资源简介

2024-2025 学年天一大联考高二年级阶段性测试（四）
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于变量 与 的线性回归分析，下列说法错误的是( )
A.若相关系数 = 0.9，则说明变量 与 的线性相关程度较强
B.回归直线必过点( , )
C.若散点图中数据点从左上角到右下角分布，则 ， 负相关
D.若回归方程为 = 2 + 8，则变量 每增加 1 个单位时，变量 一定增加 2 个单位
2.已知等差数列 的前 项和为 ，公差 = 2， 8 = 88，则 5 =( )
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
3.已知随机变量 X~N(4, 2),若 P(2< X<4)=0.3,则 P(X≥6)=（）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8
4.函数 ( ) = 2的图象在点(0, (0))处的切线方程为( )
A. = 1 B. = + 1 C. = 1 D. = + 1
5.某户外探险俱乐部组织 10 名成员(7 名男性，3 名女性)前往某无人岛进行野外生存挑战.为了便于管理和
保障安全，需将这 10 人分成两组(不区分两组的顺序)，要求每组至少 4 人，且 3 名女性不能在同一组，则
不同的分组方法共有( )
A. 105 种 B. 168 种 C. 210 种 D. 273 种
2 26.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2， 为 上一点，满足 1 ⊥ 轴，且
| 1| + | 2| = 2| 1 2|，则 的离心率为( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
7 ln 1.已知 = 2 ， = ln 2， = ，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
8 2 .已知数列{ }的前 项和为 ，且 + = 2 ，数列{ }满足 = ，且{ }的前 项和为 ，若 < +1
恒成立，则实数 的最小值为( )
A. 1 B. 14 2 C. 1 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(1 + ) 的展开式的各二项式系数之和为 128，设(1 + ) = 2 0 + 1 + 2 + + ，则( )
第 1页，共 10页
A. = 7 B. 0 = 2
C. 0 + 2 + + 6 = 64 D. 1 + 2 2 + 3 3 + + = 224
10.一个书架有两层，第一层放有 3 本数学书和 5 本语文书，第二层放有 4 本数学书和 3 本语文书，先从
第一层随机取出一本书放入第二层，用事件 1， 2分别表示从第一层取出的是数学书、语文书，再从第二
层随机取出一本书，用事件 表示从第二层取出的是数学书，则( )
A. ( 1) =
3 5
8 B. ( | 1) = 8 C. (
1 35
2 ) = 4 D. ( ) = 64
11.如图(1)，在直角梯形 中， // ， ⊥ ， ⊥ ， 是 的中点， = = 2， = ，
将△ 沿 折起到△ 的位置，使得平面 ⊥平面 ，得到三棱锥 ，如图(2)，则( )
A. ⊥
B.三棱锥 8 的外接球的体积为 3
C.点 3到平面 的距离为 3
D. 3异面直线 与 所成角的余弦值为 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某射手每次射击命中目标的概率均为 0.9，且各次射击结果相互独立.若该射手射击 5 次，则恰好命中 3
次的概率为 . (用数字作答)
13.在平面直角坐标系 中，已知抛物线 : 2 = 4 ，点 ( ,0)，若 上存在一点 ，使得 = 4，
则实数 的取值范围为 ．
14.若关于 的不等式 2 + ln ≥ 0 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }是公比为 2 的等比数列，且 1， 2 + 1， 3成等差数列．
(Ⅰ)求{ }的通项公式;
第 2页，共 10页
(Ⅱ) { +1求数列 }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
2025 年世界运动会将于 2025 年 8 月 7 日至 8 月 17 日在中国四川成都举行.为倡导全民健身理念，某社区
随机抽取了 200 名市民，调查其周平均运动时长与年龄(以 40 岁为分界线)的关系，得到如下 2 × 2 列联表：
周平均运动时长
年龄 合计
小于 5 小时 大于等于 5 小时
40 岁以下 30 70 100
40 岁及以上 50 50 100
合计 80 120 200
(Ⅰ)依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，判断周平均运动时长是否与年龄有关;
(Ⅱ)现从 40 岁及以上的样本中，按人数比例用分层随机抽样的方法抽取 10 人进行运动习惯访谈，再从这 10
人中随机抽取 3 人赠送运动礼包，记抽取的 3 人中“周平均运动时长小于 5 小时”的人数为 ，求 的分布
列和数学期望．
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
( 2 ≥ ) 0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ，底面 为矩形， 为棱 的中点， = = 2．
(Ⅰ)证明： //平面 ;
(Ⅱ)证明： ⊥ ;
第 3页，共 10页
(Ⅲ) 6若平面 与平面 夹角的余弦值为 6 ，求 ．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 ．
(Ⅰ)若 ( )在 上单调递增，求实数 的取值范围;
(Ⅱ)当 > 1 时，判断 ( )的零点个数;
(Ⅲ)设函数 ( ) = ( )，当 0 < < 1 2 时，记 ( )的极大值为 ( )，证明： ( ) ≥ 2．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
1 3
的离心率为2，且 过点( 3, 2 ).
(Ⅰ)求 的方程．
(Ⅱ)设 的左、右焦点分别为 1， 2，过点 1的直线 交 于 ， 两点．
(ⅰ) 1 1证明：| 1|
+ | |为定值;1
(ⅱ)求△ 2内切圆面积的最大值．
第 4页，共 10页
参考答案
1.
2.
3.A
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.0729
13.[8, + ∞)
14.( ∞, ]
15.解；(Ⅰ)因为数列{ }是公比为 2 的等比数列，且 1， 2 + 1， 3成等差数列，
所以 2 + 2 2 = 1 + 3，即 2 + 4 1 = 1 + 4 1，解得 1 = 2，
故 = 2 ；
(Ⅱ) = +1 = +1令 2 ，
= 2 + 3 + 4 + ··· + +1 1 2 3 4 +1则 2 22 23 2 ，故2 = 22 + 23 + 24 + ··· + 2 +1，
1 1 1
1 = 2 + 1 + 1 + ··· + 1 +1
4 1 2
两式相减得2 2 22 23 2 2 +1 = 1 + 1
+1
1 2 +12
= 3 +3所以 2 ．
16. (Ⅰ) 2 = 200×(30×50 70×50)
2
解： (30+70)(50+50)(30+50)(70+50) ≈ 8.333 > 6.635，
故依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，认为周平均运动时长与年龄有关；
(Ⅱ)因为 40 岁及以上周平均运动时长“小于 5 小时”和“大于等于 5 小时”的人数都是 50，
则分层抽样抽取 10 人中，“小于 5 小时”和“大于等于 5 小时”各抽取 5 人．
则 可能的取值为 0，1，2，3，
第 5页，共 10页
0 3 ( = 0) = 5 5 = 1
3
；
10 12
1 2
( = 1) = 5 5 = 5；
310 12
2 1
( = 2) = 5 5 = 5；
310 12
3 0
( = 3) = 5 5 1
3
=
10 12
，
则 的分布列为：
0 1 2 3
1 5 5 1
12 12 12 12
( ) = 0 × 1 + 1 × 5 + 2 × 5 1 3则 12 12 12 + 3 × 12 = 2．
17.解：(Ⅰ)证明：如图，连接 ，交 于点 ，连接 ，
∵底面 是矩形，
∴ 是 的中点，
又 为棱 的中点，
∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ / /平面 ；
(Ⅱ)证明：∵ ⊥平面 ，
∴ ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ = ， 是棱 的中点，
∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，
∴ ⊥ ;
第 6页，共 10页
(Ⅲ) ∵ ⊥底面 ，底面 为矩形，
∴ ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 = ( > 0)，
则 (0,0,0)， ( , 2,0)， (0,2,0)， (0,0,2)， (0,1,1)，
= ( , 2,0)， = (0,0,2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= + 2 = 0
则 ，取 = (2, , 0)，
= 2 = 0
由(Ⅱ)可知 = (0,1,1)是平面 的一个法向量，
因为平面 与平面 夹角的余弦值为 6，
6
|cos < > | =
6
所以 ， = = ，
| | | | 22+( )2· 12+12 6
解得 = 2(负值舍去)，即 = 2．
18.解：(Ⅰ)对函数 ( ) = 2 求导，可得 ′( ) =
2，
因为 ( )在 上单调递增，

所以 ′( ) ≥ 0 在 上恒成立，即 2 ≥ 0 恒成立，即 ≤ 2
恒成立，
因为 2 > 0，所以 ≤ 0，
故实数 的取值范围是( ∞,0]；
(Ⅱ) ( ) ( ) = 由 知 ′ 2，因为 > 1，令 ′( ) = 0，即
2 = 0，解得 = ln

2，
< ln 当 2时， ′( ) < 0， ( )单调递减;当 > ln

2时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( )在 = ln 2处取得极小值，也是最小值， ( )min = (ln 2 ) = 2 (1 + ln 2 ).
第 7页，共 10页
= ( > 1令 2 2 )，设 = (1 + ln )，对其求导得 ′ = (2 + ln )，令 ′ = 0
1
，得 = 2．
当 ∈ ( 12 , + ∞)时， ′ < 0， = (1 + ln )单调递减．
= 1 1当 2时， = 2 (ln2 1) < 0，所以 ( )min < 0．

又因为当 → ∞时， → 0， 2 →+ ∞，所以 ( ) →+∞;
当 →+∞时， 增长速度远大于 2 ，所以 ( ) →+∞，
故 ( )有两个零点
(Ⅲ) ( ) = ( ) = ( ) = 22 2 ，
则 ′( ) = ( + 1) = ( + 1)( )，
令 ′( ) = 0，则 = 1 或 = ln ，
1
因为 0 < < ，所以 ln < 1，
当 < ln 时， < 0， + 1 < 0， ′( ) > 0， ( )单调递增;
当 ln < < 1 时， > 0， + 1 < 0， ′( ) < 0， ( )单调递减;
当 > 1 时， > 0， + 1 > 0， ′( ) > 0， ( )单调递增．
所以 ( )在 = ln 处取得极大值，即 ( ) = (ln ) = 2 (ln )
2．
1
令 = ln ，因为 0 < < ，所以 < 1，则 = 2
2， ′ = ( +2)2 ，
当 < 2 时， ′ < 0， 单调递减;当 2 < < 1 时， ′ > 0， 单调递增，
所以 在 = 2 2处取得极小值，也是最小值， min = 2，
所以 ( ) ≥ 2 2．
19. 1解：(Ⅰ)由椭圆的离心率 = = 2，则 = 2 ，
又因为 2 = 2 + 2，所以 2 = 2 2 = 3 2，
2 2
则椭圆方程可化为4 2 + 3 2 = 1，
因为椭圆 过点( 3, 32 )，
( 3)2 (
3)2 ( 3)2
将其代入椭圆方程 + 2 2 24 2 3 2 = 1，解得 = 1，
所以 2 = 4， 2 = 3，
第 8页，共 10页
2 2
椭圆 的方程为 4 + 3 = 1．
(Ⅱ)( )当直线 的斜率不存在时： 1( 1,0)，此时直线 的方程为 = 1，
2 2
代入椭圆方程 4 + 3 = 1 得 =±
3
2，
则| 1| = | | =
3 1 1 2 2 4
1 2，所以| + =1| | 1| 3
+ 3 = 3；
当直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 = ( + 1)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( + 1)
联立 2 +
2 ，
4 3 = 1
2 2
将 = ( + 1)代入 4 + 3 = 1 得(3 + 4
2) 2 + 8 2 + 4 2 12 = 0，
8 2 2
由韦达定理 1 + 2 = 3+4 2， =
4 12
1 2 3+4 2 ，
所以| 1| = 1 + 2| 1 1| = 1 + 2| 1 + 1|，
同理| 1| = 1 + 2| 2 + 1|．
1
所以| |+
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
1 |
= (
1| 1+ 2 | +1|
+ | +1| ) = ( ) = 1 2 1+ 2 2+1 1+1 1+ 2 ( 2+1)( 1+1)
8 2 4 2 12
1 ( 1 + 2)2 4
( 24 2 +3) 4 ×1 2 1 4 2 +3
=
1+ 2 2 1 + 2 + +1
=
1 1+ 2 4 2 12 8 2
4 2 +3 + 4 2 +3+1
2+1
( 12)×
= 1 4 2+3 9 =
4
1+ 2 3
．
4 2+3
1 1 4
综上，| + 为定值 ；1| | 1| 3
( )由椭圆定义知| 1| + | 2| = 2 = 4，| 1| + | 2| = 2 = 4，
所以△ 2的周长 = | 2| + | 2| + | |
= | 2| + | 2| + | 1| + | 1| = 4 = 8，
设△ 2内切圆半径为 ，
1
则 △ 2 = 2 × 8 × = 4 ，
设直线 的方程为 = 1，
第 9页，共 10页
= 1
联立 2 2 得(3 2 + 4) 2 6 9 = 0，
4 + 3 = 1
= ( 6 )2 4 × (3 2 + 4) × ( 9) = 144( 2 + 1) > 0，
由韦达定理 1 + =
6 9
2 3 2+4， 1 2 = 3 2+4，
1△ 2 = △ 1 2 + △ 1 2 = 2 | 1 2| | 1 2|，| 1 2| = 2 = 2，
2
| | = ( + )2 4 = ( 6 )2 + 36 12 +11 2 1 2 1 2 3 2+4 3 2+4 = 3 2+4 ，
令 = 2 + 1( ≥ 1) 12 ，则 △ 2 = 3 2+1 =
12
，
3 +1
1
由对勾函数 = 3 + 在[1, + ∞)上单调递增，
所以当 = 1( 1即 = 0，直线 斜率为 0)时，3 + 取得最小值 4，
所以 △ 2取得最大值 3，
因为 △ 2 = 4 ， △ 2最大值为 3，
3
则 4 ≤ 3，得 ≤ 4，
所以△ 9 2内切圆面积 = 2的最大值为16．
第 10页，共 10页

展开更多......

收起↑