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2024-2025学年广西壮族自治区来宾市高一下学期5月期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.在中，角所对的边分别为，若，则一定是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形
6.已知直三棱柱的个顶点都在球的表面上，若，，，，则球的体积为( )
A. B. C. D.
7.设，，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方形中，分别为边的中点，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，则( )
A.
B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C.
D. 复数满足，则的最大值为
10.已知向量，，满足，，，则( )
A. B. 当时，
C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为
11.如图所示，在长方体中，若，、分别是、的中点，则下列结论中一定成立的是( )
A. 与垂直 B. 与所成的角大小为
C. 与平面所成角大小为 D. 直线与平面平行
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知水平放置的四边形按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是 ．
13.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑．位于河北省邯郸市的武灵丛台的主体建筑据胜亭图就是四角攒尖的代表，它的屋顶部分的轮廓可以近似看作如图所示的正四棱锥，其中底面边长约为米，顶点到底面的距离约为米，则据胜亭屋顶部分的体积约为 立方米．
14.如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，若与平行，求；
已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．
求
若的面积为，且，求．
17.本小题分
如图，在正四棱柱中，，．
求证：平面；
求证：平面；
求点到平面的距离．
18.本小题分
在锐角三角形中，角的对边分别为且．
求；
求三角形周长的取值范围；
求三角形面积的最大值．
19.本小题分
如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，为的中点，．
求证：平面；
求与平面所成角的正弦值；
是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为，
，
且与平行，
所以，解得，
所以，
所以．
已知与的夹角为，
所以，
因为与垂直，
所以，
所以．

16.解：由题意知，，
由正弦定理得，
因为，所以，
则，即，
又，所以．
因为的面积为，解得，
所以，
由余弦定理得，
所以．
17.因为所以是平行四边形，所以
平面，且平面，所以平面；
因为是正方形，所以得，
因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面；
设点到平面的距离为，
因为，所以，
，
所以，
故点到平面的距离为；
18.解：由正弦定理和三角形内角和等于得：，
则，因为角是三角形内角，所以，
所以，根据得：；
由正弦定理：，所以，
，
注意到，所以，
所以
所以
所以三角形周长的取值范围是；
由余弦定理得到，
所以，
当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值．
19.连接由是正方形可知，点为中点．
又为的中点，所以．
又面，面，
所以平面．
证明：由底面，底面，
，由是正方形可知，，
又，、平面，
平面，即就是所求角，
因为
故所正弦值为．
在线段上存在点，使平面理由如下：
取中点，连接，
在四棱锥中，，，
．
由可知，平面，而平面，
平面平面，且平面平面，
，平面，平面，
故在线段上存在点，使平面．
由为中点，得．

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