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2024-2025 学年重庆一中高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若在同一个平面直角坐标系内，一个椭圆绕其中心旋转 90°，所得椭圆短轴两个顶点恰好是旋转前椭圆的
两焦点，则这个椭圆的离心率为( )
A. 12 B.
2
2 C.
3
2 D.
2
4
2.一组数据 78，70，72，79，80，84，86，88，81，94 的第 70 百分位数是( )
A. 84 B. 85 C. 86 D. 88
3.若曲线 = (2 + )e (其中 为自然对数的底数)有两条过坐标原点的切线，则实数 的取值范围是( )
A. < 8 或 > 0 B. < 8 C. > 0 D. 8 <
4.某人有 2 个孩子：在已知其中一个是男孩的条件下，另外一个是女孩的概率为( )
A. 14 B.
3 2
4 C. 3 D.
1
3
5
5 1.在 2 1 的展开式中，常数项为( )
A. 1 B. 31 C. 81 D. 121
6.2025 年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这 5 位
同学相约一起去电影院观看，要求 5 人坐在同一排相邻的 5 个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁
相邻，则不同的座位排列方法有( )种．
A. 32 B. 28 C. 24 D. 20
2 4 67 .英国数学家泰勒给出如下公式：cos = 1 2! + 4! 6! + ，其在数学、物理、工程等领域有广泛应用，
则 sin 13的近似值(结果精确到 0.001)最接近为( )
A. 0.323 B. 0.325 C. 0.327 D. 0.329
8 1.若关于 的方程 ln + 23 = + 9(其中 、 ∈ )有实根，则
2 + 2的最小值为( )
2
A. 9e2 B. 4e2 C. e2 D. e9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 3 3 + 1，则下列说法正确的有( )
A. ( )有两个极值点 B.直线 = 9 是函数 = ( )的切线
C. ( )的对称中心是(0,1) D. ( )有且仅有三个零点
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10.已知抛物线 : 2 = 4 的焦点为 ，直线 : = 1，过 的直线交抛物线 于 ( 1, 1)， ( 2, 2)两点，交
直线 于点 ， = 1 ， = 2 ，则( )
A. △ 的面积的最大值为 2 B. 1 2 = 4
C. 1 2 = 1 D. 1 + 2 = 0
11.在正方体 1 1 1 1中，若 点处有一个质点，随机的沿正方体的各条棱或面对角线或体对角线
移动到其它顶点为一次移动，且每个顶点移动到其它任意一个顶点的概率都相同，设质点移动 次后还在底
面 的概率为 ，则下列说法正确的是( )
A. = 4 B. = 251 7 2 49
1 1 C. 为等比数列 D. = 2 1 + 7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若随机变量 (2,1)且 ( ≥ 3) = 0.16，则 (1 < < 2) = ．
13
2 2
.直线 与双曲线 2 2 = 1( > 0)交于 、 两点，且 过该双曲线的右焦点.若满足条件| | = 4 的直线
有且仅有 4 条，则 的取值范围是 ．
14.已知有一组数据共 25 个，其平均数是 6，方差是 4，现去掉其中 5 个数据：5，6，8，10，11，则余下
的 20 个数据的方差为
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近 5 年两国交易额(单位：百亿元)，结果见表：
年份 20202021202220232024
年份代码 1 2 3 4 5
交易额 9 12 17 21 26
(1)统计学中常用线性相关系数 来衡量两个变量 与 之间线性关系的强弱.一般认为：若 ∈ [ 1, 0.75]，
则负相关性很强；若 ∈ [0.75,1]，则正相关性很强；若 ∈ ( 0.75, 0.30] ∪ [0.30,0.75)，则相关性一般；
若 ∈ ( 0.3,0.3)，则相关性很弱.请用表中数据计算出 ，并说明 与 的线性相关程度．
(2)求出 关于 的线性回归方程，并预测 2025 年两国的交易额．
参考数据：5 =1 = 43； 465 ≈ 21.6

参考公式： = =1
；回归方程 = + ， = =1 ， = ．

2
=1 2
2 =1

=1
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16.(本小题 15 分)
2025 年 1 月，某视频 发布，该模型在全球范围内引发广泛关注，现为了对其产品用户的使用行为进行
统计分析，收集了若干名用户的每日使用时长(单位：分钟)，得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时
长不小于 60 分钟的用户称为“忠实粉丝”．
(1)求 的值：
(2)采用分层抽样的方法，已经从样本中每日使用时长在[40,60), [80,100)的用户中抽取出了 7 人，现从这 7
人中随机抽取 2 人作进一步分析，记 为 2 人中忠实粉丝的人数，求 的分布列和期望．
(3)用样本频率估计总体概率，从该产品所有用户中随机抽取 10 人，记 为其中“忠实粉丝”的人数， =
时对应的概率记为 ，则 为多少时 最大？
17.(本小题 15 分)
正在改变着我们的工作和生活.为了解不同学历人群对 的使用情况，随机调查了 200 人，得到如
下数据：
使用情况
学历 合计
经常使用不经常使用
本科及以上65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
(1)依据 = 0.01 的独立性检验，能否认为 的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“ 模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有 3 道题目，甲、乙同时
依次作答，3 道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，若两人同时答对或同时答错，每人得 0 分；
若一人答对而另一人答错，答对的得 10 分，答错的得 10 分.比赛结束后，3 道题的得分之和为该选手的
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3
最后总分.两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，且甲正确回答每道题的概率为5，
1
乙正确回答每道题的概率为2．
( )求甲的总分为 10 分的概率；
( )求在甲的总分为 10 分的条件下，乙恰好回答对 1 道题的概率．
( )2
参考公式与数据： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
临界值表
0.1 0.05 0.01 0.0050.001
2.7063.8416.6357.87910.828
18.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 4

2 = 1，点 (2,0)．
(1)过点 分别作 和 垂直于双曲线的两条渐近线， 、 为垂足，求 的面积：
(2)若 、 两点都在双曲线上运动，且 ⊥ ，作 ⊥ 于点 ，求证：动点 在定圆上，并求出此定圆
的方程．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln e (其中 为自然对数的底数， ∈ R).
(1)若函数 ( )在其定义域上不单调，求证： ( ) ≤ 2 3 ．
(2)若ee cos ( ) 2e ≤ 2 ee ln 对任意 ∈ R+恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.34
13.1 < < 2
14.2.45
15.解：(1)由题意，根据表格中的数据，
= 1可得： 5 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3 =
1
， 5 (9 + 12 + 17 + 21 + 26) = 17，
则5 =1 ( )( ) = (1 3)(9 17) + + (5 3)(26 17) = 43，
5 =1 (
2 5
) =1 ( )
2 = 10 × 186 ≈ 43.1，
5 ( )( ) 43
所以 = =1 = ≈ 0.998
5 =1 ( )2
5
=1 ( )2
43.1
所以变量 与 的线性相关程度很强．
(2)由(1)可得 = 3， = 17，5 =1 ( )( ) = 43，
又由5 2 =1 ( ) = (1 3)
2 + (2 3)2 + (3 3)2 + (4 3)2 + (5 3)2 = 10，
5 =1 ( )( ) = 43所以
5
= = 4.3，则 = = 17 4.3 × 3 = 4.1，
=1 ( )2 10
可得 关于 的线性回归方程为 = 4.3 + 4.1
令 = 6，可得 = 4.3 × 6 + 4.1 = 29.9，
即 2025 年两国的交易额交易额 29.9 百亿元．
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16.解：(1)由 0.002 × 20 + 0.004 × 20 + 0.009 × 20 + 20 + 0.012 × 20 + 0.003 × 20 = 1，解得 = 0.02．
(2)由频率分布直方图可知，[40,60)与[80,100)的用户数之比为 3：4，
所以用分层抽样抽取的 7 人中，有 4 人是忠实粉丝，从 7 人中任取 2 人， 取 0，1，2，
C2 1 1 2 ( = 0) = 3 = 1 C C 4 C 22 7， ( = 1) =
3 4 = ， ( = 2) = 4 =
C7 C
2
7 7 C
2
7 7
所以 的分布列为

0 1 2
1 4 2
7 7 7
= 0 × 1 4 2 8所以 7 + 1 × 7 + 2 × 7 = 7；
(3)用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取 1 人，他为忠实粉丝的概率为 0.02 × 20 + 0.012 ×
20 + 0.003 × 20 = 0.7
所以 (10,0.7)
( = ) = C 100.7 (1 0.7)10
( = ) ≥ ( = + 1)
( = ) ≥ ( = 1)，解得：6.7 ≤ ≤ 7.7，又 ∈ Z，故 = 7 时概率最大．
17.解：(1)零假设为 0： 的使用情况与学历无关，
2 = 200×(65×50 35×50)
2
根据列联表中的数据，可得 100×100×115×85 ≈ 4.604 < 6.635，
依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，没有充分证据推断 0不成立，
因此可以认为 0成立，即认为 的使用情况与学历无关；
(2)(ⅰ)当甲，乙同时回答第 ( = 1,2,3)道题时，甲得分为 ，
= 10 =
3 1 3
5 × 2 = 10，
3 1 2 1 1 = 0 = 5 × 2 + 5 × 2 = 2，
= 10 =
2
5 ×
1 = 12 5，
比赛结束甲的得分 的取值为 10 的概率为：
2 2
( = 10) = C1 3 1 1 1 3 2793 × 10 × 2 + C3 × 5 × 10 = 1000，
(ⅱ)设 =“比赛结束后甲总分是 10 分”， =“比赛结束时乙恰好答对一道题”，
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由( ) 279可得 ( ) = 1000，
1 3 2 ( ) = Cl3 × 5 ×
3 3 1
10 + A3 × 5 × 2 ×
3 × 1 1 × 2 × 1 = 162 815 2 5 2 1000 = 500，
81
则 ( | ) = ( ) 500 18 ( ) = 279 = 31，
1000
18
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对 1 道题的概率为31．
18.解：(1)两渐近线 , 2的方程分别为 =± 2 ，即 ± 2 = 0．
则| | = 23 , | | =
2
3，
2
设 2的倾斜角为 ，则 tan = 3 = 2 ．2
4 2
3
sin∠ = sin( 2 ) = sin2 = 2sin cos = 2sin cos = 2tan 2 2故 sin2 +cos2 tan2 +1 = 3 ．
= 1从而 2 | | | |sin∠ =
1 × 4 × 2 2 = 4 22 3 3 9 ．
(2)①若直线 的斜率存在时，设 : = + ，联立 2 2 2 = 4，消 得：
1 +
4
2 = 2
1 2 2 2 4 2 2 + 2 = 0，设 1, 1 , ,
2 1
2 2 ，则 2 ．
1 =
2 +2
2 2 2 1
由 ⊥ = 0 1 2 2 2 + 1 2 = 0
即 1 2 2 1 + 2 + 4 + 1 + 2 + = 0，
即 2 + 1 1 2 + ( 2) 1 + 2 + 2 + 4 = 0，
即 2 + 1 2 2 + 2 + ( 2)( 4 ) + 2 + 4 2 2 1 = 0，
即 12 2 + 8 + 2 = 0，
即(2 + )(6 + ) = 0，
解得 = 2 或 = 6 ，
∴直线 的方程为： = ( 2)(不符，舍)或 = ( 6)．
∴直线 过定点 (6,0)．
②若直线 的斜率不存在时，设 : = ，联立 2 2 2 = 4，
= =
得 =
2 4或 2 = 4 ,2 2
2 , 4
2
即 2 , ,
4
2 ，
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由
2 2
= 0 得( 2)2 + 42
4
2 = 0
2 8 + 12 = 0 = 6 或 = 2(不符，舍
去)．
∴直线 的方程为 = 6，此时也过定点 (6,0)．
在 1 1中，取 中点 (4,0)，则| | = 2 | | = 2 × 4 = 2．
故动点 在以点 为圆心，2 为半径的定圆上，
且此定圆的方程为( 4)2 + 2 = 4．
19.解：(1)因为 ( ) = ln e ( > 0) ，所以 ′( ) = e( > 0)，
当 ≤ 0 时， ′( ) < 0， ( )在(0, + ∞)上为减函数，不合题意．
当 > 0 时，由 ′( ) > 0 得 0 < < ，由 ′e ( ) < 0 得 >

e，

所以 ( )在 0, e 上单调递增，在 e , + ∞ 上单调递减，符合题意，
( ) = = ln e 此时 max e e e = ln 2 ，
要证 ( ) ≤ 2 3 ，只需证 ( ) ≤ 2 3 ，即证 2max ln ≥ 0( > 0)，
不等式 2 ln ≥ 0( > 0)等价于 1 ln ≥ 0( > 0)，
令 ( ) = 1 ln ( > 0) 1 1，则 ′( ) = 1 = ( > 0)，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，当 > 1 时， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = 0，故 ( ) ≤ 2 3 ．

(2)由题意得，ee cos ( ) 2e ≤ 2 ee ln cos ( ) 2e ≤ ee 2 ln

cos ( ) ≤ ee 2 ln + 2e cos ( ) ≤ e
ln e 2 ln e cos ( ) ≤ e ( ) 2 ( )，
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令 = ( ) = ln e ，则等价于 cos ≤ e 2 恒成立，
令 ( ) = e 2 cos ，则 ′( ) = e 2+ sin ，
当 ≤ 0 时，e ≤ 1, sin ≤ 1，则 ′( ) = e 2 + sin ≤ 0， ( )在( ∞,0]上单调递减，
当 ≥ 0 时，令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = e + cos ≥ 1 + cos ≥ 0，故 ′( )在[0, + ∞)上单调递增，
又 ′(0) = 1 < 0, ′(1) = e 2 + sin1 > 0，所以存在唯一的 0 ∈ (0,1)，使得 ′ 0 = 0，
且当 0 ≤ < ′0时， ( ) < 0， ( )在 0, 0 上单调递减，当 > 0时， ′( ) > 0， ( )在 0, + ∞ 上单调
递增，
综上所述， ( )在 ∞, 0 上单调递减，在 0, + ∞ 上单调递增，
因为 (0) = 0, (2) = e2 4 cos2 > 0，故存在唯一 1 ∈ 0, 2 ，使得 1 = 0，
从而 cos ≤ e 2 ( ) ≥ 0 ∈ ( ∞,0] ∪ 1, + ∞ ；
由(1)知：①当 = 0 时， ( ) = e 是减函数，故 = ( )的值域为( ∞,0)，此时存在 ( ) > 0 恒成立，
符合题意；
②当 < 0 时， ( ) = ln e 是减函数，故 = ( )的值域为( ∞, + ∞)，此时存在 0 < 0，不符合题
意；
③当 > 0 时， ( )max =

e = ln 2 ，又当 → 0 时， ( ) → ∞，故 = ( )的值域为 ∞, ln
2 ,
若 ln 2 ≤ 0 即 0 < ≤ e2时， = ( ) ∈ ∞, ln 2 ( ∞,0]，此时 ( ) > 0 恒成立，符合题
意，
若 ln 2 > 0 即 > e2时，取 2 = min ln 2 , 0 ，此时存在 2 < 0，不符合题意．
综上所述，实数 的取值范围为 0, e2 ．
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