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2024-2025学年江苏省徐州市沛县高一下学期第三次学情调研
数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则此圆柱的侧面积为( )
A. B. C. D.
2.如果空间中两条直线与没有公共点，那么与( )
A. 共面 B. 平行
C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线
3.如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是( )
A. B. C. D.
4.已知空间条不同的直线，，和平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.在中，内角，，所对的边分别为，，向量，若，则角的大小为( )
A. B. C. D.
6.正方体中，直线与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知的内角所对的边分别为，若，则的形状一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
8.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，平面，，分别是，上的点，且，平面平面，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为，则该三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.下列选项中，与的值相等的是( )
A. B.
C. D.
10.已知正方体的棱长为，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有( )
A. 平面 B. 平面
C. 异面直线与所成角为 D. 平面截正方体所得截面的面积为
11.在正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，，分别为棱，的中点，则下列命题正确的是
A. 与所成角的正切值为 B. 与所成角的正切值为
C. 与面所成角的余弦值为 D. 与面所成角的余弦值为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”该术相当于给出圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式为该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率取近似值得到的则根据你所学知识，该公式中取的近似值为 ．
13.设向量，且，则 ； ．
14.如图，边长为的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.如图，在正方体中
求证：平面
求证：C.
16.如图，正方体中，分别是的中点．
求证：四点共面；
设平面与平面交于直线，求证：．
17.在中，角、、所对的边分别为、、，若，，且．
求；
已知点在线段上，且，求长
18.如图，在四面体中，已知，．
求证：；
求直线与平面所成的角；
求二面角的正切值．
19.如图，在直角梯形中，，，且现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图．
图 图
求证：平面
求证：平面平面；
若，求点到平面的距离．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.证明：正方体，
，又平面，且平面，
平面．
【法一】连接，，，
正方体中平面，平面，
所以，
在正方形中，，又，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以C.
【法二】在正方体中，平面，
则为在面内射影，
又平面，
在正方形中，，
由三垂线定理得，C.

16.【详解】连接，
因为，分别是的中点，
所以，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，故，
所以，
故四点共面；
因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以；

17.【详解】由余弦定理可得，
，，
解得；
由可得，
，，
在中，，，
解得．

18.解：取的中点，连接，
因为，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
因为，，
故，，
故，是等腰直角三角形，
所以，
又，
所以为等腰直角三角形，且，
又，，平面，
所以平面，显然为锐角，
所以直线与平面所成的角为，在中，，
所以，所以直线与平面所成的角为；
取的中点，连接，
则，且，
因为，
所以，同理，
所以，又，所以，
所以是二面角的平面角，
在中，，
即二面角的正切值为．

19.
解：证明：取中点，连结，，
在中，，分别为，的中点，
所以，且，
由已知，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，且平面，
所以平面．
证明：在正方形中，，
因为，，，平面，
所以平面，平面，
所以．
又在直角梯形中，，，，
所以，
在中，，，
所以，
所以，
因为，，平面，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
解：设点到平面的距离为，
由平面，可知，
因为，，所以，，，
所以，，
根据，即，
，解得，
即点到平面的距离为．
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