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北京市昌平区2025年中考二模数学试卷
2025．5
本试卷共8页，共100分. 考试时长为120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是
（A）圆柱 （B）圆锥 （C）三棱柱 （D）三棱锥
第1题图 第2题图 第3题图
2. 如图， AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F. 若∠1＝110°，则∠2的度数为
（A）30° （B）45° （C）70° （D）90°
3. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示，若其中一个数是，则这个数可能是
（A）a （B）b （C）c （D）d
4. 下列运算正确的是
（A）＋＝ （B）－＝－ （C）－＝－9 （D）÷＝
5.昌平作为北京国际科创中心建设的重要承载区，已经汇集69个国家级、省部级重点实验室，210个工程技术中心，全国重点实验室数量占全市总量的三分之一以上，并通过有组织的科技成果转化，使得近三年的技术合同成交额达1319亿元. 其中131 900 000 000用科学记数法记作
（A） （B） （C） （D）
6. 不透明的袋子中有2个红球和2个白球，小球除颜色外无其他差别．从中随机摸取2个小球，则这2个小球颜色相同的概率是
（A） （B） （C） （D）
7.在平面直角坐标系xOy中，函数y＝－x＋1的图象与x轴，y轴交于点A，B，则下列描述正确的是
（A）△OAB为等腰直角三角形 （B）点A坐标为（－1，0）
（C）图象经过第一、三、四象限 （D）点O到函数y＝－x＋1的图象距离为1
8. 连接正五边形ABCDE的对角线，得到如右图所示图形，中心为点O，
BD与CE交于点F. 连接OA与BE交于点G，连接OB，OC，OD，OE.
观察后得出如下结论：
①∠CAD＝30°；
②连接OF，则有OG＋OF＝AG；
③∠CFD＝2∠COD；
④连接BC，则有BC＝BF.
上述结论中，所有正确结论的序号是
（A）①② （B）②④ （C）②③ （D）①④
填空题（共16分,每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________.
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（4，1）.将线段AB沿某一方向平移后得到A' B'，若点A的对应点A'的坐标为（－1，0）．则点B的对应点B'的坐标为________.
第10题 第14题图 第15题图
11. 已知命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题，则c的值可以是________.
12. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点(1，2)，(，)，(，). 若＜＜0，则________（填“＞”，“＝”或“＜”）.
13.某徒步团队由七人组成，每个人的负重为：21，17，16，20，19，13，17（单位：kg），此时七人负重数据的方差为. 出发时又为每位成员补充了2kg饮用水，补充饮用水后负重数据的方差为，则________（填“＞”，“＝”或“＜”）．
14. 如图，以AB为直径的⊙O上有两点C，D. 若∠AOC＝40°，则∠BDC的度数为________°．
15. 如图，一个三角形纸片△ABC，AD为BC边上的高，折叠纸片使得点A与D重合，折痕为MN.若△ABC的面积为8，则△AMN的面积为________.
16. 某木材加工厂配备有M型和N型两款木材切割机，两款切割机每次可加工的木材尺寸和数量如下表所示：
木材尺寸 切割机型号 大尺寸 中尺寸 小尺寸
M 2块/次 4块/次 8块/次
N 不能加工 3块/次 6块/次
其中加工1块大尺寸木材的位置，可以替换为加工2块中尺寸木材或4块小尺寸木材，加工1块中尺寸木材的位置可以替换为加工2块小尺寸木材. 例如：M型切割机可以一次加工2块大尺寸木材，也可以一次加工1块大尺寸、1块中尺寸和2块小尺寸木材. 某批次木材共有3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材.
（1）加工这批木材，M款切割机至少要使用________次；
（2）若M型切割机加工一次费用为50元，N型切割机加工一次费用为35元，则加工完这批木材所需费用最少________元.
解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）
17.计算：＋＋＋π－.
18.解不等式组，并将解集在数轴上表示出来.
19. 已知关于x的一元二次方程―2x＋(k＋1)＝0有实根.
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求该方程的两个根.
20. 如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，延长BC到点E，使得CE＝BC，连接AE交CD于点F，连接DE.
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF.若BC＝2，tan∠AEC＝2，求BF.
21. 北京市中小学课间延长为15分钟后，某校为丰富学生的课间活动，准备购买一批课外读物. 一班买4本《三国演义》与3本《红楼梦》共用190元，二班买3本《三国演义》与6本《红楼梦》共用255元. 求《三国演义》和《红楼梦》每本多少元.
22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数＝kx + b （k≠0）的图象是由y＝x的图象平移得到，且经过点（2，1）.
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知一次函数＝mx（m≠0），当x＞2时，对于x的每一个值都有＜2，直接写出m的取值范围.
23. 某班级为组建“篮球班班赛”的代表队，对报名学生进行选拔，其中一项是“五个位置定点投篮”. 以下是对甲、乙、丙三位同学投篮数据进行的整理、描述和分析：
a. 甲、乙、丙三位同学的投篮进球数条形图：
b.甲、乙、丙三位同学投篮数据的中位数和总进球数如下：
甲 乙 丙
中位数 6 m 5
总进球数 30 29 30
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全条形统计图，表中m的值为________；
（2）从甲、乙两位同学的进球数条形图中可得，________发挥的稳定性较好（填“甲”或“乙”）；
（3）若五个位置投篮命中一次对应的得分如下表所示：
位置 位置一 位置二 位置三 位置四 位置五
命中分值 1 2 2 2 3
则从甲、丙同学中选拔总分高的同学进入班队，应选________（填“甲”或“丙”）.
24. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，过BC中点O作⊙O与AB相切
于点D，交BC于点E，F，交AC于点M，N.
（1）求证：AD＝BD；
（2）若AB＝6，CF＝1，求MN的长.
25. 某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：kg）与弹簧伸长长度l（单位：cm）之间的关系. 现取 A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为 m时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度 lA和 lB，数据如下：
所挂物体质量m （kg） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A型弹簧伸长长度lA （cm） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25
B型弹簧伸长长度lB （cm） 0 1 2 3 4 5 6 8.13 12.28 18.45 26.64
通过分析数据发现，可以用函数刻画lA与m，lB与m之间的关系，回答下列问题：
（1）在给出的平面直角坐标系中，已有lA的函数图象，请补全lB 的函数图象；
（2）lA与m的关系式为________（0≤m≤10）；
（3）重新取A、B型弹簧各一个，再次进行实验. 在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为10cm，结合函数图象回答：
①这些重物的质量为________千克；
② 若将一部分重物从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为________千克.
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2mx．
（1）写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）若点A（－1，0），B（4,0），抛物线y＝x2－2mx与线段AB只有一个交点，求m的取值范围；
（3）M（1－m，y1），N（m，y2）是抛物线y＝x2－2mx上两点，若≤2，直接写出m取值范围.
27. 如图1，△ABC中，AB＝AC，点P为线段BC上一点，∠BAP的平分线交BC于点E，∠PAC＝α，将线段EC绕点E顺时针旋转α，与射线AP交于点D.
（1）求证：AD＝AC；
（2）若∠BAC＝60°，如图2，连接CD，连接BD交射线AE于点F.
①补全图形；
②判断BD，CD与AF之间的数量关系，并证明.
图1 图2
28. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 A(3，4)，线段 AB⊥x 轴于点 B，BD为平面内一条线段，将点A绕点D旋转180°后得到点C.若点C到点O的距离为1，则称线段BD为点A的“隐圆线段”.
（1）若点C在x轴上时，点A的“隐圆线段”长为________；
（2）求点A的“隐圆线段”长的最大值；
（3）若点A的“隐圆线段”所在直线为y＝kx＋b，直接写出k的取值范围 .
第28题图1 第28题图2
参考答案
一、选择题（本题共8小题，每题2分，共16分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B D D B A B
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
题号 9 10 11 12
答案 x≥－3 （2，－2） 0（答案不唯一） ＞
题号 13 14 15 16
答案 ＝ 70 2 2，235
三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）
17. 解：原式＝2＋6×＋(－1＋)＋1 ……………………………………………….4分
＝5 …………………………………………….5分
18. 解：原不等式组为
解不等式①，得. ………………………………………………2分
解不等式②，得. ……………………………………………3分
∴原不等式组的解集为. ………………………………………………4分
………………………………………………5分
19. 解：（1）∵一元二次方程有实根，
∴0. ………………………………………………1分
－4×1×(k＋1)0. ………………………………………………2分
－4k0.
k0. ………………………………………………3分
（2）∵k取最大整数，
∴k＝0.
原方程为―2x＋1＝0， ………………………………………………4分
解得：. ………………………………………………5分
20.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BE.
∵BC＝CE，
∴CE＝AD.
∴四边形ACED为平行四边形. .……………………………………….1分
∵∠ACE＝90°，
∴平行四边形ACED为矩形. .……………………………………….2分
（2）解：过点F作FG⊥CE于点G. …………………………………………….3分
∵四边形ACED是矩形，
∴CF＝EF，
∴CG＝EG＝BC＝1.
∴BG＝CG＋BC＝3.
在Rt△FGE中，∠FGE＝90°，
∵tan∠AEC＝2＝，
∴FG＝2. …………………………………………….4分
在Rt△BGF中，
∵∠BGF＝90°，
∴BF＝＝. …………………………………………….5分
21. 解：设《三国演义》每本x元，《红楼梦》每本y元. …………………………….1分
根据题意列方程组，得：
……………………………………………….3分
由①×2得：8x＋6y＝380 ③.
由③－②得：5x＝125.
解得x＝25. ………………………………………………4分
把x＝25代入①，得y＝30.
所以是原方程组的解.
答：《三国演义》每本25元，《红楼梦》每本30元. ………………………………5分
22. 解：（1）∵一次函数＝kx+ b的图象由y＝x的图象平移得到，
∴k＝1. …………………………………………….1分
∵一次函数＝kx +b的图象经过点(2，1)，
∴1＝2＋b，解得b＝－1. …………………………………….2分
∴一次函数的表达式为＝x－1. …………………………………….3分
（2）m≤1且m≠0. ……………………………………………….5分
23. 解：（1）
………………………….1分
m＝7. ……………………………………………………………………….2分
（2）乙. ………………………………………………………………………4分
（3）丙. ………………………………………………………………………6分
24.（1）证明：方法一：
连接OD.
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB. ……………………………….1分
∵AC⊥AB，
∴OD∥AC.
∴＝. …………………………….2分
∵BO＝CO，
∴＝1.
∴AD＝BD. ………………………………………………………….3分
方法二：
连接OA，OD.
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB. ……………………………….1分
∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，BO＝CO，
∴AO＝BO＝CO. ……………………….2分
∴AD＝BD. ………………………………………………………….3分
（2）过点O作OG⊥MN于点G，连接ON.
设⊙O的半径为r，则OE＝OF＝r，OB＝r＋1. ………………………………….4分
∵AB＝6，
∴AD＝BD＝3.
在Rt△OBD中，
∵∠ODB＝90°，
∴.
∴.
方程的解为r＝4.
∵MN为⊙O的弦，
∴MG＝NG.
∵∠A＝∠ADO＝∠AGO＝90°，
∴四边形ADOG为矩形.
∴OG＝AD＝3.
在Rt△OGN中，
∵∠OGN＝90°，
∴GN＝＝.
∴MN＝2. ……………………………………………………….6分
25.解：（1）
. ……………………………….2分
（2）lA＝2.5m. ……………………………….4分
（3）4，. ……………………………….6分
26.解：（1）对称轴为x＝m. …………………………………………………2分
（2）解方程：x2－2mx＝0得：
＝0，＝2m.
∴二次函数y＝x2－2mx的图象与线段AB必有一个交点(0，0).
∵二次函数y＝x2－2m x的图象与线段AB只有一个交点，
∴m＜－，或m＞2.
当m＝0时，二次函数y＝x2－2mx的图象与线段只有一个公共点（0，0）.
综上所述：m＜－，m＝0，或m＞2. …………………………………………………4分
（3）≤m≤. …………………………………………………6分
27. （1） 解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵在△EPD和△APC中，∠PED＝∠PAC＝α，∠EPD＝∠APC，
∴∠D＝∠C＝∠B. …………………………………………………1分
∵AE平分∠BAP，
∴∠BAE＝∠DAE.
在△ABE和△ADE中，
∴△ABE≌△ADE (AAS). …………………………………………………2分
∴AB＝AD＝AC. …………………………………………………3分
（2）①如图，
…………………………………………………4分
②判断：＋CD＝AF. …………………………………………………5分
证明：如图，在线段AF上取一点G，使得∠DBG＝60°，连接DG. …………………6分
∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，
∴AF⊥BD.
∴AF是BD的垂直平分线.
∴BG＝DG.
∵∠DBG＝60°，
∴△BDG是等边三角形.
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABG＝∠CBD.
∴△ABG≌△CBD (SAS). …………………………………………………7分
∴AG＝CD.
在Rt△BFG中，∠BFG＝90°，
∵∠GBF＝60°，
∴FG＝BF＝BD.
∴＋CD＝AF.
28. （1）和. …………………………………………………2分
（2）3. …………………………………………………4分
（3）≤k≤. …………………………………………………7分
注：所有题选取其他思路酌情给分.

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