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北京市平谷区2025年中考二模数学试题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1.2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为
A．3.84×105 B．3.84×104 C．0.384×106 D．38.4×105
2. 下列四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
3. 如图，直线AB与CD交于点O，OE⊥AB，若∠AOD =140°，
则∠COE的度数为
A. B. C. D.
4. 实数a，b满足a<-1，0A．ab＞0 B．a+b>0 C．|a|<|b| D．-a>b
5. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围为
A. B. C. D.
6. 将A，B，C，D写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中同时抽取两张卡片，恰好抽到的是A和B的概率为
A.
B.
C.
D.
7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．分别以点A、B为圆心，大于AB的同样长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE交AC于点F，连接BF.则下列说法中不正确的是
A．DE是线段AB的垂直平分线 B．AF=BF
C．CF=AB D．
8.如图,直角三角形三边长分别为a、b、c，分别以直角三角形的三边为边（或直径）向外作①正方形，②等边三角形，③宽均为m的矩形，④半圆，其中面积关系满足S1＋S2=S3的图形的序号是:
① ② ③ ④
(A) ①② (B) ②③④ (C) ①②④ (D) ①②③④
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
10. 分解因式：=__________________.
11.方程的解为 　 　．
12.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠AOB的度数为____°.
13. 在平面直角坐标系xOy中，若函数 的图象经过点(1,-6)和点(2,n)，则n= .
14.某年级开展了 “让阅读成为习惯，让书香浸润生活”的主题活动。下表是随机抽取的该年级50名学生平均每周阅读时长（单位：小时）的数据：
(数据分成4组：0≤x＜3，3≤x＜6，6≤x＜9，9≤x≤12)：
根据以上数据估计该年级200名学生平均每周阅读时长在6（含6）小时以上的人数为_____．
15. 在矩形ABCD中，CD=6，点E是DA边延长线上一点，AE=2，点F是AB边上一点，，连接EF并延长交BC于点G，则EG的长为______．
16．某班同学都报名参加了学校举办的数学节闯关活动，该活动共有A、B、C、D、E五个项目，每位同学选择其中的两项（不考虑顺序），以下是该班的报名表：
项目类型 A B C D E
报名人数 15 10 13 10 12
则该班共有_____________个人；若选择BD组合的刚好有10人，则选择AC组合的人数有_____________人.
三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22题，5分，第23题，6分，第24—25题，每题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算：
18.解不等式组：
19. 已知求代数式的值.
20．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，过点B作BF∥AC，过点E作EF∥AB，.
（1）求证：四边形BDEF是菱形；
（2）连接DF交BC于点M，连接CD，若BE=4，AC=,求CD的长.
21.随着信息技术的发展，慕课已成为技术赋能教育的典范，它让优质资源跨越地域的局限，承载“知识无边界”的理想.北京作为政治文化的中心，在教育模式的创新方面的引领作用尤为明显.2023年北京地区慕课已占全国慕课的四分之一，2024年全国慕课增加了4750门，北京地区的慕课增长了19%，北京慕课占全国慕课的28%，求2023年北京地区的慕课为多少门.
22．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（1，3）.
（1）求函数y＝kx＋b（k≠0）的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx-1（m≠0）的值既大于0，又小于函数y＝kx＋b的值，直接写出m的取值范围.
23．如图，AB为半圆⊙O的直径，点P在AB的延长线上，过点P作⊙O 的切线，与半圆相切于点C，过点O作AB的垂线与PC的延长线相交于点D，与⊙O相交于点F，连接AC，OD与AC相交于点E，．
（1）求证：DC＝DE ；
（3）连接BC，若BC=8，，求⊙O的半径长．
24. 在科技活动中，数学小组的同学用所学数学知识和人工智能软件设计了三个形状不同的新水杯，并将其制作出来.三个水杯分别记为1号杯、2号杯和3号杯，当3个水杯中都有Vml水时，测量并记录水面高度，分别记作h1、h2、h3，得到如下数据：
V/mL 0 50 100 150 200 250 300 350 400
h /cm 0 1.4 2.7 3.6 4.4 5.1 5.7 6.1 6.5
h /cm 0 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 4.8
h3/cm 0 0.3 0.7 1.2 1.8 2.6 3.4 4.8 6.1
(1)通过分析数据，发现可以用函数刻画h 与V，h 与V，h3与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，已经给出部分图象，描出其余各点，补全函数的图象；
(2)以下是某同学绘制的三个杯子的轮廓示意图，根据表中数据和函数图象，填上三个杯子对应的杯号
号杯 号杯 号杯
（3）根据以上数据与函数图象估算，注入相同多的水，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，1号杯的水面高度约为 cm（精确到小数点后1位），此时，若从1号杯中向2号杯和3号杯中各倒入一些水，使得三个杯子中的水面高度相同，操作完成后三个杯子的高度约为 cm（精确到小数点后1位）.
25．某校甲、乙两个班级各有40名学生组成矩形方阵进行校运动会入场仪式，为了解这两个班级参加入场仪式的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a．甲班40名学生的身高：
153，154，157，158，159，160，161，161，162，162，163，163，164，164，165，167，167，167，167，167，168，168，168，168，169，169，170，170，171，171，171，172，172，173，173，174，175，176，180，181．
b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示：
班级 平均数 中位数 众数
甲 167 m n
乙 167 168 168
（1）表中m= ，n= ；
（2）在甲班的40名学生中，高于平均身高的人数为p1，在乙班的40名学生中，高于平均身高的人数为p2，则p1　 　 p2（填“＞”“＜”或“＝”）；
（3）若甲班调整了一下队形，派身高分别为153、154、180、181的四位同学负责在队列前面手擎国旗，其余36人组成一个新的矩形方阵，设甲班原方阵的身高平均值为，方差为，新方阵的身高平均值为，方差为，则——， .（填“＞”“＜”或“＝”）
26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．
（1）当a=1时，求抛物线与x轴的两个交点；
（2）已知抛物线上有A（，）、B（，）两点，若当，时，都有，求a的取值范围.
27．如图，已知线段AB，将线段AB绕着点B顺时针旋转90°得到线段BC，平面上一点D，连接CD，将线段CD绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE,DE与AB相交于点F.
（1）求证：∠C=∠DFA；
（2）连接AE，取AE的中点G，连接DG、BD，依题意补全图形，判断线段DG与BD的数量关系，并证明.
28.在平面直角坐标系中，对于线段MN和点，给出如下定义，若∠MPN=α（0°<α<180°），且PM=PN，则称点是线段MN的α美好点．
（1）如图1，已知半径为2的⊙O与坐标轴交于点A、B、C点，点M为弦BC上一点.
①点M为弦BC的中点时，在点P1（-2，1），P2（1，0）,P3（2，-2）中，线段BC的90°美好点为_______；
②当点M在弦BC上运动时，若点（a，b）是线段AM的90°美好点，则a的取值范围是_______；
（2）如图2，已知半径为2的⊙O，点E在⊙O上运动，点，若直线 上存在线段EF的120°美好点，直接写出b的取值范围。
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B D D B C C
填空题（本题共16分，每小题2分）
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 112° -3 108 30;8
三、解答题（共68分，第17—19题，每题5分，第20-21题，6分，第22题，5分，第23题，6分，第24—25题，每题5分，第26题6分；第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.解：
.............................. 4
..............................5
18.解不等式组：
解①得 ..............................2
解②得 ..............................4
..............................5
19.先化简，再求值：
..............................2
..............................3
..............................4
..............................5
20．解：
（1）∵D、E分别是AB、BC边的中点
∴DE∥AC，
..............................1
∵BF∥AC
∴DE∥BF
∵EF∥BA
∴四边形FBDE是平行四边形 ..............................2
∴∠AEB=90°
，
∴AC=AB
∴BD=DE
∴四边形FBDE是菱形 ..............................3
（2）
..............................4
∵菱形BDEF中，BE=4
∴ME=2，∠DME=90°
由勾股，MD=1 ..............................5
∴EC=BE=4
..............................6
21. 解：设2023年北京地区的慕课x门，则2023年全国慕课4x门. ..............................2
..............................4
解得:x=19000 ..............................5
答：2023年北京地区的慕课19000门 ..............................6
（方法不唯一，其他方法依步骤给分）
22.（1）∵函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是由函数y＝2x的图象平移得到，
∴k=2 ..............................1
∵函数y＝2x＋b过点（1，3）∴b=1 2
3
（2） ..............................5
23.（1）证明：连接OC
∵PD为⊙O的切线
∴∠DCA+∠ACO=90° ..............................1
∵DO⊥AO，
∴∠AEO+∠A=90°
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠DCA=∠AEO ..............................2
∵∠DEC=∠AEO
∴∠DCA=∠DEC
∴DE=DC ..............................3
（2）
∴设OE=2x，DE=3x
∴OD=5x
DC=DE=3X
..............................4
∵∠AOD=90°
AO=4x，OE=2x
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∵DH⊥AB
∴△AOE∽△ACB ..............................5
.............................. 6
24.解（1)补全函数图象 ..............................2
（2）2号杯、1号杯、3号杯 ..............................3
（3）5.8cm（或5.8-6.0cm） ..............................4
4.7cm（4.5-4.8cm均给分） ..............................5
25.(1) m=_167.5___，n=__167__； ..............................2
(2) ＜ ..............................3
（3）＝；＞ ..............................5
26.（1）当a=1时，
抛物线.............................. 1
∴抛物线与x轴得两个交点（0，0）、（2，0） .............................. 2
（2）∵抛物线的对称轴为x=a，
情况1：当a＞0时
原点（0，0）一定位于对称轴的左侧，点（0，0）的对称点为（2a，0）
当y1＜0时，（2a-1，y2）也一定位于x轴的下方，
当y1＞0时， 若要使 成立，
不成立。
则有
解得： .............................. 4
情况2：当a＜0时
原点（0，0）一定位于对称轴的右侧，点（0，0）的对称点为（2a，0）
当y1＜0时，（2a-1，y2）也一定位于x轴的下方，
当y1＞0时， 若要使 成立，
不成立。
则有
解得： .............................. 5
综上，
6
27.(1)证明：由题意，∠B=∠D=90°
∵四边形DFBC的内角和为360°..........................................1
∴∠C+∠DFB=180°
∵∠DFA+∠DFB=180°
∴∠C=∠DFA..........................................2
(2)
依题意补全图形；.........................................3
.........................................4
证明：延长DG到M，使DG=MG，连接AM、BM、BG.
∵G为AE中点
∴AG =GE
∵DG =MG ,∠DGE=∠AGM
∴△AMG≌△DEG..........................................5
∴DE=AM, ∠E=∠EAM
∵DE=DC
∴AM=DC
∵∠E=∠EAM
∴DE∥AM
∴∠DFA=∠FAM
∵∠C=∠DFA
∴∠C=∠FAM
∵BC=AB
∴△DCB≌△MAB.........................................6
∴BD=BM，∠DBC=∠MBA
∴∠MBD=∠MBA+∠ABD=∠CBD+∠ABD=90°
∴△DBM是等腰直角三角形
∵DG=MG
∴∠DGB=90°，BG=DG
.....................................7
28．解：（1）P1，P2； 2
（2）a=－2或0≤a≤2 4
（3）
7
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