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2024-2025学年广西“名校联盟”高一下学期5月联合模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的向量，则( )
A. B. C. D.
3.已知空间中两条直线，及平面，且满足，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知非零向量满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图，某观察站在城的南偏西的方向，由城出发的一条公路走向是南偏东，在处测得公路上距处的处有一人正沿公路向城走去，走了之后到达处，此时，间的距离为要达到城，这个人还要走( )
A. B. C. D.
8.在四面体中，，平面平面，则该四面体外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为的直角三角形，则( )
A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为
C. 该圆锥的侧面积为 D. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为
10.如图，在正方体中，点是线段上一动点，则( )
A. 当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为
B. 平面
C. 随着的长度变长，直线与平面所成角先变小再变大
D.
11.已知函数定义域为，是奇函数，，函数在上递增，则下列命题为真命题的是( )
A.
B. 函数在上递减
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，若，则 ．
13.当时，曲线与的交点个数为 ．
14.已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，．
证明：平面；
求三棱锥的体积．
16.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及单调递增区间
求函数在区间上的值域．
17.本小题分
如图，矩形中，，，为的中点，把沿翻折，满足．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ求二面角的余弦值．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若为的中点，且，求的最大值．
19.本小题分
若函数在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
当定义域为，试判断是否为“局部奇函数”；
若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；
已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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8.
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10.
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12.
13.
14.
15.证明：连接，设，连接，
是正三棱柱的侧面，
为矩形，
是的中点，
是的中位线，
，
又平面，平面，
平面．
因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为，，侧面为矩形，
所以三棱锥的体积．
16.解：函数
，
，
的最小正周期是，
由可得：，
故函数的单调递增区间是：．
，
，
故函数在区间上的值域为：．
17.解：Ⅰ证明：由已知可得，在中，满足，
所以，
且，
，平面，
所以平面，
又因为平面，
故平面平面；
Ⅱ连结，取中点，连结，
，过作交于点，连结，
平面平面，平面平面，平面，
故D平面，
又平面，
，
又，，平面，
故AC平面，
又因为平面，
故AC，
故就是二面角的平面角，
又因为．
，
故D，
故可得．

18.解：已知，根据二倍角公式，将其进行化简：
即
即．
即．
由正弦定理边角互化可得：．
再根据余弦定理，将代入可得：
因为，所以．
因为为的中点，所以．
在中，根据余弦定理可得．
在中，根据余弦定理可得．
因为，所以，即：
，化简得．
又因为第一问已求得，所以可得：
，即．
根据基本不等式当且仅当时取等号，
则有：，即，当且仅当时取等号．
则的最大值为．

19.解：因为，
所以，
由得，
令，
而存在一根，
即存在，使得，
所以是“局部奇函数”．
由题意知，在上有解，
即在上有解，
在上有解，
令
所以在上有解，
令，
当时，
即，解得，
此时在上必有零点，
所以；
当时，
在上有零点必须满足
即
解得．
综上：．
由题意知，，在上都有解，
即，
在上都有解，
即，在上都有解，
令，令，
由题意知在上的值域包含，
由复合函数的性质可知，在上单调递减，
所以
即
解得，
综上：．
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