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2024-2025学年七年级数学下册期末试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）．
1．壮丽祖国，一山一水皆是画卷；秀美江山，一草一木皆为诗篇．一个符号一座城，下列四个省份的徽标中，是轴对称图形的是（）
A．B． C． D．
2．下列命题中，是真命题的是（　 　）
A．相等的角是对顶角
B．两直线平行，同旁内角相等
C．若，，则
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．二元一次方程组的解为，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．有4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．N95型口罩可阻隔直径为米的飞沫，用科学记数法可将数表示为 米．
8．已知是二元一次方程的一个解，则 ．
9．用不等式表示：的3倍与2的差小于-1 ．
10．计算： ．
11．如图所示，在由边长相同的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点（小正方形的顶点）上．将绕点O按顺时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是 ．
12．已知命题“若，则”，其逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
13．若，则 ．
14．如果一个数是某个整数的平方，那么这个数称为完全平方数．已知是完全平方数，则整数的最大值是 ．
15．如图，把图（a）称为二环三角形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠A1+∠B1+∠C1；把图（b）称为二环四形边，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1 ；依此规律，请你探究：二环n边形的内角和为 度．（用含n的式子表示）
16．某校组织学生乘汽车去自然保护区野营，汽车先以的速度在平路上行驶，后又以的速度爬坡到达目的地，共用了；原路返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度在平路上行驶，共用了．则学校距自然保护区 ．
三、解答题（本大题共10小题，共88分．）
17．计算：
(1)； (2)．
18．（1）解方程组； （2）解不等式组，并写出它的整数解．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点．
(1)将 ABC绕点A逆时针旋转得到；
(2)作关于点O成中心对称的；
(3)四边形的面积为______．
21．如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它．
22．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子个和乙种品牌毽子个共需元；购买甲种品牌毽子个和乙种品牌毽子个共需元．
(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？
(2)若购买甲、乙两种品牌毽子共个，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的倍且不超过乙种品牌毽子数量的倍，则有几种购买方案？
23．已知关于，的方程组．
(1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________．
(2)若方程组的解满足，求的值；
(3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________．
24．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
(1)已知29是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式；
(2)若可配方成（m，n为常数），求的值；
(3)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值．
25．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号）
(2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
(3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围
26．在 ABC和（共边且不重合）中，，．

(1)如图1，当 ABC和均为钝角三角形，在直线两侧时，和之间的数量关系为______．
(2)如图2，当 ABC和均为锐角三角形，且在直线两侧时，和之间的数量关系为______．
(3)如图3，当 ABC为钝角三角形，为锐角三角形，且在直线同侧时，求证：．
(4)分别作和的角平分线，两条角平分线所在直线交于点（点不与点或者点重合），当时，直接写出的度数．
参考答案
一、选择题．
1．A
【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念逐一判断，即得．
【详解】A．可以找到一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故该选项符合题意；
B．找不到任何一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C．找不到任何一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D．找不到任何一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了命题，根据对顶角的定义、平行线的性质和判定、平行公理逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：、相等的角不一定是对顶角，该选项命题是假命题，不合题意；
、两直线平行，同旁内角互补，该选项命题是假命题，不合题意；
、若，，则，该选项命题是真命题，符合题意；
、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项命题是假命题，不合题意；
故选：．
3．B
【分析】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则，熟记相关运算法则是解题的关键．
依次根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则进行计算即可得解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：B
4．A
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组中的两个方程相减得到，再根据方程组的解的定义可得．
【详解】解：
得：，
∵二元一次方程组的解为，
∴，
故选：A．
5．A
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
用含m的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是，
．
故选：A．
6．C
【分析】先用含有、的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以．
【详解】解：由题意可得：
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
二、填空题
7．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：用科学记数法可将数表示为米，
故答案为：．
8．
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解一元一次方程等知识点，熟练掌握使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解决此题的关键．将 代入方程中得到关于的方程，解之即可．
【详解】 解：将 代入方程中得，，
解得，
故答案为：．
9．3x-2﹤-1
【分析】x的3倍即3x，x的3倍与2的差即3x 2，然后可列不等式．
【详解】解：用不等式表示“x的3倍与2的差小于-1”为：3x-2﹤-1，
故答案为:3x-2﹤-1．
10．2
【分析】本题考查了涉及零指数幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握负整数指数幂的性质和零指数幂的性质是解答本题的关键．根据负整数指数幂的性质和零指数幂的性质运算即可．
【详解】解：
，
故答案为：2．
11．90
【分析】本题主要考查了旋转角的概念，根据旋转角的概念找到是旋转角，从图形中可求出其度数．
【详解】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且，
∴旋转角的度数是．
故答案为：90．
12．假
【分析】本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，绝对值的意义，先写出命题的逆命题，再根据绝对值的意义判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：命题“若，则”的逆命题为若，则，
因为当时，或，故该逆命题为假命题，
故答案为：假．
13．48
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，求代数式的值．利用题意得到，再用多项式乘以多项式的法则计算，整体代入即可．
【详解】解：∵
∴
故答案为：48
14．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用以及因式分解的应用，正确理解“完全平方数”的定义，灵活运用乘法公式是解题的关键．
设整理成，分解的因数，列方程组求出和，即可求最大值；
【详解】解：设；整理得：；
将左右两边同时乘以，
则；
则
；
要求最大值，
所以为正整数，
∵
∴当时，
解得：；
当时
（舍去）
当时，
解得：(舍去），
当时，
解得：，
故最大为；
故答案为：
15．360（n-2）
【分析】连接BB1，可得∠A1+∠C=∠BB1A1+∠B1BC，再根据四边形的内角和公式即可求解；AA1之间添加两条边，可得∠B1+∠C1+∠D1=∠EAD1+∠AEA1+∠EA1B1，再根据边形的内角和公式即可求解；二环n边形添加（n-2）条边，再根据多边形的内角和公式即可求解．
【详解】解：如图（a），连接BB1，则∠A1+∠C=∠BB1A1+∠B1BC，
∠A+∠ABC+∠C+∠A1+∠A1B1C1+∠C1=∠A+∠ABB1+∠BB1C1+∠C1=360度；
如图(b)，AA1之间添加两条边，可得∠B1+∠C1+∠D1=∠EAD1+∠AEA1+∠EA1B1
则∠BAD1+∠B+∠C+∠D+∠DA1B1+∠B1+∠C1+∠D1=∠EAB+∠B+∠C+∠D+∠DA1E+∠E=720°；
二环n边形添加（n-2）条边，二环n边形的内角和成为（2n-2）边形的内角和．其内角和为180（2n-4）=360（n-2）度．
故答案为：360（n-2）．
16．330
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．
设从学校到自然保护区平路长，坡路长，根据时间路程速度，结合“先以速度走平路，后又以的速度爬坡，共用了；返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程，再代入中即可求出结论．
【详解】解：设从学校到自然保护区平路长，坡路长，依题意得：
，
解得：，
∴．
所以从学校到自然保护区共，
故答案为：330．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
18．解：（1），
将变形为，
得，，化简得，，
把代入得，y＝4﹣3＝1，化简得，，
∴方程组的解为；
解：，
由①得：，由②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为，．
19．解：，
当时，原式．
20．（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作；
（3）解：四边形的面积．
21．已知：，，平分，
求证：平分．
证明：如图所示，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分．
22．（1）解：设购买一个甲种品牌毽子需要元，购买一个乙种品牌毽子需要元，
∴，
解得，，
∴购买一个甲种品牌毽子需要元，购买一个乙种品牌毽子需要元；
（2）解：购买甲、乙两种品牌毽子共个，
∴设购买了甲种品牌毽子个，则购买乙种品牌毽子个，
∴，，
解得，，，
∴，
∴购买甲种品牌毽子时，购买乙种品牌毽子个，
购买甲种品牌毽子时，购买乙种品牌毽子个，
购买甲种品牌毽子时，购买乙种品牌毽子个，
购买甲种品牌毽子时，购买乙种品牌毽子个，
∴共有4种方案．
23．（1）解：一个正整数解为，
故答案为：
（2）由题知，
解得，
将代入，
解得
（3）∵无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，
∴与的取值无关，则，
则
∴
故答案为．
24．（1）解：，
∴；
（2）解：∵
，
又∵，
∴，，
∴；
（3）解：当时，S是完美数，
理由如下：
，
，
∵x，y是整数，
∴，也是整数，
∵S是一个“完美数”，
∴，
∴．
25．（1）①，解得；
②，解得；
③，解得；
解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
∵在范围内，
∴不等式组“关联方程”是①②；
故答案为：①②；
（2）解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
关于的方程的解为，
∵关于的方程是不等式组的“关联方程”，
∴在范围内
∴，
解得；
（3）解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
∵此时不等式组有4个整数解，
∴，
解得
关于的方程的解为，
∵关于的方程是不等式组的“关联方程”，
∴在范围内
∴，
解得，
综上所述，．
26．（1）解：如图所示，延长，

在 ABC，中，，，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：根据四边形的内角和可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）证明：如图所示，设交于点，

∵在中，，在 ADE中，，
∴，
又∵，，
∴
，
∵，
∴．
（4）解：①如图所示，，分别是的平分线，，

∴，，
∵，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴；
②如图所示，，分别是的平分线，，且，，

∴，，
∴，
由（2）可知，，
∴，
在四边形中，根据四边形内角和可得，；
③如图所示，，分别是的平分线，，设交于点，

在中，，在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（3）可知，，
∴，
∴；
④如图所示，是的角平分线，交于点，是的角平分线，
由②可得，则，
∵，
∴，
∴．
综上所示，的度数为．

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