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第一章《特殊平行四边形》达标测试卷
第一部分　选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1.四边形ABCD是菱形，其中AB＝4 cm，则四边形ABCD的周长是（　　）
A.5 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm
2.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OA＝3，则BD等于（　　）
第2题图
A.3 B.4 C.5 D.6
3.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（　　）
A.4 cm2 B.2 cm2 C. cm2 D.2 cm2
4.已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是（　　）
A.∠A＝90° B.∠B＝∠C
C.AC＝BD D.AC⊥BD
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，CD是AB边上的中线，则CD的长为（　　）
第5题图
A.24 B.12 C.8 D.6
6.如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（　　）
第6题图
A.41° B.51° C.49° D.59°
7.如图，在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为（　　）
第7题图
A.3 B.2 C.4 D.8
8.如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE.过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝.下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离为； ③S△APD＋S△APB＝； ④S正方形ABCD＝2＋.其中正确结论的序号是（　　）
第8题图
A.①③④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④
第二部分　非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，则∠ACB的度数为　　.
第9题图
10.菱形的两条对角线长分别为6 cm，8 cm，则它的面积是　　cm2.
11.如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为　　cm.
第11题图
12.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具.如图，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为　　dm2.
第12题图
13.如图，在坐标系中，正方形OABC的边长为2，点P是x轴上一动点.若BP与∠ABC的两边所组成的角的度数之比为1∶3，则点P的坐标为　　.
第13题图
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14.（5分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD.求证：BE＝DF.
15.（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若BC＝12，CE＝8，求EF的长.
16.（8分）如图，已知正方形OABC的边长为8，边OA在x轴上，边OC在y轴上，点D是x轴上一点，坐标为（2，0），点E为OC的中点，连接BD，BE，ED.
（1）求点B的坐标；
（2）判断△BED的形状，并证明你的结论.
17.（8分）如图，在△ABD中，AB＝AD.
（1）点C为BD的垂直平分线上一点，且点C在BD下方，CB＝AB，求作点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC，BD交于点O，点E为BC的中点，连接OE.若OE＝5，BD＝12，求AC的长.
18.（9分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE.
（1）求证：CD＝AE；
（2）若∠DCE＝25°，求∠B的度数.
19.（12分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°.
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若正方形的边长为2，求线段CE的长.
20.（12分）如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF＝m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC，CD于点E，F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG＝DF.
（1）求证：△ABG≌△ADF；
（2）求证：AG⊥AF；
（3）当EF＝BE＋DF时：
①求m的值；
②若点F是CD的中点，求BE的长.
参考答案
1.D　2.D　3.B　4.D　5.D　6.C　7.C
8.A　解析：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°.
∵AE⊥AP，
∴∠EAP＝90°，
∴∠BAE＋∠BAP＝∠BAP＋∠DAP＝90°，
∴∠BAE＝∠DAP.
∵AE＝AP＝1，
∴△ABE≌△ADP（SAS），
∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP.
∵△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP＝AE＝，
∴∠APD＝180°－∠APE＝180°－45°＝135°，
∴∠AEB＝135°，
∴∠BED＝∠AEB－∠AEP＝135°－45°＝90°，
∴EB⊥ED，
∴①正确；
∴BE＝＝＝1＝AE，
∴②不正确；
∵△ABE≌△ADP，
∴S△ABE＝S△ADP.
∴S△APD＋S△APB＝S△AEB＋S△APB＝S△AEP＋S△EPB＝AE·AP＋EP·BE＝×1×1＋××1＝，
∴③正确；
如图，过点B作BO⊥AE，交AE的延长线于点O，则∠O＝90°.
∵∠BEO＝180°－∠AEB＝180°－135°＝45°，
∴△BOE是等腰直角三角形，
∴OE＝OB＝BE＝，
∴AO＝AE＋OE＝1＋.
在Rt△ABO中，
∵AB2＝AO2＋OB2＝（1＋）2＋（）2＝2＋，
∴S正方形ABCD＝AB2＝2＋，
∴④正确.
9.30°　10.24　11.8　12.2
13.（4，0）或（4－2，0）或（－2，0） 　解析：如图，①当∠CBP1∶∠ABP1＝1∶3时，则∠CBP1＝90°×＝45°，
∴BC＝CP1＝2，
∴OP1＝2＋2＝4，此时点P1的坐标为（4，0）；
②当∠CBP2∶∠ABP2＝1∶3时，则∠CBP2＝90°×＝22.5°.
连接OB，则∠OBC＝45°，OB＝＝2，此时BP2平分∠OBC.
过点P2作P2M⊥OB于点M，则P2M＝P2C＝OM＝2－2，
∴OP2＝OM＝4－2，此时点P2的坐标为（4－2，0）；
③当∠ABP3∶∠CBP3＝1∶3时，
则∠ABP3＝90°×＝22.5°＝∠BP3C＝∠OBP3，
∴OP3＝OB＝2，此时点P3的坐标为（－2，0）.
综上所述，点P的坐标为（4，0）或（4－2，0）或（－2，0）.
故答案为（4，0）或（4－2，0）或（－2，0）.
14.证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
在△ABE和△ADF 中，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF.
15.（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°.
∵CE∥AD，
∴∠ECD＝∠ADB＝90°.
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，
∴四边形ADCE是矩形.
（2）解：∵AB＝AC，D是BC的中点，BC＝12，
∴BD＝CD＝BC＝6.
由（1）可知：四边形ADCE是矩形，
∴AE＝CD＝6，∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，由勾股定理得AC＝＝＝10.
∵EF⊥AC，
∴S△AEC＝AC·EF＝AE·CE，
∴EF＝＝＝4.8，
即EF的长为4.8.
16.解：（1）正方形OABC的边长为8，边OA在x轴上，边OC在y轴上，
∴OA＝OC＝8，
∴点B的坐标为（8，8）.
（2）△BED是直角三角形.证明如下：
∵点D是x轴上一点，坐标为（2，0），点E为OC的中点，
∴OD＝2，OE＝CE＝4，DA＝6，
∴ED2＝OD2＋OE2＝20，EB2＝BC2＋CE2＝80，
DB2＝BA2＋AD2＝100，
∴ED2＋EB2＝DB2，
∴△BED是直角三角形.
17.解：（1）如图，点C即为所求.
（2）由作图可知，AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD＝BD＝6.
∵BE＝EC，∠BOC＝90°，
∴BC＝2OE＝10，
∴OC＝＝＝8，
∴AC＝2OC＝16.
18.（1）证明：∵AD⊥BC，CE是△ABC的中线，
∴DE＝AB＝BE＝AE.
∵DG垂直平分CE，
∴DE＝DC，
∴CD＝AE.
（2）解：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴∠EDB＝∠DCE＋∠DEC＝2∠DCE＝50°.
∵DE＝BE，
∴∠B＝∠EDB＝50°.
19.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）.
（2）解：∵正方形的边长为2，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF.
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＋∠DAF＝30°，
∴∠DAF＝15°.
如图所示，在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，
则AG＝FG，∠DGF＝30°，
∴DF＝FG＝AG，DG＝DF.
设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x.
∵AG＋DG＝AD，
∴2x＋x＝2，解得x＝4－2，
∴DF＝4－2，
∴CE＝CF＝CD－DF＝2－（4－2）＝2－2，
∴线段CE的长为2－2.
20.（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝2，
∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°.
在△ABG和△ADF中，
∴△ABG≌△ADF（SAS）.
（2）证明：∵△ABG≌△ADF，
∴∠GAB＝∠FAD，
∴∠GAF＝∠GAB＋∠BAF＝∠FAD＋∠BAF＝∠BAD＝90°，
∴AG⊥AF.
（3）解：①∵△ABG≌△ADF，
∴AG＝AF，BG＝DF.
∵EF＝BE＋DF，
∴EF＝BE＋BG＝EG.
在△AEG和△AEF中，
∴△AEG≌△AEF（SSS）.∴∠EAG＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF＝45°，即m＝45.
②若点F是CD的中点，则DF＝CF＝BG＝1.
设BE＝x，则CE＝2－x，EF＝EG＝1＋x.
在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2，
即（2－x）2＋12＝（1＋x）2，
解得 x＝.∴BE的长为.

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