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2024-2025学年广东省惠州市五校高一下学期第二次联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数是虚数单位的虚部为( )
A. B. C. D.
2.如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，，则原图形的面积是( )
A. B. C. D.
3.在中，点在边上，且满足，则( )
A. B. C. D.
4.在中，已知，则( )
A. B. C. D.
5.一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为，，则圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6.一艘船以每小时的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若直线不平行于平面，则内不存在与平行的直线
B. 若，则
C. 若，则，是异面直线
D. 若，则
8.已知是边长为的正三角形，为的外接圆的一条直径，为的边上的动点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若为纯虚数，则是实数
B. 若为虚数单位，则
C. 复数在复平面内对应的点位于第三象限
D. 复数的共轭复数为
10.已知平面向量，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 与的夹角为
11.已知正方体的棱长为，为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是( )
A. 时，
B. 时，的最小值为
C. 时，三棱锥的体积为定值
D. 时，直线与面的交点轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正方体中，直线与直线所成角的大小为 ．
13.若圆锥的表面积为，且其母线长是底面半径的倍，则圆锥的体积为 ．
14.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最小值为__ ___．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量与的夹角为，且．
求的值；
求的值；
求向量与向量的夹角．
16.本小题分
如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点、、分别是、、的中点求证：
平面；
平面平面C.
17.本小题分
如图，在中，为边上一点，且．
求的长；
求的值；
若的面积为，求中边上的高．
18.本小题分
如图，在多面体中，为等边三角形，点为的中点，平面平面．
求证：平面；
设点为上一点，且，求二面角的余弦值．
19.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，．
用与表示；
求的取值范围；
若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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14.
15.解：因为向量与的夹角为，且，
则．
因为向量与的夹角为，且，且．
可得．
设向量与向量的夹角为，
可得，
因为，可得，所以向量与向量的夹角为．

16.证明：由题意，四棱锥的底面为平行四边形，点、、分别是、、的中点，是的中点，，
平面，平面，
平面；
由知，平面，平面，
平面，
为平行四边形，是中点，又是中点，
在中，，
平面，平面，平面，
，、平面，
平面平面．

17.解：因为，
所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以．
．
方法一：，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
解得舍去，
所以中边上的高为．
方法二：，所以，
在中，，
，
所以中边上的高为．

18.解：证明：因为平面平面，且平面平面，
平面，
故平面，
因为平面，所以．
又为等边三角形，为的中点，故，
因为，
平面，
故平面．
由于平面平面，故，
因为为等边三角形，为的中点，故，
所以为二面角的平面角．
因为，
故，
所以，
故二面角的余弦值为．
19.解：；
，且，即，
所以，
又因为，所以；
若点为的重心，则，
又因为，
若，，三点共线，则使得，
可得，解得，
所以存在，使得，，三点共线．

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