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2024-2025学年广东省八校联盟高二下学期教学质量检测(二)
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的值是( )
A. B. C. D.
2.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的个数是( )
函数在上单调递减；函数在上单调递减；函数在处取得极小值；函数在处取得极大值．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.已知的分布列为
则下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
4.在等差数列中，为其前项和，若，则
A. B. C. D.
5.若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
6.名同学合影，站成前排人后排人，现摄影师要从后排人中抽人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知除以所得余数为，除以所得余数为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于二项式，下列说法正确的是( )
A. 展开式中各项的二项式系数之和为
B. 若展开式中第项与第项的二项式系数相等，则
C. 若展开式中的系数为，则
D. 若为奇数，令，则
10.已知函数是奇函数，对于任意的满足其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
11.某种疾病在某地区人群中发病率为现有一种检测方法能够检测人体是否患该病，但不是完全准确，其准确率如下：健康人群检测为阳性的概率为，患病人群检测为阴性的概率为设事件“某人不患该病”，“该人被检出阳性”，则( )
A.
B.
C. 该地区某人去检测是否患该病，检测为阳性的概率约为
D. 某人在不清楚是否得病的情况下被检测出阳性，那么他真正患该病的概率约为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为正整数，展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ．
13.如图所示，积木拼盘由五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色如：与为相邻区域，与为不相邻区域，现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是 ．
14.设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果计算： ；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某地工商质检部门“”期间对全市超市商品进行随机抽检，在某超市化妆品抽查时，先将同一品牌其外包装形状、大小、材质都相同的甲、乙两类共个不同化妆品同时放入一纸箱中，其中甲类个，乙类个，每次从纸箱中随机抽出个进行检验，抽出的化妆品不再放回求：
在第一次抽到甲类化妆品的条件下，第二次也抽到甲类的概率；
第二次抽到甲类化妆品的概率．
16.本小题分
已知是公差不为的等差数列，成等比数列．为公比为的等比数列
求数列的通项公式；
数列的前项和为，若，记数列满足，求数列的前项和．
17.本小题分
为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设数学史生活中的数学数学与哲学数学建模四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．
Ⅰ求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；
Ⅱ设为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
当时，恒成立，求的取值范围；
当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且．
参考数据：．
19.本小题分
抽屉中装有双规格相同的筷子，其中双是一次性筷子，双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
在第次取出的是非一次性筷子的条件下，第次取出的是一次性筷子的概率；
取了次后，取出的一次性筷子的个数双的分布列及数学期望；
取了次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设事件“第一次抽到甲类化妆品”， “第二次抽到甲类化妆品”，
则事件“第一次抽到乙类化妆品”．
当第一次抽到甲类化妆品的条件下，剩下的个中有个甲类化妆品，个乙类化妆品
第二次再从剩余个化妆品中抽一个，共种不同的结果，
其中抽出的是甲类化妆品的结果共种．
所以．
由题意知，符合条件的抽取有两种情况，一是第一次、第二次都抽到甲类化妆品
二是第一次抽到乙类化妆品，第二次抽到甲类化妆品，即
故第二次抽到甲类化妆品的概率为．
16.解：数列是等差数列，设首项为公差为，
因为，所以，
因为成等比数列，所以，
因为，所以，
由得，
所以；
因为数列 是公比为的等比数列，
由得，所以，则，
所以
所以
．

17.解：Ⅰ甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有种不同的选法，
记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件，
事件共包含个基本事件，则，
所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为；
Ⅱ方法一：可能的取值为，，，，
，，
，．
所以的分布列为：
所以的数学期望
方法二：甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数，则，所以，，，，，
所以的分布列为：
所以的数学期望．
18.因为，其中，．
当时，恒成立，的增区间为，无减区间；
当时，令，得，
由可得；由可得．
此时，函数的减区间为，增区间为．
综上所述：当时，的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为．
当时，恒成立，即恒成立．
令，则，其中，
由可得；由可得．
所以，函数的减区间为，增区间为．
所以，即，故的取值范围是．
当时，，，
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又因为，且，
所以存在唯一的，使得，即
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以是在上唯一的极小值点．
则，由可知．
19.解：设第一次取出的是一次性筷子为事件，
第二次取出的是非一次性筷子为事件，
则，，
在第二次取出的是非一次性筷子的前提下，
第一次取出的是一次性筷子的概率；
设取出的一次性筷子的个数双为，
则的可能取值为、、，
对于，表示三次都是非一次性筷子，取到非一次性筷子是放回的，；
对于，表示三次中有一次一次性筷子，
对应的情况有第一次，第二次，第三次是一次性筷子，
；
对于，表示三次中有一次是非一次性筷子，同样有第一次第二次第三次之分，
；
则的分布列为

数学期望；
次取完表示最后一次是一次性筷子，则前次中有一次取得一次性筷子，
所以


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