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2024-2025学年广东省清远市佛冈县高中联考高一下学期6月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.四川省成都市年到年常住人口变化图如图所示，则这年的常住人口的第百分位数为( )
A. 万 B. 万 C. 万 D. 万
2.定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度来判断降雨程度；其中小雨，中雨，大雨，暴雨；小明用一个圆锥形容器如图接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级( )
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
3.若复数满足且，则必为( )
A. 实数 B. 纯虚数 C. D. 任意复数
4.已知为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
5.已知四边形是边长为的正方形，在斜二测画法下，其直观图的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
7.若，则下列各式中不正确的是( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，是棱的中点．则下列说法正确的是( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 为等腰直角三角形
C. 直线与平面所成角的正弦值等于
D. 直线与平面相交
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，下列式子与的值相等的有( )
A. B.
C. D. 为的外接圆半径
10.已知向量，，，设的夹角为，则( )
A. B. C. D.
11.已知向量若，则( )
A. B.
C. 在方向上的投影向量为 D. 与反向的单位向量是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的内角的对边分别为，若，，，则 ．
13.已知向量，满足，，，则 ；
14.已知两条直线，，两个平面，，给出下列四个说法：
，，；
，，；
，；
，，，
其中正确的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，．
求的值；
若，求的长．
16.本小题分
若复数，当实数为何值时
是实数；
是纯虚数；
对应的点在第二象限
17.本小题分
如图，在凸四边形中，，．
求证：；
若，求四边形面积的最大值．
18.本小题分
如图是位居民月均用水量的频率分布直方图，并据此回答下列问题．
月均用水量在范围内的居民有多少人？
请估计居民月均用水量的众数；
请估计居民月均用水量大于等于的概率．
19.本小题分
如图，扇形的面积为，且．
求．
若，且，求，的值．
在弧上是否存在点不与重合，使得若存在，求的值；若不存在，请说出理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，所以由正弦定理得；
因为，，所以
由余弦定理得
16.解：由题意：
或，
当或时，是实数．
当时，是纯虚数．
当时，对应的点在第二象限．
17.因为，所以，
由，则，
根据正弦定理得，则，
又根据余弦定理，
所以，
即，
再由正弦定理得，
即，
则，
所以，
因为，则，
所以或，
得或舍，
故；
根据，又，
所以，所以，，
所以，且，
在中，，
根据余弦定理，
即，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以四边形面积的最大值为．
18.由频率分布直方图可知，月均用水量在范围内的居民有人．
由频率分布直方图可知，居民月均用水量的众数为．
由频率分布直方图可知，居民月均用水量大于等于的概率为．
19.由题意可得，，则．
因，则，则，
因，则，
解得，．
设存在，
以为原点，所在直线为轴，和垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，
则由，可得，即
则，
即，得或，
因，则，则，则，
故存在，使得．

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