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第四章《图形的相似》达标测试卷
第一部分　选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.线段a，b，c，d是成比例线段，a＝4，b＝2，c＝2，则d的长为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F，若AB∶BC＝1∶2，DE＝2，则EF的长为（　　）
第2题图
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）
第3题图
A.∠ABD＝∠ACB B.∠ADB＝∠ABC C.AB2＝AD·AC D.＝
4.如图，一同学在湖边看到一棵树，他测出自己与树的距离为20 m，树的顶端在水中的倒影距自己5 m远，该同学的身高为1.7 m，则树高为（　　）
第4题图
A.3.4 m B.5.1 m C.6.8 m D.8.5 m
5.若两个相似三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形面积的比是（　　）
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
6.已知＝＝≠0，则的值为（　　）
A. B.1 C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（－3，1），（－1，4）.以点O为位似中心，在原点的另一侧按2∶1的相似比将△OAB缩小，则点A的对应点A'的坐标是（　　）
第7题图
A.（－3，1） B.（－，） C.（3，－1） D.（，－）
8.如图，菱形ABCD的边长为3，∠ADC＝60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连接CE分别交BD，AD于点G，F，则FG的长为（　　）
第8题图
A. B. C. D.
第二部分　非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9.已知△ABC∽△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，则∠F＝　　°.
10.若＝，则＝　　.
11.如图，BC∥DE，AD＝3，AE＝4，AB＝9，则CE＝　　.
第11题图
12.透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感.如图是运用透视法绘制的一个图案，已知AB∥CD∥EF，＝，则的值为　　.
第12题图
13.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点P是AC的中点，过 P点的直线交 AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为　　.
第13题图
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14.（5分）如图，点D，E，F分别在△ABC的三条边上，且DE∥BC，EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC.
15.（7分）如图△ABC，请用尺规作图法在BC上找一点P，使得△PAC∽△ABC（保留作图痕迹，不写作法）.
16.（8分）小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度（如图），当1 m长的直立竹竿的影长为1.5 m时，测量旗杆落在地上的影长为21 m，落在墙上的影长为2 m，求旗杆的高度.
17.（8分）如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°，∠ACB＝60°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，CE＝6 cm.求：
（1）∠B的度数；
（2）AD的长.
18.（9分）如图，直线l1∥l2∥l3，且直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F.
（1）若AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长；
（2）若＝，AB＝7，求AC的长.
19.（10分）如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E.
（1）求证：△ABM∽△EMA；
（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长.
20.（14分）如图，在正方形ABCD中，AB，BC的中点分别为点E，F，连接DE，AF交于点G，连接CG，CH平分∠DCG交DE于点H.
（1）探索AF与DE的关系；
（2）求证：点H为DG的中点；
（3）求的值.
参考答案
1.A　2.C　3.D　4.B　5.D　6.A　7.D
8.B　解析：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝CD＝AD＝3，∠ABC＝ADC＝60°，AB∥CD，
∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∠ABD＝∠ABC＝30°.
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝30°.
在Rt△ADE中，
∵AE＝AD＝，
∴DE＝AE＝.
在Rt△CDE中，CE＝＝＝.
∵BE∥CD，
∴△BEG∽△DCG，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴EG＝×＝.
∵AE∥CD，
∴△AEF∽△DCF，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴EF＝×＝，
∴FG＝EG－EF＝－＝.故选B.
9.100　10.　11.8　12.
13.4或　解析：∵点P是AC的中点，
∴AP＝AC＝3.
当△AQP∽△ABC时，＝，即＝，解得AQ＝4；
当△AQP∽△ACB时，＝，即＝，解得AQ＝.
14.证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC，
∴△ADE∽△EFC.
15.解：如图，点P即为所求.
16.解：如图，CD＝2 m，BD＝21 m.∵＝，
∴DE＝1.5CD＝3 m.
∵＝，
∴AB＝＝16（m）.
答：旗杆的高度为16 m.
17.解：（1）∵△ABC∽△DEC，
∴∠B＝∠E，∠A＝∠D＝45°.
∵∠ACB＝60°，
∴∠B＝180°－60°－45°＝75°.
（2）∵△ABC∽△DEC，
∴＝.
∵AC＝3 cm，BC＝4 cm，CE＝6 cm，
∴＝，
∴DC＝ cm，故AD＝3＋＝（cm）.
18.解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝＝，
∴DE＝EF＝6.
（2）∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝.
∵AB＝7，
∴BC＝，
∴AC＝7＋＝.
19.（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠EAM＝∠AMB.
∵EM⊥AM，
∴∠AME＝90°.
∴∠B＝∠AME，
∴△ABM∽△EMA.
（2）解：∵AB＝4，BM＝3，
∴AM＝＝＝5.
∵△ABM∽△EMA，
∴＝，即＝，
∴ME＝.
20.（1）解：在正方形ABCD中，
∵AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，点E，F分别为边AB，BC 的中点，
∴AE＝AB，BF＝BC，
∴AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF.
∵∠DAG＋∠BAF＝90°，
∴∠DAG＋∠ADE＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴AF⊥DE，
∴AF＝DE且AF⊥DE.
（2）证明：方法一：如图1，延长AF交DC延长线于点M.
∵点F为BC的中点，
∴CF＝FB.
又∵四边形ABCD是正方形，
∴DM∥AB，AB＝CD，
∴∠M＝∠FAB.
在△ABF与△MCF中，
∴△ABF≌△MCF（AAS），
∴AB＝CM，
∴CD＝CM.
又∵∠DGM＝90°，
∴CG＝DM，
∴CG＝CD.
∵CH平分∠DCG，
∴点H为DG的中点.
方法二：如图2，连接DF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝AB，∠DCF＝∠ABF＝90°，DC∥AB.
∵点F为CB的中点，
∴CF＝FB，
∴△DCF≌△ABF（SAS），
∴∠DFC＝∠AFB.
由（1）已证△DAE≌△ABF，
∴∠AFB＝∠DEA.
又∵DC∥AB，
∴∠CDE＝∠DEA，
∴∠CDE＝∠CFD.
又∵由（1）已证AF⊥DE，
∴∠DGF＝90°，
∴∠DGF＋∠DCF＝90°＋90°＝180°，
∴D，G，F，C四点共圆，
∴∠DGC＝∠CFD，
∴∠DGC＝∠CDE，
∴DC＝CG.
∵CH平分∠DCG，
∴点H为DG的中点.
（3）解：设正方形ABCD的边长为2a，
则由（1）和（2）可得：AD＝AB＝2a，AE＝BF＝CF＝a.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AF＝＝a.
在△DGA与△DAE中，
∵∠DGA＝∠DAE＝90°，∠ADG＝∠EDA，
∴△DGA∽△DAE，
∴＝＝，即＝＝，
∴DG＝a，AG＝a，
∴GF＝AF－AG＝a－a＝a，
∴＝.

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