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2024-2025学年七年级数学下册期中试卷（第5~7章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ）
A．0 B． C． D．
2．小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下表是小明每隔看到的里程情况．
时刻
里程表上的数 是一个两位数，它的两个数之和为7 十位与个位数字与时所看到的正好互换了 比时看到的两位数中间多了一个0
小明在时看到的数是（ ）
A．16 B．61 C．72 D．94
3．观察如图所示的运算程序，若输出的结果为3，则输入的x值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．5或1
4．关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．观察图形，用小棒按下面的规律拼摆八边形．若有根小棒则能摆出八边形的数量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知三个非负数a、b、c，满足，，c的最大值为m，最小值为n，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．对于任何的m值，关于x、y的方程都有一个与m无关的解，这个解是（　　）
A． B． C． D．
9．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点．．．若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后2分钟内，两人相遇的次数为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，用两种方法在两个天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，两个天平都保持平衡若“■”与“●”的质量分别为x，y，则x，y之间的数量关系是 ．
12．要使方程组有正整数解，则整数a有 个．
13．关于x，y的二元一次方程的解满足，则的最大值是 ．
14．若关于的不等式组有且仅有个整数解，且的结果不含二次项，则满足条件的整数的值为 ．
15．探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为 ．
16．已知的取值与代数式的对应值如表：
x … 0 1 2 3 …
ax+b … 9 7 5 3 1 …
根据表中信息，得出了如下结论：①；②关于方程的解是；③|；④的值随着值的增大而减小．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）下面是李红同学解方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题．
解： 去分母，得，①
去括号，得，②
移 项，得，③
合并同类项，得，④
系数化为1，得．⑤
(1)聪明的你知道李红的解答过程在第__________（填序号）步出现了错误，出现错误的原因是违背了__________．
A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2 C．去括号法则 D．加法交换律
(2)请你写出正确的解答过程．
(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给其他同学提一条合理化建议．
18．（6分）已知关于的方程组，其中，为整数．
(1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值；
(2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由．
19．（8分）（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题：
(1)__________， __________；
(2)若，则的取值范围是__________；
(3)求满足的所有非负数的值．
20．（8分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售，根据市场调研知，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车和2辆型汽车的进价共计95万元．
(1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；
(2)若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该4S店共有几种购进方案？
(3)若该4S店销售1辆型汽车可获利0.7万元，销售1辆型汽车可获利0.4万元，在（2）中的购买方案中，不计其他成本，当购进的新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
21．（10分）十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简捷与方便，把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示，例如：当时，的值记为．
(1)已知，
①填空：__________，②若，则____________；
(2)已知，若，求的值；
(3)把方程的解称为多项式的“不动点”，试求多项式的不动点．
22．（10分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“成双方程”，例如：方程和为“成双方程”.
(1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”；
(2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值；
(3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解．
23．（12分）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别、，且满足，O为原点；在A、B两点处各放一个档板，M、N两个小球同时从数轴上的C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴的负方向运动，N以每秒4个单位的速度向数轴的正方向运动，小球碰到档板后立即向反方向运动且速度不变，设小球的运动时间为秒钟（）

(1)填空：线段AB的长为 ．
(2)若M小球第一次碰到A档板时，N小球刚好也是第一次碰到B档板，试确定点C的位置．
(3)当时，试判断的值是否随时间的变化而变化？若它的值不变，请求出该值；若它的值会变，请通过计算说明理由．
24．（12分）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有　　　　　　；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
解方程组得，，由得到，解得，即可得到m的最小整数解．
【详解】解：，
得：，
解得
得：，
解得
∵
∴
解得：，
∴m的最小整数解为，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程是解答本题的关键．设小明在点时看到的两位数的十位数字为x、个位数字为y；则点时看到的两位数是，点时看到的两位数是，点时看到的三位数是，根据摩托车的速度不变，到和到行驶的路程一样，即可得出关于x，y的二元一次方程，求解方程，结合x、y均为一位整数，即可解答．
【详解】解：设小明在点时看到的两位数的十位数字为x、个位数字为y；则点时看到的两位数是，点时看到的两位数是，点时看到的三位数是，根据题意：
，即，
又∵x，y均为一位整数，
∴，
∴．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查流程图与代数式求值，解绝对值方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
根据题意列方程，解得x的值即可．
【详解】解：若输出的结果为3，
则，
解得：，
，
解得：，
∵，
∴，
综上，输入的x值为或1，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了不等式组的解集，先求解不等式组的解集，再根据不等式组的解集结合题意，可得答案．利用不等式的解集不在的范围中得出或是解题关键．
【详解】解：由，
由①得；
由②得；
解得．
关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，
得或，
解得或，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查数与形结合的规律，一元一次方程的应用，根据题意发现：一个八边形需要小棒根，每多个八边形就增加小棒根，则个八边形需要小棒根；据此解答即可．解题的关键是根据图示发现这组图形的规律，然后利用规律解题．
【详解】解：如图，
摆个八边形需要小棒：（根），
摆个八边形需要小棒：（根），
摆个八边形需要小棒：（根），
摆个八边形需要小棒：（根），
……
∴摆个八边形需要小棒根，
依题意，得：，
解得：，
∴有根小棒则能摆出八边形的数量为．
故选：B．
6．B
【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
解二元一次方程组，得，由“方程组的解均为正数”可得，解得；解不等式组，由得，由得，由“不等式组的解集为”可得，解得；综合以上，于是得解．
【详解】解：，
，得：，
系数化为，得：，
将代入，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
二元一次方程组的解为，
关于，的二元一次方程组的解均为正数，
，
解得：；
，
整理，得：
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
，
解得：；
综上，的取值范围是：，
故选：．
7．B
【分析】本题考查解二元一次方程组，解不等式组，由题意得，用表示，，再根据、、，为非负数得不等式组即可求得，进而可得，的值，即可求解．熟练掌握相关运算是解决问题的关键．
【详解】解：∵，
∴，故排除C和D，
由题意，得，解得，
∵a、b、c均非负，∴，
解得，
∵c的最大值为m，最小值为n，
∴，，
∴，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查解二元一次方程的解、解二元一次方程组，把原方程整理成，再根据题意得，求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
∵对于任何的m值，关于x、y的方程都有一个与m无关的解，
∴，
解得，
故选：D．
9．A
【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解．
【详解】解：由得：，
∵不等式的解集是，
且
设
则
∴的解集是，
即，
故选：A．
10．C
【分析】根据题意，首先计算得甲、乙两运动员每次相遇的时间间隔为：，设两人相週的次数为，根据一元一次方程的性质列方程并求解，即可得到答案．
【详解】根据题意，甲、乙两运动员每次相遇的时间间隔为：
设两人相遇的次数为
∵起跑后时间总共为2分钟，即120 s
∴
∴
根据题意，两人相遇的次数为整数
∴，即两人相遇的次数为5次
故选：C．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了等式的性质，首先设“▲”的质量是，根据两个天秤可得两个等式，，等量代换可得与的关系．
【详解】解：设“▲”的质量是，
根据第一个天秤可得：，
根据第二个天秤可得：，即
把代入，
得到：，
故答案为：．
12．4
【分析】先解方程组，用含a的代数式表示出方程组的解，根据方程组有正整数解求出a的范围，再求出符合的整数a即可．
【详解】解：，
由②得：③，
把③代入①得：，
解得：，
把代入③得：，
即方程组的解是，
∵方程组有正整数解，
∴，
解得：，
∴整数a有，，0，4，共4个，
故答案为：4．
13．5
【分析】此题考查了二元一次方程和解一元一次不等式．根据题意得到，把代入得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x，y的二元一次方程的解满足，
∴，
解得
∴的最大值是，
故答案为：
14．
【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有个整数解，得出，利用多项式乘多项式化简，根据结果不含二次项，得出，结合即可求出的值．
【详解】解：，解不等式，
解得：，
解不等式，
解得：，
∴
∵不等式组有且仅有个整数解，
∴，
解得：，
又∵，且其结果不含二次项，
∴的系数为零
∴
∴
解得：或
又∵
∴，
故答案为：．
15．1
【分析】本题主要考查解三元一次方程组，分别用含的代数式表示，然后再相加即可得出的值
【详解】解：
，得：，
，得：，
∴，
故答案为：1.
16．①②④
【分析】根据题意得：当 时， ，可得①正确；当 时，，可得关于的方程的解是；故②正确；再由当 时，，当 时，，可得③错误；然后求出 ，可得当的值越大， 越小，即 也越小，可得④错误；即可求解．
【详解】解：根据题意得：当 时， ，故①正确；
当 时，，
∴关于的方程的解是；故②正确；
当 时，，
当 时，，
∵ ，
∴ ，故③错误；
∵ ，当 时，，
∴，
解得： ，
∴ ，
∴当的值越大， 越小，即 也越小，
∴的值随着值的增大而减小，故④正确；
所以其中正确的是①②④．
故答案为：①②④
三．解答题
17．（1）解：第①步，去分母时，常数项漏乘最小公倍数，出现错误，违背了等式的基本性质2；
故选：B
（2）解：，
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（3）移项时要注意变号，去括号时，括号前面是负号，括号内的每一项都要变号；（合理即可）
18．（1）解：依题意，
由①得，，③
将③代入②得，
整理得出，④
∵方程组有无穷多组解
∴且时，
即，则，
∴，
（2）解：没有，理由如下：
由（1）得
∵
∴
整理得
①当时，即，
∵
∴此时方程组为
则
∵为整数
∴原方程没有整数解
②当时，即，此时，
若时，显然无解，
若时，，代入得
∵a为整数，
∴不可能为整数，
∴原方程无整数解；
综上：原方程没有整数解
19．（1）解：由题意可得， ，
故答案为：2，2；
（2）解：由题意可得：，
解得，
故答案为：；
（3）解：设，为整数，则，，
，解得．
为整数，
或2或3，
时，，；
时，，；
时，，；
或2或．
20．（1）解：设汽车进价为万元，汽车进价为万元，
根据题意可得，
解得，
答：汽车进价为万元，汽车进价为万元；
（2）解：设购买汽车辆，汽车辆，
则可得，
整理可得，
为正整数，
，且为的倍数，
或或，
则或或，
方案一：购买汽车辆，汽车辆；
方案二：购买汽车辆，汽车辆；
方案三：购买汽车辆，汽车辆；
（3）解：方案一：购买汽车辆，汽车辆，
此时利润为万元；
方案二：购买汽车辆，汽车辆；
此时利润为万元；
方案三：购买汽车辆，汽车辆；
此时利润为万元，
故选择方案三：购买汽车辆，汽车辆，利润最大，为万元．
21．（1）解：①∵，
∴，
②∵，
∴，
解得，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴
解得
∴
∴
（3）解：由题意可得，，
解得，
∴多项式的不动点为．
22．（1）解：方程与方程是“成双方程”，理由如下：
由方程：，可得：，
由方程：，可得：，
方程与方程的两个解的和为：
方程与方程是“成双方程”
（2）解：由方程：，可得：，
由方程：，
可得：
关于的方程与方程互为“成双方程”，
，
解得：；
（3）解：由方程：，可得：，
与互为“成双方程”，
的解为：，
又关于的方程，可化为：，
，
关于的方程的解为：．
23．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）根据题意得，
解得：，
，
∴点C在原点位置．
（3）当时，，
∴，
∴的值不会随时间的变化而变化．
∴．
24．解：（1）∵点P是线段AB上一动点，点A、点B对应的数分别是－1，1，
又∵|PQ|＝2，
∴连动数Q的范围为：或，
∴连动数有-2.5，2；
（2），
②×3-①×4得：，
①×3-②×2得：，
要使x，y均为连动数，
或，解得或
或，解得或
∴k=-8或-6或-4；
（3）解得：
，
∵解集中恰好有4个解是连动整数，
∴四个连动整数解为-2，-1，1，2，
∴，
∴
∴a的取值范围是．

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