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2024-2025学年河南省青桐鸣高一下学期5月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.年，某大学的新能源汽车技术专业在河北省录取的八名学生的高考总分分别为，则这组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.“直线与直线相交”是“点共面”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，则二面角的平面角为( )
A. B. C. D.
5.在锐角三角形中，的面积为，若，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在长方体中，，点分别是的中点，则下列说法正确的是( )
A. 此长方体的表面积为 B. 与是相交直线
C. 与是异面直线 D. 直线与平面相交
7.在中，，点满足，直线交于点，则( )
A. B. C. D.
8.如图，正六棱柱的底面边长为，点分别为线段的中点，若异面直线与所成角的余弦值是，则此正六棱柱的体积为( )
A. B. 或
C. D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.年月日是第个联合国糖尿病日，活动主题是“糖尿病与幸福感”某市的糖尿病患者中中老年组、中年组、中青年组、青年组人数的比例为，为了解各年龄段群组中老年组中年组中青年组青年组饮食结构之间的差异，市卫生局计划从糖尿病患者中抽取人进行饮食结构调查，则下列说法正确的是( )
A. 应采用分层随机抽样抽取
B. 应采用抽签法抽取
C. 中年组患者应抽取人
D. 被抽到的中青年组患者和青年组患者人数之和比中年组患者人数多
10.已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A. 若是纯虚数，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则或
11.已知，且，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若与共线，则
C. 在方向上的投影向量为
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.底面半径为，高为的圆柱形木桶木桶的厚度忽略不计中装满水，现将一个半径为的实心铁球放入木桶中使球完全浸没，然后拿出铁球沾在铁球与手上的水忽略不计，则此时水面的高度为 ．
13.已知，，则 ．
14.如图，在梯形中，，则将此梯形绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为 结果用含的式子表示．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数为虚数单位．
若复数的实部与的虚部相等，求实数的值；
若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围；
当时，若复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
16.本小题分
某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识综合安全事故自然灾害等网络测试，满分为分测试完后抽取了份试卷，把分数按依次分为第一至第六组所有得分均满足，其中与的人数均为人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为分．
求图中的值，并估计本次测试的及格率“及格率”指得分为分及以上的市民所占比例；
分别求图中的值与的值；
已知落在区间的样本平均分是，方差是，落在区间的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差．
参考公式：若总体划分为层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为，则．
17.本小题分
在中，内角的对边分别为，且．
求角的大小；
已知的周长为，外接圆的面积为，求的面积．
18.本小题分
如图，在梯形中，，且，现将沿折起，将沿折起，使重合为点，得到四棱锥，如图．
证明：平面平面；
点满足，求平面截此四棱锥所得截面的面积；
求直线与平面所成角的正切值．
19.本小题分
对于向量均为非零向量，定义运算．
对于非零向量一定成立吗？并给出理由；
已知为非零向量，若向量与向量共线，向量与向量垂直，求；
已知向量，向量，且，求的取值范围．
参考答案
1.
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4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由题意得，解得．
因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
因为复数是关于的方程的一个根，
所以，
所以，解得，．

16.【详解】，
所以及格率为．
由题意可知：，
得，
平均分，
解得，．
由频率分布直方图知，这份答卷分数在的份数为，
分数在的份数为，所以，
总方差．

17.【详解】因为，
所以，因为，所以，
所以，因为，所以．
设外接圆的半径为，由，得，
又因为，
因为的周长为，所以，
，得，
所以的面积为．

18.【详解】证明：在折起后的四棱锥中，，
因为平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
设平面与的交点为，
则平面截此四棱锥所得截面为四边形，
因为平面平面，
则平面，又因为平面平面平面，
所以，所以，因为，所以，
因为，平面，
所以平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，所以，
所以截面面积为．
因为在梯形中，，所以，
又，
所以，则，
由得平面，因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
又因为，
所以，
即直线与平面所成角的正切值为．

19.【详解】不一定成立，
一定成立．
理由如下：设向量，
则，而，所以不一定成立．
因为，所以，
，
所以．
设，则，由与共线，得．
由题意得，
因为与垂直，所以，
又，得所以，所以．
，
当时，因为，
两式相减得，所以，
得；
又由，得；
同理，所以；
，所以；
，所以；
，所以；
，所以，
又，所以，
故，
所以
，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，故的取值范围为．

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