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2025届信阳市息县一高、二高二模联考
高三数学试题
注意事项:
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（ ）
A. B. C. 2.4 D. 2.5
2. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ）
A. B. 1 C. 0 D.
3. 已知函数，则“”是“在区间上单调递增”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知圆与抛物线的准线相切，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在 OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF，若=m，其中m，n∈R，则m+n的值为（　　）
A. 1 B. C. D.
6. 已知双曲线C：（，）的左，右焦点分别为，，A为C的左顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 若成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
8. 把数字1、2、3分别写在9张卡片上，其中有4张写着1，4张写着2，1张写着3，把这9张卡片排成三行三列，每行每列都是三张卡片，则每行和每列的卡片上数字和为奇数的排法的种数有（ ）
A. 30 B. 27 C. 54 D. 45
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 为定值
B. 抛物线 的准线方程为
C. 过 两点作抛物线的切线，两切线交于点 ，则点 在以为直径的圆上
D. 若过点且与直线垂直的直线 交抛物线于 两点，则
10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）
A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使平面MBN
C. 过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为
D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为
11. 已知等差数列{a }的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，不是数列中的项
D. 若是数列中的项，则k 的值可能为6
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12. 的展开式中常数项为_______．
13. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________.
14. 设向量，则的最小值为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边，，交于点.
（1）求；
（2）求.
16. 在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给出真实答复，因此需要特别的调查方法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．某单位为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查．问卷调查中设置了两个问题：①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意．调查分两个环节，第一个环节：确定回答的问题，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题，第二个环节：填写问卷（问卷中不含问题，只有“是”与“否”）．已知统计问卷中有198个“是”．（参考数据：）
（1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计员工对新考勤管理方案满意的概率；
（2）据核实，以上的300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人，试判断是否有97.5%的把握认为与对新考勤管理方案是否满意与性别有关；
参考公式和数据如下：，．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 7.879
（3）从该单位任取10人，恰有X人对考勤管理方案不满意，利用（1）中的结果，写出的表达式（其中，），并求出X的数学期望.
17. 已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积.
18. 已知抛物线，点在抛物线上，且在轴上方，和在轴下方（在左侧），关于轴对称，直线交轴于点，延长线段交轴于点，连接.
（1）证明：为定值（为坐标原点）；
（2）若点的横坐标为，且，求的内切圆的方程.
19. 已知，等差数列的前项和为，记．
（1）求证：函数的图像关于点中心对称；
（2）若、、是某三角形的三个内角，求的取值范围；
（3）若，求证：．反之否成立？并请说明理由．
D
C
B
A
C
D
B
D
ACD
ABD
ABD
##
15.（1）由已知，，
，
因为，
所以
，
所以在中由余弦定理可得
.
（2）解法1：因为，
又因为，
所以，
即，
解得.
解法2：因为，所以，
又，，
所以，
又因为，所以，则，
所以.
16.（1）由题意摸到两球同色概率为，
所以回答第一个问题有人，则回答第二个问题有人，
由题意可知公历生日是奇数的概率是，
所以回答第一个问题，选择“是”的同学人数为人，
则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为人，
所以员工对新考勤管理方案满意的概率；
（2）由题意，列联表如下：
对新考勤管理方案满意 对新考勤管理方案不满意 合计
男员工
女员工
合计 285
，
所以有97.5%的把握认为与对新考勤管理方案是否满意与性别有关；
（3）由题意可知，
则，
所以.
17.（1）由已知得，，解得，又，
所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，
由得，①
设、的坐标分别为，（），中点为，
则，，
因为是等腰△的底边，所以．
所以的斜率为，解得，此时方程①为．
解得，，所以，，所以，
此时，点到直线：的距离，
所以△的面积．
18.（1）设直线的方程为，则，
由，消去，得，
，
所以，
直线的方程为，化简得，
令，得，所以
因此.
（2）因为点的横坐标为，由（1）可知，，
设交抛物线于，，如图所示
又由（1）知，，同理可得，得，
又，
，
又，
则，
故结合，得.
所以直线的方程为
又，
则，
所以直线的方程为，
设圆心,
因为为的平分线，故点到直线和直线的距离相等，
所以，因为，解得，
故圆的半径，
因此圆的方程为.
19.（1），
，
，
故函数的图象关于点中心对称；
（2）因为为等差数列，所以，
又因 、、是某三角形的三个内角，所以，得，，
化简得：，
因为、、是某三角形的三个内角，且，所以，
即，，可得；
（3）证明：若，根据等差数列性质可得，
由此可得，，，
即，
，
解得，证毕.
反之，若，即
因为为等差数列，所以，
即，
当且仅当时，，
若，则，
故反之不成立，证毕.

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