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2024-2025 学年河北省沧衡学校联盟高二下学期 4 月期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.现有 6 幅不同的风景画，2 幅不同的人物画，3 幅不同的水彩画，从这些画中选 1 幅布置房间，则不同
的选法共有( )
A. 11 种 B. 18 种 C. 30 种 D. 36 种
2.核糖核酸( )是存在于生物细胞及部分病毒、类病毒中的携带遗传信息的物质．参与形成 的碱基有
4 种，分别用 ， ， ， 表示．在一个 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一 分子由
20 个碱基组成，则不同的 分子的种数为( )
A. 24 B. 80 C. 420 D. 204
3.现有 10 本散文集，5 本诗歌，若从这 15 本课外读物中任取 3 本，则至少有 1 本是散文集的概率为( )
3 1 2 2 1 3 2 1
A. 1 C5 B. C10C5 C. C10C5+C103 3 3 D.
C10C5
C 315 C15 C15 C15
4.若(2 1)5 = 5 5 + 4 4 + 3 + 23 2 + 1 + 0，则 0 + 2 + 4 =( )
A. 121 B. 122 C. 121 D. 122
5.一个家庭有 5 个成员，其中有父、母亲以及 3 个孩子，现安排站一排照一张全家福，要求父、母亲相邻
站队，则不同的站法种数为( )
A. 24 B. 48 C. 16 D. 12
6.在如图所示的电路中，5 个盒子表示保险匣，盒子中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率，则下列结论
正确的是( )
A. ， 1两个盒子并联后 段畅通的概率为3
B. ， 7两个盒子串联后 段畅通的概率为12
C. 3， ， 三个盒子混联后 段畅通的概率为4
D.当开关合上时，整个电路畅通的概率大于整个电路不通的概率
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7.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排含甲、乙的六
名航天员开展实验，其中天和核心舱安排三人，剩下的两个实验舱每个实验舱至少安排一人.若甲、乙两人
不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案有( )
A. 16 种 B. 52 种 C. 88 种 D. 72 种
8.将 10 个诗歌朗诵比赛名额全部分给 6 个不同的班，每个班至少有 1 个名额，则不同的分配方案种数为( )
A. 56 B. 126 C. 210 D. 462
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 的分布列为
1 0 1 2
0.25
且 ， ， 成等差数列，下列结论正确的是( )
A. ( + 1) = 116 ( ) B. (| = 1|) = 0.5
C.若 ( ) = 0.08，则 = 0.1 D. 可能等于 0.1
10.某加工厂的某种生活用品由 和 两台机器生产， 机器生产该种生活用品的速度是 机器的 3 倍，且
机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为 0.020， 机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为
0.012.假设 ， 机器每天同时开启和关闭，且两台机器生产出来的该种生活用品是否合格相互之间不影
响．现随机抽出一件该种生活用品，下列结论正确的是( )
A.这件生活用品合格的概率为 0.982
B.这件生活用品不合格的概率为 0.015
C. 5若这件生活用品不合格，则它来自 机器生产的概率为6
D. 1若这件生活用品不合格，则它来自 机器生产的概率为4
11.单个水果的质量 (单位：克)服从正态分布 (15, 2)，且 ( > 17) = ，规定单个水果的质量与 15 克
的误差不超过2 克即是优质品．现从这批水果中随机抽取 个，其中优质品的个数为 ，下列结论正确的是( )
A.若 = 12，则 ( )的最大值为 3
B. 1若 = 11， = 8，当 ( = )取最大值时， = 9

C.当 = 1 24， 为偶数时， =0 ( = 2 ) =
1
2
D.若 = 16， ( ≥ 2) ≥ 0.9，则 的最小值为 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.设 ， 为两个随机事件，已知 ( ) = 0.6， ( | ) = 0.3， ( | ) = 0.1，则 ( ) = ．

13 2.已知 + 展开式中所有奇数项的二项式系数和为 64，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互
不相邻的概率为 ．
14.如图，这是一面含 ， ， ， ， ， 六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对
这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有 种不同的涂色方法；若区域 不能涂甲油漆，则共有 种
不同的涂色方法．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)解方程： 3 = 16 2 ；
(2)计算： 4 + 4 + 44 5 6 + … + 49；
(3)解不等式 27 < 12 7 ( ≥ 3)．
16.(本小题 15 分)
某研究小组为更好地诊断某种疾病，调查了大量患者该种疾病的各种医学指标，发现大部分患者有一项指
标大幅高于正常水平，而这在未患病群体中并不常见.现随机抽取 200 人，得到了如下数据：20 人患病，其
中该项指标大幅高于正常水平的有 15 人；不患病人群中有 70 人该项指标大幅高于正常水平．
(1)用频率估计概率，已知某人指标大幅高于正常水平，求其患病的概率；
(2)依据小概率值 = 0.005 的独立性检验，能否认为患病与指标大幅高于正常水平有关联
2
附 2 = ( )( + )( + )( + )( + ) , = + + + .
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
17.(本小题 15 分)
全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为 2018 2023 年全球新能源汽车的销售量情况统计．
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份编号 1 2 3 4 5 6
销售量 /百万辆 2.02 2.21 3.13 6.70 10.80 14.14
若 与 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
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(1)求变量 与 的样本相关系数 (结果精确到 0.01)；
(2)求 关于 的线性回归方程，并据此预测 2024 年全球新能源汽车的销售量．

附：线性回归方程 = + ，其中 = =1 2 =
=1
=1 2 2
， = ，
=1

样本相关系数 = =1 = =1 ．
2 2 2 2 2 2 =1 =1 =1 =1
参考数据：6 =1 = 181.30，
6 2
=1 = 380.231， 17.5 ≈ 4.2， 126.731 ≈ 11.2．
18.(本小题 17 分)
某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100 件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据 ，如下表：
性能指标 66 77 80 88 96
产品件数 10 20 48 19 3
(1)求该项性能指标的样本平均数 的值.若这批零件的该项指标 近似服从正态分布 , 2 ，其中 近似为样
本平均数 的值， 2 = 36，试求 (86 < ≤ 92)的值．
(2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的 2 倍，甲机
床生产的零件的次品率为 0.02，乙机床生产的零件的次品率为 0.03，现从这批零件中随机抽取一件．
①求这件零件是次品的概率；
②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；
③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取 300 件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，
且该项性能指标恰好在(86,92]内的零件个数为 ，求随机变量 的数学期望(精确到整数)．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 , 2 ，则 ( ≤ 6 ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ +
2 ) ≈ 0.9545， ( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.997．
19.(本小题 17 分)
2023 年 10 月 7 日，杭州第 19 届亚运会女子排球中国队以 3: 0 战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第 9
个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神.某校甲、乙、丙等 7 名女生深
受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手 2 人，副攻手 2 人，接应手 1 人，二传手 1 人，自
由人 1 人.现从这 7 人中随机抽取 3 人参与传球训练．
(1)求抽到甲参与传球训练的概率;
(2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为 ，求 的分布列及期望;
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(3) 1若恰好抽到甲、乙、丙 3 人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为2，当乙接到球时，
1 2 1 2
乙传给甲、丙的概率分别为3，3，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为3，3，假设球一直没有掉地上，
求经过 次传球后甲接到球的概率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.2
13. 114
14.1200
；960
15.解：(1)因为 3 = 16 2 ，
( 1)( 2) = 16· ( 1)所以 2 ，
又因为 ≥ 3，所以 2 = 8，
解得 = 10；
(2)因为 1 1 + 1 = ，
所以 4 + 4 4 44 5 + 6 + + 9
= 5 + 4 45 5 + 6 + + 49
= 5 + 4 + + 4 = = 56 6 9 10 = 252．
(3)因为 < 12 27 7 ( ≥ 3)，
7! 7!
所以(7 )! < 12 × (9 )(8 )·(7 )!，
因为 3 ≤ ≤ 7，所以(9 )(8 ) < 12，
即 2 17 + 60 < 0，解得 5 < < 12，
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所以 5 < ≤ 7，又 ∈ ，
所以 = 6 或 = 7．
16.(1)指标大幅高于正常水平的有 85 人，其中患者有 15 人，
15 3
所以某人指标大幅高于正常水平，其患病的概率 = 85 = 17．
(2)依题意，2 × 2 列联表如下：(单位：人)
该项指标
该种疾病 合计
大幅高于正常水平 不大幅高于正常水平
15 5 20
某人患病
70 110 180
某人未患病
85 115 200
合计
零假设为 0：患病与指标大幅高于正常水平无关联．
2 = 200×(15×110 5×70)
2 33800
85×115×20×180 = 3519 ≈ 9.605 > 7.879，
根据小概率值 = 0.005 的独立性检验，我们推断 0不成立，
即认为患病与指标大幅高于正常水平有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.005．
17.(1) 1+2+3+4+5+6因为 = 6 = 3.5，
= 2.02+2.21+3.13+6.7+10.8+14.146 = 6.5，
所以6 2 6 2 =1 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 6 ×
49
4 = 17.5，
6 2 =1 6
2 = 380.231 6 × 6.52 = 126.731，
6 =1 =
6
= 181.3 6×3.5×6.5 44.8所以
2 6 2 2 6 2 17.5× 126.731
≈ 4.2×11.2 ≈ 0.95．
=1 =1
(2)
6 6 44.8
由题意得 = =1 6 2 2 = = 2.56， =1 6 17.5
所以 = = 6.5 3.5 × 2.56 = 2.46
得 关于 的线性回归方程为 = 2.56 2.46
所以可以预测 2024 年全球新能源汽车的销售量为 2.56 × 7 2.46 = 15.46 百万辆．
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18.(1) = 66 × 0.1 + 77 × 0.2 + 80 × 0.48 + 88 × 0.19 + 96 × 0.03 = 80，
因为 (80,36)，所以 = 6，
则 (86 < ≤ 92) = 12 ( 2 ≤ ≤ + 2 )
1
2 ( ≤ ≤ + )
≈ 0.9545 0.68272 = 0.1359；
(2)①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件 1，
“抽取的零件为乙机床生产”记为事件 2，
“抽取的零件为次品”记为事件 ，
则 = 2 11 3， 2 = 3， | 1 = 0.02， | 2 = 0.03，
则 ( ) = | 2 1 0.07 71 1 + 2 | 2 = 3 × 0.02 + 3 × 0.03 = 3 = 300；
2
= 1
1 1 ×0.02 4
② 31 ( ) = ( ) = 0.07 = 7；
3
③由(1)及(2) 7①可知，这批零件是次品且性能指标在(86,92]内的概率 = 300 × 0.1359，
且随机变量 (300, )，
所以 ( ) = 300 = 300 × 7300 × 0.1359 = 0.9513 ≈ 1，
所以随机变量 的数学期望为 1．
19.解：(1)抽到甲参与传球训练的概率为：
2 6 × 5
= 6 = 2 × 1 3
37 7 × 6 × 5
= 7 ;
3 × 2 × 1
(2)由题意知 的可能取值为 0，1，2，3，
3 4 4
则 ( = 0) = 43 = 7×6×5 = 7 35
，
3×2×1
2 1 4×3×3
( = 1) = 4 3 = 2×1 = 18，
3 7×6×57 353×2×1
1 2
( = 2) = 4 3 = 4×3 12
3 7×6×5
=
7 35
，
3×2×1
3
( = 3) = 3 = 1 = 1，
3 7×6×57 353×2×1
所以 的分布列为：
0 1 2 3
4 18 12 1
35 35 35 35
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4
所以 ( ) = 0 × 35+ 1 ×
18 + 2 × 12 1 935 35 + 3 × 35 = 7；
(3)经过 次传球后，排球被甲接到球的概率为 ，
则 = 1 × 0+ (1
1
1) × 3
= 1 13 3 1( ≥ 2)，
即 1 1 1 4 = 3 ( 1 4 )( ≥ 2)，
而 11 4 = 0
1
4 =
1
4，
{ 1 1 1所以 4 }是以首项为 4，公比为 3的等比数列，
则 1 4 =
1 × ( 1 14 3 ) ，
= 1 1 1则 1 4 4 ( 3 ) ．
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