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北京市西城区2025年中考二模数学试题
2025.5
考生须知 1．本试卷共7页，共两部分，28道题。满分100分。考试时间120分钟。 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是一个立体图形的三视图，则该立体图形是
（A）圆锥
（B）圆柱
（C）长方体
（D）球
2.如图，两个直角三角形的直角顶点O重合，如果∠AOD＝128°，那么∠BOC的大小为
（A）38° （B）52°
（C）60° （D）62°
3.“双碳”目标战略为中国汽车工业带来了新的生命力，截至2023年底，全国新能源汽车保有量约为辆，根据新能源汽车产业规划目标，预计到2033年底，新能源汽车保有量将会是2023年底的5倍，达到约m辆，则m的值是
（A） （B） （C） （D）
4. 为了解某校1500名学生每天在校参加体育锻炼的情况，下列抽样调查方式中最合适的是
（A）随机抽取某个班的全体学生
（B）每个年级各推荐20名学生
（C）上体育课时，在操场上随机抽取25名学生
（D）将全校的学生名字输入电脑程序，在电脑中随机抽取100名学生
5. 六边形的内角和是
（A）360° （B）540° （C）720° （D）1080°
6. 如图，数轴上的点A，B表示的数分别是a，b.如果ab＜0，那么下列结论中一定正确的是
（A）a＋b＝0 （B）|a|＞|b| （C）b－2a＞0 （D）
7. 反比例函数的图象上横、纵坐标都是整数的点的个数是
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
8. 一组对边平行且另一组对边不平行的四边形称为梯形.若梯形中不平行的两边相等，则称这样的梯形为等腰梯形. 如图，点E，F，G，H分别是等腰梯形ABCD各边的中点，顺次连接E，F，G，H得到四边形EFGH.点K，L，M，N分别是四边形EFGH各边的中点，顺次连接K，L，M，N得到四边形KLMN.以下四个结论：
①四边形EFGH是菱形；
②连接FH，则2FH＝AD＋BC；
③四边形EFGH的面积等于四边形KLMN面积的4倍；
④四边形KLMN周长的平方不小于梯形ABCD面积的4倍.
上述结论中，所有正确结论的序号是
（A）①④ （B）②③ （C）①②④ （D）①②③④
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______.
10. 分解因式：＝______.
11. 在平面直角坐标系xOy中，点（2，1）关于x轴对称的点的坐标是_____.
12. 写出一个比大且比小的整数：_____.
13. 方程的解为_____.
14. 2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》，其中天坛、正阳门、故宫、鼓楼都是中轴线上的著名景点. 小明和小华分别随机选择这四个景点中的任意一个去参观，则他们选择参观同一个景点的概率是____.
15. 如图，在□ABCD中，点E是BC上一点，延长AE，DC交于点F. 若AD＝3CE，△ECF的面积为6，则△ABE的面积为____.
16.小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场.已知小林停车时间不超过24小时.
甲停车场收费标准是：
停车时长t（单位：小时） 0＜t≤1 1＜t≤3 3＜t≤6 6＜t≤9 9＜t≤12 12＜t≤24
收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24
乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）.
（1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是___元；
（2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为____小时.
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17.计算：.
18．解不等式组：
19.已知，求代数式的值.
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，点F是AC上一点，且CF＝AE，连接EF.
（1）求证：四边形CDEF是矩形；
（2）连接DF，若AF＝3，sinB＝，求DF的长.
21. 关于x的方程.
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两个根都是整数，求正整数m的值.
22. 在平面直角坐标系xOy中，函数y＝2x＋m和函数y＝mx（m≠0）的图象相交于点A.
（1）当m＝4时，求点A的坐标；
（2）当时，对于x的每一个值，函数y＝2x＋m的值都大于函数y＝mx（m≠0）的值，直接写出m的取值范围.
23. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）．
（1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a.甲款软件评分：
60 60 70 70 72 75 80 80 80 80
80 80 81 81 81 82 82 85 90 91
b.乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组50≤x＜60，第2组60≤x＜70，第3组70≤x＜80，第4组80≤x＜90，第5组90≤x≤100）
c.甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下：
软件 平均数 中位数 众数
甲 78 80 m
乙 78 n 72
根据以上信息，解答下列问题：
①m的值为______，n的值位于乙款软件评分的第_____组；
②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足90≤x≤100的约为_____个；
（2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下：
维度1 维度2 维度3 维度4
甲 94 k 92 93
乙 91 93 93 92
①乙款软件的评分为______；
②若甲款软件的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为______．
24. 如图，⊙O为△ABC的外接圆，点A为的中点，⊙O的切线AD交BO的延长线于点D，BD交AC于点E. 连接OA，OC，且∠AOC＝2∠AED.
（1）求证：∠DAE＝∠AED；
（2）若AD＝1，求BC的长.
25. 小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班. 已知小明家到幼儿园的路程为8 km，幼儿园到小明妈妈单位的路程为3 km，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）P与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程S1（单位：km）和S2（单位：km）的部分数据：
P 0% 10% 20% 40% 60% 80% 100%
S1 0 3 7 15 23 31 39
S2 0 2 4 9 15 22 30
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画S1与P，S2与P之间的关系.在给出的平面
直角坐标系中，补全这两个函数的图象；
（2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题：
①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶____km（结果精确到0.1）；
②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车____（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园；
③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为____（精确到1%）．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A(3，3).
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）已知和是抛物线上的两个点，且n＞m总成立，求的取值范围.
27. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝2α (0°＜α＜90°)，点D为边BC上一点（BD＞CD），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转2α得到线段AE，连接ED交AC于点F，连接CE.
（1）求证：CA平分∠BCE；
（2）若点M，N，H分别为BC，DE，DF的中点，连接MH，补全图形，用等式表示线段MH与NH之间的数量关系，并证明.
28. 给定线段MN和位于直线MN同一侧的两点P，Q，若在线段MN上（不含端点M，N）存在点K，使得∠PKM＝∠QKN且PK＝QK，则称点P与Q关于线段MN等角等距.
在平面直角坐标系xOy中，已知点S(2，0).
（1）点T的坐标为 (0，1)，
①在点A(-2，1)，B(2，1)，C(2，)，
D(2，3)中，与点S关于线段OT等角等距的点是 ；
②点E是直线y＝x上一点，若在以点S为圆心，1为半径的圆上总能找到一点与点E关于线段OT等角等距，则点E的横坐标的取值范围是 ；
（2）已知点F(0，m)( m＞0)，在以O为圆心，1为半径的圆上存在点H，使得点F与
S关于线段OH等角等距，直接写出m的取值范围.
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B D C C D C
二、填空题（共16分，每题2分）
9．x≥2 10． 11．（2，-1） 12．答案不唯一，如4
13．x＝7 14． 15．24 16．（1）15；（2）7
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
17．解：
…………………………………………………………… 4分
． …………………………………………………………………………5分
18．解：原不等式组为
解不等式①，得x＜1．…………………………………………………………… 2分
解不等式②，得x＜4．…………………………………………………………… 4分
∴ 原不等式组的解集为x＜1． ………………………………………………… 5分
19．解：原式＝
＝
＝x -2y． …………………………………………………………… 4分
∵ x -2y -3＝0，
∴ x -2y＝3．
∴ 原式＝3． ……………………………………………………………5分
20.（1）证明：∵ ∠BAC的平分线交BC于点D，
∴ ∠CAD＝∠BAD．
∵ DE∥AC，
∴ ∠CAD＝∠ADE．
∴ ∠BAD＝∠ADE．
∴ AE＝DE．
∵ CF＝AE，
∴ DE＝CF．
∴ 四边形CDEF为平行四边形．
∵ ∠ACB＝90°，
∴ 四边形CDEF为矩形． …………………………………………… 3分
（2）解：∵ 在矩形CDEF中，EF∥CD，
∴ ∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ACB＝90°．
∵ sinB＝，
∴ sin∠AEF＝．
∵ 在Rt△AFE中，AF＝3，
∴ AE＝5，EF＝4．
∴ DE＝AE＝5．
∵ 在矩形CDEF中，∠DEF＝90°，
∴ 在Rt△DEF中，DF＝＝． 6分
21．解：（1）∵ 方程有实数根，
∴ Δ≥0．
∴ ≥0．
解得m≤．
即m的取值范围是m≤． 3分
（2）解方程，得．
∵ m≤，
∴ 正整数m的值为1，2，3．
当m＝1时，＝，不合题意，所以m＝1舍去；
当m＝2时，＝，不合题意，所以m＝2舍去；
当m＝3时，＝1，得到方程的根为，，都是整数．
∴ 正整数m的值是3． 6分
22.解：（1）当时，函数y＝2x＋4，函数y＝4x．
∴
解得
∴ 点A的坐标为（2，8）． 3分
（2）m的取值范围为2＜m≤4． 5分
23.解：（1）①80；3； 2分
②180； 3分
（2）①92.2；
②91． 5分
24.（1）证明：设∠ABC＝α，则∠AOC＝2α．
∵ OA＝OC，
∴ ∠OAC＝∠OCA．
∴ ∠OAC＝90°－α．
∵ AD是⊙O的切线，
∴ 半径OA⊥AD．
∴ ∠OAD＝90°．
∴ ∠DAE＝α．
∵ ∠AOC＝2∠AED，
∴ ∠AED＝α．
∴ ∠DAE＝∠AED． 3分
（2）解：延长AO交BC于F，则∠FAD＝90°．
∵ 点A为的中点，
∴ AB＝AC．
∵ OA＝OA，OB＝OC，
∴ △ABO≌△ACO．
∴ ∠BAO＝∠CAO．
∴ AF⊥BC．
∴ ∠AFB＝∠FAD＝90°．
∴ AD∥BC．
∴ ∠ADO＝∠OBC．
∵ ∠OEC＝∠AED＝∠DAE，∠OCA＝∠OAC＝90°－∠DAE，
∴ ∠COE＝∠COB＝90°．
∴ ∠OBC＝∠OCB＝∠ADO＝∠AOD＝45°．
∴ OB＝OC＝OA＝AD．
∴ BC＝OD＝AD．
∵ AD＝1，
∴ BC＝． 6分
25.解：（1）如图所示
2分
（2）①答案不唯一，如7.1；
②不能；
③44%． 5分
26.解：（1）∵ 抛物线过点A (3，3)，
∴ 9a－6a＝3．
∴ a＝1．
∴ 抛物线为．
∴ 抛物线的顶点坐标为(1，-1)． 2分
（2）∵在抛物线上，
∴ ≥-1．
∵ 在抛物线上，
∴ ．
令m＝n，则．
∴ m＝0或m＝3．
∴ 当n＞m时，结合函数的图象可得-1≤m＜0或m＞3．
当-1≤m＜0时，结合函数的图象可得0＜＜2．
当m＞3时，结合函数的图象可得＜-1或＞3．
∵ ，
∴ ＞3．
综上所述，的取值范围是0＜＜2或＞3． 6分
27.（1）证明：∵ 线段AD绕点A逆时针旋转2α得到线段AE，
∴ AE＝AD，∠DAE＝2α．
∵ ∠BAC＝2α，
∴ ∠BAC＝∠DAE．
∴ ∠BAD＝∠CAE．
∵ AB＝AC，
∴ △ABD≌△ACE．
∴ ∠ABD＝∠ACE．
∵ AB＝AC，
∴ ∠ABC＝∠ACB．
∴ ∠ACB＝∠ACE．
∴ CA平分∠BCE． 2分
（2）解：补全图形如图所示. 3分
线段MH与NH之间的数量关系：MH＝NH.
证明：在BC上取点K，使得BK＝CD，连接FK.
∵ △ABD≌△ACE，
∴ BD＝CE．
∵ 点M为BC的中点，
∴ BM＝CM．
∴ KM＝DM，BD＝CK．
∴ CK＝CE．
∵ ∠ACB＝∠ACE，CF＝CF，
∴ △CKF≌△CEF．
∴ KF＝EF．
∵ 点H为DF的中点，
∴ DH＝FH．
∴ MH＝FK．
∵ 点N为DE的中点，
∴ EN＝DN．
设HF＝a，NF＝b，则NH＝a＋b，DN＝2a＋b．
∴ EF＝EN＋NF＝2a＋2b．
∴ NH＝EF．
∴ MH＝NH. 7分
28. 解：（1）①B，C； 2分
②1≤＜2＋； 4分
（2）0＜m＜2或2＜m＜． 7分
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