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2024-2025学年河北省保定市两校高一 3+1下学期 5月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | = 2 + 1, ∈ }， = { | = 4 + 1, ∈ }，则( )
A. ∩ = B. ∪ = C. D.
2.命题“ ∈ R，使 2 + 1 = 0”的否定是( )
A. ∈ R，使 2 + 1 ≠ 0 B.不存在 ∈ ，使 2 + 1 = 0
C. R，使 2 + 1 ≠ 0 D. ∈ R，使 2 + 1 ≠ 0
3.下列命题为真命题的是( )
A.若 < < 0，则 2 < < 2 B.若 > > 0，则 2 > 2
C. 1 < 1 + 若 ，则 > D.若 > > > 0，则 > +
4.“幂函数 ( ) = 2 + + 1 1在(0, + ∞)上单调递减”是“ = 1”的( )
A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.充要条件
5.函数 ( ) = 2 2| |的图象为( )
A. B.
C. D.
6.函数 ( ) = 1 + 1(0 < < 1)的图象恒过定点 ，若点 的坐标满足关于 , 的方程 + + 3 =
2 ( > 0, > 0)，则 + 2 的最小值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7.已知函数 ( ) = ( 2 ) 2 2 +13 在[1,3]上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A. [0, 13 ] B. ( ∞,
1
3 ] C. ( ∞,0] D. [0,1]
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8.若存在 ≥ 0, ≥ 0，且 3 + = 1 3 4，使不等式 +1 + +1 <
2 2 3 能成立，则实数 的取值范围是
( )
A. 4,2 B. ∞, 4 ∪ 2, + ∞
C. 2,4 D. ∞, 2 ∪ 4, + ∞
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中正确的有( )
A.“ < 1 1”是“ > ”的必要不充分条件
B. ( ) = | | ( ) = 1, > 0 与 1, ≤ 0表示同一函数
C.函数 ( ) = 2 + 4 1 的值域为( ∞,4]
D.定义在 R 上的函数 ( )满足 2 ( ) ( ) = + 1 ，则 ( ) = 3 + 1
10.已知函数 ( )是定义域为 的奇函数，当 > 0 时， ( ) = 2 2 ，则下列结论正确的是( )
A. (0) = 0
B. ( 1)是函数 ( )的最大值
C.当 < 0 时， ( ) = 2 + 2
D.不等式 ( ) > 0 的解集是( 2,0) ∪ (2, + ∞)
11.已知 ( )是 上的奇函数， ( + 2)是 上的偶函数，且当 ∈ [0,2]时， ( ) = 2 + 2 ，则下列说法正确
的是( )
A. ( )最小正周期为 4 B. ( 3) = 3
C. (2024) = 0 D. (2025) = 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若函数 ( )的定义域为[0,5] ( ) = (2 +1)，则函数 1 的定义域是 ．
13.若“ ∈ 2,1 , 2 + > 1”是假命题，则实数 的最大值为 ．
(5 ) + 3 2, < 1
14.已知函数 ( ) =
2 2 4 +5
的值域为 R，则 的取值范围是 ．
+ 1, ≥ 1
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
(1) 8
3
计算： + 10lg227 + log1 3 + log516 log2 5；9
(2)计算 lg2 2 + lg2 × lg50 + lg25 + lg0.01；
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1 1 1
(3) = 1 + 1已知 2 2 ，求 2+ 2+1的值．
16.(本小题 15 分)
已知全集 = ， = 2 + 6 < 0 ， = 12 < 2
< 8 ， = 2 + 1 < < 2 ．
(1)求 ( ∩ )；
(2)若( ∩ ) ，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
中华茶文化博大精深，实践表明，室温下用100 C 的水泡茶，等到茶水温度降至60 C 时，有最佳饮用口感，
茶水温度 ( C)适放置时间 (分钟)的活数关系式为 = + 20( ∈ R, 0 < < 1, ≥ 0)，由测试可知 =
0.9，经过 1 分钟后茶水的温度为92 C.
(1)求常数 的值；
(2)在室温下，刚泡的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(参考数据：lg3 = 0.48，lg2 =
0.30)
18.(本小题 17 分)
2 +
已知定义域为 的函数 ( ) = 2 + 是奇函数．
(1)求 ， 的值．
(2)判断函数 ( )的单调性，并用定义证明．
(3)当 ∈ [1,3]时， 2 + (2 1) > 0 恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + 4, ∈ , ( ) = ( ) ．
(1)当 = 2 时，求关于 的不等式 2 + 3 ≤ 4 + 1 的解；
(2)若对任意的 1 ∈ [ 1,1]，存在 2 ∈ [1,3]，使得 1 ≥ 2 成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(1,2]
13. 3
14.[0,5)
15. (1) ( 8
1 1 1 1 1
解： 计算 27 )
8 27 27 3 33：根据指数运算法则，可得( ) 3 327 = ( 8 ) ，即( 8 )3 = [( )
3]32 = 2．
计算10lg2：可得10lg2 = 2．
1
计算log1 3：设log1 3 = ( 1，根据对数的定义可得 9 )
= 3，即(3 2) = 3 2 = 12，则 2，解得 =
1
9 9 4
．
1
4 1lg5
计算log516 log
lg16 lg 5 lg2 lg52 4lg2 2
2 5：log516 log2 5 = lg5 lg2 = lg5 lg2 = lg5 lg2 = 2．
3 + 2 1 + 2 = 6+8 1+8 21将以上结果相加：2 4 4 = 4．
(2)计算(lg2)2 + lg2 lg50：
lg50 = lg(5 × 10) = lg5 + lg10 = lg5 + 1，则(lg2)2 + lg2 lg50 = (lg2)2 + lg2 (lg5 + 1) = lg2(lg2 +
lg5) + lg2．
又 lg2 + lg5 = lg(2 × 5) = lg10 = 1，所以 lg2(lg2 + lg5) + lg2 = lg2 × 1 + lg2 = 2lg2．
计算 lg25 + lg0.01：lg25 = lg52 = 2lg5，lg0.01 = lg10 2 = 2，则 lg25 + lg0.01 = 2lg5 2．
将两部分结果相加：2lg2 + 2lg5 2 = 2(lg2 + lg5) 2 = 2 × 1 2 = 0．
1 1 1 1
(3)对 2 2 = 1 两边平方，可得( 2 2)2 = 12，即 2 + 1 = 1，所以 + 1 = 3．
对 + 1 = 3 两边平方，可得( + 1)2 = 32，即 2 + 2 + 2 = 9，所以 2 + 2 = 7．
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1
将 + 1 = 3， 2 + 2 = 7 + 1 3 1 2 1代入 2+ 2+1，可得7+1 = 8 = 4．
16.解：(1) = 2 + 6 < 0 = 3 < < 2 ， = 1 < 2 2 < 8 = 1 < < 3 ，
∩ = 3 < < 2 ∩ 1 < < 3 = 1 < < 2 ，
∴ ( ∩ ) = ≤ 1,或 ≥ 2 ；
(2)由(1)得 ∩ = 1 < < 2 ，
2 + 1 < 2 ,
∵ ( ∩ ) ，∴ 2 + 1 ≤ 1, ∴ ≤ 1,
2 ≥ 2,
∴实数 的取值范围为( ∞, 1]．
17.解：(1)因为 = 0.9，所以 = 0.9 + 20，
根据题意可知：当 = 1， = 92，
代入到 = 0.9 + 20，
可得 92 = 0.9 + 20，
解得 = 80.
(2)结合(1)知， = 80 × 0.9 + 20，
结合题意，此时 60 = 80 × 0.9 + 20，
即0.9 = 12，
lg1
即 = log 1 2 lg20.9 2 = lg0.9 = 2lg3 1，
因为根据已知 lg3 = 0.48，lg2 = 0.30，
所以 = 0.32×0.48 1 = 7.5 分钟．
18.解：(1)因为 ( ) 1+ 在定义域为 上是奇函数，所以 (0) = 0，即 1+ = 0，
1+1
∴ = 1 1，又∵ ( 1) = (1)，即 21 = ，∴ = 1．
2+ 2+

( ) = 2 +1 = 2 +1 = 1+2
2 +1
则 2 +1 ，由 2 +1 1+2 = 2 +1 = ( )，
则当 = 1， = 1 原函数为奇函数．

(2)由(1) ( ) = 1 2 2知 1+2 = 1 + 2 +1，
1 2
任取 1, 2 ∈ ，设 1 < 2，则 2 1 =
2 2 2 2 2
2 2+1 2 1+1 = 2 1+1 2 2+1 ，
因为函数 = 2 在 上是增函数，∵ 1 < 2，∴ 2 1 2 2 < 0.又 2 1 + 1 2 2 + 1 > 0，
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∴ 2 1 < 0，即 2 < 1 ，∴ ( )在( ∞, + ∞)上为减涵数．
(3)因 ( )是奇函数，从而不等式： 2 + (2 1) > 0，
等价于 2 > (2 1) = (1 2 )，
因 ( )为减函数，由上式推得： 2 < 1 2 ．
2
即对一切 ∈ [1,3] 1 2 有： < 2 恒成立，设 ( ) =
1 2 = 1 1 2 2 ，
1 1
令 = , ∈ 3 , 1 ，则有 ( ) =
2 2 = 1 2 1, ∈ 13 , 1 ，
∴ ( )min = ( )min = (1) = 1，
∴ < 1，即 的取值范围为( ∞, 1)．
19.解：(1)由题设 ( ) = 2 2 + 4 = ( 1)2 + 3，则 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
由2 + 3 > 3, 4 + 1 > 1，且 2 + 3 ≤ 4 + 1 ，即2 + 3 ≤ 4 + 1，
所以22 2 2 = (2 + 1)(2 2) ≥ 0，可得2 ≥ 2，故 ≥ 1，
所以不等式的解集为[1, + ∞)；
(2)由题意， 1 ∈ [ 1,1]， 2 ∈ [1,3]上 1 min ≥ 2 min，
2
在[1,3] ( ) = +4 4 4上， = + ≥ 2 = 4 ，
当且仅当 = 2 时取等号，故 2 min = 4 ，
在[ 1,1]上， ( ) = 2 + 4, ∈ 的开口向上且对称轴为 = 2，

当2 ≤ 1 ≤ 2 时， ( )在[ 1,1]上单调递增，则 ( )min = ( 1) = 5 + ，
1
此时 5 + ≥ 4 ≥ 2，不符合前提；
当 1 < 2 < 1 2 < < 2 时， ( )

在[ 1, 2 )上单调递减，在( 2 , 1]上单调递增，
2
则 ( )min = ( 2 ) = 4

4 ，
2
此时 4 4 ≥ 4 0 ≤ ≤ 4，故 0 ≤ < 2；

当2 ≥ 1 ≥ 2 时， ( )在[ 1,1]上单调递减，则 ( )min = (1) = 5 ，
此时 5 ≥ 4 恒成立，即 ≥ 2；
综上， ≥ 0．
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