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北京市朝阳区2025年中考二模数学试题
学校 班级 姓名 考号
考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。考试时间120分钟。 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1．2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1 400 000 000 000用科学记数法表示应为
（A）14×1011 （B）1.4×1012 （C）1.4×1013 （D）0.14×1013
2．如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠AOE=74°，则∠AOD的大小为
（A）16° （B）32°
（C）37° （D）74°
3．下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是
（A）等边三角形 （B）矩形 （C）菱形 （D）圆
4．不透明的袋子中装有2个红球、1个绿球，这3个球除颜色外无其他差别，随机一次摸出两个球，颜色相同的概率是
（A） （B） （C） （D）
5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
（A）-a（C）a-b<-a<-b6．如图，A，B，C，D是一个正多边形相邻的四个顶点，若∠CAD=15°，则这个多边形的边数为
（A）8 （B）9
（C）10 （D）12
7．右图中可以看出小明用尺规作∠AOB的平分线OC的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是
（A）OM=ON
（B）CM=CN
（C）OM=CM
（D）若连接CM，CN，则∠OCM=∠OCN
8．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD．给出下面四个结论：
①AE平分∠BAF；
②AE2+EF2=AF2；
③AB+CF=AF；
④AB+BE>AF．
上述结论中，所有正确结论的序号是
（A）①②③ （B）②③④ （C）①④ （D）①②③④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____．
10．分解因式：_____．
11．不等式的所有非负整数解为_____．
12．若关于x的一元二次方程(a+1)x2+(a+1)x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为_____．
13．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，点D在⊙O上，OD平分AB．若∠B=70°，则 ∠ADO=_____°．
14．如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边上的一点，以AE为边作矩形AEFG，使GF经过点D，则矩形AEFG的面积为_____．
15．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据，这个几何体的表面积为_____cm2．
16．某学校安排15名老师和一些学生参加团体操表演，所有师生恰好排列成矩形方阵，要求每一行都有且只有6名男学生，每一列都有且只有8名女学生，则此次团体操表演最多可以安排_____名男学生，此次团体操表演最少需要_____名学生．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．计算：．
18．解分式方程：．
19．已知a-b-2=0，求代数式的值．
20．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，AE=EC，点F在BD上，AF∥BC．
（1）求证：四边形ABCF是平行四边形；
（2）若CB=CD，∠ABD=90°，tan∠BAC=，AB=3，求AD的长．
21．根据国家相关规定，新建小区的绿地率不得低于30%，旧小区改造的绿地率不得低于25%，一般地，绿地率可以看做是绿地面积（包括覆土绿地和实土绿地）与小区总面积的比，其中实土绿地是指绿化层下面为真实的土地，其面积应占总绿地面积的50%以上，覆土绿地是在人工铺设的土层上进行绿化，当覆土高度小于1.5 m时，不算绿地面积；当覆土高度在1.5 m至3 m时，覆土面积的50%计入绿地面积；只有当覆土高度超过3 m时，覆土面积才全部计入绿地面积．
某旧小区总面积为24 000 m2，绿地率只有15%， 且其中覆土绿地的覆土高度都约为2 m．现有一种改造方案，计划把原有覆土绿地的覆土高度都增加到3 m以上，并增加1 400 m2实土绿地，从而使实土绿地的面积达到总绿地面积的60%．请判断按照该方案改造后，该小区的绿地率能否合格，并说明理由．
22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-2k（k≠0）的图象与函数的图象的一个交点为A（a，1）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）当x>4时，对于x的每一个值，函数y=nx（n≠0）的值大于函数的值，且小于一次函数y=kx-2k的值，直接写出n的取值范围．
23．某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：5≤x＜15，15≤x＜25，25≤x＜35，35≤x＜45，45≤x＜55，55≤x≤65）；
b．该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下：
甲 12 12 15 16 17 19 20 21 21 21 23 23 24 24 27
29 32 33 42 47 56 56 56 56 56 58 59 59 60 62
乙 18 23 24 25 25 26 27 28 29 31 34 35 36 38 38
38 39 39 39 39 39 39 39 39 43 43 44 45 46 48
c．甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下：
平均数 众数 中位数
甲 35.2 56 m
乙 35.2 n 38
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）该快餐连锁店共有2 000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对这30天送外卖量前400名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金；
（3）该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25单开始，每送一单外卖提成10元．
①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资_____乙这30日的工资（填“＞”“＜”或“＝”）；
②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，甲应选择方案_____，乙应选择方案_____．
24．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BD平分∠ABC，连接OD．
（1）求证：BC∥OD；
（2）过点D作⊙O的切线，分别交BA，BC的延长线于点E，F，连接OF，交BD于点G．若BF=8，sinE=，求OG的长．
25．科创小组分别用A，B两台装置提取实验物质，当A，B两台装置各自工作t min时，记录员分别记录了A装置提取的实验物质的体积V1（单位：mL）和B装置提取的实验物质的体积V2（单位：mL），部分数据如下：
t/min 0 5 10 20 30 40 50 60 …
V1/mL 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 …
V2/mL 0 2.1 2.9 4.0 4.8 5.5 6.1 6.6 …
（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画V1与t，V2与t之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）根据以上信息，解决问题：
①若A装置比B装置早启动了15 min，则A装置启动_____min时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为_____mL（结果保留小数点后一位）；
②在①的条件下，在同一时刻，B装置最多可以比A装置多提取_____mL实验物质（结果保留小数点后一位）．
26．在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上．
（1）当时，求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）若对于任意的，，总有，求a的取值范围．
27．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，D为射线BC上一点（不与点B重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，线段BE与直线AC相交于点F．
（1）如图，当DC=BC时，用等式表示线段BD与CF之间的数量关系，并证明．
（2）若对于任意的点D，上一问的结论总成立，写出满足条件的α的值，画出相应的图形，并证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙Q和⊙Q外一点P，给出如下定义：若⊙Q的一条弦MN绕点P旋转α得到的线段仍然是⊙Q的一条弦，则称点P是⊙Q的“α-旋称点”，此时的MN是⊙Q关于点P的一条“α-旋称弦”．
（1）如图1，⊙O的半径为2．
①在点P1（-1，2），P2（1，3），P3（，），P4（2，-2）中，⊙O的“90°-旋称点”可以是 ；
②弦AB的长为2，AB∥y轴．若AB是⊙O关于点C的“90°-旋称弦”，直接写出点C的坐标；
（2）如图2，A（-2，0），B（2，0），C（2，）．若点A，B，C都是⊙Q的“60°-旋称点”，且△ABC的边上存在⊙Q关于点A，B，C的“60°-旋称弦”，直接写出点Q的坐标，和⊙Q的半径r的取值范围．
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A C A D C D
二、填空题（共16分，每题2分）
题号 9 10 11 12
答案 x≥0且x≠1 m(m-2)2 0，1 3
题号 13 14 15 16
答案 55 4 16π 426，206
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．解：原式 …………………………………………………………4分
． ………………………………………………………………………………………5分
18．解：2x(x-1)+(x+1)=2(x+1)(x-1)．……………………………………………………………………2分
2x2-2x+x+1=2x2-2． …………………………………………………………………………3分
x=3．………………………………………………………………………………4分
经检验x=3是原方程的解．
所以原方程的解是x=3． ………………………………………………………………………5分
19．解：
……………………………………………………………2分
………………………………………………………………………………3分
． ………………………………………………………………………………………4分
∵a-b-2=0，
∴a-b=2．
∴原式=． ……………………………………………………………………………………5分
20．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠BCE，∠AFE=∠CBE． …………………………………………………1分
∵AE=EC，
∴△AEF≌△CEB． ……………………………………………………………………2分
∴AF=BC．
∴四边形ABCF是平行四边形．………………………………………………………3分
（2）解：∵∠ABD=90°，tan∠BAC=，AB=3，
∴在Rt△ABE中，BE= AB·tan∠BAC=1． ……………………………………………4分
∵四边形ABCF是平行四边形，
∴AB∥CF，BE=EF．
∴∠CFB=∠ABD=90°，BF=2BE=2．…………………………………………………5分
∵CB=CD，
∴DF=BF．
∴BD=2BF=4．
∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得． ……………………6分
21．解：设该小区改造前覆土绿地的面积为x m2，实土绿地的面积为y m2．………………………1分
由题意可知，……………………………………………3分
解得 ………………………………………………………………………………4分
按照该方案改造后的绿地面积为2500+2350+1400=6250（m2）．
根据规定，该小区的绿地面积不得低于24000×25%=6000（m2）．
因为6250>6000，
所以按照该方案改造后，该小区的绿地率可以合格．………………………………………5分
22．解：（1）∵点A（a，1）在函数的图象上，
∴a=3． ……………………………………………………………………………………1分
∴点A的坐标为（3，1）．
∵点A（3，1）在一次函数y=kx-2k（k≠0）的图象上，
∴3k-2k=1．
解得k=1． …………………………………………………………………………………2分
∴一次函数的表达式为y=x-2． …………………………………………………………3分
（2）． ……………………………………………………………………………5分
23．解：（1）28，39；……………………………………………………………………………………2分
（2）不能；………………………………………………………………………………………3分
（3）①＝；………………………………………………………………………………………4分
②二，一．…………………………………………………………………………………5分
24．（1）证明：∵A，B，D为⊙O上的点，
∴∠AOD=2∠ABD．……………………………………………………………………1分
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD．
∴∠AOD=∠ABC．
∴BC∥OD． ……………………………………………………………………………2分
（2）解：∵EF与⊙O相切于点D，
∴∠EDO=∠FDO=90°． ………………………………………………………………3分
∵BC∥OD，
∴△ODG∽△FBG，∠EFB=∠EDO=90°．……………………………………………4分
∴．
∵BF=8，sinE=，
∴在Rt△BEF中，BE=．
∴EF=．
设⊙O的半径为r，则．
解得r=5．…………………………………………………………………………………5分
∴OE=，DE=．
∴DF=EF-DE=4．
∴OF=．
∵，
∴．………………………………………………………………………6分
25．解：（1）0.5；…………………………………………………………………………………………1分
（2）
………………………3分
（3）①19或55，1.9或5.5； …………………………………………………………………5分
②0.5．………………………………………………………………………………………6分
26．解：（1）当时，抛物线为．
令，则．
解得，．
∴抛物线与x轴交点的坐标为（0，0），（2，0）． 2分
（2）由可知，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴交点的坐标为（0，0），（2a，0）．
∵，
∴． 3分
①若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
（i）当时，令，则，不符合题意．
（ii）当时，则，．
∴．
∴．
∵，
∴，符合题意． 4分
（ⅲ）当时，则，．
∴．
由可知．
∴，符合题意． 5分
（iv）当时，．
令，则，不符合题意．
②若-1≤a<0，则当x≥a时，y随x的增大而减小；当x≤a时，y随x的增大而增大．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，不符合题意．
综上所述，a的取值范围是． 6分
27．（1）BD=2CF． ………………………………………………………………………………………1分
证明：连接DF．
由题意可知，AE=AD，∠DAE=90°．
∵DC=BC，∠ACB=90°，
∴AB=AD=AE，BF=DF．………………………………………………………………2分
∴∠ABD=∠ADB，∠FBD=∠FDB，∠ABF=∠E．
∴∠ABF=∠ADF=∠E．
∴∠DFE=∠DAE=90°．………………………………………………………………3分
∴BD=2CF．
（2）α=45°．…………………………………………………………………………………………4分
证明：如图，作EG⊥AC于点G．
由题意可知，AE=AD，∠DAE=90°．
∴∠GAE+∠CAD=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCA=∠G=90°．
∴∠D+∠CAD=90°．
∴∠D=∠GAE．
∴△ACD≌△EGA．……………………………………………………………………5分
∴AC=EG，CD=GA．
∵α=45°，
∴∠ABC=∠CAB=45°．
∴AC=BC．
∴BC=EG．
∵∠BCF=∠G=90°，∠BFC=∠EFG，
∴△BCF≌△EGF．……………………………………………………………………6分
∴CF=GF．
∴CG=2CF．
∵BC=AC，CD=GA，
∴BD=CG．
∴BD=2CF． ……………………………………………………………………………7分
28．解：（1）①P1，P3； …………………………………………………………………………………2分
②（，）或（，）； ………………………………………………4分
（2）（1，），．………………………………………………………………7分
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