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2024-2025学年小升初数学举一反三重难点培优讲义
专题07 比的认识
知识点一：比的意义与读写
1.比的意义:两个数相除，又叫做两个数的比。比可以用比号“:”或分数线“-”表示，读作几比几。在一个比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。
知识点二：比的基本性质
1.比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
知识点三：比与除法分数之间的关系
1.a：b=a÷b= （b≠0）
知识点四：求比值和化简比
1.求比值的方法：用前项除以后项。
2.化简比：①把比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外);②也可以先求出比值,再将比值写成最简比。
高频考点01：比与分数、除法间的关系
【典例精讲01】比的前项相当于除法中的　 　，比的后项相当于分数的　 　。
【思路点拨】比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于分数中的分母。
【标准答案】被除数；分母
【考点评析】比与分数、除法的关系
【举一反三01】4：15=　 　÷　 　。 3÷7=　 　：　 　。
【举一反三02】　 　：　 　= 0. 75 =　 　÷ 。
【举一反三03】如果a×0.8=b÷=c：=d×90% (a、b、c、d均不为0)，那么，a、b、c、d四个数中，最大的是　 　，最小的是　 　。
高频考点02：比的基本性质
【典例精讲02】（2023六上·岑巩期中）如果 ， 那么 。（　　）
【思路点拨】 只能说a和b的比值是7：3，或者a是7的某个倍数，而b是3的相同的倍数。
【标准答案】错误
【考点评析】比的基本性质
【举一反三04】在4：3中，把比的后项加上24，要使比值不变，前项应该加上　 　。
【举一反三05】 4：5的前项和后项都扩大到原来的3倍，比值　 　。
【举一反三06】（2025六上·坪山期末）7：5的后项加上20、前项加上　 　可使比值不变。
高频考点03：比的化简与求值
【典例精讲03】热干面是武汉市的一种特色小吃，妈妈网购了5袋热干面共花了18.5元，总价与数量最简单的整数比是　 　，比值是　 　，这个比值表示_____
　 　。
【思路点拨】18.5：5=37：10；18.5：5=37：10=37÷10=3.7，这个比值表示每袋热干面的价格。
【标准答案】37：10；3.7；每袋热干面的价格
【考点评析】比的化简与求值
【举一反三07】甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，甲车10小时行完全程，乙车12小时行完全程。4小时后甲、乙两车所行路程比是　 　.
【举一反三08】在化简2：0.08时，华华是这样做的：2：0.08=(2×100)：(0.08×100)，她这样做的依据是　 　，这个比的比值是　 　。
【举一反三09】（2025六上·宝安期末）求下列比的比值。
6.63：0.3 ：
高频考点04：比的应用
【典例精讲04】小明、小红、小华三家十月份共付电费120元，如果按每家的用电量(如下图)分摊电费，小明家应付　 　元，小红家应付　 　元，小华家应付　 　元。
住户 小明家 小红家 小华家
用电量/千瓦时 80 60 100
【思路点拨】三家分别应付的电费金额=三家十月份共付电费金额÷总份数×各自分别占的份数。
80：60：100=4：3：5
120÷（4＋3＋5）
=120÷12
=10（千瓦时）
10×4=40（元）
10×3=30（元）
10×5=50（元）。
【标准答案】40；30；50
【考点评析】比的应用
【举一反三10】陕西牛背梁自然保护区被誉为物种的“天然基因库”，保护区内两栖爬行动物的种类与鱼的种类之比为21∶4，已知两栖爬行动物比鱼的种类多34种，则两栖爬行动物有　 　种，鱼类有　 　种。
【举一反三11】 一个圆柱和一个圆锥底面周长的比是2： 3，它们的体积相等，如果圆柱的高是12dm，那么圆锥的高是　 　dm。
【举一反三12】一个三角形三个内角度数的比是2：5：3，这个三角形最大的角是　 　°，这是一个　 　三角形。
07 比的认识 真题演练
一、单选题
1．（2024六下·泗洪期末）六（1）班人数在40到50之间，已知男生人数是女生人数的75%，全班最多有（　　）人。
A．42 B．45 C．49 D．50
2．（2025六上·新都期末）晶晶喜欢用课堂上获得的知识和经验分析生活中的现象，下面每一个情景中的两个量，能够用5∶3来表示的是（　　）。
①两瓶饮料容积 ②3辆小货车装了5吨面粉 ③两个正方体的表面积
A．①②③ B．①② C．②③ D．只有①
3．（2021六上·温江期末）一个减法算式中，减数是差的 ，被减数与差的最简整数比是（　　）。
A．3：2 B．2：3 C．5：2 D．5：3
4．（2025六上·平湖期末）如果将比12∶7的后项加上21，要使比值不变，前项应（　　）。
A．加上21 B．加上24 C．乘4 D．乘5
5．（2025六上·西湖期末）修路队修一段公路，已修的米数和未修的米数的比是4∶5，如果再修60米，就正好修了全程的一半。这段公路长多少米？下列算式中（　　）能解决这个问题。
A． B． C． D．
6．（2025六上·东莞期末）下面三个情境中，两个量之比可以用6∶5表示的是（　　）。
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
7．（2025六上·东莞期末）下边各桶上标的是配制涂料时所用两种颜色涂料的质量，配制出的涂料颜色相同的是（　　）。
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
8．（2025六上·龙岗期末）一个三角形，三个内角的度数比是1∶2∶3，这个三角形是 (　　)。
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
二、填空题
9．（2024六上·成都期末）一辆汽车6小时行驶了540千米，那么路程与时间的比是
　 　，比值是　 　，这个比值表示的意思是　 　。
10．（2024六上·成都期末）一个等腰三角形的一个底角与顶角的度数比是2：5，它的底角是　 　°，按角分类这是一个　 　三角形。
11．（2022六上·武侯期末）一块长方形的土地，周长是120米，长和宽的比是2：1，这块土地的面积是 　 　平方米。
12．（2025六上·保康期末）甲数是乙数的，则甲数∶乙数＝（　　）∶（　　）；乙数∶甲数＝（　　）∶（　　），乙数是甲数的；甲数比乙数少（　　）%。
13．（2025六上·新都期末）七五折。
三、计算题
14．（2025六上·华蓥期末）化简下面各比。
①1.25∶0.25 ②∶
15．（2025六上·西湖期末）求比值。
四、解决问题
16．（2020六上·武侯期末）某筑路队修一条公路，第一天修了全长的 ，第二天与第一天所修长度的比是3：2，两天后还剩120米没修，这条公路全长多少米？
17．（2021六上·温江期末）一个圆形花坛，直径为20米，在花坛中央有一个半径为2米的圆形喷水池，其余部分按3：5的比例种植草和花，种花的面积是多少平方米？
18．（2025六上·宝安期末）一列初代的“复兴号”只有576个座位，一列加长版“复兴号”有1000个座位，其中商务座占座位总数的2%，其余的是一等座与二等座，一等座与二等座的数量比是3：17，这列加长版“复兴号”的商务座、一等座和二等座各有多少个座位
19．（2025六上·龙岗期末） 科学保健康。专家建议：喝冰糖雪梨汁可以有效地缓解新冠病毒导致的嗓子痛和咳嗽等症状。据报道：将雪梨、冰糖和水按照25∶1∶54的比进行熬制，这样熬出来的冰糖雪梨汁浓度合适，雪梨能够发挥更大的功效。亮亮家计划熬制2000克的冰糖雪梨汁，需要准备雪梨、冰糖和水各多少克
20．（2025六上·福田期末） 青铜器铸造。我国古代具有悠久的青铜器铸造史。据先秦古籍《考工记》记载，如下图所示的青铜器就是由锡和铜按照一定的质量比铸造而成。鼎的质量是4270克，锡与铜的质量比是1∶6，这个鼎中含锡、铜各多少克
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专题07 比的认识
知识点一：比的意义与读写
1.比的意义:两个数相除，又叫做两个数的比。比可以用比号“:”或分数线“-”表示，读作几比几。在一个比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。
知识点二：比的基本性质
1.比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
知识点三：比与除法分数之间的关系
1.a：b=a÷b= （b≠0）
知识点四：求比值和化简比
1.求比值的方法：用前项除以后项。
2.化简比：①把比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外);②也可以先求出比值,再将比值写成最简比。
高频考点01：比与分数、除法间的关系
【典例精讲01】比的前项相当于除法中的　 　，比的后项相当于分数的　 　。
【思路点拨】比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于分数中的分母。
【标准答案】被除数；分母
【考点评析】比与分数、除法的关系
【举一反三01】4：15=　 　÷　 　。 3÷7=　 　：　 　。
【思路点拨】比的前项相当于除法算式中的被除数，比的后项相当于除法算式中的除数，比号相当于除号。
【标准答案】4；15；3；7
【考点评析】比与分数、除法的关系
【举一反三02】　 　：　 　= 0. 75 =　 　÷ 。
【思路点拨】0.75＝75：100＝3：4，即，再算右边：0.75×12＝9，9÷12＝。
【标准答案】3，4，9，。
【考点评析】比与分数、除法的关系；比的基本性质；比的化简与求值
【举一反三03】如果a×0.8=b÷=c：=d×90% (a、b、c、d均不为0)，那么，a、b、c、d四个数中，最大的是　 　，最小的是　 　。
【思路点拨】a×0.8=b÷=c：=d×90%
a×0.8=b×=c×=d×90%
因为90%＞＞0.8＞，所以d＜c＜a＜b。
【标准答案】b；d
【考点评析】分数与小数的互化；分数与分数相乘；除数是分数的分数除法；百分数与小数的互化；比与分数、除法的关系
高频考点02：比的基本性质
【典例精讲02】（2023六上·岑巩期中）如果 ， 那么 。（　　）
【思路点拨】 只能说a和b的比值是7：3，或者a是7的某个倍数，而b是3的相同的倍数。
【标准答案】错误
【考点评析】比的基本性质
【举一反三04】在4：3中，把比的后项加上24，要使比值不变，前项应该加上　 　。
【思路点拨】4∶3的后项加上24，后项：3＋24＝27，相当于后项乘9，要使比值不变，比的前项也要乘9，4×9＝36，那前项应加上36－4＝32。
【标准答案】32
【考点评析】比的基本性质
【举一反三05】 4：5的前项和后项都扩大到原来的3倍，比值　 　。
【思路点拨】4：5＝4÷5＝0.8；4×3：5×3=0.8。
【标准答案】不变
【考点评析】比的基本性质
【举一反三06】（2025六上·坪山期末）7：5的后项加上20、前项加上　 　可使比值不变。
【思路点拨】（5＋20）÷5
=25÷5
=5
7×5-7
=35-7
=28，前项加上28可使比值不变。
【标准答案】28
【考点评析】比的基本性质
高频考点03：比的化简与求值
【典例精讲03】热干面是武汉市的一种特色小吃，妈妈网购了5袋热干面共花了18.5元，总价与数量最简单的整数比是　 　，比值是　 　，这个比值表示_____
　 　。
【思路点拨】18.5：5=37：10；18.5：5=37：10=37÷10=3.7，这个比值表示每袋热干面的价格。
【标准答案】37：10；3.7；每袋热干面的价格
【考点评析】比的化简与求值
【举一反三07】甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，甲车10小时行完全程，乙车12小时行完全程。4小时后甲、乙两车所行路程比是　 　.
【思路点拨】（×4）：（×4）=：=6：5。
【标准答案】6：5
【考点评析】比的化简与求值
【举一反三08】在化简2：0.08时，华华是这样做的：2：0.08=(2×100)：(0.08×100)，她这样做的依据是　 　，这个比的比值是　 　。
【思路点拨】将比的前项2和后项0.08同时乘以100，得到新的比为200：8。
这个操作的依据是比的基本性质，即比的前项和后项同时乘以（或除以）同一个不为0的数，比不变。
比值是前项除以后项的结果，即200÷8=25。
【标准答案】比的基本性质；25
【考点评析】比的基本性质；比的化简与求值
【举一反三09】（2025六上·宝安期末）求下列比的比值。
6.63：0.3 ：
【标准答案】6.63：0.3=6.63÷0.3=22.1; ：=÷=
【考点评析】比的化简与求值
高频考点04：比的应用
【典例精讲04】小明、小红、小华三家十月份共付电费120元，如果按每家的用电量(如下图)分摊电费，小明家应付　 　元，小红家应付　 　元，小华家应付　 　元。
住户 小明家 小红家 小华家
用电量/千瓦时 80 60 100
【思路点拨】三家分别应付的电费金额=三家十月份共付电费金额÷总份数×各自分别占的份数。
80：60：100=4：3：5
120÷（4＋3＋5）
=120÷12
=10（千瓦时）
10×4=40（元）
10×3=30（元）
10×5=50（元）。
【标准答案】40；30；50
【考点评析】比的应用
【举一反三10】陕西牛背梁自然保护区被誉为物种的“天然基因库”，保护区内两栖爬行动物的种类与鱼的种类之比为21∶4，已知两栖爬行动物比鱼的种类多34种，则两栖爬行动物有　 　种，鱼类有　 　种。
【思路点拨】（种），（种），50-42=8（种）。
【标准答案】42；8
【考点评析】比的应用
【举一反三11】 一个圆柱和一个圆锥底面周长的比是2： 3，它们的体积相等，如果圆柱的高是12dm，那么圆锥的高是　 　dm。
【思路点拨】一个圆柱和一个圆锥底面周长的比是2： 3，底面半径的比是2：3，底面积的比是4：9；
把圆柱的底面积看做4，圆锥的底面积就是9；
圆柱的体积：4×12=48（立方分米）；
它们的体积相等，圆锥的体积也是48立方分米；
圆锥的高：48×3÷9=16（分米）。
【标准答案】16
【考点评析】圆柱的体积（容积）；圆锥的体积（容积）；比的应用
【举一反三12】一个三角形三个内角度数的比是2：5：3，这个三角形最大的角是　 　°，这是一个　 　三角形。
【思路点拨】2＋5＋3＝10
180×＝36（度）
180×＝90（度）
180×＝54（度）
这个三角形最大的内角是90度，这是一个直角三角形。
【标准答案】90；直角
【考点评析】三角形的特点；三角形的内角和；比的应用
07 比的认识 真题演练
一、单选题
1．（2024六下·泗洪期末）六（1）班人数在40到50之间，已知男生人数是女生人数的75%，全班最多有（　　）人。
A．42 B．45 C．49 D．50
2．（2025六上·新都期末）晶晶喜欢用课堂上获得的知识和经验分析生活中的现象，下面每一个情景中的两个量，能够用5∶3来表示的是（　　）。
①两瓶饮料容积 ②3辆小货车装了5吨面粉 ③两个正方体的表面积
A．①②③ B．①② C．②③ D．只有①
3．（2021六上·温江期末）一个减法算式中，减数是差的 ，被减数与差的最简整数比是（　　）。
A．3：2 B．2：3 C．5：2 D．5：3
4．（2025六上·平湖期末）如果将比12∶7的后项加上21，要使比值不变，前项应（　　）。
A．加上21 B．加上24 C．乘4 D．乘5
5．（2025六上·西湖期末）修路队修一段公路，已修的米数和未修的米数的比是4∶5，如果再修60米，就正好修了全程的一半。这段公路长多少米？下列算式中（　　）能解决这个问题。
A． B． C． D．
6．（2025六上·东莞期末）下面三个情境中，两个量之比可以用6∶5表示的是（　　）。
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
7．（2025六上·东莞期末）下边各桶上标的是配制涂料时所用两种颜色涂料的质量，配制出的涂料颜色相同的是（　　）。
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
8．（2025六上·龙岗期末）一个三角形，三个内角的度数比是1∶2∶3，这个三角形是 (　　)。
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
二、填空题
9．（2024六上·成都期末）一辆汽车6小时行驶了540千米，那么路程与时间的比是
　 　，比值是　 　，这个比值表示的意思是　 　。
10．（2024六上·成都期末）一个等腰三角形的一个底角与顶角的度数比是2：5，它的底角是　 　°，按角分类这是一个　 　三角形。
11．（2022六上·武侯期末）一块长方形的土地，周长是120米，长和宽的比是2：1，这块土地的面积是 　 　平方米。
12．（2025六上·保康期末）甲数是乙数的，则甲数∶乙数＝（　　）∶（　　）；乙数∶甲数＝（　　）∶（　　），乙数是甲数的；甲数比乙数少（　　）%。
13．（2025六上·新都期末）七五折。
三、计算题
14．（2025六上·华蓥期末）化简下面各比。
①1.25∶0.25 ②∶
15．（2025六上·西湖期末）求比值。
四、解决问题
16．（2020六上·武侯期末）某筑路队修一条公路，第一天修了全长的 ，第二天与第一天所修长度的比是3：2，两天后还剩120米没修，这条公路全长多少米？
17．（2021六上·温江期末）一个圆形花坛，直径为20米，在花坛中央有一个半径为2米的圆形喷水池，其余部分按3：5的比例种植草和花，种花的面积是多少平方米？
18．（2025六上·宝安期末）一列初代的“复兴号”只有576个座位，一列加长版“复兴号”有1000个座位，其中商务座占座位总数的2%，其余的是一等座与二等座，一等座与二等座的数量比是3：17，这列加长版“复兴号”的商务座、一等座和二等座各有多少个座位
19．（2025六上·龙岗期末） 科学保健康。专家建议：喝冰糖雪梨汁可以有效地缓解新冠病毒导致的嗓子痛和咳嗽等症状。据报道：将雪梨、冰糖和水按照25∶1∶54的比进行熬制，这样熬出来的冰糖雪梨汁浓度合适，雪梨能够发挥更大的功效。亮亮家计划熬制2000克的冰糖雪梨汁，需要准备雪梨、冰糖和水各多少克
20．（2025六上·福田期末） 青铜器铸造。我国古代具有悠久的青铜器铸造史。据先秦古籍《考工记》记载，如下图所示的青铜器就是由锡和铜按照一定的质量比铸造而成。鼎的质量是4270克，锡与铜的质量比是1∶6，这个鼎中含锡、铜各多少克
答案解析部分
1．C
解：75%=，
女生人数看做4份，男生人数看做3份，总人数是7份，
40到50之间7的最大的倍数是49，全班最多有49人。
故答案为：C。
全班的人数一定是总份数的倍数，据此解答。
2．B
3．D
解：（1＋）：1
=：1
=5：3
故答案为：D。
把差看作单位“1”，由减数是差的，可得减数是；被减数=差＋减数，可得被减数=，再求出被减数与差的比，然后化简比。
4．C
5．D
解：4÷（4＋5）=
60÷（－）
＝60÷（－）
＝60÷
＝60×18
＝60×（9×2）
＝60×（4＋5）×2。
故答案为：D。
已修的米数和未修的米数的比是4∶5，那么已修的是这段公路的4÷（4＋5）=。全程的一半是，用减去，求出再修的60米是全程的几分之几。将全程看作单位“1”，单位“1”未知，用60米除以对应分率。
6．D
7．B
8．B
解：180÷（1＋2＋3）×3
=180÷6×3
=30×3
=90（度），这个三角形是直角三角形。
故答案为：B。
这个三角形中最大内角的度数=三角形的内角和÷总份数×最大内角占的份数，有一个角是90度的三角形是直角三角形。
9．90∶1；90；汽车的速度
10．40；钝角
解：180°÷（2＋2＋5）
＝180°÷9
＝20°
20°×2＝40°
20°×5＝100°
有一个角是钝角，按角分类，这个三角形是钝角三角形。
故答案为：40；钝角
底角与顶角的比是2∶5，则三角形三个内角度数的比为2∶2∶5，已知三角形的内角和是180°，用180°÷（2＋2＋5）可以求出一份的度数，然后分别求出三个内角的度数，据此判断是什么三角形。
11．800
解：120÷2=60（米）
60×=40（米）
60-40=20（米）
40×20=800（平方米）
故答案为：800。
长方形的周长÷2=长方形的长宽之和，长方形的长宽之和×=长方形的长，长方形的长宽之和-长方形的长=长方形的宽，长方形的长×长方形的宽=长方形的面积。
12．3；4；4；3；；25
13．4；9；15；75
14．①5∶1；②26∶7
15．解：2.8∶0.7
＝2.8÷0.7
＝4
∶
＝×
＝
÷=×＝
求比值=比的前项÷比的后项。
16．解：第二天修了全长的：÷=
120÷（1--）
=120÷（1--）
=120÷
=240（米）
答：这条公路全长240米。
根据题意，将全长看作单位“1”，第二天与第一天所修长度的比是3：2，即第一天修的长度是第二天的，第一天修了全长的，第二天修了全长的：÷=，还剩120米没修，根据对应的剩下的几分之几，用除法即可求出总长度。
17．解：20÷2=10（米）
3.14×（102-22）÷（3＋5）×5
=3.14×（100-4）÷8×5
=3.14×96÷8×5
=301.44÷8×5
=37.68×5
=188.4（平方米）
答：种花的面积是188.4平方米。
种花的面积=环形的面积÷总份数×花占的份数；其中，环形面积=π×（R2-r2）。
18．解：1000×2%=20（个）
（1000-20）÷（3＋17）
=980÷20
=49（个）
49×3=147（个）
49×17=833（个）
答：这列加长版“复兴号”的商务座、一等座和二等座各有座位的个数是20个、147个和833个。
这列加长版“复兴号”的商务座位的个数=座位总个数×商务座位占的分率，一等座和二等座各有座位的个数=（座位总个数-商务座位个数）÷剩余的总份数×各自分别占的份数。
19．解：2000÷（25＋1＋54）
=2000÷80
=25（克）
25×25=625（克）
25×1=25（克）
25×54=1350（克）
答：需要准备雪梨、冰糖和水各625克、25克、1350克。
需要准备雪梨、冰糖和水分别的质量=亮亮家计划熬制冰糖雪梨汁的总质量÷总份数×各自分别占的份数。
20．解：4270÷（1+6）
=4270÷7
=610（克）
锡：610×1=610（克）
铜：610×6=3660（克）
答：这个鼎中含锡610克，铜3660克。
用鼎的重量除以（1+6）求出每份的重量，用每份的重量分别乘锡和铜的份数即可分别求出锡和铜的重量。
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