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2025学年中考数学满分冲刺（全国通用）【最新中考模拟题】
专题32 几何综合压轴题 （42 题）
一、解答题
1．（2025·深圳模拟）（1）如图1，在矩形中，，将沿折叠，的对应点恰好落在边上．若，求．
（2）如图2，在矩形中，为边上的一点，，，，求．
（3）如图3，在（2）的条件下，是射线上的一点，且，求．
2．（2025·玉环二模）如图1，在中，是BC的中点，点，点分别在AB，AC上，连结DE，DF.
（1）若求证：.
（2）如图2，在(1)的条件下，连结EF，若，求DE的值.
3．（2025·顺庆模拟）如图1，在正方形中，为射线上一动点，，，与关于对称，与相交于点．
（1）当在线段上时，求的度数；
（2）当时，求的值；
（3）如图2，当时，求的值．
4．（2025·青白江模拟）【问题情境】在中，，，点D是边上一动点（不与B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．点F是中点，连接并延长交的延长线于点G．
【探究发现】
（1）如图1，若，判断线段与的数量关系，并说明理由；
【探究猜想】
（2）如图2，若．
①判断线段与之间的数量关系，并说明理由；
②若，求的长度．
【探究拓广】
（3）如图3，若，在上取一点M，使得，连接并延长交的延长线于点N，请求出的值（用含n的式子表示）．
5．（2025·惠来模拟）在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接．
（1）如图1，连接与的位置关系是 ；与的位置关系是 ；
（2）如图2，若，当点运动到中点时，求的值；
（3）已知，若，则的长为 ．
6．（2025·湘桥模拟）如图所示，在中，，，，点M为线段（异于点B、C）上一动点，连接．
（1）求的面积；
（2）如图所示，当时，过点B作于点E，连接并延长交于点F，求的值；
（3）如图所示，当点M运动到何处时，取得最大值？并求此时的面积．
7．（2025·湘桥模拟）综合与实践
主题：制作长方体包装盒．
素材：一张边长为30cm的正方表纸板．
步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分．
步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方休包装盒．
若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积．
8．（2025·福田模拟）如图1，点是对角线BD上的一点，且使得，连接AP并延长，交CD于点。
（1）若，求的值。
（2）如图2，将沿AB方向平移到，求证：。
（3）如图3，连接PC，取PC的中点，连接DM交AE于点，若，求的值。
9．（2025·深圳模拟）[问题提出]
如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点E，F分别在射线和射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）．
（1）[问题探究]
如图1，当点从点运动到点时，
①用含的代数式表示的长： ▲ ；
②求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象：
0 1 2 3 4
0 1.5 2
表中的值为 ▲ ，的值为 ▲ ；
（2）当点运动到线段的延长线上时，直接写出关于的函数解析式；
（3）[问题解决]
若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积．
10．（2025·禅城模拟）已知：矩形的边长为2，点P在射线上，过点O、P的与相切于点P．
（1）如图1，若点B在对角线上，且，则的长度是______；
（2）如图2，以O为原点，为x轴建立平面直角坐标系，，设，
①求点B坐标（用含n的代数式表示）．
②连接，设且，当M取最大值时，作于E交于F，与交于G，求的值．
11．（2025·禅城模拟）如图，正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，连接．
（1）如图1，若，当时，求的值；
（2）如图2，若，与的延长线交于点G，E为的中点，求的值；
（3）如图3，若，，求的长．
12．（2025·罗湖模拟）如图1，已知等腰三角形ABC的外接圆圆心为点为的直径，AD交BC于点；
（1）求AB的长；
（2）连OC，求证：四边形ABOC为菱形；
（3）直接写出图2中阴影部分的面积.
13．（2025·盐田模拟）定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”．
（1）下面的图形中是“字平行四边形”的有：____；
A．正方形
B．矩形
C．有一个角是的菱形
D．有一个角是的平行四边形E．有一个角是的平行四边形
（2）在“字平行四边形”中，，，则　 　．
（3）如图，在“字平行四边形”中，，，点是边上一点，，与的延长线交于点，若为“字平行四边形”，求的值；
（4）如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值．
14．（2025九下·宝安模拟）将线段绕点逆时针旋转两次，分别得到线段和线段，连接，，过点作交射线于点．
（1）如图，若，，求的度数；
（2）如图，若，，将线段绕点逆时针旋转至线段，连接，请探究与的数量关系，并说明理由；
（3）如图，若，，，请延长射线与射线交于点，当时，求的长度．
15．（2025·南沙模拟）在中，，为边上的一点，连接．
（1）如图1，，为上的中点，过作交于点，交于点，过作交于点，求的值．
（2）如图2，，，在上且，连接，交于点．已知，求点到的距离．
（3）如图3，，为上的中点，在上，，连接交于点．连接，当最小时，求的面积．
16．（2025·梨树模拟）如图，在矩形中，，连接，．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点D运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点C运动，以为邻边作平行四边形．设运动时间为x秒，平行四边形和矩形重叠部分的图形面积为y．
（1）______；
（2）当点E在CD上时，______；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
17．（2025·东莞模拟）某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径，杯底直径，杯壁母线．请你解决下列问题：
（1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧的长为______，弧的长为______；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧所在圆的圆心，如图3所示．求弧所在圆的半径及它所对的圆心角的度数．
（2）小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．
18．（2025·酒泉模拟）综合实践：等腰三角形中，，，点D为线段上不与端点重合的一动点，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接．
（1）问题发现：如图1，若，请直接写出的度数__________；线段之间的数量关系是__________．
（2）类比探究：如图2，若，求的度数及线段之间的数量关系；
（3）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长．
19．（2025·封开模拟）如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，．
（1）求点的坐标；
（2）如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）点为轴上一动点，作直线交直线于点，存在点使得为等腰三角形，请直接写出的度数．
20．（2025·番禺模拟）如图，现有正方形纸片，点，分别在边，上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原．
（1）若点在边上，且，求的大小（用含的式子表示）；
（2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点，分别在边，上，点落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若，点在线段上，且四边形是正方形，与的交点为，与的交点为，连接．小明同学猜想：的面积是的2倍，他的猜想是否正确？如正确，请给予证明；若不正确，请求出两三角形面积的比．
21．（2025·吉林模拟）如图，是等腰直角三角形，，，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．过点P作于点D，以为边向右侧作矩形，且．设点P的运动时间为t秒，矩形和重叠部分图形的面积为S．
（1）当点F在上时， ______．
（2）当矩形和重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围．
22．（2024九下·北京市模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　 　；
（2）当t＝　 　时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
23．（2025·渠县模拟）如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．
（1）猜想：的值是 ，直线与直线相交所成的锐角度数是 ；
（2）探究：直线与垂直时，求线段的长；
（3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围．
24．（2025·潮阳模拟）如1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O，A和C的坐标分别为且a，c满足．
（1）求a，c的值；
（2）点D在上，将沿折叠，使点O落在矩形内点E处．
①如图2，D，E，B三点共线，连接，求此时点D的坐标；
②如图3，若点D是线段的中点，连接，求的长．
25．（2025·坪山模拟）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，则，试说明理由．
（1）思路梳理
，
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合.
，点，，共线根据______ 从“，，，”中选择填写，易证 ______ ，得．
（2）类比引申
如图，四边形中，，，点，分别在边，上，若，都不是直角，则当与满足等量关系______ 时，仍有．
（3）联想拓展
如图，在中，，，点，均在边上，且猜想，，应满足的等量关系，并写出推理过程．
（4）思维深化
如图，在中，，，点，均在直线上，点在点的左边，且，当，时，直接写出的长．
26．（2025·松原模拟）如图1，图2，在中，，点E为边上一点（包括端点），经过点E，点C作，总满足与相切于点E，设的半径为r．
（1）通过计算判断与的位置关系；
（2）如图2，当点O落在上时，
①求r的值；
②求落在内部的弧的弧长（包括端点）；
（3）直接写出r的取值范围．
27．（2025·深圳模拟）【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离．
【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________．
【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________．
28．（2025·遂宁模拟）【综合与实践】
在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”．
【初步探究】
（1）如图①，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________；
（2）如图②，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值；
【拓展应用】
（3）如图③，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到（点F在的下方）．连接，若，请直接写出的面积．
29．（2025·宝安模拟）已知：中，E在上，F在上，．
（1）如图1，D、F重合，，，，求的长．
（2）如图2，若F为中点，，求．
（3）如图3，中，，P为对角线上一动点，过P作直线使得，分别交直线、于点F、E，若，请直接写出的最小值．
30．（2025·绿园模拟）如图，在中，，，点是边上的一点，且，动点从点出发，沿折线运动，动点在上，且，连接．
（1）求的面积；
（2）当时，求线段的长；
（3）当时，求线段的长；
（4）当是直角三角形时，直接写出线段的长．
31．（2025·船营模拟）如图，在菱形中，，．动点从出发沿线段方向以每秒的速度向终点运动．过点作交边或于点，在的左侧作，使，，设点的运动时间为（秒）．
（1）直接写出的长度；（用含的代数式来表示）
（2）若点落在内部，求的取值范围；
（3）求与重合图形部分的面积与时间之间的函数解析式．
32．（2025·开江模拟）【教材呈现】如图，在中，点、分别与的中点．则与的关系是，；
【感知】如图1，在矩形中，点为的中点，点为边上一动点，点为的中点，连结、、．，与的数量关系是 　　．
【应用】如图2，在中，，，、是的中线，、分别是和的中点，求的长；
【拓展】如图3，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点在上，，点是的中点，连接交于点，若点为的中点，，连接，求的值．
33．（2025·广州模拟）如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．
游戏1 折出对角线，将点A沿过点B的直线翻折到上，折痕BE交于点F，交于点E．展开后如图2所示．
（1）若E恰好为的中点，证明：，并求与之间的数量关系．
游戏2 在游戏1的基础上，将翻折至与重合，折痕为，展开后将点A沿过点E的直线翻折到上的点G处，展开后如图3所示．
（2）在（1）的条件下，连接，求的度数．
游戏3 在游戏1的基础上，将翻折至与先重合，展开后得到新折痕交于点N，如图4所示，Q是的中点，连接．
（3）设，，的面积分别为，若，，求的长．
34．（2025·朝阳模拟）如图，在矩形中，，．点在对角线上，过点作，分别交边、于点、，连结、．
给出下面四个结论：①；②的长为；③四边形的面积为；④当四边形为轴对称图形时，．上述结论中，正确结论的序号有_____．
35．（2025·九台模拟）如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连结．过点C作，交边于点D，交线段于点F．
（1）边的长为____；
（2）当时，求的长；
（3）当时，求的值；
（4）连结，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长．
36．（2024·宁波模拟）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线.如图①，在四边形中，若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形（　　）
②梯形是倍分四边形（　　）
（2）如图①，倍分四边形中，是倍分线，若，，，求；
（3）如图②，中，以为直径的分别交、于点、，已知四边形是倍分四边形．
①求；
②连结，交于点，取中点，连结交于（如图③），若，求．
37．（2025·罗湖模拟）问题探究：如图1，在正方形ABCD，点E，Q分别在边BC，AB上，于点，点G，F分别在边CD、AB上，．
（1）①判断DQ与AE的数量关系：DQ　 　AE；
②推断：　 　（填数值）；
（2）类比探究：如图2，在矩形ABCD中，．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点处，得到四边形FEPG，EP交CD于点，连接AE交GF于点．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用1：如图3，四边形ABCD中，，，点M，N分别在边BC、AB上，求的值．
（4）拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若，求CP的长．
38．（2025·红花岗模拟）如图，在矩形中，，，是射线上一点，连接，沿折叠，点恰好与射线上的点重合．
（1）如图，当点在边上时．
①若，则的长为______；
②若时，求的长；
（2）作的平分线交射线于点，当时，求的长．
39．（2025·永昌模拟）【模型建立】（1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系；
【模型应用】
（2）如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系；
【模型迁移】
（3）如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积．
40．（2025·湘潭模拟）如图1，四边形中，，为的中点，为边上一动点，连接并延长至点，使得，连接．
（1）四边形一定是___________（填特殊四边形的名称）；
（2）若当运动到的中点时，四边形是矩形．设，试求的值；
（3）若，，，是否存在这样的点，使得四边形为矩形，若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．
41．（2025·吉林模拟）如图．在中，，，，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，当点不与点、重合时，过点作交射线于点，以为邻边作，设与重叠部分图形的周长为，点的运动时间为（秒）．
（1）线段___________；
（2）当点落在上时，求t的值；
（3）点D在边上时，求与之间的函数关系式．
42．（2025·永吉模拟）如图，是的对角线，，，．动点P从点D出发，以的速度沿运动到终点A，同时动点Q从点B出发，沿折线运动到终点C，在，上分别以、的速度运动．过点Q作，交射线于M，连接，以，为边作．设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．
（1）_______（用含t的代数式表示）；
（2）当点N落在边时，_______；
（3）求S与t之间的函数关系式；
答案解析部分
1．解：（1）由翻折可得，
四边形为矩形，
，
，
，
；
（2）四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
设，
，
，
解得，
；
（3）如图，当点在线段上，
过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在线段延长线上，
过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的值为或．
（1）由翻折可得，根据矩形性质可得，再根据正弦定义可得DC，再根据勾股定理可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，即，根据正弦定义设，根据勾股定理可得EC，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点在线段上，过点作交于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得FM，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案；当点在线段延长线上，过点作交的延长线于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
2．（1）证明：
（2）解：由（1）得，
(1)根据三角形内角和定理和AB=AC推出，即推出再根据一线三等角模型，可以推出
(2)由(1)中的可以得出：根据D 是BC的中点， 得出DB=CD，这样可以得出：再根据证明根据对应边成比例，可以得出即可.
3．（1）
（2）
（3）
4．（1）
（2）①；②3
（3）
5．（1）
（2）
（3）或
6．（1）
（2）
（3）
7．
8．（1）解：
中
中
（2）解：如图1
平移
，
又
（SAS）
（3）解：如图5所示，延长DM至点，使得，连接PQ，CQ，设
为PC的中点
四边形CDPQ是平行四边形
中，
又，
中，
又
又
又
（1）根据边之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得AB∥CD，则，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据平移性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得AB=MB，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）延长DM至点，使得，连接PQ，CQ，设，根据线段中点可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形CDPQ是平行四边形，则，再根据平行四边形性质可得，则，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得，则，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．（1）①
②由题意得：，
的值为1.5
的值为0
通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象如下：

（2）当点运动到线段AC的延长线上时，
（3）若从上至下存在三个不同位置的点，对应的矩形CDEF面积均相等，
如图：由函数的对称性得：，
当时，即，
设，
则，
由题意得，和时，函数值相等，
故，
整理得：，
解得：，
则，
即矩形的面积
（1）利用△ADE∽△ACB，得到DE=，而DC=4-x，即可表示面积y；
（2）由y=DE CD，即可求解；
（3）由函数的对称性得：x1+x2=4，当AD3=2AD2-AD1时，即x1+x3=2x2，由题意得，x=x2和x=x3时，函数值相等，即可求解．
10．（1）
（2）解：①如图，过作于，则，
∵，，
∴，
当时，
∵矩形，，，，
∴，，，
结合切线性质可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，此时，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：；
②如图，
∵且，，
∴，
当时，最大，
此时，，，，
设解析式为，则，
解得：，
∴解析式为，
设解析式为，则，
解得：，
∴解析式为：，
联立，
解得：，
∴，
∴，
过作于，而，，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴.
（1）解：连接，
∵过点O、P的与相切于点P，．
∴，，
∵，，
∴，
∵矩形的边长为2，
∴，，
∴.
（1）连接，根据切线性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得∠DBP=30°，根据角之间的关系可得，则，，再根据正切定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
（2）①过作于，则，根据垂径定理可得，分情况讨论：当时，根据矩形性质可得，，，再根据切线性质可得，则，根据正切定义可得，代值计算可得，即可求出答案；当时，此时，同理可得：，则，代值计算可得，即可求出答案.
②做出图形，由题意可得，根据二次函数的性质可得当时，最大，此时，，，，设解析式为，根据待定系数法将点D坐标代入解析式可得解析式为，设解析式为，根据待定系数法将思安B，P坐标代入解析式可得解析式为：，联立直线OD解析式，解方程组可得，根据两点间距离可得GP，过作于，而，，则，根据正切定义可得，设，则，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：连接，
∵过点O、P的与相切于点P，．
∴，，
∵，，
∴，
∵矩形的边长为2，
∴，，
∴.
（2）解：①如图，过作于，则，
∵，，
∴，
当时，
∵矩形，，，，
∴，，，
结合切线性质可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，此时，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：；
②如图，
∵且，，
∴，
当时，最大，
此时，，，，
设解析式为，则，
解得：，
∴解析式为，
设解析式为，则，
解得：，
∴解析式为：，
联立，
解得：，
∴，
∴，
过作于，而，，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴.
11．（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴设，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，，
解得：或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点G作交延长线于点H，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，延长，交于点G，过点G作交延长线于点H，
∵，，，
∴，，
∵，
∴设，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
经检验，是原方程的解．
（1）根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据正切定义即可求出答案.
（2）设，则，根据边之间的关系可得AG，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，根据勾股定理可得CE，过点G作交延长线于点H，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，，根据边之间的关系可得HC，再根据正切定义即可求出答案.
（3）延长，交于点G，过点G作交延长线于点H，根据勾股定理可得EC，再根据正切定义可得，设，，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴设，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，，
解得：或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点G作交延长线于点H，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，延长，交于点G，过点G作交延长线于点H，
∵，，，
∴，，
∵，
∴设，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
经检验，是原方程的解．
12．（1）解：∵AB=AC
∴∠ABE=∠D
∵∠BAE=∠DAB
∴△ABE∽△ADB
∴
∴
∴
（2）证明：∵BD为直径
∴∠BAE=90°
∵
∴∠ABC=∠ACB=∠D=30°
∴∠DBA=60°，△OAB为等边三角形
∴OA=OB
同理，AC=OC，即AB=AC=OB=OC
∴四边形ABOC为菱形
（3）
解：（3）连接OA，OC，过点O作OE⊥AC于点E
由(2)可知，△OAB为等边三角形
∴∠ABO=∠AOB=60°
∴∠AOD=120°
∵四边形ABOC为菱形
∴，∠BOC=180°-∠ABC=120°
∴∠AOC=60°
∵OA=OC
∴△OAC为等边三角形
∵OE⊥AC
∴
∴阴影部分面积=
故答案为（1）根据等边对等角可得∠ABE=∠D，再根据相似三角形判定定理可得△ABE∽△ADB，则，代值计算即可求出答案.
（2）根据圆周角定理可得∠BAE=90°，根据等边三角形判定定理可得△OAB为等边三角形，则OA=OB，同理，AC=OC，即AB=AC=OB=OC，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（3）连接OA，OC，过点O作OE⊥AC于点E，根据等边三角形性质可得∠ABO=∠AOB=60°，根据补角可得∠AOD=120°，再根据菱形性质可得，∠BOC=180°-∠ABC=120°，则∠AOC=60°，根据等边三角形性质可得△OAC为等边三角形，解直角三角形可得OE，再根据阴影部分面积=，结合扇形面积及三角形面积即可求出答案.
13．（1）C
（2）
（3）证明：连接AG，CF
∵在“字平行四边形”中，，
∴∠B=∠ACB=75°，∠BAC=30°
∵AB∥DG
∴∠B=∠BCG=75°
∴∠ACG=∠ACB+∠BCG=150°
由大角对大边可得AG>AC，AG>GC
①当CF=AF时，∠FCA=∠FAC=30°
过点F作FH⊥AC于点H
可得点H为AC的中点，AF=2HF，
∵AC=8
∴
∴
当CF=AC时，∠CAF=∠AFC=30°
此时，∠ACF=120°>∠ACB，矛盾
综上所述，若为字平行四边形，
（4）解：过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，∠A=∠C=90°，AB=DC=FN
∵四边形BEDF为平行四边形
∴FD=BE，FB=DE
∴AF=AD-FD，CE=BC-BE，即AF=CE
∵四边形BEDF为N字平行四边形
∵BD>BE，BD>DE
①当FB=FE时
∵N为BE的中点
∴BN=NE
在矩形ABNF中，AF=BN
∵AF=CE
∴BN=NE=CE=AF
∴BC=BN+NE+CE=3AF
∵AB=2AF
∴
②当EB=EF时
∵EM⊥BF
∴M为BF的中点，
设AF=t
∴
∵EM⊥BF
∴∠EMB=90°
∵AD∥BC
∴∠AFB=∠MBE
∴Rt△BAF∽Rt△EMB
∴
由可得
∴
∴
综上，或
解：（1）A：正方形对角线不等于边长，不符合题意
B：长方形对角线不等于边长，不符合题意
C：有一个角是的菱形，边长相等，较短对角线长等于边长，符合题意
D：有一个角是的平行四边形，若邻边不相等，不符合题意
E：有一个角是的平行四边形，不符合题意
故答案为：C
（2）设平行四边形ABCD中，∠A=45°，AB=a，BC=b，且a>b
若对角线BD=BC=b，由余弦定义可得：
，即
化简得：
∴
故答案为：
（1）根据字平行四边形的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）设平行四边形ABCD中，∠A=45°，AB=a，BC=b，且a>b，若对角线BD=BC=b，由余弦定义即可求出答案.
（3）连接AG，CF，根据字平行四边形定义可得∠B=∠ACB=75°，∠BAC=30°，根据直线平行性质可得∠B=∠BCG=75°，根据角之间的关系可得∠ACG=∠ACB+∠BCG=150°，由大角对大边可得AG>AC，AG>GC，分情况讨论：①当CF=AF时，∠FCA=∠FAC=30°，过点F作FH⊥AC于点H，可得点H为AC的中点，AF=2HF，，再根据边之间的关系即可求出但；当CF=AC时，∠CAF=∠AFC=30°，此时，∠ACF=120°>∠ACB，矛盾，即可求出答案.
（4）过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N，根据矩形性质可得AD=BC，∠A=∠C=90°，AB=DC=FN，再根据平行四边形性质可得FD=BE，FB=DE，根据边之间的关系可得AF=CE，分情况讨论：①当FB=FE时，根据线段中点可得BN=NE，根据矩形性质可得BN=NE=CE=AF，再根据边之间的关系即可求出答案；②当EB=EF时，根据线段中点可得，设AF=t，根据勾股定理可得BF，BM，再根据直线平行性质可得∠AFB=∠MBE，再根据相似三角形判定定理可得Rt△BAF∽Rt△EMB，则，由可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．（1）解法1：由旋转可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
解法2：
由旋转可知
∴B、C、D三点在以A为圆心，为半径的圆上，如图1，
∵，
∴弧所对的圆周角为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解法2-1：如图，连接、，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴平行四边形为正方形，
∴，，
设，则，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴；
解法2：如图2-2，先证，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴平行四边形为正方形，
∴且，
∴，D、H、E、B四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）参考（1）（2），同理可证得，
∵，
∴，
当时，如图，，作于G，
∵，，
∴，，
∴，
∵
∴，，
∴
当时，如图，，作于G，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（1）根据旋转的性质求出，再求出，最后计算求解即可；
（2）利用矩形的判定方法求出四边形是矩形，再证明平行四边形为正方形，最后根据相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）先求出，再分类讨论，利用勾股定理，锐角三角函数等计算求解即可。
15．（1）
（2）
（3）
16．（1）
（2）
（3）
17．（1）①，；②12，；
（2）正方形纸片的边长为．
18．（1），
（2），
（3）2
19．（1）
（2）
（3）或
20．（1）
（2）小明同学的猜想不正确，两三角形面积的比
21．（1）
（2）
22．（1）6；（2）8；（3）①当点P在BC上运动时，S△ABP=4t；（0＜t＜4）；②当点P在CD上运动时，S△ABP=16；（4≤t≤6）；③当点P在AD上运动时，S△ABP=-4t+40；（6＜t≤10）；（4）t=2s或t=3s或t=s
23．（1），
（2）或
（3）
24．（1）
（2）①；②
25．（1） ，
（2）
（3）解：猜想：．理由如下：
如图：把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（4）的长为或
（1）解：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：，；
（2）解：时，，理由如下：
，
如图：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：；
（4）解：点，均在直线上，点在点的左侧，，
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，
①当点在边上时，如图，过点A作于点，过点作于点，
，，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，
由①知，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
（1）根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，点、、共线，再根据全等三角形判定定理可得，则，即：，即可求出答案.
（2）根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，点、、共线，再根据全等三角形判定定理可得，则，即：，即可求出答案.
（3）把绕点A顺时针旋转得到，连接，根据旋转性质可得，则，，，，再根据等腰直角三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，即，根据勾股定理可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
（4）点，均在直线上，点在点的左侧，，分情况讨论：①当点在边上时，过点A作于点，过点作于点，根据等边三角形性质可得，，，再根据30°角的直角三角形性质可得，，根据边之间的关系可得AG，再根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案；②当点在的延长线上时，过点作于点，过点作于点，由①知，，，根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据边之间的关系可得AG，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得∽，则，代值计算可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：，；
（2）解：时，，理由如下：
，
如图：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：；
（3）解：猜想：．理由如下：
如图：把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（4）解：点，均在直线上，点在点的左侧，，
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，
①当点在边上时，如图，过点A作于点，过点作于点，
，，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，
由①知，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
26．（1）
（2）①3；②
（3）
27．[问题原型]；[问题延伸]；[问题拓展]
28．（1）；；（2）；（3）12
29．（1）
（2）
（3）6
30．（1）；
（2）或；
（3）；
（4）或．
31．（1）
（2）当时，点F落在的内部；
（3）
32．[感知]；[应用]；[拓展]
33．（1） （2） （3）
34．①③④
35．（1）4；
（2）；
（3）；
（4）的长为或．
36．（1）①√；②×
（2）解：∵倍分四边形中，AC是倍分线，∴
如图所示，过点作于点，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，
（3）解：①如图所示，连接，，， 设交于点，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，即是的中点，
∴，
∵四边形是倍分四边形．
若是倍分线，则点到的距离相等，
而是的角平分线，点到的距离相等，点不重合，故不是倍分线，
∴是倍分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
又∵，
∴，
∴；
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，
在中，
∴
②如图所示，设交于点，连接，过点作交于点，
由①可得，则四边形是平行四边形，
∵点是的中点，
∴，则，
在中，∵
∴，则
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
∴
即
∴
∴
【解答（1）】解：①平行四边形是倍分四边形（√ ）
②梯形是倍分四边形（×）
故答案为：①√；②×．
（1）根据“倍分四边形”的定义判断即可 ；
（2）根据“倍分四边形”的定义得到，过点作于点，即可得到，，然后利用勾股定理求出长，即可得到，再在中，运用勾股定理解题；
（3）①连接，，， 设交于点，利用是倍分四边形．得到是倍分线，即，然后得到，即可得到，设，得到，即可得到，过点作于点，再根据勾股定理得到，解题；
②设交于点，连接，过点作交于点，由①可得是平行四边形，即可得到，然后推导，即可得到解题．
37．（1）=；1
（2）解：结论：．
理由：如图2中，过点作于．
根据折叠的性质可得，，
，
，
，
，
，
，
四边形AMGD是矩形，
，
．
（3）解：如图3，过点作，交BC的延长线于点，过点A作，连接AC，
∵∠ABC=90°，，
∴四边形ABFE是矩形，
，
，
，
，
，且，
，且，
，
，
，
，
，
（不合题意，舍去），，
，
由（2）的结论可知：．
（4）解：如图2中，过点作交BC的延长线于．
∵，
设，
，
，
，
或-1（舍弃），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
解：（1）①∵四边形ABCD是正方形
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ
∴∠QAO+∠OAD=90°
∵AE⊥DH
∴∠ADO+∠OAD=90°
∴∠QAO=∠ADO
在△ABE和△DAQ中
∴△ABE≌△DAQ
∴AE=DQ
故答案为：=
②
∵DQ⊥AE，FG⊥AE
∴DQ∥FG
∵FQ∥DG
∴四边形DQFG是平行四边形
∴FG=DQ
∵AE=DQ
∴FG=AE
∴
故答案为：1
（1）①根据正方形性质可得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAQ，根据角之间的关系可得∠QAO=∠ADO，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△DAQ，则AE=DQ，即可求出答案.
②根据直线平行判定定理可得DQ∥FG，再根据平行四边形判定定理可得四边形DQFG是平行四边形，则FG=DQ，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点作于，根据折叠性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据矩形判定定理可得四边形AMGD是矩形，则，即可求出答案.
（3）过点作，交BC的延长线于点，过点A作，连接AC，根据矩形判定定理可得四边形ABFE是矩形，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（4）过点作交BC的延长线于，设，根据边之间的关系可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得CN，再根据勾股定理即可求出答案.
38．（1）①4；②2
（2）或6
39．（1）；（2）；（3）10或26．
40．（1）平行四边形
（2）4
（3）存在，的最大值为
41．（1）6
（2）
（3）当时，；当时，
42．（1）
（2）
（3）

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