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第12章《定义 命题 证明》复习题--证明 定理
题型01证明
1.【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下：
证明：∵，
∴> ． ∴ ．
∵，，
∴ ． ∴ ．
∴．
【问题解决】
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ．
2．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．

(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
3．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．
已知：________，________．
求证：________．
证明：
题型02三角形的内角和
4．若 ABC中，，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，这是由一副三角尺拼成的图案，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 ABC中，与的平分线相交于点O，则 ．
7．如图，在 ABC中，是 ABC的高线，是 ABC的角平分线，若，求的度数．
8．已知△中，，，求、、的度数及的面积．
9．如图，已知，，，，求的度数．
题型03三角形的外角
10．如图．是 ABC的外角的平分线．，．则的度数是 度．
11.如图，在四边形中，，和的平分线交于点P，则的度数为 ．
12．如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明．
13．如图，在四边形中，E是延长线的一点，连接交于点F，若，．
(1)若，，求的度数；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
14．（1）【探究发现】
如图1，在 ABC中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
【迁移拓展】
（2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
【应用创新】
（3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ．
题型04多边形的内角和
15．已知过n边形的一个顶点有6条对角线，一个m边形的内角和是，则（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
16．小华在计算几个多边形内角和时，分别得到下列4个答案：①，②，③，④．其中，计算正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
17．填空题：
（1）每一个内角都是的多边形有 条边；
（2）若一个多边形的内角和是，则它的边数是 ．
18．已知一个多边形的边数为．
(1)若该多边形的内角和的比外角和多，求的值；
(2)若该多边形是正多边形，且其中一个内角为，求的值．
19．（1）如图1，在 ABC中，已知，点E在线段的延长线上，和的角平分线交于点D，则 ；
（2）如图2，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？
（3）如图3，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？
题型05多边形的外角和
20．每一个外角都是的正多边形为（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
21．若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
22．如图，小林从点P向正西走后向左转，转动的角度为，再走后向左转动……如此重复，小林共走了回到点P，则的度数为( )
A． B． C． D．
23．已知一个正多边形的边数为．
(1)若，求这个正多边形的内角和．
(2)若这个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的6倍还多，求的值．
24．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和．
【发现】
（1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________．
【尝试】
（2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确．
如图2，已知 ABC，分别用，，表示 ABC的三个内角，说明
解：如图2，画 ABC的边的延长线，过点C画
因为，
所以___________①___________，
___________②___________
因为___________③+___________④
所以
【拓展】
（3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________
题型06平行线的综合问题
25．如图，已知，点在上，点、在上．在 ABC中，，，点、在直线上，在中，，．
(1)图中的度数是多少？请说明理由；
(2)将沿直线平移，使得点与重合，再将绕点按逆时针方向进行旋转，至少旋转________度，使得与平行；
(3)将沿直线平移，当点在上时，求的度数；
(4)将沿直线平移，当以、、为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数．
26．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足．
(1)______，______；
(2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直．
(3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？
27．长方形纸带（足够长）上，如图1中， ABC顶点落在边上，顶点落在边上，使，，的平分线交边于点，的平分线交边于点．

(1)如图1，若时，则________°；
(2)点在边上、在边上移动过程过程中，的值是否变化，如不变化，请写出这个定值并说明理由；
(3)如图2， ADE的外角中，射线和交于点，且分别使得，，当四边形中，有一边与平行时，直接写出的度数________°．
参考答案
题型01证明
1．（1）证明：∵，
∴> ab．
∴ ．
∵，，
∴ac．
∴ ．
∴ ．
（2）解∶选择②④ ．
证明如下： ∵a∴a<0．
∴，．
∵a < b，
∴．
∴．
2．（1）解：命题1：由①②得到③；
命题2：由①③得到②；
命题3：由②③得到①；
（2）命题1证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题2证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题3证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．解：（答案不唯一）已知：，，
求证：．
证明： ，
（两直线平行，内错角相等）．
，
（两直线平行，同位角相等），
．
已知：，，
求证：．
证明： ，
（两直线平行，内错角相等）．
，
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
已知：，，
求证：．
证明： ，
（两直线平行，同位角相等）．
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
题型02三角形的内角和
4．C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，
先设，再根据三角形内角和定理得，求出即可得出答案．
【详解】解：设，根据题意，得
，
解得，
∴．
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理即可解决问题．熟知三角形的内角和定理是解题的关键．
【详解】解：由所给图形可知，
，，
，
．
故选：C．
6．
【分析】本题考查的是与角平分线相关的内角和定理的应用，先求解，再结合角平分线可得，再进一步求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵与的平分线相交于点O，
∴，
∴，
故答案为：
7．解： ，
设，
，，
，
解得：，
，
，，
是的角平分线，
，
是的高线，
，
，
，
故的度数为．
8．解：设、、的度数分别为 、、，
由三角形内角和定理可得：
解得
所以 、 ，
所以是等腰直角三角形，,
则
9．证明：，，，
，
∵，
（两直线平行，内错角相等）
，
，
（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
．
题型03三角形的外角
10．75
【分析】本题主要查了三角形外角的性质．先根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质解答，即可．
【详解】解：∵是的外角的平分线，，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：75
11．
【分析】本题考查角平分线的定义，四边形的内角和，三角形的外角，先根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角得出，进而求出，根据，进而可得出答案．
【详解】解：∵和的平分线交于点P，
∴，
∵，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．解：方法一：如图①，连接．
在中，（三角形内角和等于），
在中，（三角形内角和等于），
（等量代换）．
（等式的性质），
即．
方法二：如图②，连接并延长．
依题意，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
（等式的性质），
即．
13．（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．解：（1），证明如下：
点是内角和外角的角平分线的交点，
，，
由三角形的外角性质得：，，
，即，
；
（2），证明如下：
，，
由三角形的外角性质得：，，
，即，
；
（3）由（1）的结论得：，，
即，，
，
，，
．
故答案为：．
题型04多边形的内角和
15．D
【分析】本题主要考查多边形对角线及内角和问题，熟练掌握多边形对角线及内角和公式是解题的关键；因此此题可根据过多边形的一个顶点有条对角线，多边形内角和公式可进行求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∴；
故选：D．
16．B
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，对于定理的理解是解决本题的关键．n边形的内角和是，即多边形的内角和一定是180的正整数倍，依此即可解答．
【详解】解：多边形的内角和公式是，
∴多边形的内角和是的整数倍，
∵，
，
，不是整数，
，
∴计算正确的是①②④，
故选：B．
17． 18 20
【分析】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式，是解题的关键：
（1）设多边形为边形，根据题意，列出方程进行求解即可；
（2）设多边形为边形，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】解：（1）设多边形为边形，由题意，得：，
解得：；
故答案为：18；
（2）设多边形为边形，由题意，得：，
解得：；
故答案为：20．
18．（1）解：依题意，得：
，
解得：，
即的值为；
（2）（2）依题意，得：
，
解得：，
即的值为．
19．解：（1）如图1，
∵分别平分和，
∴．
∵是的一个外角，
∴．
∵是的一个外角，
∴．
∴．
故答案为：．
（2）由题意，如图2，
∵是的一个外角，
∴．
又∵分别平分和，
∴．
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴．
（3）由题意，如图3，
∵是的一个外角，
∴．
又∵，
∴．
又∵分别平分和，
∴．
∴．
又∵，
∴
又∵，
∴．
题型05多边形的外角和
20．C
【分析】本题考查正多边形的外角及外角和，熟练掌握正多边形的外角和是解题的关键；
根据正多边形的每个外角相等，且外角和为，即可求解．
【详解】解：（边），
∴这个正多边形是正五边形．
故选：C．
21．C
【分析】本题主要考查了多半小时外角和内角综合，设这个多边形的一个外角的度数为x，则一个内角的度数为，再根据正多边形一个内角的度数与一个外角的度数之和为180度建立方程求出一个外角的度数，再根据外角和为360度求出边数即可．
【详解】解：设这个多边形的一个外角的度数为x，则一个内角的度数为，
∴，
解得．
∴该多边形一个外角的度数为，
∴该多边形的边数为，
故选：C．
22．C
【分析】本题主要考查了多边形的外角和等于，根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键．根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于，除以边数即可求出的值．
【详解】解：设边数为，根据题意，
，
则．
故选：C．
23．（1）解：，
这个正多边形的内角和；
答：这个正多边形的内角和为；
（2）解：这个正多边形的每个外角为，则每个内角为，
根据题意得，
解得：，
，
的值为．
24．解：如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于
故答案为：平，180；
如图2，画的边的延长线，过点C画
因为，
所以 两直线平行，内错角相等，
两直线平行，同位角相等，
因为
所以
故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；
如图3中，连接，，此时六边形被分成了4个三角形，六边形的内角和．
故答案为：4，．
题型06平行线的综合问题
25．（1）解：，理由如下：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
（2）解：如图，
当时，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴将绕点按逆时针方向进行旋转，至少旋转，使得；
（3）解：如图所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（4）解：或或或，
理由如下：
分两种情况，Ⅰ．当向上平移时，
①如图所示1：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时，
∵，
∴；
②如图2所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时，
∵
∴，
∵，
∴；
③如图3所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时
∵，，
∴，
∵，
∴；
Ⅱ．当向下平移时，如图4所示：
④当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时，
∵，
∴，
∴；
综上可知：将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时的度数为或或或．
26．（1）解：∵，，
∴
，，
，，
故答案为：8；2；
（2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直．
如图，设旋转后的射线、射线交于点，则，
，
，
，
，
又，，
，
，
∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直；
（3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行．
如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则，
∴；
分两种情况：
①当时，，，
∵，
∴，
，，
当时，，
∴，
解得；
②当时，，，
，，
当时，，
此时，，
解得；
综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行．
27．（1）解：根据图示，点三点共线，点共线，
∵，
∴，
∵平分，平分，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：；
（2）解：，这个值不会变化，理由如下，
由（1）可知，，
∵，，
∴，即是定值，
∴，不会发生变化；
（3）解：当时，如图所示，
∴，
∵平分，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴；
当时，如图所示，设，
由（2）可知，（Ⅰ），
∵，平分，
∴，即是等腰三角形，
∴①，
∵，，
∴，
∵，
∴②，
把②代入①得，，整理得，（Ⅱ），
由（Ⅰ），（Ⅱ）联立方程组得，，
解得，，
∴；
当时，如图所示，
同理，是等腰三角形，，，
∴，
∴，
解得，，
∴；
当时，，
∵，
∴，即，
∴该种情况不符合题意，舍去；
综上所述，的度数为或或．
1．（21-22七年级下·江苏镇江·期末）【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下：
证明：∵，
∴> ． ∴ ．
∵，，
∴ ． ∴ ．
∴．
【问题解决】
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ．
【答案】(1)见解析
(2)②④，证明见解析
【分析】（1）根据，可得> ab．从而得到 ．再由，，可得ac．从而得到 ．即可求证；
（2）选择②④ ．理由：根据a【详解】（1）证明：∵，
∴> ab．
∴ ．
∵，，
∴ac．
∴ ．
∴ ．
（2）解∶选择②④ ．
证明如下： ∵a∴a<0．
∴，．
∵a < b，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键．
2．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．

(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可．
【详解】（1）解：命题1：由①②得到③；
命题2：由①③得到②；
命题3：由②③得到①；
（2）命题1证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题2证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题3证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键．
3．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明．
已知：________，________．
求证：________．
证明：
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题．
【详解】解：（答案不唯一）已知：，，
求证：．
证明： ，
（两直线平行，内错角相等）．
，
（两直线平行，同位角相等），
．
已知：，，
求证：．
证明： ，
（两直线平行，内错角相等）．
，
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
已知：，，
求证：．
证明： ，
（两直线平行，同位角相等）．
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
题型02三角形的内角和
4．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）若中，，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，
先设，再根据三角形内角和定理得，求出即可得出答案．
【详解】解：设，根据题意，得
，
解得，
∴．
故选：C．
5．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，这是由一副三角尺拼成的图案，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理即可解决问题．熟知三角形的内角和定理是解题的关键．
【详解】解：由所给图形可知，
，，
，
．
故选：C．
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，与的平分线相交于点O，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是与角平分线相关的内角和定理的应用，先求解，再结合角平分线可得，再进一步求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵与的平分线相交于点O，
∴，
∴，
故答案为：
7．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线，若 ，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了有关三角形的高线、角平分线的角度计算；设，，，由三角形内角和定理得，求出三个内角的度数，结合三角形平分线及高线，即可求解；能熟练利用三角形的高线、角平分线进行角度计算是解题的关键．
【详解】解： ，
设，
，，
，
解得：，
，
，，
是的角平分线，
，
是的高线，
，
，
，
故的度数为．
8．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知△中，，，求、、的度数及的面积．
【答案】，，
【分析】本题考查了三角形的内角和以及三角形的分类，三角形的面积，根据题意设、、的度数分别为 、、，根据三角形内角和定理得出 、 ，则 是等腰直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：设、、的度数分别为 、、，
由三角形内角和定理可得：
解得
所以 、 ，
所以是等腰直角三角形，,
则
9．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键，
由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】证明：，，，
，
∵，
（两直线平行，内错角相等）
，
，
（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
．
题型03三角形的外角
10．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．是的外角的平分线．，．则的度数是 度．
【答案】75
【分析】本题主要查了三角形外角的性质．先根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质解答，即可．
【详解】解：∵是的外角的平分线，，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：75
11．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形中，，和的平分线交于点P，则的度数为 ．
【答案】/230度
【分析】本题考查角平分线的定义，四边形的内角和，三角形的外角，先根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角得出，进而求出，根据，进而可得出答案．
【详解】解：∵和的平分线交于点P，
∴，
∵，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明．
【答案】详见解析
【分析】本题考查了三角形内角和以及三角形外角性质，几何图形的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．方法一：运用三角形内角和得，再结合角的和差关系进行列式整理，即可作答．方法二：运用三角形外角性质得，，再结合等式的性质进行整理，即可作答．
【详解】解：方法一：如图①，连接．
在中，（三角形内角和等于），
在中，（三角形内角和等于），
（等量代换）．
（等式的性质），
即．
方法二：如图②，连接并延长．
依题意，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
（等式的性质），
即．
13．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，在四边形中，E是延长线的一点，连接交于点F，若，．
(1)若，，求的度数；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析．
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系．
（1）先根据对顶角的性质和已知条件证明，再根据平行线的性质证明，然后利用三角形外角的定义及性质求出即可；
（2）先根据（1）中证明的，然利用平行线的性质求证，最后利用已知条件证明，最后根据平行线的性质证明即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．（24-25七年级下·吉林长春·期中）（1）【探究发现】
如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
【迁移拓展】
（2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．
【应用创新】
（3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ．
【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案；
（2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案；
（3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案．
【详解】解：（1），证明如下：
点是内角和外角的角平分线的交点，
，，
由三角形的外角性质得：，，
，即，
；
（2），证明如下：
，，
由三角形的外角性质得：，，
，即，
；
（3）由（1）的结论得：，，
即，，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
题型04多边形的内角和
15．（24-25九年级下·云南昭通·期中）已知过n边形的一个顶点有6条对角线，一个m边形的内角和是，则（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】D
【分析】本题主要考查多边形对角线及内角和问题，熟练掌握多边形对角线及内角和公式是解题的关键；因此此题可根据过多边形的一个顶点有条对角线，多边形内角和公式可进行求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∴；
故选：D．
16．（24-25七年级下·全国·课后作业）小华在计算几个多边形内角和时，分别得到下列4个答案：①，②，③，④．其中，计算正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，对于定理的理解是解决本题的关键．n边形的内角和是，即多边形的内角和一定是180的正整数倍，依此即可解答．
【详解】解：多边形的内角和公式是，
∴多边形的内角和是的整数倍，
∵，
，
，不是整数，
，
∴计算正确的是①②④，
故选：B．
17．（24-25七年级下·全国·课后作业）填空题：
（1）每一个内角都是的多边形有 条边；
（2）若一个多边形的内角和是，则它的边数是 ．
【答案】 18 20
【分析】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式，是解题的关键：
（1）设多边形为边形，根据题意，列出方程进行求解即可；
（2）设多边形为边形，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】解：（1）设多边形为边形，由题意，得：，
解得：；
故答案为：18；
（2）设多边形为边形，由题意，得：，
解得：；
故答案为：20．
18．（23-24八年级上·广西河池·期中）已知一个多边形的边数为．
(1)若该多边形的内角和的比外角和多，求的值；
(2)若该多边形是正多边形，且其中一个内角为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质，
（1）根据多边形内角和公式与外角和列式计算即可解答；
（2）根据正多边形的性质及多边形内角和公式解答即可；
解题的关键是掌握：①边形的内角和为（且为正整数），外角和为；②正边形的每条边相等、每个内角相等、每个外角相等．
【详解】（1）解：依题意，得：
，
解得：，
即的值为；
（2）（2）依题意，得：
，
解得：，
即的值为．
19．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）（1）如图1，在中，已知，点E在线段的延长线上，和的角平分线交于点D，则 ；
（2）如图2，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？
（3）如图3，，且，和的平分线交于点F，则等于多少（用α，β表示）？
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可得，即可求解；
（2）由三角形外角的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，再由四边形内角和定理，即可求解；
（3）由三角形外角的性质可得，再由对顶角相等可得，然后由角平分线的定义可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：（1）如图1，
∵分别平分和，
∴．
∵是的一个外角，
∴．
∵是的一个外角，
∴．
∴．
故答案为：．
（2）由题意，如图2，
∵是的一个外角，
∴．
又∵分别平分和，
∴．
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴．
（3）由题意，如图3，
∵是的一个外角，
∴．
又∵，
∴．
又∵分别平分和，
∴．
∴．
又∵，
∴
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，多边形的内角和定理，角平分线的定义等知识的综合，掌握多边形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键．
题型05多边形的外角和
20．（2025·北京顺义·一模）每一个外角都是的正多边形为（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【分析】本题考查正多边形的外角及外角和，熟练掌握正多边形的外角和是解题的关键；
根据正多边形的每个外角相等，且外角和为，即可求解．
【详解】解：（边），
∴这个正多边形是正五边形．
故选：C．
21．（19-20七年级下·江苏常州·期中）若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了多半小时外角和内角综合，设这个多边形的一个外角的度数为x，则一个内角的度数为，再根据正多边形一个内角的度数与一个外角的度数之和为180度建立方程求出一个外角的度数，再根据外角和为360度求出边数即可．
【详解】解：设这个多边形的一个外角的度数为x，则一个内角的度数为，
∴，
解得．
∴该多边形一个外角的度数为，
∴该多边形的边数为，
故选：C．
22．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小林从点P向正西走后向左转，转动的角度为，再走后向左转动……如此重复，小林共走了回到点P，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形的外角和等于，根据题意判断出所走路线是正多边形是解题的关键．根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于，除以边数即可求出的值．
【详解】解：设边数为，根据题意，
，
则．
故选：C．
23．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知一个正多边形的边数为．
(1)若，求这个正多边形的内角和．
(2)若这个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的6倍还多，求的值．
【答案】(1)这个正多边形的内角和为
(2)
【分析】本题考查了求多边形内角与外角，掌握多边形内角和的公式是解题的关键．
（1）根据多边形内角和定理解答，即可求解；
（2）设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为，根据邻补角的性质列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：，
这个正多边形的内角和；
答：这个正多边形的内角和为；
（2）解：这个正多边形的每个外角为，则每个内角为，
根据题意得，
解得：，
，
的值为．
24．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和．
【发现】
（1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________．
【尝试】
（2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确．
如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明
解：如图2，画的边的延长线，过点C画
因为，
所以___________①___________，
___________②___________
因为___________③+___________④
所以
【拓展】
（3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________
【答案】（1）平，180；（2）， 两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；（3）4，720
【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的对角线，多边形的内角与外角，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
利用平角的性质解决问题即可；
利用平行线的性质平角的性质，解决问题即可；
利用三角形内角和定理解决问题即可．
【详解】解：如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于
故答案为：平，180；
如图2，画的边的延长线，过点C画
因为，
所以 两直线平行，内错角相等，
两直线平行，同位角相等，
因为
所以
故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；
如图3中，连接，，此时六边形被分成了4个三角形，六边形的内角和．
故答案为：4，．
题型06平行线的综合问题
25．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，已知，点在上，点、在上．在中，，，点、在直线上，在中，，．
(1)图中的度数是多少？请说明理由；
(2)将沿直线平移，使得点与重合，再将绕点按逆时针方向进行旋转，至少旋转________度，使得与平行；
(3)将沿直线平移，当点在上时，求的度数；
(4)将沿直线平移，当以、、为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或或或
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，解题关键是识别图形，找出角与角之间的关系．
（1）根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出答案；
（2）根据平行线的性质推出当时，，求出，根据即可求解；
（3）根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出，再次利用三角形内角和定理可求出答案；
（4）结合题意，画出图形：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，分两种情况进行讨论，画出图形，分别进行计算即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
（2）解：如图，
当时，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴将绕点按逆时针方向进行旋转，至少旋转，使得；
（3）解：如图所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（4）解：或或或，
理由如下：
分两种情况，Ⅰ．当向上平移时，
①如图所示1：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时，
∵，
∴；
②如图2所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时，
∵
∴，
∵，
∴；
③如图3所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时
∵，，
∴，
∵，
∴；
Ⅱ．当向下平移时，如图4所示：
④当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时，
∵，
∴，
∴；
综上可知：将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时的度数为或或或．
26．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足．
(1)______，______；
(2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直．
(3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？
【答案】(1)8；2
(2)9秒
(3)6秒或10秒
【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．
（1）依据非负数的性质即可得到，的值；
（2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间；
（3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间．
【详解】（1）解：∵，，
∴
，，
，，
故答案为：8；2；
（2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直．
如图，设旋转后的射线、射线交于点，则，
，
，
，
，
又，，
，
，
∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直；
（3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行．
如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则，
∴；
分两种情况：
①当时，，，
∵，
∴，
，，
当时，，
∴，
解得；
②当时，，，
，，
当时，，
此时，，
解得；
综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行．
27．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）长方形纸带（足够长）上，如图1中，顶点落在边上，顶点落在边上，使，，的平分线交边于点，的平分线交边于点．

(1)如图1，若时，则________°；
(2)点在边上、在边上移动过程过程中，的值是否变化，如不变化，请写出这个定值并说明理由；
(3)如图2，的外角中，射线和交于点，且分别使得，，当四边形中，有一边与平行时，直接写出的度数________°．
【答案】(1)
(2)的值不会变化，理由见详解
(3)或或
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线，三角形内角和外角和定理，解一元一次方程等知识的综合，掌握平行线的性质，三角形内角和外角和定理，角平分线的性质是解题的关键．
（1）根据平角的性质可得，，根据角平分线的性质可得，由此可得的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）由（1）的证明可得是定值，再根据三角形的内角和定理即可求解；
（3）根据题意，分类讨论：当时；当时；当时；根据平行线的性质，等腰三角形的性质，解一元一次方程的方法即可求解．
【详解】（1）解：根据图示，点三点共线，点共线，
∵，
∴，
∵平分，平分，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：；
（2）解：，这个值不会变化，理由如下，
由（1）可知，，
∵，，
∴，即是定值，
∴，不会发生变化；
（3）解：当时，如图所示，
∴，
∵平分，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴；
当时，如图所示，设，
由（2）可知，（Ⅰ），
∵，平分，
∴，即是等腰三角形，
∴①，
∵，，
∴，
∵，
∴②，
把②代入①得，，整理得，（Ⅱ），
由（Ⅰ），（Ⅱ）联立方程组得，，
解得，，
∴；
当时，如图所示，
同理，是等腰三角形，，，
∴，
∴，
解得，，
∴；
当时，，
∵，
∴，即，
∴该种情况不符合题意，舍去；
综上所述，的度数为或或．

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