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第4章《三角形》章节复习题
【题型1 确定第三边的取值范围】
1.一个三角形的3边长分别是、，，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，则的周长为 ．
3.有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4.三角形的三边长分别为2，，5，则的取值范围是 ．
【题型2 三角形的三边关系的应用】
1.如图，用五个螺丝将五条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为1、2、3、4、5，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2.小明家和小亮家到学校的直线距离分别是5km和3km，那么小明到小亮家的直线距离不可能是（　　）
A．1km B．2km C．3km D．8km
3.已经有两根木条，长分别是2和6，现要用3根木条组成三角形，还要从下面4根木条中选一根，可以是（ ）
A．4 B．7 C．8 D．9
4.如图，在中，，，是线段上的动点不含端点、若线段长为正整数，则点的个数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【题型3 利用三角形的中线求长度】
1.已知，已知的周长为33，是边上的中线，．
（1）如图，当时，求的长．
（2）若，能否求出的长？为什么？
2.在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
3.如图，△ABC的周长为24 cm，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，AD，BE相交于点O，CO的延长线交AB于点F，且BD＝4 cm，AE＝3.5 cm，求AF的长．
4.如图，已知、分别是的高和中线，，．试求：
(1)的面积；
(2)的长度；
(3)与的周长的差．
【题型4 三角形的高与面积有关的计算】
1.在中，是高，，，若的面积为12，则线段的长度为 ．
2.如图，已知．
(1)画出的三条高（不写画法）；
(2)在（1）的条件下，若，，，则______．
3.如图，在中，按下列要求画图并填空：

(1)画边上的高；
(2)在上，连接，使得，请画出点；
(3)已知，，，那么点到直线的距离为_______，的面积为_______．
4.如图是由边长都是1的小正方形组成的网格．图中各点均在格点上，请按以下要求画图．①所画顶点必须在格点上；②标清指定的字母；③不得出格．
(1)在图甲中面出中边上的高；
(2)在图乙中画出一个，且的面积是图甲中面积的2倍；
(3)在图丙中画出一个锐角三角形，且面积为15．
【题型5 利用全等三角形的判定与性质证明线段或角度相等】
1.如图，和中，，，和交于点．

(1)与全等吗？为什么？
(2)过点作，过点作，试判断和的数量关系，并说明你判断的理由
2.如图，都是的角平分线，交于点F，其中．
(1)求的度数；
(2)求证：
3.如图，已知中，，，点是线段上一点，过点作交延长线于点，过点作于点．

(1)求证：；
(2)线段、、有怎样的数量关系？请说明理由．
4.如图1，，，的平分线，相交于点E．
(1)证明：；
(2)如图2，过点E作直线，，的垂线，垂足分别为F，G，H，证明：；
(3)如图3，过点E的直线与，分别相交于点B，C（B，C在的同侧）求证：E为线段的中点；
【题型6 利用全等三角形的判定与性质求线段长度或角的度数】
1.如图，点、、、在直线上（之间不能直接测量），点A、在异侧，测得，，．

(1)试说明：；
(2)若，，求的长度．
2.在中，，点是斜边的中点，若，则 ．
3.如图，，，，、交于点H，连接，则的度数为 °．
4.如图，在四边形中，E是边的中点，平分且，若，，则 ．

【题型7 利用全等三角形的判定与性质确定线段之间的位置关系】
1.如图，在和中，，，点三点在同一直线上，连接交于点．

(1)求证：；
(2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由．
2.如图，，点E在BC上，且，．
(1)求证：；
(2)判断AC和BD的位置关系，并说明理由．
3.如图，ABC的两条高线BD、CE，延长CE到Q使CQ＝AB，在BD上截取BP＝AC，连接AP、AQ，请判断AQ与AP的数量与位置关系？并证明你的结论．
4.在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组拿了两个大小不同的等腰直角三角板进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系，如图1，在和中，．
(1)勤奋小组摆出如图2所示的图形，点A和点D重合，连接和，求证：．
(2)超越小组在勤奋小组的启发下，把两个三角形板按如图3的方式摆放，点B，C，E在同一直线上，连接，他们发现了和之间的数量和位置关系，请写出这些关系，并说明理由．
【题型8 全等三角形在网格中的运用】
1.如图，是一个的正方形网格，则 ．

2.在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3.如图，图形的各个顶点都在33正方形网格的格点上．则 ．
4.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAD+∠ADC= ．
【题型9 全等三角形在新定义中的运用】
1.我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，．请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
2.定义：
如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”．
（1）特例感知：在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”．
①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝ DE；
②如图3，当∠BAC＝120°，ED＝6时，AM的长为 ．
（2）猜想论证：
在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．
3.新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)如图①中，若和互为“兄弟三角形”，，．则
①___________（填>、＜或=）
②连接线段和，则___________（填>、＜或=）
(2)如图②，和互为“兄弟三角形”，，，若点D、点E均在外，连接、交于点M，连接，则线段还满足以上数量关系吗？请说明理由
4.根据全等图形的定义，我们把能够完全重合（即四个内角、四条边分别对应相等）的四边形叫做全等四边形．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD和四边形ABCD 中，AB = AB，BC = BC，B =B，C =C，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD ≌四边形ABCD．下列四个条件：① A =A；②D =D；③ AD=AD；④CD=CD；
（1）其中，符合要求的条件是 ．（直接写出编号）
（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD ≌四边形ABCD．
【题型10 全等三角形的实际应用】
1.小明沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度为 米．

2.年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战德军在莱茵河北岸点处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营聪明的拿破仑站在南岸的点处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营处，然后他保持原来的观察姿态，一步一步后退，一直退到点处，发现自己的视线恰好落在他刚刚站立的点处，让士兵丈量他所站立的位置点与点之间的距离，并下令按照这个距离炮轰德军试问：法军能命中目标吗？请说明理由注：，，，点、、在一条直线上
3.如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后小明在自己家阳台处看点的视角为．小华站在处眼睛看楼端点的视角为．发现与互余，已知，米，米，米．求单元楼的高度．

4.（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，请猜想图中线段之间的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，在小径上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达经测量得到，米，米，试求两凉亭之间的距离．
参考答案
【题型1 确定第三边的取值范围】
1.A
【分析】根据三角形三边关系和周长不超过39cm可列出不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意，可得，
∴．
故选：A．
2.9
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出、的值，再解绝对值方程可得或，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出的周长．
【详解】解：∵，
∴且，
∴、，
∵a为方程的解，
∴或，
又，
∴，
则的周长为，
故答案为：9．
3.D
【分析】根据三角形的三边关系逐一判断即可．
【详解】解：若选取长度分别是4cm、5cm、8cm的小棒，，故能围成三角形；
若选取长度分别是4cm、5cm、9cm的小棒，，故不能围成三角形；
若选取长度分别是5cm、8cm、9cm的小棒，，故能围成三角形；
若选取长度分别是4cm、8cm、9cm的小棒，，故能围成三角形．
综上所述，可以围成3种不同形状的三角形．
故选：D．
4.
【分析】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，进而求出x的取值范围．
【详解】解：∵三角形的两边长分别为2和5，
∴第三边的取值范围是：，
解得：．
故答案为：．
【题型2 三角形的三边关系的应用】
1.B
【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条线段的长来判断三角形的最长边时的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【详解】解：相邻两螺丝的距离依次为1、2、3、4、5；
①选作为三角形的一边、另外的线段构成三角形另外两边，而，不能构成三角形；
②选作为三角形的一边，另外的线段构成三角形另外两边为2和6或3和5，
而，，，三角形均成立，
此时最大边长为7；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．
故选：B．
2.A
【分析】根据小明家和小亮家与学校共线，小明家和小亮家与学校不共线，两种情况进行求解即可．
【详解】解：由题意知，当小明家和小亮家与学校共线，小明家和小亮家的直线距离为 （）或（）；
当小明家和小亮家与学校不共线，
由三角形三边关系可知，小明家和小亮家的直线距离大于 ，小于8，
综上，小明家和小亮家的直线距离不可能是1，
故选：A．
3.B
【分析】设第三根木条的长度为，根据三角形三边之间的关系列不等式组求出x的范围，然后选出满足条件的选项即可.
【详解】设第三根木条的长度为，则
，
解得.
故选：B．
4.C
【分析】
此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出的最小值，然后求出的取值范围．首先过作，当与重合时，最短，首先利用等腰三角形的性质可得，进而可得的长，利用勾股定理计算出长，然后可得的取值范围，进而可得答案．
【详解】
解：过作，
，
，
，
，
是线段上的动点不含端点、．
，
线段长为正整数，
的可以有三条，长为，，，
点的个数共有个，
故选C．
【题型3 利用三角形的中线求长度】
1.（1）∵，，
∴，
又∵的周长是，
∴，
∵是边上的中线，
∴；
（2）不能，理由如下：
∵，，
∴，
又∵的周长是，
∴，
∵，
∴不能构成三角形，则不能求出的长．
2.B
【分析】根据三角形的中线的定义得到BD=DC，根据三角形的周长公式得到AC-AB=3，根据题意列出方程组，解方程组得到答案．
【详解】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，
由题意得，（AC+CD+AD）﹣（AB+BD﹣AD）＝3，
整理得，AC﹣AB＝3，
则，
解得，，
故选B．
3.∵AD，BE是△ABC的中线，
∴BC＝2BD，AC＝2AE，CF是△ABC的中线，∴AF＝AB.
∵BD＝4 cm，AE＝3.5 cm，∴BC＝8 cm，AC＝7 cm.
∵△ABC的周长是24 cm，∴AB＝24－(BC＋AC)＝24－(8＋7)＝9 (cm)，
∴AF＝×9＝4.5 (cm)．
4.（1）解：是直角三角形，，，
，
是上的中线，
，
，
；
（2）解：，是上的高，
，
；
（3）解：是边上的中线，
，
的周长－的周长= ，
即和的周长差是．
【题型4 三角形的高与面积有关的计算】
1.3或5
【分析】根据题意分在内部和在外部两种情况进行讨论，根据三角形的面积公式求得长度，再根据边之间的和差关系求解即可．
【详解】当在内部时，如下图

根据题意可知：，
解得：
当在外部时，如下图

根据题意可知，
解得：
故答案为：3或5．
2.（1）如图，即为所画：
（2）∵是边上的高，是边上的高，
∴，
∵，，，
∴，
解得，，
故答案为：4．
3.（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如图所示，点E即为所求；

（3）解：∵，，
∴点到直线的距离为4；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
4.（1）解：如图，线段即为中边上的高；
（2）解：由（1）可得：，，
∵的面积是图甲中面积的2倍，
∴，如图，即所求；
（3）解：∵锐角三角形的面积为15，，
∴中上的高为：，
∴点M距离边为6，如图，即所求．
【题型5 利用全等三角形的判定与性质证明线段或角度相等】
1.（1），理由如下，
在和中，
，
∴
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
2.（1）解：，
，
，分别是和的角平分线，
，
；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
，
，
，，，
，
，，
，
，，，
，
，
．
3.（1）证明：，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
，，
，
即．
4.（1）∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴；
（3）在上取一点M，使得，连接，如图，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
在（1）中已证明，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴ E为线段的中点．
【题型6 利用全等三角形的判定与性质求线段长度或角的度数】
1.（1）证明：∵，
∴
在和中
∴；
（2）∵，
∴
∴，
即
∵，
∴，
∴
2.6
【分析】根据题意，作出图形，数形结合，利用三角形全等的判定与性质得到即可得到答案．
【详解】解：根据题意，作出，连接并延长，使，连接，如图所示：

点是斜边的中点，
，
在和中，
,
，
，
，
，
，
在和中，
,
，
,
,
，
故答案为：．
3.130
【分析】先判断出，可得，从而利用三角形内角定理可得出，再由平角可得的度数．
【详解】∵，
∴，
即，
在和中，
∴（SAS）
∴
由三角形内角定理可得：
∴
∴
故答案为：130．
4.6
【分析】方法一：在上截取，使得，证明，可得，，再证明，得，进而可求出的长；
方法二：延长、交于点G，证明得，，再证明得，进而可求出的长．
【详解】方法一：在上截取，使得

∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
又∵，
∴
∵E是边的中点，
∴
∵
∴
∴
∴
方法二：延长、交于点G

∵平分且
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
【题型7 利用全等三角形的判定与性质确定线段之间的位置关系】
1.（1）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
（2）猜想：，理由如下：
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2.（1）在和中，
，
∴(SSS)；
（2）AC和BD的位置关系是，理由如下：
∵
∴，
∴．
3.解：AP＝AQ，AP⊥AQ，理由如下：
∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．
∵BP＝AC，CQ＝AB，
在△APB和△QAC中，
，
∴△APB≌△QAC（SAS），
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CQA，
∵∠CQA+∠QAE＝90°，
∴∠BAP+∠QAE＝90°．
即AP⊥AQ．
4.（1）证明：∵，
∴，，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【题型8 全等三角形在网格中的运用】
1.
【分析】根据三角形全等求出和的数量关系以及和的数量关系，即可求出四个角之和．
【详解】解：如图所示，
在中和中，，
．
，
，
．
同理可证：．
．
故答案为：．
2.B
【分析】根据全等三角形的性质找出全等三角形即可．
【详解】解：如图所示，
以BC为公共边的全等三角形有三个分别为，，，
以AB为公共边的全等三角形有一个为，
∴共有4个三角形与△ABC有一条公共边且全等．
故选：B．
3.45°
【分析】通过证明三角形全等得出∠1=∠3，再根据∠1+∠2=∠3+∠2 即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
由题意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS）
∴∠3=∠1
∵∠2+∠3=90°
∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°
故答案为：45°
4.
【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．
【详解】解：如图，设AB与CD相交于点F，
在△DCE和△ABD中，
∵，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE=∠DAB，
∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°，
∴∠AFD=90°，
∴∠BAC+∠ACD=90°，
故答案为：90度．
【题型9 全等三角形在新定义中的运用】
1.解：（1）如：平行四边形，等腰梯形，矩形等．
（2）与相等的角是∠BOD（或∠COE），
∵∠A＝60°，，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOD＝∠EOC＝∠OBC＋∠OCB＝60°，
∴与∠A相等的角是∠BOD（或∠EOC），
猜想：四边形BDEC是等对边四边形，
（3）存在等对边四边形，是四边形BDEC，
证明：如图作CG⊥BE于G，BF⊥CD交CD的延长线于F，
在△BCF和△CBG中，
∴△BCF≌△CBG（AAS），
∴BF＝CG，
∵，，
∴，
在△BDF和△CEG中，
∴△BDF≌△CEG（AAS），
∴BD＝CE
∴四边形BDEC是等对边四边形．
2.（1）①∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝90°；
∴∠EAD=90°
∵AB=AC，∠BAC＝90°
∴△ABC为等腰直角三角形
∵AM⊥BC
∴AM=BC
在△ABC与△AED中，
∵
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴BC=ED
∴AM＝DE．
② ∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°；
∴∠EAD=60°
∵AD=AE
∴△AED为等边三角形
即：ED=AE=6
∴AB=AC=AE=6
∵∠BAC＝120°，AB=AC，AM⊥BC
∴∠ABM=30°
∴AM＝AB=3．
（2）猜想：结论AM＝DE．
理由如下：如图，过点A作AN⊥ED于N
∵AE＝AD，AN⊥ED
∴∠DAN＝∠DAE，ND＝ED
同理可得：∠CAM＝∠CAB，
∵∠DAE+∠CAB＝180°，
∴∠DAN+∠CAM＝90°，
∵∠CAM+∠C＝90°
∴∠DAN＝∠C，
∵AM⊥BC
∴∠AMC＝∠AND＝90°
在△AND与△AMC中，
∴△AND≌△AMC（AAS），
∴ND＝AM
∴AM＝DE
3.（1）①；
∵和互为“兄弟三角形”，，，
∴，
∴，
即；
②；
在和中，
，
∴，
∴．
（2）满足以上关系证明：如图②，
∵和互为“兄弟三角形”，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
4.（1）符合要求的条件是①②④，
当选择①A=A时，
证明：连接AC 、AC，
在△ABC与△ ABC中，
，
∴△ABC ≌△ABC(SAS )，
∴ AC=AC，ACB=ACB，BAC=B ' A 'C '，
∵BCD=BCD，
∴BCD ACB=BCDACB，
∴ACD=ACD，
∵BAD=BAD，
∴BAD BAC=BAD BAC，
∴DAC= DAC，
在△ACD和△ACD 中，
，
∴△ACD ≌△ACD(ASA ) ，
∴D=D '，DC=DC，DA=DA，
∴四边形ABCD和四边形ABCD中，
AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，
B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，
∴四边形ABCD ≌四边形ABCD；
当选择②D=D时，
证明：同理得到AC=AC，ACD=ACD，
∵D=D，
在△ACD和△ACD中，
，
∴△ACD ≌△ACD(AAS ) ，
∴D=D '，DC=DC，DA=DA，
∴四边形ABCD和四边形ABCD中，
AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，
B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，
∴四边形ABCD≌四边形ABCD；
当选择③AD=AD时，
在△ACD和△ACD中，
AC=AC，ACD=ACD，AD=AD，
不符合全等的条件，不能得到△ACD ≌△ACD；
（2）选④CD = CD，
证明：连接 AC、AC，
在△ABC与△ABC中，
，
∴△ABC ≌△ABC(SAS )，
∴ AC=AC， ACB=ACB ， BAC=B ' A 'C '，
∵BCD=BCD，
∴BCD ACB=BCD ACB，
∴ACD=ACD，
在△ACD和△ACD中，
，
∴△ACD ≌△ACD(SAS ) ，
∴D=D '， DAC=DAC， DA=DA，
∴BACDAC=B ACDAC， 即BAD=BAD，
∴四边形ABCD和四边形ABCD 中，
AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，
B=B， BCD=BCD， D=D， BAD=BAD，
∴四边形ABCD ≌四边形ABCD．
【题型10 全等三角形的实际应用】
1.165
【分析】由，利用平行线的性质可得，利用定理可得，，由全等三角形的性质可得结果．
【详解】解：，，
，
，
根据题意可知：相邻两平行线间的距离相等，
，
在和中，
，
，
米．
故答案为：165．
2.解：法军能命中目标．
理由：由题意可得：，，
又，，
．
在和中，，
≌，
，
因此，按照的距离炮轰德军时，炮弹恰好落入德军处．
3.由题意得：，
，
∵，
∴，
，
，
∵（米），
（米），
，
（米），
（米），
单元楼的高为米．
4.解：（1）猜想：，
证明：如图1，延长到点G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图2，延长至H，使，连接，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵米，米，
∴（米）．

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