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2024-2025 学年广东省和美联盟高一下学期 5 月联考
数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列向量中与 = (2, 3)共线的是( )
A. (2,3) B. (3, 2) C. (4, 6) D. ( 2, 3)
2 i 1.设 i 是虚数单位，则复数2+i在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设 2、 2是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是( )
A. 1和 1 + 2 2 B. 1 + 2 2与 3 1 2
C. 1 + 2 2与 2 1 4 2 D. 3 1 2与 4 2 1
4.如图， ′ ′ ′是 的斜二测直观图，其中 ′ ′ ′为正三角形， ′ ’ = 2，则 的面积是
( )
A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 2 6
5 1.如图，在△ 中， = 2 ， 是线段
1
上的一点，若 = + 5
，则实数 等于( )
A. 25 B.
1
2 C.
1
2 D.
2
5
6 1.已知向量 = (1,2)，向量 在 方向上的投影向量为 2 ，则
=( )
A. 12 B.
1
2 C.
5
2 D.
5
2
7.一海轮从 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东35 的方向直线航行，30 分钟后到达 处，在 处有
一座灯塔，海轮在 处观察灯塔，其方向是南偏东65 ，在 处观察灯塔，其方向是北偏东70 ，那么 ，
两点间的距离是( )
A. 10 5海里 B. 20 3海里 C. 10 2海里 D. 20 2海里
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8.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在 2022 年虎年新春来临之际，人们设
计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图 1).已知正方形 的边长为 2，
中心为 ，四个半圆的圆心均为正方形 各边的中点(如图 2)，若 为 的中点，则 + =( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A.圆锥被一个平行于底面的平面截去顶部的小圆锥后，剩余部分是圆台
B.有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C.圆柱的母线与它的轴可以不平行
D.一个多面体至少有 4 个侧面
10 π.已知函数 ( ) = 2sin 3 6 ，下列说法正确的是( )
A. 2π3 = ( )
B. π函数 ( )的图象关于点 18 , 0 中心对称
C. π将 ( )的图象向左平移6个单位长度，可得到 g( ) = 2sin 3 +
π
3 的图象
D.函数 ( ) π在区间 0, 3 上单调递增
11.已知复数 = + ，其中 ， ∈ ， 为虚数单位，在复平面内 对应的点为 ，则下列说法正确的是( )
A.当 = 0 时， 为纯虚数
B.满足| | = 2 的点 的集合是以原点为圆心，以 2 为半径的圆
C. 的虚部为
D.若 ， ∈ 且复数 3 + 2 是方程 2 + + = 0 的一个根，则方程 2 + + = 0 的另一个复数根为 3
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.若 ∈ 0, π π4 ，sin + 4 =
4
5，则 cos = ．
13.在斜三棱柱 1 1 1中，连接 1 、 1 与 1 ，记三棱锥 1 1 的体积大小为 3，三棱柱
1 1 1的体积大小为 ．
14.已知向量 ， π = 2 1 1夹角为3， ，若对任意 ∈ ，恒有
+ ≥ 2 ，则函数
2 ∈ R 的最
小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = (1,3)， = (3, )， = ( 1, )，且 // ．
(1)求实数 的值；
(2)若 ⊥ ，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在直角梯形 中， // ， = 2 = 1， = 3，以 边所在的直线为轴，其余三边旋转一
周所形成的面围成一个几何体．
(1)求该几何体的表面积；
(2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点 绕着几何体的侧面爬行一周回到点 ，求蚂蚁爬行的最短距离．
17.(本小题 15 分)
在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，2 sin + sin + sin = ( + )(sin + sin )．
(1)求角 的大小；
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(2)若 = 2 3， 的面积为 2 3，求 的周长．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2cos2 + 2 3sin cos ．
(1)求函数 ( )的周期；
(2)求 ( ) π在 4 ,
π
4 上的单调区间与最值；
(3)若对 ∈ ，不等式 ( ) + 2 ≥ ( )恒成立，试求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
在 中，∠ ，∠ ，∠ 对应的边分别为 ， ， ，2sin sin sin = 3 sin2 cos2 + cos2
(1)求 ；
(2)若 = 1, = 3, 为线段 内一点，且 : = 1: 2，求线段 的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于
任意的 1, 2, 1, 2 ∈ R，都有 1 2 + 21 2 ≤ 21 + 21 2 22 + 2 被称为柯西不等式；在(1)的条件下，
若 = 2 2 1 1，求： 2 + 2 + 2 1 cos2 + 2 π + 的最小值；cos 22 sin (π+ )
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.7 210 /
7
10 2
13.9
14. 32 /
1
2 3
15.解：因为 = (1,3)， = (3, )， = ( 1, )，
所以 = + + = (3,3 + + )，
(1)因为 // .所以 = 3 = 3 ,，即 3 + + = ，解得 = 3；
(2)因为 = + = (4,3 + )， = + = (2, 3)，
又 ⊥ ，
所以 = 0，
即 8 + (3 + )( 3) = 0，解得 =± 1．
16.(1)如图所示，满足题意的直角梯形 ，以 边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，
1
形成一个上底面半径为 1 = = 2，下底面半径 2 = = 1，母线长 = 3 的圆台，
其表面积为 = π 21 + 22 + 1 +
23
2 = 4 π．
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(2)将圆台的侧面沿母线 展开，得到如图所示的一个扇环，
1
因为圆台上下底面半径的关系为 1 = 2 2，

所以 1 2 = 2 1 2， 1 = 2 1，
又∵ 1 1 = 3，
∴ 1 = 6，
∴ 1 = 3，

设∠ 2 1 = ，则 ′1 2的弧长 = 1 = 6 = 2π 2 = 2π，
解得 = 13 π，
连接 2 1， 1 2为等边三角形，
∴ 1 2 = 6
所以蚂蚁从点 绕着圆台的侧面爬行一周，回到点 的最短路径即为线段 2 1，
所以蚂蚁爬行的最短距离为 6．
17.(1)由题意及正弦定理知 2 + 2 + = ( + )2，
2 2 2
∴ 2 = 2 + 2 ，∴ cos = + 2 =
1
2，∵ 0 < < π ∴ =
π
， 3．
(2) 1由2 sin = 2 3得 = 8，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos 得 2 + 2 = 12，
∴ 2 + 2 + 2 = 36，∴ + = 6，
∴ 的周长为 6 + 2 3．
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18.(1)法一： ( ) = 2cos2 + 2 3sin cos
= cos2 + 3sin2 + 1 = 2cos(2 π3 ) + 1，
2π
所以 = 2 = π；
法二： ( ) = 2cos2 + 2 3sin cos = cos2 + 3sin2 + 1 = 2sin(2 + π6 ) + 1，
所以 = 2π2 = π；
(2) π π 2π π法一：令 2 3 = 0 = 6， = 2 = π 2 = 2，
所以 ( )在 π3 + π,
π
6 + π , ∈ Z
π 2π
上单调递增，在 6 + π, 3 + π , ∈ Z 上单调递减，
所以 ( ) π π π π在 4 , 6 上单调递增， 6 , 4 上单调递减，
( π又 4 ) = 1 3， (
π
6 ) = 3， (
π
4 ) = 1 + 3，
所以 ( )的最大值为 3，最小值为 1 3；
2 + π = π = π = 2π = π π法二：令 6 2 6， 2 2 = 2，
( ) π+ π, π+ π , ∈ Z π+ π, 2π所以 在 3 6 上单调递增，在 6 3 + π , ∈ Z 上单调递减，
所以 ( ) π π π π在 4 , 6 上单调递增， 6 , 4 上单调递减，
( π4 ) = 1 3， (
π π
6 ) = 3， ( 4 ) = 1 + 3，
所以 ( )的最大值为 3，最小值为 1 3；
(3)原不等式可化为 ( ( ) + 2) ≥ ( )，而 ( ) + 2 > 0 恒成立，
( ) ( )+2 2 2
所以 ≥ ( )+2 = ( )+2 = 1 ( )+2，
故当 ( ) 2 3 3取得最大值 3 时，1 ( )+2有最大值为5，所以 ≥ 5，
所以 ∈ 35 , + ∞ ．
19.解：(1)因为 2sin sin sin = 3(sin2 cos2 + cos2 )
所以 2sin sin sin = 3(sin2 + sin2 sin2 )，
由正弦定理 2 sin = 3( 2 + 2 2)，
2+ 2 2
所以 sin = 3 2 = 3cos
即：tan = 3，又 ∈ (0, π) ，所以 = 3；
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(2)(方法一)因为 : = 1: 2，所以 = 1 2
，
所以 = + = + 1 = + 1 = 2 3 3 3
+ 13
，
所以
2
= ( 2 + 1 )2 = 1 (23 3 9
+ )2 = 1 2 29 (4 + + 4 cos )
= 19 (36 + 1 + 4 3
1 43 43
2 ) = 9，及 = 3
(方法二)以 所在的直线为 轴， 为坐标原点建立坐标系，如图，
1 3
则 (3,0), ( 2 , 2 )
则： = (3,0), = ( 1 , 32 2 ),
= ( 52 ,
3
2 ),
= + 2 3
= ( 13 , 36 6 )
→ 2 2
= = 13 + 3 = 43所以 6 6 3 ；
(3) 2 1根据柯西不等式：( 2 + 2 + 2) 1 cos2 + cos2( ) +
1
2
2 sin ( + )
= ( 2 + 2 + 2)( 1sin2 +
1
sin2 +
1
sin2 )
≥ ( sin +
2 2 2
sin + sin ) = 9( sin ) = 48 (当且仅当 为正三角形时取等号)3
即：( 2 + 2 + 2) 2 1 11 cos2 + cos2( 2 )
+ sin2( + ) 的最小值为 48．
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