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2024-2025学年七年级下册5月份月考数学试卷（第5~8章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知，下列各式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知方程组，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．某不等式的解集如图所示，则该不等式是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点E．过点C作于点H，交于点F．下列说法正确的是（ ）
A．线段是的角平分线
B．线段是中边上的高
C．线段是中边上的中线
D．线段是的角平分线
5．从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成（ ）个三角形．
A．9 B．8 C．6 D．7
6．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（ ）
A． B． C． D．
7．嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、、3、、5、、7、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则的值为（ ）
A．或4 B．或1 C．或 D．1或
8．已知关于x的不等式组的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
9．老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丙和丁
10．A，B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．在一次劳动课上，有30名同学在甲处劳动，有12名同学在乙处劳动，现在另调25人也去这两处劳动，使得在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，如果设调往甲处人，那么依题意可列方程为 ．
12．已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，则的值 ．
13．关于的不等式有正数解，则m的值可以是 （写出一个即可）．
14．已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，五边形是正五边形，，若，则 ．
16．线段能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数的和为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（1）解方程：. （2）解方程组：
18．（6分）解决下列问题：
(1)解不等式，并将它的解集在数轴上表示出来；
(2)；
(3)已知：关于的方程的解是非正数，求的取值范围．
19．（8分）如图所示，在中，是角平分线，是高．
(1)若，求：①的度数；②的度数．
(2)已知，则 （用表示）．
20．（8分）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多
(1)求这个多边形的边数．
(2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和．
(3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？
21．（10分）某大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过40吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为3.5吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
22．（10分）如图，已知：点是内一点，，分别平分，．
(1)如图①若，求的度数；
(2)如图①求证：大于；
(3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由．
23．（12分）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题：
(1)不等式组的“长度”______；“整点”为______；
(2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围；
(3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
24．（12分）设的面积为．
(1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示）
(2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示）
(3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________．
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解答本题的关键．
根据等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A、，
成立，
选项A不正确；
B、时，和无意义，
选项B正确；
C、，
成立，
选项C不正确；
D、，
成立，
选项D不正确；
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，掌握整体思想成为解题的关键．两方程作和，然后整理即可解答．
【详解】解：，
可得：，解得：．
故选C．
3．D
【分析】本题考查不等式的求解与解集在数轴上的表示，解题关键是正确求解各选项不等式，并与数轴所表示的解集进行比对．
先明确数轴表示的解集，依次对每个选项中的不等式进行求解，将各选项不等式的解与数轴表示的解集对比，即可解答找出一致的选项．
【详解】从数轴上看，实心点表示包含该点数值，方向向右表示大于等于，所以此数轴表示的不等式解集是 ．
A． 解不等式，两边同时乘以，得到，与数轴表示的不符，故本选项不符合题意；
B．解不等式，两边同时减去，可得，与数轴表示的不符，故本选项不符合题意；
C． 解不等式，两边同时乘以，不等号方向改变，得到 ，与数轴表示的不符，故本选项不符合题意；
D．解不等式，两边同时加上，得到，与数轴上表示的解集一致，故本选项符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
【详解】解：A、由，根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故本选项错误；
B、根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故本选项正确；
C、根据三角形的中线的概念，知是中上的中线，故本选项错误；
D、根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故本选项错误．
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形是解题的关键．根据从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形即可得到答案．
【详解】解：由题可得．
故选D．
6．D
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键．
根据矩阵定义列方程组求解即可．
【详解】解：由题意得：，
①×2+②得：，
∵为定值，
∴．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了一元一次方程．由于八个数的和是，所以需满足内外两个正方形顶点上的4个数字之和都是，横、竖的和也是．列方程可得结论．
【详解】解：设小正方形顶点上的数为x，大正方形顶点上的数为y，
，
∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴内外两个正方形顶点上的4个数字之和都是，横、竖的和也是，
则，得，
，得，
，，
∵当时，，则，
当时，，则，
故选：A．
8．A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和二元一次方程组的解法，先分别解不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”求出不等式组的解集，因为题目告知不等式组解集，即可求出答案．
【详解】解：，
由①得：
由②得：，
，
∴此不等式组的解集为：，
由题可知：此不等式组的解集为：，
∴，
解得：，
∴．
故选：A
9．C
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法与加减消元法是解题的关键；
观察四位同学的解题过程，找出出错的即可．
【详解】解：，
由①得：，
把③代入②得：，
去分母得：，
解得：，
由③得：
则合作中出现错误的同学为丙；
故答案为：C
10．B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为小时，相距要从相遇前和相遇后； 追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计种情况，经计算检验数据是否符合题意．
【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为小时，依题意得：
当快车从地开往地，慢车从地开往地，两车相距时， 则有：，解得；
②当快车继续开往地，慢车继续开往地，相遇后背离而行，两车相距时，，解得 ；
③快车从地到地全程需要(小时)，此时慢车从地到地行驶，
，
∴快车又从地返回地是追慢车，则有：，
解得 ；
④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有，解得 ；
⑤快车返回地终点所需时间是小时，此刻慢车行驶了 ，距终点还需行驶，则有：，解得 ；
综上所述，两车恰好相距的次数为次．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．
【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，列出方程即可．
【详解】解：设调往甲处人，则调往乙处人，由题意，得：
；
故答案为：
12．2
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把k看作已知数表示出方程组的解得到x与y，代入已知方程计算求出k的值，即可求出原式的值．
【详解】解：
得：，
得：，
代入中，得：，
解得：．
则，
故答案为：2．
13．2（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了解不等式、不等式的整数解等知识点，掌握确定不等式整数解的方法成为解题的关键．
解不等式可得，再根据不等式有正数解确定m的取值范围即可解答．
【详解】解：，
移项可得：，
两边同时乘以，不等号方向改变，得．
∵不等式有正数解，
∴，解得：，m的值可以是2等．
故答案为2．
14．
【分析】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．易得、的面积均为面积的一半，同理可得，进而得到，由为中点，可得阴影部分的面积等于的面积的一半．
【详解】解： 为中点，
，
为中点，
，
，
为中点，
，即阴影部分的面积为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了正多边形的内角和，平行线的判定和性质，掌握多边形内角和公式是解题关键．过点作，先求出正五边形每个内角为，再利用平行线的性质求解即可 ．
【详解】解：如图，过点作，
五边形是正五边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查构成三角形的三边关系、解不等式组、不等式组有解时参数范围等知识，先由三角形三边关系得到，再解含参数的不等式组，根据不等式组有解情况得到所有整数，求和即可得到答案．熟练掌握由不等式组有解情况求出参数范围的方法是解决问题的关键．
【详解】解：线段能构成三角形，
，
，
由②得，
关于的不等式组有解，
不等式组的解集为，
则，即，
为整数，
可取，
则使关于的不等式组有解的所有整数的和为，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．解：（1），
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得；
（2），
由，得，
将代入，得，
解得：，
将代入，得，
所以原方程组的解为．
18．（1）解：，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，，
解集表示在数轴上如图，
（2）解：，
解①得，，
解②得，，
∴；
（3）解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
∵解是非正数，
∴，
∴，
解得，．
19．（1）∵，
∴，
∵是角平分线，是高，
∴，．
①∴；
②．
（2）∵，
∴，
∵是角平分线，是高，
∴，．
∴；
∴．
，
故答案为：．
20．（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得，
，
解得，
答：这个多边形的边数是7．
（2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是．
（3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是，
则，
∴每个内角比相邻的外角大，大．
21．（1）设一个A部件的质量为吨，一个B部件的质量为吨．
根据题意，得，
解得．
答：一个A部件的质量为1.5吨，一个B部件的质量为1吨．
（2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．
根据题意，得．
解得．
因为为整数，取最大值，所以．
答：该卡车一次最多可运输7套这种设备通过此大桥．
22．（1）解：∵．
∴，
∵点P是与的平分线的交点，
∴；
（2）解：延长交于D，如图所示：
∵是的一个外角，是的一个外角，
∴，，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵外角，的角平分线交于点Q，
∴
，
∴；
23．（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴，整点为，
故答案为：；，；
（2）解：
解不等式得：，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得，,
∴
当时，方程组解为：，
满足题意，
综上所述：的取值范围．
（3）解：存在，理由如下：
当时，不等式的解集为，
∴，不符合，
当时，不等式的解集为，
∵，
∴，
解得：，
当时，不等式的解集为，
∴，
解得：，
当，不等式的解集为，
∴，
解得：，当时，，不符合，
当或，方程组无解，
综上所述：，
∴为，
解不等式组得：，
∵关于y的不等式组恰有4个“整点”，
∴，
解得：．
24．（1）如图, 连接，
,
，，
，
同理可得出：，
，
故答案为: ；
（2）如图，连接，
，
根据等高两三角形的面积比等于底之比，
，
，
，
同理可得出：，
∴；
故答案为: ；
（3）如图，过点作于点，
，
，
，即，
同理 ，
设 ，，
，即；
，，
，
又
，
，
故答案为: ．

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