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北京市房山区2025年中考二模数学试题
本试卷共8页，满分100分，考试时长120分钟。考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．将用科学记数法表示应为
（A） （B） （C） （D）
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（A） （B） （C） （D）
3．将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是
（A） （B）
（C） （D）
4．已知，则下列结论一定正确的是
（A） （B）
（C） （D）
5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
6．已知一个正多边形的每一个外角等于60°，则这个正多边形的边数是
（A）五 （B）六 （C）七 （D）八
7．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是
（A） （B） （C） （D）
8．在平面直角坐标系xOy中，点，，的坐标
分别为，点是线段上的动点，连接，过点作PQ⊥PC，交y轴于点. 则点纵坐标的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是　　　　　.
10．分解因式：=　　　　　.
11．写出一个比大且比小的整数　　　　　.
12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，
则的值为　　　　　.
13．某校为了解全校2 000名学生的课外阅读情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，获得了他们每周课外阅读时间的数据，数据整理如下：
每周课外阅读时间x/小时
人数 7 10 14 19
若学校计划对阅读时间大于等于2小时的同学进行表彰，请你根据表中信息估计全校共需要表彰约
　　　　　人．
14．在△中，为上一点，，交于点，若则的长为　　　　　．
15．如图，为的直径，点C在上，且，过点C作的切线交的延长线于点．若，则的长为　　　　　．
16．某校九年级有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往. 每种型号客车的载客量及租金如下表所示：
客车型号 甲 乙 丙
每辆客车载客量/人 25 35 45
每辆客车的租金/元 800 1 000 1 200
如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为　　　　　元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为　　　　　元.
三、解答题（本题共12道小题，第17—19题每题5分，第20—21题每题6分，第22—23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题每题7分，共68分）
17．计算：
18．解不等式组：
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，且BE=EF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AD＝6，，求AF的长．
21．为增强学生的劳动意识，养成良好的劳动习惯和品质，某校组织学生到劳动基地参加“耕读累德”实践活动，计划组织学生种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植4亩甲作物和1亩乙作物需要26名学生．问：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要多少名学生．
22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数的值与一次函数
的值的差大于1，直接写出n的取值范围．
23．4月23日是世界读书日，某校初一、初二两个年级的学生进行了“青春飞扬”读书演讲比赛．为了解比赛情况，现从两个年级各随机抽取了20名学生的比赛成绩，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．初二年级20名学生的分数数据如下：
77 82 85 88 76 87 69 93 66 84
90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
b．初一年级20名学生分数的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组，
第2组，第3组，第4组，第5组）：
c．样本数据的平均数、众数、方差如下：
平均数 众数 方差
初一年级 81.95 85 185.30
初二年级 81.95 a 115.25
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中a的值为　　　　　；
（2）抽取的初一年级20名学生的中位数位于第　　　　　组；
（3）可以推断出　　　　　（填“初一”或“初二”）年级学生在本次比赛中发挥比较稳定；
（4）初二年级共有学生600人，如果前120名学生将被推荐参加区级比赛，请你估计，成绩至少达到
　　　　　分才能参加区级比赛.
24．如图，已知为△的外接圆，为的直径，D是的中点，弦于点F，P是上一点，连接CP，BP．
（1）求证：；
（2）若，求；
25．小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：
时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 …
总水量y（单位：毫升） 7 12 17 22 27 …
（1）通过分析数据，发现可以用函数（k，b为常数）刻画总水量y与时间t之间的关系，画出这个函数的图象；
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①请你估计小明在第20分钟测量时量筒中的总水量；
②一个人一天大约饮用1 500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线.
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当时，对于任意的正数t，若是抛物线上的两点，则
　　　　　（填“＞”“＜”“=”）；
（3）已知直线上两点A，B，其中点A的横坐标为1，点的纵坐标为，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
27．在Rt△和Rt△DBE中，，，，连接，，点是的中点，连接.
（1）如图1，当点E在线段上时，线段与线段的数量关系是　　　　　；
（2）如图2，当点E在Rt△内部时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证
明；如果不成立，请说明理由.
28．在平面直角坐标系xOy中，已知图形，点，是上任意两点，我们把线段的长度的最大值称为平面图形的“宽距”，记作.
（1）边长为1的正方形的宽距为　　　　　；
（2）已知点A（-1，0），B（1，0），C（m，n），连接，，所形成的图形为.
①若，直接写出n的取值范围；
②已知点，以为圆心，1为半径作圆. 若点为上任意一点时，都有，直接写出t的取值范围.
参考答案
选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B D C B C A
填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
x≠4 10. 11. 2、3、4（写出一个即可） 12. -3
13. 1320 14. 15. 16. 11 000 10 200
三、解答题（本题共12道小题，第17—19题每题5分，第20—21题每题6分,第22—23题每题5分，第24题6分,第25题5分,第26题6分,第27—28题每题7分,共68分）
17.
18.解不等式①，得.
解不等式②，得.
∴原不等式组的解集为.
19.解：原式=
=
∵2m+n-3=0,
∴2m+n=3，
∴原式=
20.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∴∠1=∠2，
∵点E是DC的中点，
∴ED=EC,
∵∠3=∠4，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=CF,
∵AD=BC,
∴CF=BC,
∵BE=EF,
∴∠ECB=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
解：∵AD=6，
∴CF=BC=6.
∴BF=12.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
∵,
∴AB=4.
在Rt△ABF中，∠ABF=90°，
∴
21.解：设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生.依题意得，
解得
∴x+y=11
答：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要11名学生.
22.解：（1）∵函数的图象由函数的图象平移得到，
∴,
∵函数过点（3,3），
∴1+b=3,
b=2
∴函数解析式为
（2）n≥或≤0
23.解：（1）88
（2）4
（3）初二
（4）91
24.（1）解：∵D是的中点，
∴，
∵且为的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，
∴.
∵为的直径，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
设的半径为r，
则，
解得，
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
25.（1）略；
（2）①102毫升；
②由解析式可知，每分钟的滴水量为毫升，
30天分钟，
可供一人饮水天数为
答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．
26.（1）x=2
（2）＞
（3）①当a＞0时，
抛物线过点（0,1），（0,1）关于x=2的对称点为（4,1）
∵B，
∴当a＞0时，由图象可知，抛物线与线段AB恒有一个公共点.
∴当a＞0时，抛物线与线段AB恒有一个公共点.
②当a＜0时，
把（1,2）代入
a-4a+1≤2
-3a≤1
a≥
综上所述：当a＞0或≤a＜0时，抛物线与线段AB恰有一个公共点.
（1）CD=2BF
（2）成立，CD=2BF.
证明：延长BF到H，使得FH=BF.
∵F是AE的中点，
∴AF=EF,
又∵∠1=∠2，
∴△AFH≌△EFB.
∴AH=BE,∠3=∠4.
∴AH∥EB.
∵BE=BD，
∴AH=BD.
∵∠ABC=∠EBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=∠EBD+∠EBC+∠ABE=180°
∵∠HAB+∠ABE=180°，
∴∠EBD+∠EBC=∠HAB.
即∠DBC=∠HAB.
又∵AB=BC，
∴△HAB≌△DBC.
∴BH=CD.
∵2BF=BH,
∴CD=2BF.
28.（1）
（2）①≤n≤
②≤t≤或≤t≤

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