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2025年中考数学二轮专题考点：
利用勾股定理及其逆定理求解
1．如图，在四边形中，，且．
(1)求的度数；
(2)若，则四边形的面积为_____．
2．如图，在矩形中，，，动点在上，从向以每秒个单位长度的速度运动，设运动时间为（）（）．将四边形沿直线翻折得到四边形，连接，．
(1)当时，请判断此时的形状并说明理由．
(2)当为何值时，正好落在矩形的边所在的直线上，请判断此时的形状并说明理由．
3．如图，在四边形中，，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
4．如图：正方形的边长为5，点在边上且，点在直线上
(1)求线段的长
(2)如图（1）当在线段上时，若，求证：
(3)当为直角三角形时，的长为___________（直接写出答案）
5．定义：在中，若，，，且a，b，c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．
请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图1，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，求的度数．
(2)如图2，在中，，且，D是AB上的点，连接CD，满足，过点作，垂足为．求证：为“类勾股三角形”．
6．如图，四边形中，．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
7．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上，，经过点的直线交轴于点，点的坐标为．
(1)求直线的解析式；
(2)已知点在直线上，连接，，当的面积为5时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点、连接、在直线上找一点，使，请直接写出点的坐标．
8．如图，四边形中，，连接．
(1)求的长；
(2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积．
9．如图，△ABC中，，，边上的中线．
(1)与互相垂直吗？为什么？
(2)求的长．
10．如图，中，，，，B是延长线上的点，连接，若，
(1)说明为直角，
(2)求的长．
11．如图，在中，，是边上的一点，，，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的周长．
12．阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”．
解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．
(1)已知3个点：，则这三点中，可以做线段的“等距点”是 ，线段的“完美等距点”是 ；
(2)若坐标原点O为线段AP的“等距点”，求出点P的坐标；
(3)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标；
(4)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标．
13．在中，是的中点．为直线上一动点，连接．过点作，交直线于点，连接．
(1)如图1，当是线段上一点时，请依题意补全图形，并判断以三条线段为边构成的三角形是 三角形；
(2)当点在线段的延长线上时，请依题意补全图2，并判断（1）中的结论是否仍成立，如果成立，请说明理由．
14．如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，且．
(1)求证：平行四边形是菱形；
(2)求平行四边形的面积．
15．如图1和图2，平面上，四边形中，，，，点M在边上，且．点P从点A沿折线上运动到点C，将沿翻折，点A的对应点为点，设点P的运动路径长为x．
(1)如图1，连接，
①求的度数；
②求证：．
(2)如图2，当点落到四边形内部时，求x的取值范围．
(3)①当点落在的延长线上时，请直接写出x的值．
②设点到边所在直线的距离为h，请直接写出h的最小值．
《2025年中考数学二轮专题考点：利用勾股定理及其逆定理求解》参考答案
1．(1)
(2)
【分析】本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
（1）连接，设、、、分别为、、、，根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，计算即可；
（2）根据（1）的结论，利用三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：连接，
设、、、分别为、、、，
，，
，，
，，
，
，
；
（2）解：，，
，，，
由勾股定理得，
由（1）知：
∴．
2．(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)当是，是等腰三角形；当时，直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据折叠的性质和平行线的性质得：，则；先根据勾股定理计算的长，解，得出则是等边三角形，最后根据平行线分线段成比例定理，由，得，从而得结论；
（2）分两种情况讨论，点在直线和上，分别画出图形，根据折叠的性质，即可求解．
【详解】（1）解：是等腰三角形
如图，延长交于点，
由折叠得：，
四边形是矩形，
，
，
，
；
在中，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
过作，
， '，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：当在直线上时，如图，
∵，，
∴
由折叠得：，
四边形是矩形，
，
，
；
∴
∴
又∵，
∴当时，是等腰直角三角形
如图，当在直线上时，如图，
由折叠得：，，
∴是等腰直角三角形，是直角三角形
∴,
∴，
此时是直角三角形
综上所述，当时，是等腰三角形；当时，是直角三角形．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定及性质以及解直角三角形，根据图形的翻折找出相等的边角关系是解题的关键．
3．(1)
(2)
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键．
（1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，即可得出结论；
（2）由三角形的面积公式即可得出结果．
【详解】（1）解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
由勾股定理：，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，；
（2）解：．
4．(1)
(2)见解析
(3)或9或或
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理，解一元二次方程，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）对运用勾股定理即可求解；
（2）先得到，，那么，，然后运用勾股定理求出，再计算，证明出即可；
（3）分三种情况讨论，利用勾股定理和全等三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴
（2）解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
而，
∴，
∴，
∴，即；
（3）解：①当时，如图：
设，则，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
而，
∴当时，，
∴，
解得：；
②当时，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
而，
∴当时，，
∴，
整理得：，
解得：或，
综上所述：当为直角三角形时，的长为或9或或，
故答案为：或9或或．
5．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握各性质是解题的关键．
（1）设，，，根据类勾股三角形的特征，把代入运算求解即可．
（2）设，，，利用角的等量代换证出，得到，利用等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理列式求解即可．
【详解】（1）解：设，，，
∵是“类勾股三角形”，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）证明：设，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴为“类勾股三角形”．
6．(1)
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的运算，得到为直角三角形是解题的关键．
（1）如图，连接，可得是等腰直角三角形，得到，由勾股定理得到，运用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即，由此即可求解；
（2）根据即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
在中，，
根据勾股定理得：，
，
，
为直角三角形，即，
则；
（2）解：根据题意得：．
7．(1)
(2)或
(3)或或
【分析】（1）先求出点的坐标，从而可得点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）设点的坐标为，先求出，再分两种情况：①点在直线上，且在第一象限内和②点在直线上，且在第二象限内，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得；
（3）①当点的坐标为时，先求出直线的函数解析式，从而可得点的坐标，再利用勾股定理的逆定理可得，然后根据建立方程，利用平方根解方程即可得；②当点的坐标为时，先求出直线的函数解析式，可得直线经过点，再过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，交直线于点，则点即为所求，证出，从而可得点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式，与直线的解析式联立求解即可得．
【详解】（1）解：对于一次函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
∵，
∴，
∵点在线段上，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
所以直线的解析式为．
（2）解：设点的坐标为，
∵，，，
∴，
∴，
则分以下两种情况：
①如图，当点在直线上，且在第一象限内时，则的边上的高为，
∴，
∵的面积为5，
∴，
解得，符合题设，
∴，
∴此时点的坐标为；
②如图，当点在直线上，且在第二象限内时，则的边上的高为，
∴，
∵的面积为5，
∴，
解得，符合题设，
∴，
∴此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
（3）解：①当点的坐标为时，画出图形如下：设与直线的交点为，
由对称性可知，，，
设直线的函数解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的函数解析式为，
∴直线经过点，
联立，解得，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
设点的坐标为，
∵，，
∴，
整理得：，
解得或，
当时，，此时点的坐标为；
当时，，此时点的坐标为；
②当点的坐标为时，画出图形如下：
由对称性可知，，，
设直线的函数解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的函数解析式为，
∴直线经过点，
如图，过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，交直线于点，则点即为所求（理由：是等腰直角三角形，），
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设直线的函数解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的函数解析式为，
联立，解得，
∴此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、勾股定理与勾股定理的逆定理、利用平方根解方程、三角形全等的判定与性质、点坐标与轴对称等知识，较难的是题（3），正确分两种情况，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键．
8．(1)
(2)是直角三角形，四边形的面积为
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握以上知识是解题的关键．
（1）在中，运用勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，由即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）∵，
∴，即，
∴是直角三角形，
∴，，
∵，
∴四边形的面积为．
9．(1)与互相垂直，理由见解析
(2)．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理证得．
（1）先根据三角形中线的定义得出，然后在中，根据勾股定理的逆定理即可证明；
（2）由（1）可得，再根据勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：与互相垂直，
证明：∵是边上的中线，，
∴，
∵，
，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）解：∵，
∴，
在中，．
10．(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理定理及逆定理，根据逆定理得到是直角三角形，利用勾股定理求出是解题关键．
（1）根据勾股定理逆定理确定即可得出结果；
（2）利用勾股定理得出，结合图形即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴ ．
11．(1)直角三角形；理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理，解拓展一元一次方程，属于常考题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设，则，然后在中根据勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求出x，进一步即可求出的长，从而求得的周长．
【详解】（1）解：是直角三角形；理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，则，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：设，则，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，则
∴的周长．
12．(1)和；
(2)点P的坐标为或，
(3)点的坐标为或；
(4)点P的坐标为或
【分析】（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点做出判断；
（2）由在上，得到，根据两点间的距离公式，由列出等式，求解即可，
（3）设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论；
（4）假定存在，设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论，
本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）解：，，
，
为等距点．
，，
，
为等距点．
，，
，
不为等距点．
，
，，，，
为完美等距点，
故答案：和；；
（2）解：在上，
，
，
，
，
或，
（3）解：在上，
，
，
，
，
或，
设的坐标为，
或，
，，
或，
解得：或．
的坐标为或；
（4）解：设点的坐标为，
，
，，
点是线段的“等距点”，
，
，
解得：，
为线段的“完美等距点”，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
点的坐标为或．
13．(1)补全图形见详解，直角
(2)补全图形见详解，成立，理由见解析
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，全等三角形的判定和性质，
（1）延长到，使得，连接，可证，可得，，在中，运用勾股定理逆定理可得，于是有，即可求解；
（2）过点作，与的延长线交于点，连接，可证，可得，运用勾股定理逆定理即可求解．
【详解】（1）解：结论：以三条线段为边构成的三角形是直角三角形，
理由：延长到，使得，连接，
在和中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴以三条线段为边构成的三角形是直角三角形；
（2）解：结论：．
理由：过点作，与的延长线交于点，连接，
则，
∵点是的中点，
∴，
在和中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理的逆定理：
（1）根据勾股定理的逆定理证明，则可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明；
（2）根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵
∴，
∴是直角三角形，且，即，
∴平行四边形是菱形；
（2）解；∵平行四边形是菱形，
∴，
∴．
15．(1)①；②见解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）①由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理得，则得；
②由题意易得，从而得，即有，则可证明平行；
（2）过P作．易得四边形是矩形，则，；由得，由折叠性质得；在中由勾股定理求得；在中，由勾股定理求得的长，从而确定x的范围；
（3）①当点落在的延长线上时，则，过B作于G，交于H．由，得，求得，从而求得x的值；
②分当P在上与当P在上两种情况考虑，利用相似三角形的判定与性质即可求解．
【详解】（1）解：①，
．
，
，
．
②证明：，
，
又，
，
，
．
（2）解：当A'落在上时，过P作．
则，
，
四边形是矩形，
，．
，
，
由翻折得，
，
，
，
，
，
，
，
故点A'落到四边形内部时，．
（3）①解：当点落在的延长线上时，则，
过B作于G，交于H．
则四边形是矩形，四边形为矩形，
，，
，
，
即，
，
．
②当P在上时，过M作于H，过M作于G．
由垂线段最短，知M、、H共线时，最短．
则四边形是矩形，
；
，
，
，
，
，
，
．
当P在上时，由于点到点B的距离是定值8，
故离BD的距离越短越好，
故P与B重合时，最短，则就最小．
过M作，交延长线于Q，交于G，过作．
则得四边形、都是矩形，
，，
，
，
，
，
，
设，
，
由上一问知，
，
，
，
，
，
最小，
．
，
．
【点睛】本题是一道几何综合题，考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，解一元二次方程等知识点，涉及的知识较多，综合性较强，注意分类讨论．

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