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2024-2025 学年江苏省南京市第一中学高一下学期 5 月阶段性检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 5.复数i 2的共轭复数在复平面内对应的点位( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量 = (1, 3)， = (2,1)，则 在 上的投影向量为( )
A. 1 , 15 10 B.
1
5 ,
1
10 C.
2 1 2 1
5 , 5 D. 5 , 5
3.如图所示，梯形 ′ ′ ′ ′是平面图形 用斜二测画法得到的直观图， ′ ′ = 1, ′ ′ =
2 ′ ′ = 2，则平面图形 的面积为( )
A. 3 2 B. 2 C. 3 D. 2 2
4.已知 tan = 3，则 sin2 =( )
A. 3 B. 4 C. 3 75 5 10 D. 10
5.如图 1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某
数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点 的同一水平面上的 ， 两处进行测量，如图 2.已知在 处测
得塔顶 的仰角为 30°，在 处测得塔顶 的仰角为 45°，且 = 30 7米，∠ = 150 ，则雁鸣塔的高度
=( )
A. 30 米 B. 30 2米 C. 30 3米 D. 30 5米
6.中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中．某瓷器如图 1 所示，该瓷器可以
近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个圆台组合而成，其直观图如图 2 所示，已知圆柱的高为 18 ，底
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面直径 = 12 ， = 20 ， = 14 ，中间圆台的高为 3 ，下面圆台的高为 4 ，若忽略该瓷
器的厚度，则该瓷器的侧面积约为( )
A. 375 2 B. 377 2 C. 379 2 D. 381 2
7.函数 = sin( + ) > 0, > 0,0 < < π ∠ = π的部分图象如图所示， = 2 3， 6，则 =( )
A. 12 B. 1 C.
π
2 D. π
8 π 3π 2 4.若4 < < π < < 2 ，且 cos( + ) = 10，sin2 = 5，则 =( )
A. π π 3π4 B. 2 C. 4 D. π
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列说法正确的是( )
A.若△ 为钝角三角形，则 2 + 2 > 2
B.若 > ，则 sin > sin
C.若 = 30 ， = 4， = 3，则△ 有两解
D. cos = cos ，则△ 为等腰三角形或直角三角形
10.已知 1， 2为复数，则下列说法正确的是( )
A.若 1 2 > 0，则 1 > 2 B.若 1 = 2，则 1 + 2为实数
C. 2 2 21 1 = 1 D.若| 1| = | 2|，则 1 = 2
11.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， , 分别为棱 1 1, 1 的中点，则( )
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A.直线 π与直线 所成的角是3
B. π直线 与平面 1 1所成的角是3
C. π二面角 的平面角是4
D.平面 9截正方体所得的截面面积为8．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 2sin cos = 0，则 tan2 = ．
13.已知 , , 三点在单位圆上运动，且| | = 3，则 的取值范围为 ．
2 2
14 + .在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 的面积，且 4 = 3 2 ( )2 ，则
的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
三角形 中，角 , , 的对边分别为 , , , = 3且 2 = 2 cos + ．
(1)求 ；
(2)求 面积的最大值．
16.(本小题 15 分)
π
已知 ( ) = 3sin cos + cos2 + ，其图象一个对称轴为 = 6， ∈ (0,2)．
(1)求 ( )的解析式及单调递减区间；
(2) π若函数 ( )在区间 0, 2 上有 2 个不同的零点，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， = ， ， 分别
为 ， 的中点．
(1)求证： ⊥ ；
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(2)求证：平面 ⊥平面 ；
(3)求证： //平面 ．
18.(本小题 17 分)
在平行四边形 中， = 4， = 6，∠ = 3， 是线段 的中点， = ， ∈ [ 1,1]．
(1)若 = 1 2， 与 交于点 ，
= + ，求 的值;
(2)求 · 的最小值．
19.(本小题 17 分)
如图，点 ( , )，复数 = + i , ∈ R 可用点 ( , )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫
做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯
虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，
有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数 = + i 都可以表示成 cos + isin 的形式，即
= cos ,
= sin ,其中 为复数 的模， 叫做复数 的辐角(以 非负半轴为始边，
所在射线为终边的角)，我们规
定 0 ≤ < 2π范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 arg . cos + isin 叫做复数 = + i 的三角形
式．复数三角形式的乘法公式： 1 cos 1 + isin 1 2 cos 2 + isin 2 = 1 2 cos 1 + 2 + isin 1 + 2 .
棣莫佛提出了公式：[ cos + isin ] = cos + isin ，其中 > 0, ∈ N ．
(1) 1 3 2已知 = 2 + 2 i, = 2 +
2 i，求 + 32 的三角形式；
(2)已知 0为定值，0 ≤ 0 ≤ π，将复数 1 + cos 0 + isin 0化为三角形式；
(3)设复平面上单位圆内接正二十边形的 20 个顶点对应的复数依次为 1, 2, , 20，求复数
2024 20241 , 2 , , 202420 所对应不同点的个数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.2 2
13. 12 ,
3
2
14. 2, 52
15.(1)已知 2 = 2 cos + ，
由正弦定理：2sin( + ) = 2sin = 2sin cos + sin ，
则 2sin cos + 2sin cos = 2sin cos + sin ，即 2sin cos = sin ．
因为 sin ≠ 0，所以 cos = 12，
π π
根据 0 < < 2得： = 3．
(2)由余弦定理可得：3 = 2 = 2 + 2 ≥ 2 = ，
1 π 3 3
所以三角形 面积为2 sin 3 ≤ 4 ，
当且仅当 = = 3 3 3时，即 为等边三角形时，三角形 面积取最大值 4 ．
16.(1)根据已知有： ( ) = 32 sin2 +
cos2 +1
2 + = sin 2 +
π
6 +
1
2+ ，
π π π π
因为图象一个对称轴为 = 6，所以 2 × 6 + 6 = 2 + π ∈ Z ，
解得 = 1 + 3 ∈ Z ，又因为 ∈ (0,2)，所以 = 1，
π 1
所以 ( ) = sin 2 + 6 + 2 + ；
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由 2 π + π2 ≤ 2 +
π
6 ≤ 2 π +
3π
2 ( ∈ )，
π 2π
解得： π + 6 ≤ ≤ π + 3 ( ∈ )，
π
所以函数的单调递减区间为： π + 6 , π +
2π
3 ( ∈ )．
(2)因为 ∈ 0, π π π 7π π 12 ，所以 2 + 6 ∈ 6 , 6 ，sin 2 + 6 ∈ 2 , 1
又因为函数 ( )在区间 0, π2 上有 2 个不同的零点，
令 ( ) = 0 ∈ 0, π π 1 π2 ，即 sin 2 + 6 = 2 ∈ 0, 2 ，
1 1
根据数形结合有： 2 ∈ 2 , 1 ,
1
即2 ≤
1 3
2 < 1，解得 2 < ≤ 1，
∈ 3所以 2 , 1 ．
17.证明：(1) = ， 为 的中点，可得 ⊥ ，
底面 为矩形，可得 // ，
则 ⊥ ；
(2) ∵底面 为矩形，
∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
∵ 平面
∴ ⊥ ，
又∵ ⊥ ，且 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又∵ 平面
∴平面 ⊥平面 ．
(3)如图，取 中点 ，连接 ， ．
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， 分别为 ， 的中点，
∴ // ，且 = 12
∵四边形 为矩形，且 为 的中点，
∴ // ， = 12 ，
∴ // ，且 = ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ // ，
又 平面 内， 平面 内，
∴ //平面 ．
18.解：(1)设 = ，
则 = + = + = + ( )
= (1 ) + = 1 2
+ ，
设 = = ( + 1 ) = + 2 2 ，
= 1 , 1
根据平面向量基本定理得 21 ，解得 = ，
2 = ,
5
所以 = 1 + 25 5
，则 = 1 = 25， 5，
1
所以 = 5．
(2)因为 = + + = ( 1) + ，
= + = + 1 2 ，
所以
= ( 2 )
2 1 2 3 1
+ 2
+ (2 2 )

= 16( 2 ) + 18 + 18 6 = 16 2 + 2 + 12
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2
= 16 + 1 + 19116 16，
因为 ∈ [ 1,1]，
1
所以当 = 时， 19116 取得最小值，且最小值为 16．
19.(1) + 3 = 1 + 2 = 1+ 3 i 22 2 2 +
2
2 i 1 + i
= 2 3 + 12 2 i = 2 cos
5π
6 + isin
5π
6 ．
(2)1 + cos 0 + isin 0 = 2cos2
0
2 + 2isin
0 cos 02 2 = 2cos
0 cos 02 2 + isin
0
2 ．
(3) 2π正二十边形每边所对的中心角为20，设 1 = cos + isin ( 为常数)，
则 = cos + isin cos
2( 1)π
20 + isin
2( 1)π
20 , = 1,2, , 20，
所以 2024 = cos2024 + isin2024 cos2024
2( 1)π 2( 1)π
20 + isin2024 20
2π 2π 1
= cos2024 + isin2024 cos2024 20 + isin2024 20
2π 2π 1= cos2024 + isin2024 cos 5 + isin 5 ，
由周期性可知， 2024 共有 5 个不同的值，
故复数 20241 , 20242 , , 202420 所对应不同点的个数为 5．
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