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2024-2025学年河北省保定市六校协作体高一下学期5月期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.中，，则一定是
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
3.下列说法中错误的是( )
A. 棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C. 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
4.如图，点，，，分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形是( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，已知，将以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，若，则( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D. 或
8.在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若两个非零向量 共线，则必在同一直线上
B. 若向量与平行，与平行，则，方向相同或相反
C. 若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是或
D. 平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量
10.已知、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，则( )
A. 由，，，得与平行或者异面
B. 由，，，得或
C. 由，，得
D. 由，，，，得
11.在正四棱台中，，且该四棱台的体积为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 该四棱台的表面积为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.与垂直的单位向量的坐标为 ．
13.已知复数满足，则 ．
14.如图，在直角梯形中，，，，，分别是，的中点，将三角形沿折起下列说法正确的是 填序号
不论折至何位置不在平面内都有平面；
不论折至何位置不在平面内都有；
在折起过程中，一定存在某个位置，使平面；
当二面角的大小为时，四棱锥的体积取最大值．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知在正四棱锥中，，．

求四棱锥的表面积；
求四棱锥的体积．
16.本小题分
设向量
若与垂直，求的值．
求的最大值．
17.本小题分
在，，这三个条件中任选一个补充在下面问题中并作答．
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足______．
求角的大小；
若，，求的周长．
注：如果边择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
如图，正三棱柱的所有棱长都等于，，，分别为， ，的中点．

求证：平面平面；
求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，，点，分别为棱，的中点．
求证：平面；
若直线与平面所成角的大小为．
求二面角的余弦值；
求点到平面的距离．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：连接相交于，连接过点作于点，连接，则是斜高，如图所示，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
，
，
所以正四棱锥的表面积为；
，
所以正四棱锥的体积为．
16.解：，
若，则，即．
，
即，
．
，
．
当时，取得最大值．
的最大值是．
17.解：若选，由，所以，所以，由余弦定理，所以，因为，所以；
若选，则，所以，因为，所以或；
若选，由正弦定理可得，所以，所以，因为，所以，因为，所以；
因为，所以，所以，又由可知，所以，由正弦定理得
所以
所以
18.解：证明：如图，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
又，分别为，的中点，
，
又，
四边形为平行四边形，
则，
平面，平面，
平面，
又，，平面，
平面平面．
在平面内，过点作，垂足为，连接H.
正三棱柱，平面．
又平面，．
又，，平面，
平面．
即为与平面所成的角．
正三棱柱的棱长为，为中点，
，，
又，，．
平面，又平面，，，
．
平面，又平面，．
，
，
故与平面所成角的正弦值为．
19.解：
如图：
取中点，连接，．
因为为中点，所以且，
又四边形为菱形，且为中点，所以且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面．
如图：
连接，，交于点，
因为四边形为菱形，所以，且为，的中点，
又因为，所以，，平面，且，
所以平面，易得为直线与平面所成的角的平面角，
则，又，，，
所以，，，，
以为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，
，，，．
所以，，，．
设平面的法向量为，
则，取．
设平面的法向量为，
则，取．
易得二面角 为锐角，
所以二面角的余弦值为：．
点平面的距离为：．

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