资源简介

2024-2025 学年河南省商丘市高二下学期 5 月质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 1 男 1 女共 2 人参加一项创新大赛，那么不同的选法种数为
A. 7 B. 9 C. 12 D. 16
2.已知随机变量 X~N(4, 2),且 P(X<5)=0.8,则 P(3< X<4)=（）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
3.以 ， 分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若 ( ) = 0.2， ( ) = 0.1， ( | ) +
( | ) = 0.75，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为( )
A. 0.03 B. 0.04 C. 0.06 D. 0.05
4.5 名学生排成一排，甲、乙、丙 3 人相邻的概率为( )
A. 3 1 1 210 B. 5 C. 10 D. 5
5.已知函数 ( ) = ln 4 有极值点，则实数 的取值范围为( )
A. (1,2) B. (2, + ∞) C. (2 2, + ∞) D. (4, + ∞)
6.直线 + 1 = 0 被圆 2 + 2 + 2 8 = 0 截得的最短的弦长为( )
A. 10 B. 2 3 C. 4 D. 92
2 2
7.已知 1， 2是双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，以线段 1 2为直径的圆与双曲线的一条
渐近线交于点 ，若| 1| = 3| 2|，则双曲线 的离心率为( )
A. 5 B. 34 2 C. 2 D. 5
8.已知数列{ }的前 项和为 ，且 = 3 2.
3
若2 ≥ 3log3 + 4 对任意的正整数 恒成立，则实数 2
的最小值为( )
A. 3 B. 289 C.
80 176
27 D. 81
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 2.在( 2 )6 的展开式中，下列结论正确的是( )
A.展开式共有 6 项 B.常数项为 240
C. 192没有含 4的项 D.二项式系数最大的项是 3
第 1页，共 7页
10.袋中有 8 个大小相同的球，其中 3 个黑球、5 个白球.现从中任取 4 个球，记这 4 个球中黑球的个数为 ，
则( )
A.随机变量 服从超几何分布
B. ( ≤ 1) = 12
C. (2 1) = 1
D.记这 4 个球中白球的个数为 ，则 ( ) = ( )
11.已知抛物线 : 2 = 4 的焦点为 ，准线为 ，过焦点 且斜率存在的直线与抛物线 相交于 ， 两点，线
段 的中点为 ，过 且与 轴平行的直线与抛物线 和准线 分别交于 ， 两点.则( )
A.当| | = 16 2 时，直线 的倾斜角为3或 3
B. 是线段 的中点
C. ⊥
D.过点 与抛物线 相切的直线与直线 平行
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等比数列{ }的首项为 2，公比为 ，其前 项和为 .若 4 > 3 + 16，则公比 的取值范围为 ．
13.参加数学竞赛的 ， ， ， ， ， 这六名同学站成一排合影留念，则 ， ， 互不相邻的安排方法有
________种．(用数字作答)
14 1.已知函数 ( ) = 22 ln ln (
1
4 +
1 2
2 ) + ( + ) 在(0, + ∞)

上单调递增，则 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且满足 2 4 = 2 + 18， 5 = 10 + 15．
(1)求数列{ }的通项公式;
(2) = 9若 ，求数列{ }的前 项和 ．2 1 2 +1
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3 3 2 + 1．
(1)当 = 1 时，求函数 ( )的图象在 = 1 处的切线方程;
(2)当 < 0 时，求函数 ( )在区间[ 1,0]上的值域．
17.(本小题 15 分)
第 2页，共 7页
抓娃娃游戏一直以来吸引着小朋友和成年人，它不仅是一种娱乐活动，更是一种充满策略与技巧的挑战.已
1 1
知某游戏厅有 ， ， 三台抓娃娃机， 娃娃机每次中奖的概率为6， 娃娃机每次中奖的概率为4， 娃娃机
1
每次中奖的概率为3，中奖结果与否互不影响．
(1)若小张分别操作 ， ， 抓娃娃机各一次，求小张中奖的概率;
(2)已知小张准备抓娃娃三次，现有两种方案供选择：
方案一：操作 ， ， 抓娃娃机各一次;
方案二：操作 抓娃娃机三次．
假设 ， ， 三台抓娃娃机中奖一次获得娃娃的价值为 20 元，请根据获得娃娃价值的期望，分析小张选择
哪种方案较合适．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱台 1 1 1 1中， 1 ⊥底面 ，底面 是边长为 2 的正方形， 1 1 = 1，点
14
为线段 上的动点，棱台的体积为 3．
(1)求 1的长;
(2)若 1//平面 1 1，请确定点 的位置;
(3)求平面 1 1与平面 1 1的夹角的余弦值的最大值．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 +
= 1( > > 0) 2 (1, 3 2 的长轴长是焦距的 倍，点 2 )在椭圆 上.椭圆 的左、右顶点分别
为 ， ，点 (1, )是椭圆外一点，直线 ， 与椭圆 的另一个交点分别为 ， ．
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)证明：直线 过定点;
(3)若四边形 的面积是△ 64的面积的27倍，求 的值．
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.C
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(2, + ∞)
13.144
14.1
15. 2( + 3 ) = ( + ) + 18,解：(1)设公差为 ，由题意有 1 15 ，1 + 10 = 1 + 9 + 15
解得 1 = 3， = 3，
有 = 3 + 3( 1) = 3 ，
可得数列{ }的通项公式为 = 3 ;
(2)由 2 1 = 3(2 1)， 2 +1 = 3(2 + 1)，
有 =
9 1 1 1 1
9(2 1)(2 +1) = (2 1)(2 +1) = 2 ( 2 1 2 +1 )，
1 1 1 1
有 = 2 [(1 3 ) + ( 3 5 ) + + (
1 1 1 1
2 1 2 +1 )] = 2 (1 2 +1 ) = 2 +1，

故数列{ }的前 项和为 = 2 +1．
16.解; (1)当 = 1 时， = 2 3 + 3 2 + 1，
求导可得 ′( ) = 6 2 + 6 ，
有 (1) = 6， ′(1) = 12，
所求切线方程为 6 = 12( 1)，整理为 = 12 6;
(2) ′( ) = 6 2 6 = 6 ( )，
第 4页，共 7页
令 ′( ) > 0，
因为 < 0，可得 < 或 > 0，可得函数 ( )的增区间为( ∞, )，(0, + ∞)，减区间为( , 0)，
①当 ≤ 1 时，函数 ( )在[ 1,0]上单调递减，有 ( )min = (0) = 1， ( )max = ( 1) = 3 1，故
函数 ( )在[ 1,0]上的值域为[1, 3 1];
② 1 < < 0 时，函数 ( )的增区间为[ 1, ]，减区间为[ , 0]，有 ( )max = ( ) = 1 3，
又由 ( 1) = 3 1， (0) = 1，
当 3 1 ≥ 1 1 < ≤ 2，即 3时，函数 ( )的值域为[1,1
3]，
2
当 3 1 < 1，即 3 < < 0 时，函数 ( )的值域为[ 3 1,1
3]，
由上知，当 ≤ 1 时，函数 ( )的值域为[1, 3 1];
当 1 < ≤ 23时，函数 ( )的值域为[1,1
3];
2
当 3 < < 0 时，函数 ( )的值域为[ 3 1,1
3].
17.解：(1) 1 1小张没中奖的概率为(1 6 ) × (1 4 ) × (1
1 5
3 ) = 12，
5 7
故小张中奖的概率为 1 12 = 12 ;
(2)若选方案一，记小张抓娃娃获得娃娃的价值为 ，可知 的取值为 0，20，40，60，
有 ( = 0) = (1 16 ) × (1
1
4 ) × (1
1
3 ) =
5
12，
( = 20) = 16 × (1
1 1 1 1 1 1 1
4 ) × (1 3 ) + 4 × (1 6 ) × (1 3 ) + 3 × (1 4 ) × (1
1 31
6 ) = 72，
( = 40) = 16 ×
1 × (1 1 ) + 14 3 6 ×
1
3 × (1
1 1 1 1
4 ) + 3 × 4 × (1 6 ) =
5
36，
( = 60) = 1 1 1 16 × 4 × 3 = 72，
可得 ( ) = 0 × 5 + 20 × 3112 72 + 40 ×
5 1
36 + 60 × 72 = 15，
1 1 3
若选方案二，记小张抓娃娃获得娃娃的个数为 ，可得 (3, 4 )，有 ( ) = 3 × 4 = 4，
3
可得抓娃娃获得娃娃的价值为4 × 20 = 15，
由 15 = 15，故这两种方案获得娃娃的价值的期望是一样的，小张可任选其中一种方案．
18.解：(1)由 1 1 = 1， 1 1 1 1是正方形，可得正方形 1 1 1 1的面积为 1 × 1 = 1，
又由 = 2， 是正方形，可得正方形 的面积为 2 × 2 = 4，
又由棱台 14 1 141 1 1 1的体积为 3，有3 1 × (1 + 1 × 4 + 4) = 3，可得 1 = 2;
第 5页，共 7页
(2)如图，连接 1 1与 1 1相交于点 ，
因为 1 1/ / ，所以 ， ， 1， 1四点共面，可得平面 1 1 ∩平面 1 1 = ，
又因为 1//平面 1 1， 1 平面 1 1，所以 1// ，
又因为 1 1/ / ，所以四边形 1 是平行四边形，所以 = 1 ，
3
又因为 = 2 1 1，所以 = 4
3
，故点 在线段 上，且点 位于 = 4 的位置;
(3)由 ， ， 1两两垂直，以 为坐标原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的
空间直角坐标系，
有 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2,0)， (2,2,0)， 1(0,0,2)， 1(1,0,2)， 1(0,1,2)， 1(1,1,2)，
又由点 在 上，可设点 的坐标为( , , 0)(其中 0 ≤ ≤ 2)，
设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，由 = (0,2,0)， 1 = ( 1,0,2)，
= 2 = 0
有 ，取 = 2， = 0， = 1，可得平面 1 1的一个法向量为
= (2,0,1)，
1 = + 2 = 0
设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，由 1 1 = ( 1,1,0)， 1 = ( 1, , 2)，
1 1 = + = 0,有 ，取 = 2， = 2， = 2 1，可得平面 1 1的一个法向量为 = 1 = ( 1) + 2 = 0
(2,2,2 1)，
又由 = 2 × 2 + 0 × 2 + 1 × (2 1) = 2 + 3，| | = 5，| | = 4 + 4 + (2 1)2 = 4 2 4 + 9，
有 cos < ， >=
2 +3
2 + 3 = (3 < < 7) 3，令 ，有 ，
5× 4 2 4 +9 = 2
1 1
有 cos < ， >= = = =5× 4( 3)2 4× 3+9 5× 2 8 +24 5× 24 8+1 5× 24(12 2 2
1
6)
2+1，3
1 15
故当 = 6 = 3时， 2时，平面 1 1与平面 1 1的夹角的余弦值的最大值为
=
5× 1 5
．
3
2 = 4
19. 1 9解：(1)设椭圆的焦距为 2 ，由题意有 2 + 4 2 = 1,解得 = 2, = 3, = 1,
2 = 2 + 2
2 2
故椭圆 的标准方程为
4 +

3 = 1;
第 6页，共 7页
(2)由(1)可知 ( 2,0)， (2,0)， ∈ ( ∞, 32 ) ∪ (
3
2 , + ∞)，
直线 0 的斜率为1 ( 2) = 3，可得直线

的方程为 = 3 ( + 2)，
2 2
联立方程 4
+ 3 = 1 54 8 2 36
，解得点 的坐标为( 2 , 2 ) = 3 ( + 2)
4 +27 4 +27
直线 0的斜率为1 2 = ，可得直线 的方程为 = ( 2)，
2 2 2
联立方程 4 + 3 = 1 8 6 12 ，解得点 的坐标为( 4 2+3 , 4 2 ， = ( 2) +3
)
由对称性，若直线 过定点，定点必定在 轴上，设定点坐标为( , 0)，
36 0 12 0
4 2+27 4 2+3
有 =54 8 2 2 8 6
，

4 2+27 4 2+3
整理可得( 4)(4 2 9) = 0，
∈ ( ∞, 3 ) ∪ ( 3又由 2 2 , + ∞)，可得 = 4，
故直线 过定点 (4,0);
(3) △ 1的面积为2 | | × | | =
1
2 × 4 × | | = 2| |，
四边形 1 1的面积为： △ △ = 2 × | | × | | 2 × | | × | |
3
= 1 36 1 12 384| |2 × 6 × | 4 2+27 | 2 × 2 × | 4 2+3 | = (4 2+27)(4 2+3)，
64
由四边形 的面积是△ 的面积的27倍，
1+64
可得△ 的面积是四边形 的面积的 2764 =
91
64，
27
3
有 2| | = 91 × 384| | 364 (4 2+27)(4 2+3)，解得 =± 3 或 =± 4 (舍去)，
故 = 3 或 3．
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑