关于x的一次函数与叫作一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数．
(1)一次函数与函数________是一对交换函数；
(2)如图，一次函数的图象为直线与x轴交于点A，它的交换函数的图象为直线与x轴交于点B，与交于点C，求的面积．
2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求，两点的坐标；
(2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积．
3．如图，直线与y轴交于点，直线分别与x轴交于点，与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接．
(1)求两直线交点D的坐标；
(2)根据图象，直接写出当时，自变量x的取值范围_______；
(3)求的面积．
4．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点．
(1)填空：
①线段的长度为 ；
②方程组的解为 ；
(2)结合图形直接写出的解集；
(3)求的面积．
5．如图，已知直线经过点，直线．
(1)求直线的解析式；并判断点是否在直线上？
(2)若，直线与x轴交于点C，直线与交于点P．
①点P的坐标为________．
②求面积．
(3)直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出k的取值范围．
6．如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴y轴交于点B，C，且与的图象交于点．
(1)求m，b的值；
(2)若，直接写出x的取值范围；
(3)求的面积．
7．如图，在平面直角坐标系中，点，．
(1)求直线的解析式；
(2)将直线向下平移4个单位后得到直线l，直线l与y轴交于点M，求的面积．
8．如图，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，直线：分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点P．
(1)点P的坐标为______；
(2)求四边形的面积；
(3)过点P的直线把的面积二等分，求该条直线的表达式．
9．如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，x轴上有一点A的坐标为．
(1)求的长；
(2)若点是该直线上的一个动点，当它在第二象限内运动时，试写出的面积S与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(3)若点是该直线上的一个动点，则当点P运动到什么位置时，，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线：与x轴交于点A，直线：与x轴交于点B，且与直线交于点．
(1)求m和b的值；
(2)求的面积；
(3)若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，直接写出t的取值范围．
11．如图所示，点，的坐标分别为，，直线与坐标轴交于，两点．
(1)求直线与交点的坐标．
(2)请直接写出当时，的取值范围．
(3)求四边形的面积．
12．如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点．
(1)求的值与求直线的解析式；
(2)根据图像，直接写出关于的不等式的解集；
(3)求四边形的面积．
13．如图 ，直线与x轴相交于点 A，与y轴相交于点B．
(1)求的面积 ；
(2)已知点C在x轴上 ，连接，若的面积是16 ，求点C的坐标 ；
(3)若P是坐标轴上的一点 ，且，求点P的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与直线交于点．
(1)试说明：无论取何值，直线都经过定点；
(2)若，，直线l与轴的交点为，求直线的解析式，并求出此时的面积；
(3)若直线l与线段有交点，直接写出的取值范围．
15．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D
(1)如图1，连接BC，求的面积；
(2)如图2，在直线上存在点E，使得，求点E的坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点E作的垂线交y轴于点F，点P在直线上，在平面中存在一点Q，使得以O，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
《2025年中考数学二轮复习备考一次函数解答题综合之面积问题》参考答案
1．(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的应用.
（1）根据“交换函数”的定义作答即可；
（2）先求出，再求出，，得到的值，最后根据三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）由题意可知：一次函数与函数是一对交换函数，
故答案为：；
（2）解：∵与交于点C，
∴，
解得，
∴，
∵直线与x轴交于点A，
∴把代入得，
解得，
∴，
同理可得，，
∴，
过点C作，垂足为D，
∴，
∴
答：的面积为．
2．(1)，；
(2)的面积是或．
【分析】本题考查的知识点是一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合，解题关键是分类讨论．
（1）由一次函数解析式，令求得点坐标，令求得点坐标；
（2）分两种情况讨论：①点在点左边，，②点在点右边，．
【详解】（1）解：依题得：点是直线与轴交点，点是直线与轴交点，
时，，解得，即；
时，，即．
（2）解：由（1）可得，，，
分两种情况考虑：
①点在点左边，
，
，
；
②点在点右边，
，
，
．
综上，的面积是或．
3．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将代入，即可求出m的值，将代入即可求出k的值，联立求D的坐标；
（2）由图可直接得出时自变量x的取值范围；
（3）由可知，C点坐标为，分别求出和的面积，相加即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
∴；
将代入得，
解得：，
∴，
联立：，
解得：，
故D点坐标为；
（2）解：根据函数图象可知：当时，函数的图象在函数图象的下面，
∴当时，自变量x的取值范围为：；
（3）解：把代入得，
∴C点坐标为，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了两函数的交点问题，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
4．(1)①；②
(2)
(3)
【分析】（1）①解方程得到，，得，根据勾股定理得，代入数据计算即可；
②根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到结论；
（2）根据图形可知，两函数图象的交点，再结合图形可得结论；
（3）利用三角形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：①在中，
当时，；当时，，
∴，，
∴，
∴，
∴线段的长度为，
故答案为：；
②∵直线与直线交于点，
∴方程组的解为，
故答案为：；
（2）∵直线与直线交于点，直线与轴交于点，
当时，直线的图象在直线的下方且在轴的上方，
∴的解集为；
（3）∵，，，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，一次函数与二元一次方程组的关系，利用图象解不等式，三角形的面积等知识点，掌握一次函数的图象与性质，利用图象解不等式及求三角形的面积是解题的关键．
5．(1)，点不在直线；
(2)①，②；
(3)或．
【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接用待定系数法求解，然后把点代入即判断；
（2）①联立得，求解即可；
②求出，，根据三角形面积公式即可求解；
（3）先求出，，再根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
∵直线经过点，
，
，
∴直线的解析式为，
在中，当时，、
∴点不在直线上；
（2）解：①当时直线
联立得：，
解得：，
∴点坐标为，
故答案为：，
②在中，当时，，当时，，
，，
；
（3）解：∵点在直线上，
，，
，，
当直线过点时，则，
解得：，
当直线过点时，则，
解得：，
∴的取值范围或．
6．(1)；
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数的综合应用．待定系数法求出函数的解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键．
（1）将代入，求出的值，再将点代入，进行求解即可；
（2）利用图象法解不等式即可；
（3）先求出点A和点B的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）由题意得，点在的图象上，
，
；
，
，在直线上，
，
；
（2），
由图象可知，若，则x的取值范围是；
（3），当时，，
，
，当时，，
，
．
7．(1)；
(2)6
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得，根据的面积，求解即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式的解析式为，
将点，代入得，
解得，
∴直线的解析式的解析式为；
（2）解：记直线与y轴的交点，
∵将直线向下平移4个单位后得到直线l，直线l与y轴交于点M，
∴，
∴的面积．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得；
（2）分别求出，，，利用即可求得；
（3）根据三角形中线的性质，找到两点的中点，待定系数法求出表达式即可．
【详解】（1）解：∵直线：和直线：相交于点P．
∴点坐标为的解，
解得：．
∴；
故答案为：；
（2）解：当时，代入，
得，
解得．
∴．
当时，代入，，
得，，
∴，．
∴．
∴
；
（3）解：由（2）知，，则的中点坐标为．
设该直线的表达式为，代入，，得
，解得．
∴该直线的表达式为．
【点睛】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积、三角形的中线、待定系数法求函数表达式等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键．
9．(1)10
(2)
(3)点P运动到或时，，理由见解析
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及三角形的面积等知识．
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点E，F的坐标，进而可得出的长，根据勾股定理即可求出的长；
（2）由点A的坐标，可求出的长，由点是该直线上的一个动点且在第二象限内运动，可得出，再结合三角形的面积公式，即可求出；
（3）由点P是该直线上的一个动点，可得出点P的坐标为，结合，可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：当时，，
∴点F的坐标为，
∴；
当时，，
解得：，
∴点E的坐标为，
∴．
在中，；
（2）解：∵点A的坐标为，
∴．
∵点是直线上的一个动点，且在第二象限内运动，
∴，
∴的面积，
即；
（3）解：当点P运动到或时，，理由如下：
∵点是直线上的一个动点，
∴点P的坐标为．
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴当点P运动到或，．
10．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数图象的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移，第3问有一定难度，写出直线向下平移后的解析式，求出t的临界值是解题的关键．
（1）将代入可得m的值，将代入可得b的值；
（2）先根据解析式求出A，B坐标，再根据求解；
（3）先求出直线向下平移的所得直线的解析式，将直线与y轴的交点坐标，以及点A坐标分别代入新直线的解析式，求出t的临界值，即可求解．
【详解】（1）解：把点代入得，
，
∴，
把代入得，，
解得；
（2）解：中，令，得：，
解得，
∴，
中，令，得：，
解得，
∴，
∴，
∴；
（3）将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线的解析式为，
直线：与y轴的交点为，
把代入得，，
解得；
把代入得，，
解得，
∴平移后所得到的直线与直线的交点在第一象限，t的取值范围是．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标等知识点，
（1）先求出直线的解析式，与构成方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据点的坐标和函数的图象即可得解；
（3）求出点、的坐标，再求出和的面积，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵直线：过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式是，
解方程组，
得：，
∴点的坐标是；
（2）由图象可知：当时，的图象在的图象的上方，
∴不等式的解集；
（3）对于直线，
当时，；当时，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，点到轴的距离为，
∴，
∴四边形的面积为．
12．(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，一次函数与不等式之间的关系，正确根据待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）把点坐标代入中求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）根据函数图象找到当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案；
（3）得出点、的坐标，进而根据四边形的面积解答即可．
【详解】（1）解：∵直线与直线相交于点．
∴，
解得；
∴，
把点，代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）解：由图象可知，当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围为，
∴不等式的解集是；
（3）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，解得，
∴，
∵，
∴，
∵
∴四边形的面积．
13．(1)12
(2)或
(3)或
【分析】（1）先求出点，点坐标，由三角形的面积公式可求解；
（2）由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，当点P在y轴上时，设点P的坐标为，分别列出方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
把代入得：，
解得：，
点，点，
，，
的面积；
（2）解：设点，
的面积是16，
，
，
，，
点坐标为或；
（3）解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，
∵，，
∴，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
当点P在y轴上时，设点P的坐标为，
∵，，
∴，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
综上分析可知：点P的坐标为：或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理，坐标与图形等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法．
14．(1)见解析
(2)，
(3)或
【分析】（1）根据变形得，根据k有无数解，得到，解得，判定无论取何值，直线都经过定点；
（2）设直线的解析式为：，确定直线的解析式为：，设直线与y轴的交点为M，则，根据，确定直线的解析式为，从而确定，求得，连接，则．
（3）当时，无论取何值，直线都经过定点，当直线经过B点时，此时直线与线段有交点，求得直线与线段有交点的k的范围是；当时，
当直线经过A点时，此时直线与线段有交点，求得直线与线段有交点的k的范围是．
【详解】（1）解：根据变形得，
由k有无数解，
故，
解得，
故无论取何值，直线都经过定点．
（2）解：设直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得，
故直线的解析式为：，
设直线与y轴的交点为M，
则，
∵，，
∴，
∴，
解得，
直线的解析式为，
∴，
∴，
连接，
则．
（3）解：当时，无论取何值，直线都经过定点，
当直线经过B点时，此时直线与线段有交点，
设此时直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得，
故直线与线段有交点的k的范围是；
当时，无论取何值，直线都经过定点，
当直线经过A点时，此时直线与线段有交点，
设此时直线的解析式为：，
根据题意，得，
解得，
故直线与线段有交点的k的范围是．
综上所述，直线与线段有交点的k的范围是或．
【点睛】本题考查了直线过定点问题，待定系数法求解析式，一次函数的性质，分割法求图形的面积，分类思想，清晰掌握定点问题转化为一元一次方程无数解问题，求直线k的范围时，时，取大于等于过最右端直线的k的值，时，取小于等于过线段最左边端点直线的k值是解题的关键．
15．(1)11；
(2)E；
(3)点Q的坐标为或或
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、三角形全等、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
（1）对于直线，令x=0，则，故点，同理可得点、，的面积，即可求解；
（2）证明，则，即可求解；
（3）利用平移的性质求解即可．
【详解】（1）解：对于直线，令，则，故点；
对于，令，则，令，即，
解得：，
故点、，
则，，
所以，的面积；
（2）解：由题意，，观察图象可知，点E只能直线在的右侧，过点E作的垂线交于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，如图2，
设点，点，
∵，故，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，，
解得，，
故点；
（3）解：如图3，设交x轴于点M，
∵点，
∴，，
∵过点E作的垂线交y轴于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
设直线的表达式为，
把代入，得：
，
解得，，
所以，直线的表达式为，
设点，点，
点O向右平移2个单位向上平移个单位得到E，
同样点向右平移2个单位向上平移个单位得到，
当点P在点Q的下方时，则且①，
，即②，
联立①②并解得：a=2或，
故点Q的坐标为（不合题意的值已舍去）；
当点P在点Q的上方时，
同理可得，点Q的坐标为或．
综上，点Q的坐标为或或．

展开更多......

收起↑