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小结与复习
第4章 几何图形初步
几何图形
立体图形
多面体、旋转体
两点间的距离
平面图形
线段的大小、比较、运算和画法
基本事实
直线、射线
线段
角
余角和补角
角的大小、比较、运算和画法
一、几何图形
1. 几何图形都是由点、线、面、体组成的.
2. 点、线、面、体之间的联系
(1) 体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；
(2) 点动成线、线动成面、面动成体.
(2)平面图形上的各点都在同一个平面内，如
3. 立体图形与平面图形
(1)立体图形上的点不都在同一个平面内，如
二、直线、射线、线段
1. 有关直线的基本事实
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
2. 直线、射线、线段的区别
类型 端点个数 延伸性 能否度量
线段
射线
直线
2 个
不能延伸
可度量
1 个
向一个方向
无限延伸
不可度量
无端点
向两个方向
无限延伸
不可度量
4. 有关线段的基本事实
两点之间线段最短
3. 线段的中点
应用格式：
A
C
B
因为 C 是线段 AB 的中点，
所以 AC ＝ BC ＝ AB，
AB ＝ 2AC ＝ 2BC.
5. 线段长短的比较方法
度量法或叠合法
三、角
1. 角的定义
(1) 从一个点出发的两条射线组成的图形，叫做角.
(2) 角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
2. 角的度量
度、分、秒的互化
1°＝60′，1′＝60″，
3. 角的大小的比较方法
度量法或叠合法
1″＝ ′，1′＝ °
4. 角的平分线
O
B
A
C
应用格式：
5. 余角与补角的性质
同角(等角)的补角相等
同角(等角)的与角相等
因为 OC 是∠AOB 的平分线，
所以∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB，
∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC.
例1 如图所示，直线 l，线段 a，射线 OA，能相交的几组图形是 ( )
B
A. (1)(3)(4) B. (1)(4)(5) C. (1)(4)(6) D. (2)(3)(5)
(1)
(4) (5) (6)
(3)
(2)
考点一 线段、直线与射线
解析：此题相当于一条线段上有 3 个点，有多少种不同的票价即有多少条线段：4 + 3 + 2 + 1 = 10；有多少种车票是要考虑顺序的，则有 10×2 = 20.
1. 往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有______种不同的票价 (来回票价一样)，需准备______种车票.
10
20
针对训练
例2 点 C 在线段 AB 所在的直线上，点 M，N 分别是 AC，BC 的中点.
(1) 如图，AC = 8 cm，CB = 6 cm，求线段 MN 的长；
A M C N B
所以 CM＝ AC＝4 (cm)，CN＝ BC＝3 (cm).
解：因为点 M，N 分别是 AC，BC 的中点，
所以 MN＝CM＋CN＝4＋3＝7 (cm).
考点二 线段长度的计算
(2) 若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC + CB = a cm，
其它条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？并说明
理由；
A M C N B
理由：同(1)可得 CM ＝ AC，CN ＝ BC，
所以 MN ＝ CM＋CN ＝ AC＋ BC
＝ (AC＋BC) ＝ a (cm).
猜想：MN = a cm.
(3) 若C 在线段 AB的延长线上，且满足 AC－BC = b cm，
M，N 分别为 AC，BC 的中点，你能猜想 MN 的长
度吗？请画出图形，并说明理由.
A M B N C
MN = MC－NC = AC－ BC
= (AC－BC) = b (cm)．
猜想：MN = b cm.
理由：根据题意画出图形，由图可得
2. 已知：点 A，B，C 在一直线上，AB = 12 cm，BC =
4 cm. 点 M，N 分别是线段 AB，BC 的中点. 求线
段 MN 的长度.
A M C N B
图①
所以 BM = AB = ×12 = 6 (cm)，
BN = BC = ×4 = 2 (cm).
解：如图①，当 C 在线段 AB 上时，
因为 M，N 分别是 AB，BC 的中点，
所以 MN = BM－BN = 6－2 = 4 (cm).
方法总结：无图条件下，注意多解情况要分类讨论，培养分类意识.
C
A
M
N
B
图②
所以 BM = AB = ×12 = 6 (cm)，
BN = BC = ×4 = 2 (cm)
如图②，当 C 在线段 AB 外时，
因为 M，N 分别是 AB，BC 的中点，
所以 MN = BM + BN = 6 + 2 = 8 (cm).
考点三 角的度量及角度的计算
例3 45°52′48″＝______°；
126.31°＝ ____°____′____″；
25°18′÷3＝______；
126.31°＝126°+0.31×60′＝126°+18.6′
＝126°18′+0.6×60″＝126°18′36″.
解析：45°52′48″＝45°+52′+(48÷60)′＝45°+52.8′
＝45°+(52.8÷60)°＝45.88°.
25°18′÷3＝8°+1°18′÷3＝8°+78′÷3＝8°26′.
45.88
126
18
36
8°26′
3. 若∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°，则 ( )
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B
A
4. 5 点整时，时钟上时针与分钟之间的夹角是 ( )
A. 210° B. 30° C. 150° D. 60°
C
针对训练
例4 如图，∠AOB 是直角，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线.
(1) 当∠AOC = 50° 时，求∠MON 的大小；
O
B
M
A
N
C
提示：先求出∠BOC 的度数，再根据角平分线的定义求出∠COM，∠CON，然后根据∠MON =∠COM－∠CON
代入数据进行计算即可得解.
所以∠MON =∠COM－∠CON = 70°－25° = 45°.
解：因为∠AOB是直角，∠AOC = 50°， 所以∠BOC =∠AOB +∠AOC
= 90° + 50° = 140°.
因为 ON 是∠AOC 的平分线，
OM 是∠BOC 的平分线，
所以∠COM = ∠BOC = ×140° = 70°，
∠CON = ∠AOC = ×50° = 25°.
O
B
M
A
N
C
(2) 当∠AOC＝α 时，∠MON 等于多少度？
O
B
M
A
N
C
所以∠MON =∠COM－∠CON = (90° + α)－ α = 45°.
解：∠BOC =∠AOB +∠AOC = 90° + α.
因为 ON 是∠AOC 的平分线，
OM 是∠BOC 的平分线，
∠CON = ∠AOC = α.
所以∠COM = ∠BOC = (90° + α)，
(3) 当锐角∠AOC 的大小发生改变时，∠MON 的大小
也会发生改变吗？为什么？
解：不会发生变化.
由 (2) 可知∠MON 的大小与∠AOC
无关，总是等于∠AOB 的一半.
O
B
M
A
N
C
5. 如图，长方形纸片 ABCD，点 E、F 分别在边 AB、CD 上，连接 EF．将∠BEF 对折，点 B 落在直线 EF 上的点 B' 处，得折痕 EM；将∠AEF 对折，点 A 落在直线 EF 上的点 A' 处，得折痕 EN，求∠NEM 的度数．
针对训练
解：由折纸过程可知， EM 平分∠BEB' ，EN 平分∠AEA'．
因为∠BEB'＋∠AEA'＝180°，
所以有∠NEM＝∠NEA'＋∠MEB'
所以有∠MEB'＝ ∠BEB'，∠NEA'＝ ∠AEA'．
＝ (∠AEA'＋∠BEB' ) ＝90°．
＝ ∠AEA'＋ ∠BEB'
考点四 余角和补角
例5 已知∠α 和∠β 互为补角，并且∠β 的一半比∠α 小 30°，求∠α、∠β．
【解析】设∠α＝x°，用 x 表示出∠β，列出方程即可.
解：设∠α＝x°，则∠β＝180°－x°．
根据题意 ∠β＝2(∠α－30°)，
即 180－ x＝2(x －30)，
解得 x＝80．
所以 ，∠α＝80°，∠β＝100°．
6. 互为余角的两个角之差为 35°，则较大角的补角度数是_______.
117.5°
针对训练
直线与角
几何图形
立体图形
平面图形
概念与性质
运算
直线、射线、线段
角
尺规作图
两点确定一条直线
两点之间线段最短
线段的中点
角平分线
互为余（补）角的概念与性质
线段(角)的和、差、倍、分
线段的和、差、倍、分计算
角的和、差、倍、分计算
度、分、秒的转化

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