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2024-2025 学年广东省深圳大学附属中学、东莞中学松山湖学校高一下
学期第二次检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. + + =( )
A. 0 B. 0 C. 2 D. 2
2 i = 1 + 2i i.已知复数 满足： ，则 =( )
A. 15+
2i B. 1 2i5 5 5 C.
1
5 +
2i
5 D.
1 2i5 5
3.在 中， = 2, = 3, = 4，则 的面积为( )
A. 3 11 21 3 154 B. 4 C. 4 D. 4
4.已知两个不同的平面 , ，一条直线 ，下列命题是假命题的是( )
A.若 /\ !/ , /\ !/ ，则 /\ !/ B.若 ⊥ , ⊥ ，则 /\ !/
C.若 /\ !/ , ⊥ ，则 ⊥ D.若 ⊥ , /\ !/ ，则 ⊥
5.如图，在平面直角坐标系中，四边形 是直角梯形，∠ = 90°， /\ !/ , = 2 = 2， = 2，
若四边形 的斜二测直观图为 ′ ′ ′ ′，则直观图中四边形 ′ ′ ′ ′的周长为( )
A. 3 + 2 + 3 B. 2 + 2 + 3 C. 3 + 2 D. 3 + 3
6.如图，将绘有函数 ( ) = sin(π + )( > 0,0 < < )部分图像的纸片沿 轴折成直二面角，此时 ，
之间的距离为 7，则 =( )
A. π π 5π 5π4 B. 3 C. 12 D. 6
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7.如图，在平行六面体 1 1 1 1中，点 是 1上靠近 的三等分点，直线 交平面 1 1于点 ，

则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 52 3 4 D. 6
8.如图，在 中，∠ = π2 , , 分别是 上的三等分点，记∠ = , ∠ = , ∠ = ，则
sin
sin sin =( )
A. 3 3 B. 3 C. 2 3 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A.在 中，“ > ”是“sin > sin ”的既不充分也不必要条件
B.若 , 是非零向量，则“ = ”是“ = ”的必要不充分条件
C.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
D.用一个平面去截正方体，在正方体表面形成的截面形状不可能是正五边形
10.在圆锥 中，底面直径 为 2 3，母线长为 2． 为底面圆周上任意一点，则( )
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的外接球表面积为 16π
C. 的面积最大值为 3
D.若 = 2，则点 到平面 的距离为 2
11.对于复数 , 是 的共轭复数，| |是 的模，则下列说法正确的是( )
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A.对任意复数 , 2 + ( )2一定是实数
B.对任意复数 , 3 ( )3一定是纯虚数
C.对任意复数 , 3 + ( )3一定是实数
D.若| | + + = 0，则| + 2 3| + | + 3 + i|的最小值为 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1,2), = (2, )，且 ⊥ ，则| | =
13 7 3.已知正三棱台 1 1 1中，上底面边长为 3，下底面边长为 2 3，该几何体的体积为 4 ，则该
几何体的侧棱长为 ．
14.在圆心在原点的单位圆上，有三个不同的点 ， ， ， 为直径， = 1，点 (1, 1)，则| + 2 +
|的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， ， 分别为 , 1 1的中点．
(1)求证： //平面 1 1；
(2)求证： ⊥平面 1 1 ．
16.(本小题 12 分)
在平行四边形 中，已知 = 1, = 2，点 为 上一点，点 为 上一点，满足 = , =
. 1 1当 = 2时， = 6．
(1)求 的值；
(2)当 取最小值时，求| |．
17.(本小题 12 分)
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 2 cos 2 cos + = 0．
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(1)求证：tan = 3tan ；
(2)若 tan = 2, = 4，求 和 的面积．
18.(本小题 12 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中，∠ =
π
2 , 1 = 2 ，点 是线段 1的中点．
(1)求证：平面 ⊥平面 1 1
(2) π若∠ 1 = 3 , = 1，求二面角 1 的正弦值．
19.(本小题 12 分)
在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一
平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．请根据以上信息，解决下列
问题：在三棱锥 中，若 + 2 + 3 = 0，则称这样的三棱锥为完美三棱锥．
(1)在三棱锥 中， ⊥ , ⊥ , ⊥ ，求证：该三棱锥是完美三棱锥；
(2)已知三棱锥中， 为正三角形， = = 2．
①若 = = 2 2，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由；
②若 = 3，且该三棱锥 为完美三棱锥，求二面角 的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 5
13. 2
14. 4 2 3, 4 2 + 3
15.(1)连接 1，在正方体 1 1 1 1中， ， 分别为 , 1 1的中点，
因为 // 1 1, = 1 1，所以 // 1 , = 1 ，
则四边形 1是平行四边形，可得 // 1，
又因为 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 //平面 1 1；
(2)因为在正方体 1 1 1 1中， ⊥平面 1 1，
而 1 平面 1 1，所以 ⊥ 1，
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又因为在正方形 1 1中， 1 ⊥ 1
且 ∩ 1 = , , 1 平面 1 1 ，
所以 1 ⊥平面 1 1 ，
由(1)可知， // 1，
所以 ⊥平面 1 1 ．
16.(1)
= 1 1 1当 2时，
= 2 ,
= 2 ，
可得 = + = + 1 ， = + = 1 + 2 2
，
= ( + 1 ) ( 1 2 2 +
) = 16，
1
化简得
2
+ 1
2
2 2 +
5
4
= 16，
∵ = 1, = 2,带入解得 = 43．
(2)由题意可得 = + ， = (1 ) + ，

= ( + ) ((1 ) + ) = (1 ) 2 + 2 + ( 2 + 1)
由(1)可知 = 1, = 2, = 43．
带入得∴ = (1 ) + 2 + ( 2 + 1) ( 4 ) = 4 2 1 13 3 3 3，
设 ( ) = 4 2 4 13 + 3 3，对称轴为 = 8，可知在(0,
1
8 )上 ( )
1
单调递减，在( 8 , 1)上 ( )单调递增，
1 1
则在(0,1)上 = 时取最小值，此时| | = | 8 8
| = 28 ．
17.(1)由 2 cos 2 cos + = 0 及正弦定理，得 2sin cos 2sin cos + sin = 0，
即 2sin cos 2sin cos + sin( + ) = 0，整理得 3sin cos cos sin = 0，
在 中，cos cos ≠ 0，所以 tan = 3tan ．
(2)由(1)知，tan = 3tan ，则 , 都为锐角，
tan( + ) = tan +tan = 4tan 1 tan tan 1 3tan2 = tan = 2，
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整理得 3tan2 2tan 1 = 0，解得 tan = 1, tan = 3 π，则 = 4；
sin = 3cos
由 sin2 + cos2 = 1，解得 sin =
3 sin = 2cos sin = 210，由 sin2 + cos2 = 1，解得 5，

由正弦定理得sin = sin = 2 5，则 = 2 5sin = 10，
所以 的面积 =
1 sin = 12 2 × 10 × 4 ×
3
10 = 6．
18.(1) ∵三棱柱 1 1 1为直三棱柱，∴ 1 ⊥ , 1 ⊥ 1 1．
∵ 1 = 2 = 2 1 1，点 是线段 1的中点，∴ = 1 1 = = 1 ，
∴ , △ 1 1 为等腰直角三角形，故∠ = ∠ 1 =
π
1 4，
∴ ∠ 1 =
π
2，即 1 ⊥ ．
∵在直三棱柱 1 1 1中，∠ =
π
2，∴ ⊥ , 1 ⊥ ，
∵ ∩ 1 = ， , 1 平面 1 1，∴ ⊥平面 1 1，
∵ 1 平面 1 1，∴ ⊥ 1 ，
∵ ∩ = ， , 平面 ，∴ 1 ⊥平面 ，
∵ 1 平面 1 1，∴平面 ⊥平面 1 1．
(2)
∵四边形 1 1为矩形，点 是线段 1的中点，∴ = 1，
∵ ∠ 1 =
π
3，∴ 1为等边三角形，故 = 1 = 1 = 1 = 2 = 2．
1
由题意得， ⊥ ， = 2 1 = 1，∴ =
2 2 = 4 1 = 3，
∵ ∠ = π2，∴ = 3 1 = 2．
如图，过 1作 1 ⊥平面 ，垂足为 ，连接 ， 1 ．
由(1)得，平面 ⊥平面 1 1，
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∵ 1 ∈平面 1 1，∴平面 ∩平面 1 1 = ．
∵ 1 1// ， 平面 ， 1 1 平面 ，∴ 1 1//平面 ，
∴ 1到平面 的距离等于 1到平面 的距离，
∵ 1 ⊥平面 ， 1 ⊥平面 ，∴ 1 = 1 , 1 // 1 ，
∵ 面 ，∴ 1 ⊥ ，
∴四边形 1 1 为矩形，故 = 1 1 = = 2， // 1 1// ．
由 ⊥平面 1 1， 平面 1 1，∴ ⊥ ，故 ⊥ ．
由 ⊥ ， 1 1// 得 1 1 ⊥ ，
由(1)知， 1 ⊥ ，
∵ 1 ∩ 1 1 = 1， 1 , 1 1 平面 1 1，∴ ⊥平面 1 1，
∵ 1 平面 1 1，∴ ⊥ 1 ，故∠ 1 为二面角 1 的平面角，
1
在 1 1 中， 1 = 2 1 = 1 1 = 1, 1 ⊥ 1 1，∴ 1 = 1 = 2．
π
由 1 ⊥ ， = 1 = 2，得 1 为等腰直角三角形，即∠ 1 = 4，
∴ π 2二面角 1 的正弦值为 sin 4 = 2 ．
19.(1)由题意结合空间向量的线性运算化简得 + 2 + 3 =
+ 2 + 3 ，
= 2 3 + 5 ，
因为 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，所以 = 0, = 0, = 0，
即 + 2 + 3 = 2 3 + 5 = 0，
故该三棱锥是完美三棱锥，
(2)该三棱锥不是完美三棱锥，
① 为正三角形， = = 2，故 = 2 × 2 × 12 = 2， = = 2 = = ，又 = =
2 2，
得到 2 + 2 = 2，由勾股定理逆定理得 ⊥ ，
即 = 0，同理可得 = 0，
所以 + 2 + 3 = 2 3 + 5 = 4 ≠ 0，
则该三棱锥不是完美三棱锥．
②如图，以 为原点建立空间直角坐标系，则 (2,0,0), 1, 3, 0 ，
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= 3 4+4 9因为 ，由余弦定理得 cos∠ = 8 =
1
8，
所以 = 1 2， = 2，
因为该三棱锥 为完美三棱锥，
所以 + 2 + 3 =，
2 3 + 5 = 4 + 32 + 20cos∠ = 0，
2
解得 cos∠ = 1 4+4 18，由余弦定理得 cos∠ = 8 = 8，解得 = 7，
1
2 = 2 + 2 + 2 = 4 = 4
设 ( , , )， 2 = ( 2)2 + 2 + 2 = 9，解得 = 3 ,
2 4
2 = ( 1)2 + 3 + 2 = 7 = 154
1 , 3 , 15即 4 4 4 ，设平面 的一个法向量 = 1, 1, 1 ，
= 1 + 3 1 = 0
则 ，不妨取
= 1 + 3 + 15 = 0 1
= 3，则 = 3, 1,0 ，
4 1 4 1 4 1
= 2 + 3 2 = 0
设平面 的一个法向量 = 2, 2, 2 ，则 = 9 3
,
4 2 + 4 +
15
2 4 2 = 0
8 2 15
不妨取 2 = 3，则 = 3, 1, 15 ，则 cos , = = 17，2
2× 2+ 815
15
由图可知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为17．
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