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2024-2025学年浙教版数学七年级下册期末复习试卷
满分为120分．考试时间为120分钟 ．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的。）
1 .要使分式有意义，x的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，
将0.000073用科学记数法表示为（　 　）
A． B． C． D．
下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ）
A．调查现代初中生主要娱乐方式 B．调查宁波市人民年人均收入
C．调查某班级50名学生的体育中考成绩 D．调查端午节期间市场上粽子的质量情况
4．下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若，，则等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
一次数学实践活动中，小鹏将一条对边互相平行的纸带沿折叠（如图），
若，，则为（ ）
A． B． C． D．
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．关于x的方程有增根，则m的值为（　　 ）
A． B．4 C． D．2
边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，
点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．39 C．61 D．68
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．已知，则 ．
12．如图，直线，的直角顶点C在直线b上，若，则的度数为 ．
13 .某校用简单随机抽样的方法调查了学生最喜爱的四种球类运动，
根据统计结果绘制成扇形统计图（如图），若样本中最喜欢乒乓球的有30人，
则最喜欢篮球的有 人．
14．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为 ．
在吉他弹奏中，不同的琴弦长度和绷紧力度会决定不同的音色，比如在相同的力度情况下，
运用长度比的琴弦时，进行敲击，会发出、、这三个调和的乐音．
从数学角度看，会发现这样一个规律，我们把、、称之为一组调和数，
若以下有一组调和数：x、5、，那么x = ．
起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．
图是一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：
第一步将长方形纸条沿折叠，使点落在点的位置上，与交于点（如图）．
第二步将纸条沿折叠，使点，分别落在直线的右侧点，的位置上（如图）．
若，，则 ．
解答题（本题有8题，17-21题每小题8分，22，23题， 每小题10分，24题12分，共72分，
解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17.计算和化简：
(1)；
(2)．
18．解方程（组）：
(1)；
(2)．
19．先化简代数式，再选择一个你喜欢的数代入求值．
为增强学生安全意识，某校举行了一次全校名学生参加的安全知识竞赛，
从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级
（A：；B：；C：；D：），
并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，并补全频数分布直方图；
(2)扇形统计图中等级所在扇形的圆心角为______度；
(3)若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
21． 阅读下面的材料， 解答问题．
解方程 ： ．
解： 设 ， 则原方程化为 ，
方程两边同时乘 ， 得 ，
解得 ．
经检验， 都是方程 的根．
当 时， ， 解得 ；
当 时， ， 解得 ．
经检验， 或 都是原分式方程的根，
原分式方程的根为 或 ．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
（1） 若在方程 中， 设 ， 则原方程可化为 　 　
（2） 若在方程 中， 设 ， 则原方程可化为　 　
（3） 利用上述换元法解方程 ．
22. 如图，边长为a、b的正方形紧贴摆放．设阴影面积为S．
(1)如图1，S的值是否与a有关？请说明理由；
(2)如图2，若，求S的值；
(3)如图3，若，求的值．
23.下面的框中有一道应用题，但缺了一个条件．现有两个条件：
①如果买2个篮球和6个足球共需480元；
②如果买3个篮球和4个足球共需460元；
请你任选一个条件补充在下面的横线上（填序号），并按你补充的条件解答（1）（2）两问．
注意：如果选择两个条件分别作答，按第一个解答计分．
某体育用品店售卖一批篮球和足球．如果篮球与足球各买1个共需140元；________（1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？（2）营业员在月底结算时发现售卖一个篮球获得的利润是售卖一个足球获得利润的倍．该店在这个月售卖了40个篮球和52个足球，共获利816元，求一个篮球和一个足球的进价各是多少元？（利润售价进价）
24．综合与实践
【探索发现】
（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】
如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，
交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】
如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，
若，，．求的度数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年浙教版数学七年级下册期末复习试卷解答
满分为120分．考试时间为120分钟 ．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的。）
1 .要使分式有意义，x的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．据此列式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴．
故选C．
自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，
将0.000073用科学记数法表示为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】0.000073用科学记数法表示为 。
故答案为：D。
下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ）
A．调查现代初中生主要娱乐方式 B．调查宁波市人民年人均收入
C．调查某班级50名学生的体育中考成绩 D．调查端午节期间市场上粽子的质量情况
【答案】C
【分析】本题考查了全面调查和抽样调查的区别，熟练掌握全面调查和抽样调查的概念是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，根据以上原则逐项判断即可．
【详解】解：A、调查现代初中生主要娱乐方式适宜采用抽样调查，不符合题意；
B、调查宁波市人民年人均收入适宜采用抽样调查，不符合题意；
C、调查某班级50名学生的体育中考成绩适宜采用全面调查，符合题意；
D、调查端午节期间市场上粽子的质量情况适宜采用抽样调查，不符合题意；
故选：C．
4．下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义解答．
【详解】解：中不是整式，故A选项不符合题意；
是整式乘法计算，故B选项不符合题意；
是因式分解，故C选项符合题意；
不是分解为整式的乘积形式，故D选项不符合题意；
故选：C．
5．已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把，代入方程得：，
移项合并得：，
解得：，
故选：．
6．若，，则等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键. 将两边同时平方，然后根据完全平方公式的变形进行求解即可.
【详解】解：∵，，
∴，
即，
∴，
故选B
一次数学实践活动中，小鹏将一条对边互相平行的纸带沿折叠（如图），
若，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出，，根据折叠可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵折叠，
∴
∴，
故选：C．
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两种测量方式各列一个方程，组成方程组即可．
【详解】解：由题意得
．
故选B．
9．关于x的方程有增根，则m的值为（　　 ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】由分式方程有增根，得到，求出x的值，将原方程去分母化为整式方程，将x的值代入即可求出m的值．
【详解】解：∵分式方程有增根，
∴，即，
分式方程，
去分母得，
将代入中，
得：，
解得：，
故选：C．
边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，
点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．39 C．61 D．68
【答案】B
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，先根据用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入，计算即可．
【详解】解：由图可知：，
正方形边长为a，正方形边长为b，
，
，
，
，
，
将，代入得：
，
故选：B．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．已知，则 ．
【答案】8
【分析】根据同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12．如图，直线，的直角顶点C在直线b上，若，则的度数为 ．
【答案】50°/50度
【分析】如图：由平行线的性质可得，然后根据平角的性质可得即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为50°．
13 .某校用简单随机抽样的方法调查了学生最喜爱的四种球类运动，
根据统计结果绘制成扇形统计图（如图），若样本中最喜欢乒乓球的有30人，
则最喜欢篮球的有 人．
【答案】24
【分析】本题考查了从扇形统计图中获取信息，由扇形统计图得最喜欢乒乓球的有30人占，可求出调查学生的总人数，然后用总人数乘以最喜欢篮球所占百分比即可．
【详解】解∶，
∴最喜欢篮球的有24人．
故答案为∶24．
14．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为 ．
【答案】
【分析】利用整体的思想求解即可．
【详解】解：
①+②得
∴
∵
∴
解得
故答案为：3
在吉他弹奏中，不同的琴弦长度和绷紧力度会决定不同的音色，比如在相同的力度情况下，
运用长度比的琴弦时，进行敲击，会发出、、这三个调和的乐音．
从数学角度看，会发现这样一个规律，我们把、、称之为一组调和数，
若以下有一组调和数：x、5、，那么x = ．
【答案】
【分析】根据题中的新定义和x的取值范围列分式方程并求解即可．
【详解】解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
经检验是分式方程的解且符合题意，
故答案为：15．
起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．
图是一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：
第一步将长方形纸条沿折叠，使点落在点的位置上，与交于点（如图）．
第二步将纸条沿折叠，使点，分别落在直线的右侧点，的位置上（如图）．
若，，则 ．
【答案】/28度
【分析】本题主要考查了长方形的性质，轴对称的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握并灵活运用上述知识点是解题的关键．
由长方形的性质及平行线的性质可证得，由长方形的性质，轴对称的性质及平行线的性质可证得，，然后根据的内角和等于即可求得的度数．
【详解】解：四边形是长方形，
，，
，，
根据轴对称的性质可知：，，
，
，
，
在中，，
即，
，
故答案为：．
解答题（本题有8题，17-21题每小题8分，22，23题， 每小题10分，24题12分，共72分，
解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17.计算和化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先算乘方，零指数幂和负指数幂，再算加减法；
（2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项．
【详解】（1）解：
；
（2）
18．解方程（组）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)原方程无解．
【分析】本题考查解二元一次方程组及分式方程，熟练掌握解方程组及方程的方法是解题的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为；
（2）解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
则是分式方程的增根，
故原方程无解．
19．先化简代数式，再选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】，当时，原式为．
【分析】本题主要考查分式的运算，分式有意义的条件，掌握分式的运算法则是解题的关键，
根据分式的运算法则进行化简，再代入a的值求值即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
∴当时，原式．
为增强学生安全意识，某校举行了一次全校名学生参加的安全知识竞赛，
从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级
（A：；B：；C：；D：），
并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，并补全频数分布直方图；
(2)扇形统计图中等级所在扇形的圆心角为______度；
(3)若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
【答案】(1)，，补图见解析
(2)
(3)人
【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用频数分布直方图中等级的人数除以扇形统计图中的百分比可得的值；用等级的人数除以的值再乘以可得，即可得的值，求出组的人数，补全频数分布直方图即可；
（2）用乘以扇形统计图中的百分比，即可得答案；
（3）根据用样本估计总体，用乘以扇形统计图中的百分比，即可得答案．
【详解】（1）解：（1）由等级人数为，占抽取总人数百分比为，
得抽取总人数为，
∴等级占抽取总人数百分比为，
∴，
组的人数为（人），
补全频数分布直方图如图所示：
故答案为：，；
（2）扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）（人），
∴估计该校参加竞赛的名学生中达到“优秀”等级的学生人数约人．
21． 阅读下面的材料， 解答问题．
解方程 ： ．
解： 设 ， 则原方程化为 ，
方程两边同时乘 ， 得 ，
解得 ．
经检验， 都是方程 的根．
当 时， ， 解得 ；
当 时， ， 解得 ．
经检验， 或 都是原分式方程的根，
原分式方程的根为 或 ．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
（1） 若在方程 中， 设 ， 则原方程可化为 　 　
（2） 若在方程 中， 设 ， 则原方程可化为　 　
（3） 利用上述换元法解方程 ．
【答案】（1）
（2）
（3）解：原方程可化为 ，设 ， 则原方程化为 ，方程两边同时乘 ， 得 ，解得 ．
经检验， 都是方程 的根．当 时， ，该方程无解；当 时， ， 解得 ．经检验， 是原分式方程的根， 原分式方程的根为 ．
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：（1）整理方程 ，得.
将 代入到上述整理后的方程，得.
故答案为：；
（2）整理方程 ，得.
将 代入到上述整理后的方程，得.
故答案为：.
【分析】（1）（2）适当整理方程，然后根据题意换元即可；
（3）先将原方程整理成 ，然后以进行换元，解出y值，根据y值的不同求出对应的x值. 同样地，注意要验根.
22. 如图，边长为a、b的正方形紧贴摆放．设阴影面积为S．
(1)如图1，S的值是否与a有关？请说明理由；
(2)如图2，若，求S的值；
(3)如图3，若，求的值．
【答案】(1)无关，理由见解析；
(2)；
(3)10．
【分析】此题考查列代数式，整式的混合运算，以及因式分解的实际运用，
求得两个阴影部分的面积是解决问题的关键．
(1)利用两个正方形的面积减去空白部分的面积列式即可；
(2)把，整体代入S的代数式求得数值即可；
(3)首先将S进行平方，然后根据完全平方公式得出各式的值代入即可得出答案．
【详解】（1）解：S的值与a无关，理由如下：由题意知：
，
∴S的值与a无关．
（2）（2）∵，
∴
（3）解：，
∴，
，
，
，
，
∴．
23.下面的框中有一道应用题，但缺了一个条件．现有两个条件：
①如果买2个篮球和6个足球共需480元；
②如果买3个篮球和4个足球共需460元；
请你任选一个条件补充在下面的横线上（填序号），并按你补充的条件解答（1）（2）两问．
注意：如果选择两个条件分别作答，按第一个解答计分．
某体育用品店售卖一批篮球和足球．如果篮球与足球各买1个共需140元；____________（1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？（2）营业员在月底结算时发现售卖一个篮球获得的利润是售卖一个足球获得利润的倍．该店在这个月售卖了40个篮球和52个足球，共获利816元，求一个篮球和一个足球的进价各是多少元？（利润售价进价）
【答案】选择条件①：（1）一个篮球的售价是90元，一个足球的售价是50元．（2）一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元，
（1）一个篮球的售价是100元，一个足球的售价是40元．（2）一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于找到等量关系列出方程．
任选一个条件补充解答，
（1）设一个篮球的售价是元，一个足球的售价是元，然后根据等量关系列出方程求解即可；
（2）设卖一个足球获得利润为a元，卖一个篮球获得的利润为元，根据卖了40个篮球和52个足球，共获利816元，列方程求解即可．
【详解】选择条件①
解：（1）设一个篮球的售价是元，一个足球的售价是元，
依题意得：，
解得．
答：一个篮球的售价是90元，一个足球的售价是50元．
（2）设卖一个足球获得利润为a元，卖一个篮球获得的利润为元，
∴
∴，
即设卖一个足球获得利润为8元，卖一个篮球获得的利润为元，
∴一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元，
答：一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元，
选择条件②
解：（1）设一个篮球的售价是元，一个足球的售价是元，
依题意得：，
解得．
答：一个篮球的售价是100元，一个足球的售价是40元．
（2）设卖一个足球获得利润为a元，卖一个篮球获得的利润为元，
∴
∴，
即设卖一个足球获得利润为8元，卖一个篮球获得的利润为元，
解得
∴一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元，
答：一个篮球的进价为元，一个足球的进价为元，
24．综合与实践
【探索发现】
（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】
如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，
交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】
如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，
若，，．求的度数．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【分析】本题考查了三角形外角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的有关计算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．
探索发现：小刚的方法：先证，根据平行线的性质得，，据此即可得出结论；
小红的方法：先由得，再根据三角形的外角定理得，据此即可得出结论；
深入思考：先根据三角形的外角定理得，再根据得，然后根据平行线的判定可得出结论．
拓展延伸：设，则，进而可得，根据在（2）的条件下，得，由此解出，设，则，再根据得，进而得，然后根据在（2）的条件下得，则，由此得，据此求出即可得到的度数．
【详解】解：探索发现：（1）
小刚的证明如下：
过点作，
，
，
，
，
即；
小红的证明如下：
延长交于点，
，
，
是的一个外角，
，
即；
【深入思考】（2）证明：是的一个外角，
，
，
，
；
【拓展延伸】（3）解：平分，，
，
设，
，
，
在（2）的条件下，
，
，
解得：，
，
设，
平分，
，
，
，
，
，
在（2）的条件下，
，
，
即，
解得：，
．
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