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2024-2025学年河北省保定市八县一中高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知离散型随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则“，”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.二项式的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
5.某市高二年级期中联考的数学成绩，若，，则( )
A. B. C. D.
6.随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，平台软件收入为元已知每收集万条数据，公司需要花费成本元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为( )
A. 万条 B. 万条 C. 万条 D. 万条
7.已知随机变量，，则将个人分到个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去人的分配方案共有
A. B. C. D.
8.已知，，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，则( )
A. B.
C. D.
11.已知是函数的极值点，则( )
A. 有个零点
B. 当时，
C. 曲线关于点对称
D. 过点与曲线相切的直线有条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.随着夏季的来临，遮阳帽开始畅销，某商家为了解某种遮阳帽如何定价才可以获得最大利润，现对这种遮阳帽进行试销售，经过统计发现销售量单位：顶与单价单位：元具有线性相关关系，且线性回归方程为，若想要销售量为顶，则预计该遮阳帽的单价定为 元
13.有名男生和名女生去影院观影，他们买了同一排相连的个座位，若名女生必须相邻，则不同的坐法有 种．
14.一质点在平面内每次只能向左或向右跳动个单位，且第次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为记第次向左跳动的概率为，则 ； ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料表进行调查，调查了名男性消费者与名女性消费者，关注配料表的消费者共有人，其中女性人．
用列联表表示上述数据；
是否有的把握认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关？
附：，其中．
16.本小题分
已知函数，．
若，求曲线在点处的切线方程；
若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知关于的不等式的解集为．
求，的值
若，，且，求的最小值．
18.本小题分
为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立．
小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率；
小李同学决定进行次实验操作，有以下两种方案，
方案一：第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验；
方案二：第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验．
若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好
19.本小题分
对于函数，规定，，，，叫做函数的阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，，该公式称为函数在处的阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的阶余项．已知函数．
写出函数在处的阶泰勒展开式用表示即可；
设函数在处的阶余项为，求证：对任意的，；
求证：．
参考答案
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15.解：依题意，列联表如下：
关注 不关注 合计
男性消费者
女性消费者
合计
由得的观测值为
所以有的把握认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关．

16.解：若，，
则，
由于，
所以曲线在点处的切线方程为：
，即．
，
若函数在区间上单调递增，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则， ，
令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，故，
即实数的取值范围为．
17.解：因为关于的不等式的解集为，
所以和是关于的方程的两个实数根，且，
所以解得，．
由知，
所以
，
当且仅当，
即，时等号成立，
所以的最小值为．
18.解：记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件，
则
所以．
所以两次实验恰好成功一次的概率．
记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，则、的取值均为，，，
所以，
，
，
所以．
，
，
，
所以．
因为，所以方案一略好．

19.解：由题意，函数，且，
则，
，
，
所以函数在处的阶泰勒展开式为：
．
由可知，，
，
所以函数在处的阶泰勒展开式为：
，
其中，介于与之间的常数，
所以，
因为为常数项，且，
所以函数为偶函数，
因为，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
所以，
故对任意的，．
由可知，函数在处的阶泰勒展开式为
，
所以，
令，
则，
所以，
即．

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